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GAAL - 2013/1 - Lista de Exerc´ıcios - 3 Estudo das posic¸o˜es relativas de pontos, retas e planos Os objetos ba´sicos da geometria anal´ıtica espacial sa˜o o ponto, a reta e o plano. Podemos combinar dois destes objetos de seis maneiras diferentes. • ponto-ponto. • ponto-reta. • ponto-plano. • reta-reta. • reta-plano. • plano-plano. Ale´m disso, algumas destas combinac¸o˜es podem ser subdivididas quando sa˜o considerados outros aspe´ctos geome´tricos dos dois objetos envolvidos. • No caso de duas retas, sabemos que elas podem ser paralelas, concorrentes ou reversas. • No caso de uma reta e um plano, estes podem ser paralelos ou concorrentes. • No caso de dois planos, eles tambe´m podem ser paralelos ou concorrentes. Nesta lista de exerc´ıcios vamos estudar todas estas poss´ıveis posic¸o˜es relativas. Em cada exerc´ıcio va´rias perguntas sera˜o formuladas para o ca´lculo de grandezas nume´ricas (aˆngulos e distaˆncias) e para a construc¸a˜o de outros objetos relevantes para a configurac¸a˜o geome´trica dada. Observac¸o˜es importantes. 1. Em cada exerc´ıcio fac¸a um esboc¸o da situac¸a˜o dada. 2. Imagine mentalmente a figura espacial considerada em cada exerc´ıcio. 3. Todos estes exerc´ıcios sera˜o resolvidos na aula. Passe a limpo todas estas soluc¸o˜es. Como todos os alunos va˜o assistir as aulas de resoluc¸a˜o destes exerc´ıcios, as soluc¸o˜es na˜o sera˜o digitadas. Exerc´ıcio 1: ponto e ponto Considere os pontos A = (−1, 3, 2) e B = (2, 1, 6). (a) Determine a equac¸a˜o parame´trica da reta ←→ AB. (b) Calcule o ponto me´dio do segmento AB. (c) Calcule dist(A,B). (d) Determine o ponto sime´trico A′ de A em relac¸a˜o ao ponto B. (e) Determine o ponto sime´trico B′ de B em relac¸a˜o ao ponto A. Exerc´ıcio 2: ponto e reta Considere a reta r de equac¸a˜o parame´trica (x, y, z) = (−7, 4, 9) + t(−2, 1, 2) e o ponto A = (7, 4, 5). (a) O ponto A pertence a reta r? (b) Determine a equac¸a˜o do plano que conte´m r e A. (c) Determine a reta perpendicular a r e que passa por A. (d) Calcule dist(A, r). (e) Determine o ponto sime´trico de A em relac¸a˜o a reta r. Exerc´ıcio 3: ponto e plano Considere o plano α de equac¸a˜o x− 2y + 3z = 4 e o ponto A = (2, 8,−8). (a) O ponto A pertece ao plano α? (b) Determine a equac¸a˜o parame´trica da reta que passa por A e e´ perpendicular ao plano α. (c) Calcule dist(A,α). (d) Determine o ponto sime´trico de A em relac¸a˜o ao plano α. Exerc´ıcio 4: duas retas paralelas Considere as retas paralelas r : (x, y, z) = (−6, 3,−2) + t(3,−1, 2) s : (x, y, z) = (−3, 30,−14) + s(3,−1, 2) (a) Determine a equac¸a˜o do plano α que conte´m r e s. (b) Deˆ um exemplo de uma reta perpendicular a r e a s. (c) Calcule dist(r, s). (d) Determine uma reta contida em α e que esta´ equidistante de r e de s. Exerc´ıcio 5: duas retas concorrentes Considere as retas r : (x, y, z) = (7, 2,−2) + t(−3, 0, 1) s : (x, y, z) = (−1, 1, 2) + s(2, 1,−2) (a) Mostre que r e s sa˜o concorrentes calculando o ponto P = r ∩ s. (b) Determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m r e s. (c) Calcule ang(r, s). Exerc´ıcio 6: duas retas reversas Considere as retas r : (x, y, z) = (−1,−1, 4) + t(1, 1,−1) s : (x, y, z) = (1, 3, 7) + s(−2, 0, 1) (a) Mostre que r e s sa˜o retas reversas. (b) Determine a equac¸a˜o da reta perpendicular e concorrente com r e com s. (c) Calcule dist(r, s) e ang(r, s). (d) Determine o plano α que conte´m r e e´ paralelo a s. (e) Determine o plano β que conte´m s e e´ paralelo a r. (f) Determine o plano γ que conte´m r e e´ perpendicular a α. (g) Determine o plano ω que conte´m s e e´ perpendicular a β. (h) Determine a equac¸a˜o da reta γ ∩ ω. Exerc´ıcio 7: reta furando um plano Considere o plano α e a reta r de respectivas equac¸o˜es α : 2x+ y − z = 4 r : (x, y, z) = (0, 3,−4) + t(1,−1, 2) (a) Determine o ponto P = r ∩ α. (b) Determine o plano que conte´m r e e´ perpendicular a α. (c) Determine a reta que e´ a projec¸a˜o ortogonal de r sobre α. (d) Calcule ang(r, α). (e) Determine a reta contida em α e que e´ perpendicular a r. Exerc´ıcio 8: reta paralela a um plano Considere o plano α e a reta r de respectivas equac¸o˜es α : x− y + z = 1 r : (x, y, z) = (0, 3, 1) + t(2,−1,−3) (a) Mostre que a reta r e´ paralela ao plano α. (b) Ache o plano que conte´m r e e´ perpendicular a α. (c) Ache o plano que conte´m r e e´ paralelo a α. (d) Determine a equac¸a˜o da reta que e´ a projec¸a˜o ortogonal de r sobre α. (e) Calcule dist(r, α). Exerc´ıcio 9: reta contida em um plano Considere o plano α e a reta r de equac¸o˜es α : x+ 2y − z = 3 r : (x, y, z) = (2, 1, 1) + t(2, 1, 4) (a) Mostre que r ⊂ α. (b) Determine o plano que conte´m r e que e´ perpendicular a α. (c) Deˆ um exemplo de uma reta contida em α e que e´ perpendicular a r. Exerc´ıcio 10: planos paralelos Considere os planos α : 2x− y + z = 1 β : 4x− 2y + 2z = 5 (a) Mostre que α e β sa˜o planos paralelos. (b) Determine a reta perpendicular a α e a β e que passa pela origem. (c) Calcule dist(α, β). Exerc´ıcio 11: planos concorrentes Considere os planos α : x− y + 3z = 1 β : 2x− 3y − z = 2 (a) Mostre que α e β na˜o sa˜o paralelos. (b) Determine a equac¸a˜o da reta α ∩ β. (c) Calcule ang(α, β). (d) Deˆ um exemplo de um plano perpendicular a α e a β. - FIM -