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GAAL - 2013/1 - Lista de Exerc´ıcios - 3
Estudo das posic¸o˜es relativas de pontos, retas e planos
Os objetos ba´sicos da geometria anal´ıtica espacial sa˜o o ponto, a reta e o plano. Podemos
combinar dois destes objetos de seis maneiras diferentes.
• ponto-ponto.
• ponto-reta.
• ponto-plano.
• reta-reta.
• reta-plano.
• plano-plano.
Ale´m disso, algumas destas combinac¸o˜es podem ser subdivididas quando sa˜o
considerados outros aspe´ctos geome´tricos dos dois objetos envolvidos.
• No caso de duas retas, sabemos que elas podem ser paralelas, concorrentes ou
reversas.
• No caso de uma reta e um plano, estes podem ser paralelos ou concorrentes.
• No caso de dois planos, eles tambe´m podem ser paralelos ou concorrentes.
Nesta lista de exerc´ıcios vamos estudar todas estas poss´ıveis posic¸o˜es relativas. Em
cada exerc´ıcio va´rias perguntas sera˜o formuladas para o ca´lculo de grandezas nume´ricas
(aˆngulos e distaˆncias) e para a construc¸a˜o de outros objetos relevantes para a
configurac¸a˜o geome´trica dada.
Observac¸o˜es importantes.
1. Em cada exerc´ıcio fac¸a um esboc¸o da situac¸a˜o dada.
2. Imagine mentalmente a figura espacial considerada em cada exerc´ıcio.
3. Todos estes exerc´ıcios sera˜o resolvidos na aula. Passe a limpo todas estas soluc¸o˜es.
Como todos os alunos va˜o assistir as aulas de resoluc¸a˜o destes exerc´ıcios, as
soluc¸o˜es na˜o sera˜o digitadas.
Exerc´ıcio 1: ponto e ponto
Considere os pontos A = (−1, 3, 2) e B = (2, 1, 6).
(a) Determine a equac¸a˜o parame´trica da reta
←→
AB.
(b) Calcule o ponto me´dio do segmento AB.
(c) Calcule dist(A,B).
(d) Determine o ponto sime´trico A′ de A em relac¸a˜o ao ponto B.
(e) Determine o ponto sime´trico B′ de B em relac¸a˜o ao ponto A.
Exerc´ıcio 2: ponto e reta
Considere a reta r de equac¸a˜o parame´trica (x, y, z) = (−7, 4, 9) + t(−2, 1, 2) e o ponto
A = (7, 4, 5).
(a) O ponto A pertence a reta r?
(b) Determine a equac¸a˜o do plano que conte´m r e A.
(c) Determine a reta perpendicular a r e que passa por A.
(d) Calcule dist(A, r).
(e) Determine o ponto sime´trico de A em relac¸a˜o a reta r.
Exerc´ıcio 3: ponto e plano
Considere o plano α de equac¸a˜o x− 2y + 3z = 4 e o ponto A = (2, 8,−8).
(a) O ponto A pertece ao plano α?
(b) Determine a equac¸a˜o parame´trica da reta que passa por A e e´ perpendicular ao
plano α.
(c) Calcule dist(A,α).
(d) Determine o ponto sime´trico de A em relac¸a˜o ao plano α.
Exerc´ıcio 4: duas retas paralelas
Considere as retas paralelas
r : (x, y, z) = (−6, 3,−2) + t(3,−1, 2)
s : (x, y, z) = (−3, 30,−14) + s(3,−1, 2)
(a) Determine a equac¸a˜o do plano α que conte´m r e s.
(b) Deˆ um exemplo de uma reta perpendicular a r e a s.
(c) Calcule dist(r, s).
(d) Determine uma reta contida em α e que esta´ equidistante de r e de s.
Exerc´ıcio 5: duas retas concorrentes
Considere as retas
r : (x, y, z) = (7, 2,−2) + t(−3, 0, 1)
s : (x, y, z) = (−1, 1, 2) + s(2, 1,−2)
(a) Mostre que r e s sa˜o concorrentes calculando o ponto P = r ∩ s.
(b) Determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m r e s.
(c) Calcule ang(r, s).
Exerc´ıcio 6: duas retas reversas
Considere as retas
r : (x, y, z) = (−1,−1, 4) + t(1, 1,−1)
s : (x, y, z) = (1, 3, 7) + s(−2, 0, 1)
(a) Mostre que r e s sa˜o retas reversas.
(b) Determine a equac¸a˜o da reta perpendicular e concorrente com r e com s.
(c) Calcule dist(r, s) e ang(r, s).
(d) Determine o plano α que conte´m r e e´ paralelo a s.
(e) Determine o plano β que conte´m s e e´ paralelo a r.
(f) Determine o plano γ que conte´m r e e´ perpendicular a α.
(g) Determine o plano ω que conte´m s e e´ perpendicular a β.
(h) Determine a equac¸a˜o da reta γ ∩ ω.
Exerc´ıcio 7: reta furando um plano
Considere o plano α e a reta r de respectivas equac¸o˜es
α : 2x+ y − z = 4
r : (x, y, z) = (0, 3,−4) + t(1,−1, 2)
(a) Determine o ponto P = r ∩ α.
(b) Determine o plano que conte´m r e e´ perpendicular a α.
(c) Determine a reta que e´ a projec¸a˜o ortogonal de r sobre α.
(d) Calcule ang(r, α).
(e) Determine a reta contida em α e que e´ perpendicular a r.
Exerc´ıcio 8: reta paralela a um plano
Considere o plano α e a reta r de respectivas equac¸o˜es
α : x− y + z = 1
r : (x, y, z) = (0, 3, 1) + t(2,−1,−3)
(a) Mostre que a reta r e´ paralela ao plano α.
(b) Ache o plano que conte´m r e e´ perpendicular a α.
(c) Ache o plano que conte´m r e e´ paralelo a α.
(d) Determine a equac¸a˜o da reta que e´ a projec¸a˜o ortogonal de r sobre α.
(e) Calcule dist(r, α).
Exerc´ıcio 9: reta contida em um plano
Considere o plano α e a reta r de equac¸o˜es
α : x+ 2y − z = 3
r : (x, y, z) = (2, 1, 1) + t(2, 1, 4)
(a) Mostre que r ⊂ α.
(b) Determine o plano que conte´m r e que e´ perpendicular a α.
(c) Deˆ um exemplo de uma reta contida em α e que e´ perpendicular a r.
Exerc´ıcio 10: planos paralelos
Considere os planos
α : 2x− y + z = 1
β : 4x− 2y + 2z = 5
(a) Mostre que α e β sa˜o planos paralelos.
(b) Determine a reta perpendicular a α e a β e que passa pela origem.
(c) Calcule dist(α, β).
Exerc´ıcio 11: planos concorrentes
Considere os planos
α : x− y + 3z = 1
β : 2x− 3y − z = 2
(a) Mostre que α e β na˜o sa˜o paralelos.
(b) Determine a equac¸a˜o da reta α ∩ β.
(c) Calcule ang(α, β).
(d) Deˆ um exemplo de um plano perpendicular a α e a β.
- FIM -

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