Álgebra Linear - Lista 6

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1. Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares
(i) f : R2 → R2, definida por f(x, y) = (x+ y, x− y);
(ii) g : R2 → R, definida por f(x, y) = xy;
(iii) T : R3 → R2 definida por T (x, y, z) = (x+ y, xz);
(iv) S : P2[x](R)→ R3, definida por S(p(x)) = (p(0), p′(0), p′′(0));
(v) T (x, y) = (1 + x, y);
(vi) T (x, y) = (y, x);
(vii) T (x, y) = (x2, y);
(viii) T (x, y) = (senx, y);
(ix) T (x, y) = (x− y, 0).
2. Dê um exemplo, se possível, de uma transformação linear tal que
Nuc(T ) = {(x, y) ∈ R2; x− 2y = 0} e Im(T ) = {(x, y) ∈ R2; x = y}
3.
Existe uma transformação linear T de R3 → R2 tal que T (1, −1, 1) = (1, 0) e T (1, 1, 1) =
(0, 1) ?
4. Se
v1 = (1, −1), w1 = (1, 0)
v2 = (2, −1), w2 = (0, 1)
v3 = (−3, 2), w3 = (1, 1)
existe uma transformação linear T de R2 em R2 tal que Tvi = wi para i = 1, 2 e 3?
5. Descreva explicitamente uma transformação linear T de R2 em R2 tal que T (1, 0) =
(a, b) e T (0, 1) = (c, d).
6. Seja T : R3 → R3 uma transformação linear dada por
T (x, y, z) = (2x+ βz, βz + 2y, βy + 2z),
determine para que valores de β a transformação linear não é sobrejetiva.
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7. Seja T : R4 → R4 uma transformação linear tal que
Nuc(T ) = [(1, 0, 2, 4), (−2, 1, 1, 0), (−1, 1, 3, 4)]
(i) Encontre uma expressão explícita para a transformação linear T. Tal expressão é
única?
(ii) Determine a imagem de T.
8. Considere a função T : R4 → R3 definida por Tv = Mv, onde
 1 2 3 14 5 6 1
7 8 9 1
 ,
observando que v =

x1
x2
x3
x4
 para que a T esteja bem definida.
(i) T é transformação linear?
(ii) T é injetiva?
(iii) T é sobrejetiva?
9. Considere T : P2[x](R)→ P4[x](R) a transformação linear definida por
T (p(x)) = p(x2)
(i) Determine Nuc(T ) e determine sua dimensão.
(ii) Uma base para a imagem de T.
10. Considere a transformação linear T : P2[t](R)→ R4 definido por
T (at2 + bt+ c) = (2a+ c, a− b+ c, a+ b, 3a+ b+ c)
(i) Determine uma base para Nuc(T ) e sua dimensão.
(ii) Determine uma base para Im(T ) e sua dimensão.
11. Considere T uma função de R3 → R3 definida por
T (x, y, z) = (x− y + 2z, 2x, −x− 2y + 2z).
(i) Verifique que T é uma transformação linear.
(ii) Se (a, b, c) é um vetor de R3, quais as condições sobre a, b e c para que o vetor esteja
na imagem de T? Qual a dimensão da imagem?
(iii) Quais condições sobre a, b e c para que (a, b, c) esteja no núcleo de T? Qual a
dimensão do núcleo?
12. Descreva explicitamente uma transformação linear de R3 em R3 que tem sua imagem
gerada pelos vetores (1, 0, −1) e (1, 2, 0).
13. Seja V =M2×2(R) e seja B uma matriz fixada em V. Se
T (A) = AB −BA
verifique que T é uma transformação linear de V em V.
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