Álgebra Linear - Lista 7

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1. Encontre a transformação linear T : R3 → R2 tal que:
T (1, 0, 0) = (2, 0), T (0, 1, 0) = (1, 1) e T (0, 0, 1) = (0, −1).
Encontre v ∈ R3 tal que T (v) = (3, 2).
2. (i) Determine a transformação linear T : R2 → R3 tal que
T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0, −2) = (0, 1, 0).
Calcule T (1, 0) e T (0, 1).
(ii) Determine a transformação S : R3 → R2 tal que
S(3, 2, 1) = (1, 1), S(0, 1, 0) = (0, −2) e S(0, 0, 1) = (0, 0).
(iii) Determine a transformação linear P : R2 → R2 tal que P = S ◦ T.
3. Dados T : U → V transformação linear injetiva. Mostre que se {u1, u2, ..., un} é um
conjunto L.I., então {T (u1), T (u2), ..., T (un)} também o é.
4. Dada uma transformação linear T : V → W tal que T (u) = 3u e T (v) = u− v, calcule
em função de u e v :
(i) T (u+ v);
(ii) T (33v);
(iii) T (4u− 5v).
5. Determine uma transformação linear T : P2[x](R)→ P2[x](R) tal que
T (1) = x, T (x) = 1− x2 e T (x2) = x+ 2x2.
6. Mostre que as seguintes transformações lineares são sobrejetivas.
(i) T : R3 → R2, T (x, y, z) = (2x+ y, z);
(ii) B : Pn[x](R)→ R, B(p(x)) = p(1);
(iii) A : R2 → R2 A(x, y) = (x+ y, x− y).
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7. Encontre uma transformação linear T : R3 → R2 tal que Nuc(T ) = [(1, 1, 0)].
8. Encontre uma transformação linear T : R3 → R4 cuja imagem é gerada por
(1, 2, 3, −1) e (1, 1, −1, 3).
9. Considere a transformação linear T : R3 → R3 descrita por:
T (x, y, z) = (z, x− y, −z).
(i) Determine [T ]CC, onde C é a base canônica de R3;
(ii) Determine uma base do núcleo de T ;
(iii) Determine a dimensão da imagem de T ;
(iv) T é sobrejetiva?
10. Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
(i) Se v ∈ V é tal que T (v) = 0W , então v = 0V ;
(ii) Se T (w) = T (u) + T (v), então w = u+ v;
(iii) Se v é combinação linear de v1, v2, ..., vn, então T (v) é combinação linear de T (v1),
T (v2), . . . , T (vn).
11. Dados os vetores u1 = (2, −1), u2 = (1, 1), u3 = (−1, −4), v1 = (1, 3), v2 =
(2, 3), v3 = (−5, −6). Determine se existe uma transformação linear A : R2 → R2 tal
que A(ui) = vi, i = 1, 2, 3.
12. Considere T : R2 → R3 tal que T (−1, 1) = (1, 2, 3) e T (2, 3) = (1, 1, 1). Determine
a matriz da transformação associada às bases canônicas de R2 e R3.
13. Determine a matriz do operador derivada D : Pn[t](R) → Pn[t](R) relativamente à
base canônica C = {1, t, ..., tn}.
14. Sejam R, S e T transformações lineares de R3 em R3. Considere a base canônica do
R3, C = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Se
[R]CC =
 1 0 12 1 1
0 −1 1
 e [S]CC
 −2 1 −13 1 2
1 −2 0
 ,
determine T tal que R = S ◦ T.
15. Se R(x, y) = (2x, x − y, y) e S(x, y, z) = (y − z, z − x). Considere C2 e C3 são as
bases canônicas de R2 e R3 respectivamente, determine:
(i) [R ◦ S]C3C3 ;
(ii) [S ◦R]C2C2 ;
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(iii) R ◦ S e S ◦R explicitamente.
16. Seja V =M2×2(R) e considere a base canônica deste espaço descrita por
C =
{(
1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
.
Seja S : V → R2 é descrita por
T
(
a b
c d
)
= (a+ d, b+ c).
(i) Encontre [T ]CC2 , onde C2 é a base canônica do espaço R2.
(ii) Se S : R2 → V é tal que [S]C2C =

2 1
1 −1
−1 0
0 1
 , determine S explicitamente e, se
possível, (a, b) tal que S(a, b) =
(
1 0
0 1
)
.
17. Sejam α = {(0, 2), (2, −1)} e β = {(1, 1, 0), (0, 0, −1), (1, 0, 1)} bases de R2 e R3
respectivamente. Se
[S]αβ =
 2 04 0
0 −4
 ,
determine S(x, y) explicitamente.
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