Unidade III

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João Pessoa, PB
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Energias Alternativas e Renováveis
Departamento de Engenharia de Energias Renováveis
Professora: Cristiane K. F. da Silva
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Apresentação
• 3.1. A Parede Plana
• 3.1.1. Distribuição de Temperaturas
• 3.1.2. Resistência Térmica
• 3.1.3. A Parede Composta
• 3.1.4. Resistência Térmica de Contato
• 3.2. Sistemas Radiais: Cilindro e Esfera
• 3.3. Condução com Geração de Energia Térmica
• 3.3.1. A Parede Plana
• 3.3.2. Sistemas Radiais: Cilindro e Esfera
• 3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
Profª: Cristiane K. 
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 Especificar a forma apropriada da equação do calor.
 Resolver para a distribuição de temperatura para obter a solução geral.
 Usar as condições de contorno para obter a solução particular.
 Aplicar a lei de Fourier para determinar a taxa de transferência de calor.
1) Procedimento Padrão para a Solução de Problemas de Condução
3.1. A Parede Plana
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3.1.1. Distribuição de Temperaturas
• Considere uma parede plana entre dois fluidos a diferentes temperaturas.
 Distribuição de Temperaturas.
𝑑
𝑑𝑥
 𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 = 0 (3.1)
• Equação do Calor:
Condução unidimensional em regime
estacionário em uma parede plana sem geração
de calor, o fluxo térmico é uma constante,
independente de x.
• Solução Geral:
𝑇 𝑥 = 𝐶1𝑥 + 𝐶2 (3.2)
• A solução geral, nesse caso, assemelha-se à fórmula geral de uma reta com inclinação C1
cujo valor em x=0 é C2.
• Condições de Contorno:𝑇 0 = 𝑇𝑠,1; 𝑇 𝐿 = 𝑇𝑠,2 
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3.1.1. Distribuição de Temperaturas
• Distribuição de Temperaturas:
𝑇 𝑥 = (𝑇𝑠,2 − 𝑇𝑠,1)
𝑥
𝐿
+ 𝑇𝑠,1 
(3.3)A temperatura varia 
linearmente com x.
 Taxa de Transferência de Calor por Condução.
𝑞𝑥 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
=
𝑘𝐴
𝐿
(𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2) (3.4)
 Fluxo Térmico
𝑞"𝑥 =
𝑞𝑥
𝐴
=
𝑘
𝐿
(𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2) (3. 5)
Tanto a taxa de 
transferência de calor 
quanto o fluxo térmico são 
constantes, independente 
de x.
(W)
(W/m²)
A taxa de condução de calor através da parede 
plana é proporcional à condutividade térmica, à 
área da parede e à diferença de temperatura, mas é 
inversamente proporcional à espessura da parede.
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3.1.1. Distribuição de Temperaturas
 Balanço de Energia:
Taxa de 
transferência 
de calor para 
dentro da 
parede
Taxa de 
transferência 
de calor para 
fora da parede
Taxa de 
variação de 
energia interna 
da parede
𝑞𝑒𝑛𝑡 − 𝑞𝑠𝑎𝑖 =
𝑑𝐸𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒
𝑑𝑡
 
• A taxa de transferência de calor através da parede
deve ser constante, qcond,parede = constante.
• A lei de Fourier para condução de calor na parede:
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 ,𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
(a)
(b)(W)
2) Procedimento Alternativo para a Solução de Problemas de Condução
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 . 
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3.1.1. Distribuição de Temperaturas
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 . 
• dT/dx = constante, o que significa que a temperatura
através da parede varia linearmente com x.
 Taxa de Transferência de Calor por Condução.
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 ,𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 =
𝑘𝐴
𝐿
(𝑇1 − 𝑇2) 
(c)
(d)
Assim, a Eq. (d) é idêntica à Eq. (3.4)
 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 ,𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 𝑑𝑥
𝑥=𝐿
𝑥=0
= − 𝑘𝐴𝑑𝑇
𝑇=𝑇2
𝑇=𝑇1
 
(W)
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3.1.2. Resistência Térmica
 Assim como uma resistência elétrica está associada à condução de eletricidade, uma
resistência térmica pode ser associada à condução de calor.
 Resistência: é a razão entre o potencial motriz e a correspondente taxa de transferência.
 Resistência Térmica para a Condução:
𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 . ≡
 𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2 
𝑞𝑥
=
𝐿
𝑘𝐴
 
(3.6)
𝑅𝑒 ≡
𝐸𝑠,1 − 𝐸𝑠,2
𝐼
=
𝐿
𝜎𝐴
 (3.7)
𝐼 =
𝐸𝑠,1 − 𝐸𝑠,2
𝑅𝑒
 
𝑞𝑥 =
 𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2 
𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 .
 
Taxa de transferência de calor corresponde à
corrente elétrica; resistência térmica
corresponde à resistência elétrica; diferença de
temperatura corresponde à diferença de tensão.
(K/W)
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3.1.2. Resistência Térmica
 Resistência Térmica para a Convecção:
𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑣 . ≡
𝑇𝑠 − 𝑇∞
𝑞
=
1
𝑕𝐴
 (3.9)
Lei do Resfriamento de Newton:𝑞 = 𝑕𝐴 𝑇𝑠 − 𝑇∞ (3.8)
(K/W)
h ∞: A resistência térmica para a convecção torna-se 
nula e Ts ≈ T∞
 Resistência Térmica para a Radiação:
𝑞𝑟𝑎𝑑 = 𝜀𝜎𝐴(𝑇𝑠
4 − 𝑇𝑣𝑖𝑧
4
) = 𝑕𝑟𝐴 𝑇𝑠 − 𝑇𝑣𝑖𝑧 
𝑅𝑡 ,𝑟𝑎𝑑 . ≡
𝑇𝑠 − 𝑇𝑣𝑖𝑧 .
𝑞𝑟𝑎𝑑
=
1
𝑕𝑟𝐴
 (3.13)(K/W)
• Quando Tviz. = T∞
(1.8)
10
 Rede de Resistência Térmica
3.1.2. Resistência Térmica
• As representações de circuito fornecem uma
ferramenta útil tanto para a conceituação quanto
para a quantificação de problemas de transferência
de calor.
Taxa de 
convecção de 
calor para dentro 
da parede
Taxa de 
condução de 
calor através da 
parede
Taxa de 
convecção de 
calor para fora 
da parede
𝑞𝑥 =
𝑇∞ ,1 − 𝑇𝑠,1
1
𝑕1𝐴
 
=
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
𝐿
𝑘𝐴 
=
𝑇𝑠,2 − 𝑇∞ ,2
1
𝑕2𝐴
 
 
(3.10)
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3.1.2. Resistência Térmica
• Em termos da diferença de temperaturas global e da resistência térmica total, a taxa de
transferência de calor:
𝑞𝑥 =
𝑇∞ ,1 − 𝑇∞ ,2
𝑅𝑡𝑜𝑡
 (3.11)
(3.12)𝑅𝑡𝑜𝑡 = 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑣 .1 + 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 . + 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑣 .2 =
1
𝑕1𝐴
+
𝐿
𝑘𝐴
+
1
𝑕2𝐴
 
A taxa de transferência de calor estacionária entre
duas superfícies é igual à diferença de
temperatura dividida pela resistência térmica total
entre essas duas superfícies.
• Razão entre a queda de temperatura e a
resistência térmica é constante.
Quanto maior for a resistência, maior será a
queda de temperatura.
∆𝑇 = 𝑞𝑅 
(W)
(ºC)
Como as resistências condutiva e convectiva estão
em série, podem ser somadas.
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3.1.3. A Parede Composta
• O conceito de resistência térmica pode ser utilizado para determinar a taxa de transferência
de calor estacionária através de paredes compostas.
(3.14)
• Essas paredes podem envolver um número qualquer de resistências térmicas em série e
paralelo devido às camadas de diferentes materiais.
𝑞𝑥 =
𝑇∞ ,1 − 𝑇∞ ,4
 𝑅𝑡
 
 𝑅𝑡 = 𝑅𝑡𝑜𝑡 =
1
𝐴
 
1
𝑕1
+
𝐿𝐴
𝑘𝐴
+
𝐿𝐵
𝑘𝐵
+
𝐿𝐶
𝑘𝐶
+
1
𝑕4
 
(3.15)
𝑞𝑥 =
𝑇∞ ,1 − 𝑇∞ ,4
 
1
𝑕1𝐴
 + 
𝐿𝐴
𝑘𝐴𝐴
 + 
𝐿𝐵
𝑘𝐵𝐴
 + 
𝐿𝐶
𝑘𝐶𝐴
 + 
1
𝑕4𝐴
 
 
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3.1.3. A Parede Composta
• Forma Alternativa:
(3.16)
𝑞𝑥 =
𝑇∞ ,1 − 𝑇𝑠,1
1
𝑕1𝐴
 
=
𝑇𝑠,1 − 𝑇2
𝐿𝐴
𝑘𝐴𝐴
 
=
𝑇2 − 𝑇3
𝐿𝐵
𝑘𝐵𝐴
 
= ⋯ 
• Coeficiente Global de Transferência de Calor, U (W/m².K):
𝑞𝑥 ≡ 𝑈𝐴∆𝑇 
(3.17)
𝑈 =
1
𝑅𝑡𝑜𝑡𝐴
=
1
 
1
𝑕1
 + 
𝐿𝐴
𝑘𝐴
 + 
𝐿𝐵
𝑘𝐵
 + 
𝐿𝐶
𝑘𝐶
 + 
1
𝑕4
 
 (3.18)
𝑅𝑡𝑜𝑡 = 𝑅𝑡 =
∆𝑇
𝑞
=
1
𝑈𝐴
 (3.19)
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3.1.3. A Parede Composta
• Paredes Compostas caracterizadas por configurações série-paralelo:
 Se for adotada a hipótese de transferência
de calor unidimensional de calor:
a) Supõe-se que as superfícies normais à
direção x são isotérmicas.
b) Supõe-se que as superfícies paralelas a x são
adiabáticas.
São obtidos resultados diferentes para Rtot e o
valor real da taxa de transferência de calor
situa-se entre os dois valores.
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3.1.3. A Parede Composta
• Paredes Compostas caracterizadas por configurações série-paralelo:
𝑞𝑥 =
𝑇∞ ,1 − 𝑇∞ ,2
𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑣1 + 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 1 + 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 2,3 + 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 4 + 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑣 2
 
𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 1. =
𝐿1
𝑘1𝐴1
 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 4. =
𝐿4
𝑘4𝐴4
 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑣 1. =
1
𝑕1𝐴1
 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑣 2. =
1
𝑕2𝐴2
 
1
𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 2,3
=
1
𝐿2
𝑘2𝐴2
+
1
𝐿3
𝑘3𝐴3
 
Onde:
Uma vez que as resistências condutivas estão em
paralelo.
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3.1.4. Resistência de Contato
• Mesmo superfícies planas que
parecem lisas aos olhos revelam-se
bastante rugosas quando analisadas
sob microscópio, com inúmeros
picos e vales.
• Quando duas superfícies são pressionadas
uma contra a outra, os picos formam bom
contato material, mas os vales formam
vazios preenchidos com ar.
• A queda de temperatura entre as interfaces
é atribuída à Resistência Térmica de
Contato.
𝑅"𝑡 ,𝑐 =
𝑇𝐴 − 𝑇𝐵
𝑞"𝑥
 (3.20)(m².K/W)
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3.1.4. Resistência de Contato
 O valor da resistência térmica de contato depende:
• Rugosidade superficial, propriedades do material, temperatura, pressão na interface e do
tipo de fluido nos vazios.
 A resistência térmica de contato pode ser minimizada por
meio da:
• Diminuição da rugosidade e com o aumento da pressão;
• Aplicação de um líquido termicamente condutor, chamado Pasta Térmica: óleo de silício;
• Substituição do ar na interface por um melhor condutor, como gás hélio ou hidrogênio;
• Inserir uma folha metálica macia, como estanho, prata, cobre, níquel ou alumínio.
 O valor da resistência térmica de contato é determinado experimentalmente. Tabelas
3.1(a,b) e 3.2.
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3.2. Sistemas Radiais
3.2.1. O Cilindro
• Considere a condução de calor através de um tubo de água quente.
𝑞𝑟 
• Estacionário e Unidimensional: T(r).
• Calor é continuamente perdido para o exterior através
da parede do tudo.
• A espessura da parede do tudo é bastante pequena.
• As temperaturas dos fluidos dentro e fora do
tubo permanecem constantes.
• Exemplo: remoção de calor de um elemento combustível cilíndrico, em um reator
nuclear, pelo fluido refrigerante.
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3.2.1. O Cilindro
• Considere um cilindro oco de raio interno r1, raio externo r2, comprimento L e
condutividade térmica k.  Distribuição de Temperaturas.
1
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
 𝑘𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 = 0 (3.23)
• Equação do Calor:
O que pode-se concluir a partir das
Eqs. (3.23) e (3.24) ?
• A lei de Fourier para condução de calor na parede cilíndrica:
𝑞𝑟 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= −𝑘(2𝜋𝑟𝐿)
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 (3.24)
(W)
A taxa de transferência de calor
qr é uma constante na direção
radial.
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• Solução Geral: 𝑇 𝑟 = 𝐶1 ln 𝑟 + 𝐶2 (3.25)
• Condições de Contorno:
• Distribuição de Temperaturas:
𝑇 𝑟 =
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
ln(𝑟1/𝑟2)
ln 
𝑟
𝑟2
 + 𝑇𝑠,2 (3.26)
𝑇 𝑟1 = 𝑇𝑠,1; 𝑇 𝑟2 = 𝑇𝑠,2 
𝐶1 =
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
ln(𝑟1/𝑟2)
 ; 𝐶2 = 𝑇𝑠,2 − 
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
ln(𝑟1/𝑟2)
 ln 𝑟2 
A distribuição de temperaturas é 
logarítmica, não linear.
3.2.1. O Cilindro
 Taxa de Transferência de Calor por Condução e Fluxo Térmico.
𝑞𝑟 =
2𝜋𝐿𝑘(𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2)
ln(𝑟2/𝑟1)
 (W)
(3.27)
 Resistência Térmica para a Condução
𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 . =
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
𝑞𝑟
 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 . =
ln(𝑟2/𝑟1)
2𝜋𝐿𝑘
 (K/W) (3.28)
𝑞"𝑟 =
𝑘(𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2)
𝑟 ln(𝑟2/𝑟1)
 (W/m²)
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3.2.1. O Cilindro: paredes compostas cilíndricas
• Considere um tubo composto por mais de uma camada de materiais distintos e
resistências térmicas de contato interfaciais desprezadas.
𝑞𝑟 =
𝑇∞ ,1 − 𝑇∞ ,4
1
2𝜋𝑟1𝐿𝑕1
+
ln 𝑟2/𝑟1 
2𝜋𝑘𝐴𝐿
+
ln 𝑟3/𝑟2 
2𝜋𝑘𝐵𝐿
+
ln 𝑟4/𝑟3 
2𝜋𝑘𝐶𝐿
+
1
2𝜋𝑟4𝐿𝑕4
 
𝑞𝑟 =
𝑇∞ ,1 − 𝑇∞ ,4
𝑅𝑡𝑜𝑡
 
(3.29)
𝑅𝑡𝑜𝑡 = 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑣 .1 + 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 1. + 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 2 + 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 3 + 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑣 .4 
 Em termos de Resistência Total:
22
3.2.1. O Cilindro: paredes compostas cilíndricas
• Temperatura intermediária Tj.
𝑞𝑟 =
𝑇𝑖 − 𝑇𝑗
𝑅𝑡𝑜𝑡 ,𝑖−𝑗
 • Ti: Temperatura conhecida na posição i; Rtot,i-j: resistência
térmica total entre as posições i e j.
𝑞𝑟 =
𝑇∞ ,1 − 𝑇2
𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑣 .1 + 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 .1
 𝑞𝑟 =
𝑇2 − 𝑇∞ ,4
𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 .2 + 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 .3 + 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑣 .4
 
• Exemplo:
• Coeficiente Global de Transferência de Calor, U.
𝑞𝑟 =
𝑇∞ ,1 − 𝑇∞ ,4
𝑅𝑡𝑜𝑡
= 𝑈𝐴(𝑇∞ ,1 − 𝑇∞ ,4) (3.30)
• Observe que:
𝑈𝐴 =
1
𝑅𝑡𝑜𝑡
 É uma constante independente do raio
Mas, U em si está ligado a especificação de uma interface.
𝑈1 =
1
1
𝑕1
+
𝑟1
𝑘𝐴
ln 𝑟2/𝑟1 +
𝑟1
𝑘𝐵
ln 𝑟3/𝑟2 +
𝑟1
𝑘𝐶
ln 𝑟4/𝑟3 +
𝑟1
𝑟4
1
𝑕4
 
(3.31)
𝑈𝑖 =
1
𝐴𝑖𝑅𝑡𝑜𝑡
 
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3.2.2. A Esfera
• Considere uma esfera oca submetida à uma diferença de temperatura entre a superfície
interna e a externa.
 Balanço de Energia:
Taxa de 
transferência 
de calor para 
dentro do V.C.
Taxa de 
transferência 
de calor para 
fora do V.C.
Taxa de 
variação de 
energia interna 
no V.C.
𝑞𝑟 − 𝑞𝑟+𝑑𝑟 =
𝑑𝐸𝑎𝑐𝑢
𝑑𝑡
 
• A taxa de transferência de calor é uma
constante, independente de r.
𝑞𝑟 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= −𝑘(4𝜋𝑟²)
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 (W) (3.33)
 Lei de Fourier:
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3.2.2. A Esfera
• Separação de variáveis e integração
 Taxa de Transferência de Calor:
𝑞𝑟
4𝜋
 
𝑑𝑟
𝑟2
𝑟2
𝑟1
= − 𝑘(𝑇)𝑑𝑇
𝑇𝑠,2
𝑇𝑠,1
 (3.34)
𝑞𝑟 =
4𝜋𝑘 𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2 
 1 𝑟1 − 
1
𝑟2 
 
(3.35)
 Resistência Térmica para a Condução:
𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 . ≡
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
𝑞𝑟
=
1
4𝜋𝑘
 
1
𝑟1
−
1
𝑟2
 ∴ 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 . =
𝑟2 − 𝑟1
4𝜋𝑘𝑟1𝑟2
 (3.36)
 Camada esférica exposta à convecção em ambos os
lados
 Taxa de Transferência de Calor:
𝑞𝑟 =
𝑇∞ ,1 − 𝑇∞ ,2
𝑅𝑡𝑜𝑡
 
𝑅𝑡𝑜𝑡 = 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑣 .1 + 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑑 . + 𝑅𝑡 ,𝑐𝑜𝑛𝑣 .2 =
1
4𝜋𝑟12𝑕1
+
𝑟2 − 𝑟1
4𝜋𝑟1𝑟2𝑘
+
1
4𝜋𝑟22𝑕2
 
𝑞𝑟 
25
Implicações da Geração de Energia Térmica
3.3. Condução com Geração de Energia Térmica
 Envolve uma fonte local (volumétrica)
de energia térmica devido à conversão de
outra forma de energia em um meio.
 Fios de resistência.
 Reações químicas: exotérmicas e endotérmicas.
 Reações nucleares em pastilhas de combustível.
 Absorção de radiação no interior do meio.
 A fonte pode ser uniformemente distribuída, como na
conversão de energia elétrica em energia térmica
(aquecimento ôhmico)𝐸 𝑔 = 𝐼
2𝑅𝑒 
(W)
𝑞 ≡
𝐸 𝑔
∀
=
𝐼2𝑅𝑒
∀
 
(W/m³)(3.37) (3.38)
 A geração afeta a distribuição da temperatura no meio e faz a taxa de transferência de calor
variar com a localização, o que impede a inclusão do meio em um circuito térmico.
26
3.3.1. A Parede Plana
• Considere uma condução unidimensional, estacionária em uma parede plana de
condutividade térmica constante, com geração uniforme de energia e condições de contorno
assimétricas.
 Distribuição de Temperaturas.
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
+
𝑞 
𝑘
= 0 (3.39)
• Equação do Calor:
• Solução Geral:
𝑇 𝑥 = −
𝑞 
2𝑘
𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 (3.40)
Qual é a forma da distribuição de temperatura para:
𝑞 = 0? 𝑞 > 0? 𝑞 < 0? 
• Condições de Contorno:
𝐶1 =
𝑇𝑠,2 − 𝑇𝑠,1
2𝐿
; 𝐶2 =
𝑞 𝐿2
2𝑘
+
𝑇𝑠,1 + 𝑇𝑠,2
2
 
𝑇 −𝐿 = 𝑇𝑠,1; 𝑇 𝐿 = 𝑇𝑠,2 
Profª: Cristiane K. 
27
3.3.1. A Parede Plana
• Distribuição de Temperaturas:
𝑇 𝑥 =
𝑞 𝐿2
2𝑘1 −
𝑥2
𝐿2
 +
(𝑇𝑠,2 − 𝑇𝑠,1)
2
𝑥
𝐿
+
𝑇𝑠,1 + 𝑇𝑠,2
2
 
(3.41)
 Taxa de Transferência de Calor por Condução.
𝑞(𝑥) = 𝑞 𝑥 −
𝑘
2𝐿
(𝑇𝑠,2 − 𝑇𝑠,1) 𝐴𝑥 
 Fluxo Térmico
𝑞"(𝑥) = 𝑞 𝑥 −
𝑘
2𝐿
(𝑇𝑠,2 − 𝑇𝑠,1) 
Tanto o fluxo térmico 
como a taxa de 
transferência de calor não 
são mais independentes de 
x.
(W)
(W/m²)
Profª: Cristiane K. 
28
3.3.1. A Parede Plana
 Casos: Condições de Contorno Simétricas ou uma Superfície Isolada
 Distribuição de Temperatura
𝑇 𝑥 =
𝑞 𝐿2
2𝑘
 1 −
𝑥2
𝐿2
 + 𝑇𝑠 (3.42)
 Temperatura Máxima
𝑇 0 ≡ 𝑇0 =
𝑞 𝐿2
2𝑘
+ 𝑇𝑠 (3.43)
 Distribuição de Temperatura na forma Adimensional
𝑇 𝑥 − 𝑇0
𝑇𝑠 − 𝑇0
= 
𝑥
𝐿
 
2
 (3.44)
Como é o gradiente de temperatura na linha central ou na superfície
adiabática?
 Fluxo Térmico e Taxa de Transferência de Calor
𝑞"(𝑥) = 𝑞 𝑥 (W)(W/m²) 𝑞(𝑥) = 𝑞 𝑥𝐴𝑥 
−𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
𝑥=0
= 0 
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29
3.3.1. A Parede Plana
Como determinar a temperatura da superfície Ts?
1) Aplicação de um balanço de energia na superfície
𝐸 𝑒𝑛𝑡 . − 𝐸 𝑠𝑎𝑖 = 0 
𝑇𝑠 = 𝑇∞ +
𝑞 𝐿
𝑕
 (3.46)
2) Aplicação de um balanço global de energia na parede plana
𝐸 𝑔 = 𝐸 𝑠𝑎𝑖 (3.47)
𝑇𝑠 = 𝑇∞ +
𝑞 𝐿
𝑕
 
𝑞 𝐿 = 𝑕(𝑇𝑠 − 𝑇∞) (3.48)
𝑇 𝑥 =
𝑞 𝐿2
2𝑘
 1 −
𝑥2
𝐿2
 + 𝑇∞ +
𝑞 𝐿
𝑕
 
Distribuição de Temperaturas:
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30
3.3.2. Sistemas Radiais
• Considere o cilindro sólido longo, que poderia representar um fio condutor de corrente
elétrica ou um elemento combustível de um reator.
 Distribuição de Temperaturas.
1
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
 𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 +
𝑞 
𝑘
= 0 (3.49)
• Equação do Calor:
• Solução Geral:
𝑇 𝑟 = −
𝑞 𝑟2
4𝑘
+𝐶1ln 𝑟 + 𝐶2 
• Condições de Contorno:
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 
𝑟=0
= 0; 𝑇 𝑟0 = 𝑇𝑠 
 𝐶1 = 0 
𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= −
𝑞 
2𝑘
𝑟2 + 𝐶1 (3.50)
(3.51)
(3.52) 𝐶2 = 𝑇𝑠 +
𝑞 
4𝑘
𝑟0
2 
Profª: Cristiane K. 
31
3.3.2. Sistemas Radiais
 𝑇(𝑟) =
𝑞 
4𝑘
𝑟0
2 1 −
𝑟2
𝑟02
 + 𝑇𝑠 
• Distribuição de Temperatura:
(3.53)
 Temperatura Máxima
 Distribuição de Temperatura na forma Adimensional
 Fluxo Térmico e Taxa de Transferência de Calor
 𝑇(0) ≡ 𝑇0 =
𝑞 
4𝑘
𝑟0
2 + 𝑇𝑠 
𝑇 𝑟 − 𝑇𝑠
𝑇0 − 𝑇𝑠
= 1 − 
𝑟
𝑟0
 
2
 
(3.54)
𝑞"(𝑟) =
𝑞 𝑟
2
 (W/m²) 𝑞(𝑟) = 𝑞 𝜋𝐿𝑟
2 (W)
Como determinar a temperatura da superfície Ts?
 Aplicação de um balanço global de energia na parede plana
𝐸 𝑔 = 𝐸 𝑠𝑎𝑖 𝑞 (𝜋𝑟0
2𝐿) = 𝑕(2𝜋𝑟0𝐿)(𝑇𝑠 − 𝑇∞) 
𝑇𝑠 = 𝑇∞ +
𝑞 𝑟0
2𝑕
 (3.55)
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32
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
• Uma superfície estendida é um sólido dentro do qual a transferência de calor por condução é
assumida como sendo unidimensional, enquanto o calor é também transferido por convecção
(e/ou radiação) a partir da superfície em uma direção transversal à da condução.
• Considere um suporte que une duas
paredes a diferentes temperaturas, sobre o
qual há um escoamento cruzado de um
fluido.
• Aleta: superfície estendida usada especificamente para
aumentar a taxa de transferência de calor entre um sólido
e um fluido adjacente.
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33
• Considere a parede plana da figura.
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
Como aumentar a transferência de calor entre a
superfície e o fluido?
 Aumentar o coeficiente de transferência de
calor por convecção (h)
o O valor máximo de h pode ser insuficiente ou
os custos são proibitivos.
 Reduzir a temperatura do fluido (T∞)
 Aumentar a área da superfície através da qual ocorre a
convecção.
o As aletas se estendem da parede para o interior do fluido
adjacente;
o A condutividade térmica do material da aleta pode ter um
grande efeito na distribuição de temperaturas ao longo da
mesma.
34
• Exemplos de aplicações das aletas.
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
 Fileiras de grandes placas ósseas nas costas do dinossauro
stegosaurus.
 Tubos aletados usados para promover a troca de calor
entre o ar e o fluido de trabalho em um aparelho de ar
condicionado.
 Trocadores de calor com tubos aletados
típicos.
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• Exemplos de aplicações das aletas.
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
 Motores elétricos;
 Condensadores.
 Dissipadores de componentes
eletrônicos;
 Radiador de um carro.
 Dissipador de calor do coller
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36
 Diferentes configurações de aletas
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
• Aleta Plana: área de seção transversal
uniforme ou variando.
• Aleta Anular: área de seção transversal
varia com o raio a partir da parede do
cilindro.
• Aleta Piniforme ou Pino: área de seção
transversal circular, uniforme ou não
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37
 Diferentes configurações de aletas
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
Profª: Cristiane K. 
38
• O problema da determinação da taxa de transferência de calor em uma aleta exige o
conhecimento da distribuição de temperaturas na mesma.
3.4.1. Uma Análise Geral da Condução
Taxa de 
transferência 
de calor por 
condução para 
dentro do 
elemento em x
Taxa de 
transferência 
de calor por 
condução para 
fora do 
elemento em 
x+dx.
Taxa de transferência de 
calor por convecção a 
partir do elemento
• Assumindo condições unidimensionais na direção (x) longitudinal, regime estacionário,
condutividade térmica constante (k), radiação na superfície desprezível, efeitos de geração de
calor ausentes e coeficiente de transferência de calor por convecção (h) uniforme ao longo da
superfície.
 Balanço de energia sobre o elemento diferencial:
𝑞𝑥 = 𝑞𝑥+𝑑𝑥 + 𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 . 
Na forma simbólica:
(3.56)
(I) (II)
(III)
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39
3.4.1. Uma Análise Geral da Condução
(I): Taxa de transferência de calor por condução em x: 𝑞𝑥 = −𝑘𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
Atr: área de seção 
transversal
(II): Taxa de transferência de calor por condução em x+dx:
𝑞𝑥+𝑑𝑥 = 𝑞𝑥 +
𝑑𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 
(3.57)
(3.58) 𝑞𝑥+𝑑𝑥 = −𝑘𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑥
− 𝑘
𝑑
𝑑𝑥
 𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 𝑑𝑥 (3.59)
(III): Taxa de transferência de calor por convecção:
 Forma geral da equação da energia:
𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 . = 𝑕𝑑𝐴𝑠(𝑇 − 𝑇∞) (3.60)
𝑑
𝑑𝑥
 𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 −
𝑕
𝑘
𝑑𝐴𝑠
𝑑𝑥
 𝑇 − 𝑇∞ = 0 
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
+ 
1
𝐴𝑡𝑟
𝑑𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑥
 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
− 
1
𝐴𝑡𝑟
𝑕
𝑘
𝑑𝐴𝑠
𝑑𝑥
 𝑇 − 𝑇∞ = 0 (3.61)
dAs: área da superfície do elemento diferencial de 
extensão dx na direção x.
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Forma geral da Eq. da energia para uma 
superfície estendida
40
3.4.2. Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
• Do ponto de vista matemático, a equação da aleta mais simples de ser resolvida é a de seção
transversal uniforme.
𝐴𝑡𝑟 = 𝑤𝑡; 𝑃 = 2𝑤 + 2𝑡 
𝐴𝑡𝑟 = 𝜋𝐷
2/4; 𝑃 = 𝜋𝐷 
𝐴𝑡𝑟 = 𝑤𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∴
𝑑𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑥
= 0 
𝐴𝑠 = 𝑃𝑥 ∴
𝑑𝐴𝑠
𝑑𝑥
= 𝑃 
 Equação da energia:
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
−
𝑕𝑃
𝑘𝐴𝑡𝑟
 𝑇 − 𝑇∞ = 0 
(3.62)
 Excesso de temperatura:
𝜃 𝑥 ≡ 𝑇 𝑥 − 𝑇∞ (3.63)
(3.64)
𝑑2𝜃
𝑑𝑥2
−𝑚2𝜃 = 0 
 Parâmetro de aleta:
𝑚2 ≡
𝑕𝑃
𝑘𝐴𝑡𝑟
 (3.65)
41
3.4.2. Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
 Lembrete de Cálculo:
• A Eq. 3.64 é uma equação diferencial de segunda ordem linear e homogênea,com
coeficientes constantes.
𝑑2𝜃
𝑑𝑥2
−𝑚2𝜃 = 0 (3.64)
• A subtração de um múltiplo constante da solução da função θ da sua derivada
segunda resulta em zero. Assim, conclui-se que a função θ e suas derivadas segundas
devem ser múltiplos constantes entre si
• Funções exponenciais (ou combinação linear de funções exponenciais: seno e
cosseno hiperbólico).
 Solução geral da equação diferencial, Eq. 3.64:
𝜃(𝑥) = 𝐶1𝑒
𝑚𝑥 +𝐶2𝑒
−𝑚𝑥 (3.66)
• C1 e C2: valores são determinados a partir das condições de contorno na base e na ponta
da aleta.
42
3.4.2. Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
 Condição de Contorno na Base da Aleta: x=0
𝜃 0 = 𝑇𝑏 − 𝑇∞ ≡ 𝜃𝑏 
(3.67)
 Condição de Contorno na Extremidade da Aleta: x=L
 Caso A: Transferência de calor convectiva: a aleta tem comprimento finito e perde calor
por convecção a partir da ponta da aleta.
−𝑘𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
𝑥=𝐿
= 𝑕𝐴𝑡𝑟 𝑇 𝐿 − 𝑇∞ ∴ 𝑕𝜃 𝐿 = −𝑘 
𝑑𝜃
𝑑𝑥
 
𝑥=𝐿
 
(3.68)
 Caso B: Adiabática: a extremidade da aleta é isolada ou a perda de calor desprezível na
ponta.
 𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
𝑥=𝐿
= 0 ∴ 
𝑑𝜃
𝑑𝑥
 
𝑥=𝐿
= 0 
 Caso C: Temperatura especificada: a temperatura na ponta da aleta é fixada na
temperatura especificada T(L). 𝜃 𝐿 = 𝜃𝐿 
 Caso D: Aleta infinita (L→∞): a aleta é muito longa e a temperatura da extremidade da
aleta é essencialmente a mesma do fluido ambiente.
𝜃 𝐿 = 0 
43
3.4.2. Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
 Caso B: Adiabática: perda de calor desprezível a partir da ponta da aleta (ponta da aleta
adiabática, qponta aleta=0)
 Solução geral
𝜃(𝑥) = 𝐶1𝑒
𝑚𝑥 +𝐶2𝑒
−𝑚𝑥 (3.66)
 Condições de contorno
 Condição de Contorno na Base da Aleta: x=0
𝜃 0 = 𝑇𝑏 − 𝑇∞ ≡ 𝜃𝑏 (3.67)
 Condição de Contorno na Extremidade da Aleta: x=L
 𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
𝑥=𝐿
= 0 ∴ 
𝑑𝜃
𝑑𝑥
 
𝑥=𝐿
= 0 (3.74)
𝜃𝑏 = 𝐶1 + 𝐶2 (3.69)
𝐶1𝑒
𝑚𝐿 − 𝐶2𝑒
−𝑚𝐿 = 0 
• Aplicação das condições de contorno:
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44
3.4.2. Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
 Resolvendo para C1 e C2, obtém-se:
𝐶2 = 𝜃𝑏 
𝑒𝑚𝐿
𝑒𝑚𝐿 + 𝑒−𝑚𝐿
 ; 𝐶1 = 𝜃𝑏 
𝑒−𝑚𝐿
𝑒𝑚𝐿 + 𝑒−𝑚𝐿
 
Substituindo na solução geral, Eq. 3.66:
𝜃
𝜃𝑏
=
𝑒−𝑚𝐿
𝑒𝑚𝐿 + 𝑒−𝑚𝐿
𝑒𝑚𝑥 +
𝑒𝑚𝐿
𝑒𝑚𝐿 + 𝑒−𝑚𝐿
𝑒−𝑚𝑥 
 Distribuição de Temperaturas
𝜃
𝜃𝑏
=
 𝑒𝑚(𝐿−𝑥) + 𝑒−𝑚(𝐿−𝑥) 2 
 𝑒𝑚𝐿 + 𝑒−𝑚𝐿 2 
 
𝜃
𝜃𝑏
=
cosh𝑚(𝐿 − 𝑥)
cosh𝑚𝐿
 (3.75)
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45
3.4.2. Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
A taxa de transferência de calor total transferido é igual à taxa de transferência de calor por
condução na base da aleta.
 Taxa de Transferência de Calor
𝑞𝑎 = −
𝑘𝐴𝑡𝑟𝜃𝑏 sinh𝑚𝐿
cosh𝑚𝑙
(−𝑚) ∴ 𝑞𝑎 = 𝑘𝐴𝑡𝑟𝜃𝑏𝑚 tanh𝑚𝐿 
ou Onde:
𝑀 ≡ 𝑕𝑃𝑘𝐴𝑡𝑟𝜃𝑏 
𝑞𝑎 = 𝑞𝑏 = −𝑘𝐴𝑡𝑟 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
𝑥=0
= −𝑘𝐴𝑡𝑟 
𝑑𝜃
𝑑𝑥
 
𝑥=0
 (3.71)
𝑞𝑎 = 𝑀 tanh𝑚𝐿 
(3.76)
𝑞𝑎 = 𝑕𝑃𝑘𝐴𝑡𝑟𝜃𝑏 tanh𝑚𝐿 
(3.76)
46
3.4.2. Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
Profª: Cristiane K. 
47
3.4.3. Desempenho de Aletas
1) Efetividade da Aleta: εa
A razão entre a taxa de transferência de calor da aleta
e a taxa de transferência de calor que existiria sem
a presença da aleta.
𝜀𝑎 =
𝑞𝑎
𝑞𝑠𝑒𝑚 𝑎
=
𝑞𝑎
𝑕𝐴𝑡𝑟 ,𝑏(𝑇𝑏 − 𝑇∞)
=
𝑞𝑎
𝑕𝐴𝑡𝑟 ,𝑏𝜃𝑏
 
(3.81)
Atr,b é a área de seção transversal da aleta na sua base e qsem a representa a taxa de transferência
dessa área se não houver aleta fixada na superfície.
• εa=1: indica que a adição de aletas na superfície não afeta a transferência de calor;
• εa<1: indica que a aleta, na verdade, funciona como um isolamento, diminuindo a
transferência de calor a partir da superfície;
• εa>1: indica que as aletas estão aumentando a transferência de calor a partir da superfície;
• εa deveria ser o maior possível: εa≥2.
Conclusões:
48
Tendências Importantes:
 A condutividade térmica (k) do material da aleta deve ser a mais alta possível.
As ligas de alumínio são a opção mais comum
 A razão do perímetro para a área de seção transversal deve ser a mais alta possível.
O uso de aletas finas é preferido.
 Baixo coeficiente de transferência de calor por convecção (h).
O uso de aletas é mais facilmente justificado quando o meio é gás, em vez de líquido, e a
transferência de calor é por convecção natural em vez de convecção forçada.
3.4.3. Desempenho de Aletas
 Efetividade de aleta infinita (Caso D):
𝜀𝑎 = 
𝑘𝑃
𝑕𝐴𝑡𝑟
 
1/2
 (3.82)
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49
3.4.3. Desempenho de Aletas
2) Resistência Térmica
𝑅𝑡 ,𝑎 =
𝜃𝑏
𝑞𝑎
 (3.83)
 Resistência térmica convectiva na base exposta:
𝑅𝑡 ,𝑏 =
1
𝑕𝐴𝑡𝑟 ,𝑏
 (3.84)
𝜀𝑎 =
𝑅𝑡 ,𝑏
𝑅𝑡 ,𝑎
 (3.85)
 Efetividade pode ser interpretada como uma razão entre resistências térmicas
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50
3.4.3. Desempenho de Aletas
3) Eficiência da Aleta: ηa
 Transferência de calor máxima a partir da aleta:
𝑞𝑚𝑎𝑥 = 𝑕𝐴𝑎𝜃𝑏 Aa: área superficial da aleta
A temperatura diminui ao longo da aleta, portanto a
transferência de calor é menor por causa da
diminuição da diferença de temperatura T(x)-T∞ em
direção à ponta da aleta.
𝜂 ≡
𝑞𝑎
𝑞𝑚𝑎𝑥
=
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓. 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓. 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
𝑠𝑒 𝑎 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑛𝑎 𝑇𝑏
=
𝑞𝑎
𝑕𝐴𝑎𝜃𝑏
 
(3.86)
 Aleta com extremidade adiabática:𝜂𝑎 =
𝑀 tanh𝑚𝐿
𝑕𝑃𝐿𝜃𝑏
=
tanh𝑚𝐿
𝑚𝐿
 (3.87)
 Aleta com extremidade convectiva:𝜂𝑎 =
𝑀 tanh𝑚𝐿𝑐
𝑕𝑃𝐿𝑐𝜃𝑏
=
tanh𝑚𝐿𝑐
𝑚𝐿𝑐
 (3.89)
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51
3.4.4. Eficiência Global da Superfície
 Ao determinar a taxa de transferência de calor a partir de uma superfície aletada, tem-se
que considerar a parte não aletada da superfície, bem como as aletas.
𝜂0 =
𝑞𝑡
𝑞𝑚𝑎𝑥
=
𝑞𝑡
𝑕𝐴𝑡𝜃𝑏
 
qt: taxa total de transferência de calor na área superficial At
associada à área das aletas e a fração exposta da base.
 Área superficial total:
𝐴𝑡 = 𝑁𝐴𝑎 + 𝐴𝑏 (3.99)
 Taxa total de transferência de calor por
convecção das aletas e da superfície primária:
𝑞𝑡 = 𝑁𝜂𝑎𝑕𝐴𝑎𝜃𝑏 + 𝑕𝐴𝑏𝜃𝑏 
(3.100)
𝜂0 = 1 −
𝑁𝐴𝑎
𝐴𝑡
(1 − 𝜂𝑎) 
(3.102)
(3.98)
Assim, 𝑞𝑡 = 𝑕 𝑁𝜂𝑎𝐴𝑎 + 𝐴𝑡 −𝑁𝐴𝑎 𝜃𝑏 = 𝑕𝐴𝑡 1 −
𝑁𝐴𝑎
𝐴𝑡
 1 − 𝜂𝑎 𝜃𝑏 
(3.101)