Derivadas e Integrais

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CÁLCULO DIF. E INT. II 
� Prof. BORGES – Engenharia 
LISTA 
CII 3 DERIVADAS E INTEGRAIS 
 
 
 
 
ListaCII-3 – Pág. 1 – Prof. Antonio José BORGES – ajborges.u@uol.com.br 
 Derivadas e Integrais 
 
DERIVADAS INTEGRAIS IMEDIATAS 
D1) Constante: k’ = 0 I1) kxkdx =∫ 
D2) Potência: 
( ) ( ) ´..'.' 1)(1 uunuxnx nnxuunn −=− = →= I2) 1,1
1
−≠
+
=
+
∫ n
n
xdxx
n
n
 
D3) Exponencial: 
( ) xx ee ='  → = )(xuu ( ) ´.' uee uu = I3) xx edxe =∫ 
( ) aaa xx ln.'=  → = )(xuu ( ) ´)..(ln' uaaa uu = I4) 
a
adxa
x
x
ln
=∫ 
D4) Logarítmica: 
( )
x
x
1
'ln =  → = )(xuu ( ) ´.1'ln u
u
u = I5) ||ln1 xdxx =∫ 
( )
ax
xa ln
1
'log =  → = )(xuu ( ) ´.
ln
1
'log u
au
ua = 
 
D5) Trigonométricas: 
( ) xsenx cos'=  → = )(xuu ( ) ´).(cos'usen uu= I6) xsenxdx cos−=∫ 
( ) senxx −='cos  → = )(xuu ( ) ´).usen ('cos uu −= I7) senxxdx =∫cos 
( ) xtgx 2sec'=  → = )(xuu ( ) ´).(sec' 2 uutgu = I8) tgxxdx =∫ 2sec 
( ) x2cossec' xcotg −=  → = )(xuu ( ) u).u´(cossec'u cotg 2−= I9) xdx cotgxcossec2 −=∫ 
( ) )).((sec'sec tgxxx = I10) xdxtgxx sec))((sec =∫ 
( ) ) xcotg).( cossec(' xcossec x−= I11) xdxxx cossec) cotg)(sec(cos −=∫ 
( )
21
1
'
x
arcsenx
−
=
 e ( )
21
1
'arccos
x
x
−
−=
 I12) arcsenxdx
x
=
−
∫ 21
1
 
( ) 21
1
'
x
arctgx
+
= e ( ) 21
1
'cot
x
gxarc
+
−=
 
I13) arctgxdx
x
=
+
∫ 21
1
 
( )
1||
1
'sec
2
−
=
xx
xarc e ( )
1||
1
'secarccos
2
−
−=
xx
x I14) xarcdx
xx
sec
1
1
2
=
−
∫ 
D6) Regras Operatórias: Sendo k constante, u = u(x) e v = v(x) I15) Regras Operatórias: Sendo k constante, u = u(x) e v = v(x) 
(k.u)’ = k.u’ ∫∫ = udxkkudx 
( ) 'v'u'vu ±=± ( ) ∫∫∫ ±=± vdxudxdxvu 
 
( ) 'v.uv'.u'v.u += IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
2
'
v
'v..uv'.u
v
u −
=





 
1cos22 =+ xxsen 
xtgx 22 1sec += 
dy
dxdx
dy 1
= 
x
senx
tgx
cos
= 
( ) ´).(ln´' 1 vuuuvuu vvv += − 
x
x
cos
1
sec = 
D7) Regra da cadeia: 
dx
dt
dt
dy
dx
dy
xgtetfy .)()( =⇒== senx
x
1
 cossec = 
 
 
 
CÁLCULO DIF. E INT. II 
� Prof. BORGES – Engenharia 
LISTA 
CII 3 DERIVADAS E INTEGRAIS 
 
 
 
 
ListaCII-3 – Pág. 2 – Prof. Antonio José BORGES – ajborges.u@uol.com.br 
 Derivadas e Integrais 
 
 
 
CÁLCULO 
DIFERENCIAL 
E INTEGRAL 
 
 
RELAÇÕES ENTRE 
 
DUAS QUANTIDADES 
 
DERIVADAS TAXA DE VARIAÇÃO 
 
DE UMA QUANTIDADE 
 
EM RELAÇÃO À OUTRA 
 
 T F C 
 
INTEGRAIS 
 
 
EXERCÍCIO 1 Calcule a derivada y´ em cada caso: 
1) 2ey = 
 
2) y = 0,2x 
 
3) 5x5xx4y 23 −+−= 
4) xx 3xlney −+= 
 
5) xsenxy cos−= 
 
6) pi−=y 
7) 
3
xy = 
 
8) xxxy 53 24 +−= 
 
9) xexy 3ln += 
 
10) xtgxy cos+= 
 
11) ( )43 2−= xy 
 
12) 
3xey = 
 
13) ( )42 25 xxy −= 
 
14) xxey 3
4 +
= 
 
15) ( )15 2 −= xseny 
 
16) xln.xy 3= 
 
17) 
x
senx
tgxy
cos
== 
 
18) xexy .3 2= 
19) 
senx
y 1= 
20) )2)((ln xsenxy = 
 
 
RESPOSTAS 
 
1) y’ = 0 
2) y’ = 0,2 
3) 5x2x12'y 2 +−= 
4) 3ln3
x
1
e'y xx −+= 
5) senxxy += cos' 
6) 0´=y 
7) 
3
1
´=y 
8) 5ln5212´ 3 xxxy +−= 
9) xe
x
y 31´ += 
10) senxxy −= 2sec 
11) ( )332 212' −= xxy 
12) 323' xexy = 
13) ( ) )210(254´ 32 −−= xxxy 
14) ( )34´ 333 44 +== ++ xeey xxxx 
15) ( ) xxy 10.15cos´ 2 −= 
16) xln.x3xy 22 += 
17) xx exexy .3.6´ 2+= 
18) x
xx
xsenx
x
senxsenxxx
x
senxy 222
22
2 seccos
1
cos
cos
cos
)(cos.cos
cos
´ ==
+
=
−−
==
 
19) ) cossec)( cotg(1.cos)(cos1.0´ 2 xxsenxsenx
x
xsen
xsenxy −=−=−= 
20) )2.(cosln22´ xx
x
xseny +=