Biometria e Probabilidade em Genética

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Biometria 
Probabilidade e Distribuições de Probabilidade 
Binomial e Polinomial 
Professor(a): Matilde Pessoa 
Genética 
Biometria 
 Biometria é uma ciência que relaciona biologia e estatística. Seu principal 
objetivo é aplicar a estatística aos dados de natureza biológica e facilitar as 
interpretações dos fenômenos biológicos. 
 
 A aplicação da biometria na genética começou com o próprio Mendel, quando 
estabeleceu proporções fenotípicas a partir de suas observações 
 
 E a partir dessas proporções formulou hipóteses que pudessem explicar os 
resultados obtidos. 
 
 Acredita-se que um dos motivos para as ideias de Mendel permanecerem 
incompreendidas durante mais de 3 décadas foi o raciocínio matemático que 
continham. 
Princípios básicos de probabilidade 
 Probabilidade é a chance que um evento tem de ocorrer, entre 
dois ou mais eventos possíveis. 
 
 A probabilidade de ocorrência de um evento é dada pelo número 
esperado de vezes que este evento ocorre em relação ao número 
total de eventos. 
 
 
 Valores de probabilidade devem estar no intervalo de 0 a 1 ou 0 a 
100% 
 
 Não podemos ter, em hipótese alguma, probabilidade negativa 
 
 
Exemplos 
o ao lançarmos uma moeda, qual a 
chance dela cair com a face 
“cara” voltada para cima? 
o 1/2 
 
 
o em um baralho de 52 cartas, qual 
a chance de ser sorteada uma 
carta do naipe ouros? 
o 1/4 
Exemplos 
o Determinação do sexo em bovinos 
A probabilidade de que qualquer descendente seja fêmea ou macho é 1/2. 
Eventos aleatórios 
Dizemos que um evento é aleatório, quando o repetimos mais de uma vez e, em 
cada repetição, não podemos prever o resultado. 
 
 
Exemplos: sortear um “ás” de ouros do baralho, ou obter “face 6” ao jogar 
um dado são denominados eventos aleatórios. 
 
 
Em genética, a formação de um determinado tipo de gameta, com um ou outro 
alelo de um par de genes, também é um evento aleatório. 
 
Um indivíduo heterozigoto Aa tem a mesma probabilidade de formar gametas 
portadores do alelo A do que de formar gametas com o alelo a (½ A; ½ a) 
Eventos Independentes 
Quando a ocorrência de um evento não afeta o resultado de um outro 
evento, fala-se que os eventos são independentes. 
 Exemplo1: ao lançarmos uma moeda várias vezes consecutivas, o resultado de 
um lançamento não irá interferir nos resultados de outros lançamentos. Por 
isso, diz-se que cada resultado é um evento independente do outro. 
Exemplo 2. O nascimento de um animal com um determinado fenótipo é um 
evento independente em relação ao nascimento de outros animais dos mesmos 
genitores. 
Eventos Independentes 
Os conhecimentos sobre meiose, mostram que a fertilização para 
produzir qualquer descendente, não tem nenhuma relação com outra. 
 Segregação independente 
se uma vaca obtiver vários 
descendentes, o sexo de um dos 
descendente não tem relação alguma 
com o sexo dos demais. 
Eventos Independentes 
Imagine uma vaca que já teve dois partos e, nestes partos 
nasceram dois animais do sexo masculino, qual a 
probabilidade que um terceiro parto nasça uma progênie 
do sexo feminino? 
 
A chance de nascer uma progênie do sexo feminino é 1/2 ou 50%, 
como em qualquer nascimento. 
Eventos mutuamente excludentes 
São eventos complementares que nunca ocorreram juntos 
 
Exemplo: A probabilidade de lançar uma moeda e dar 
cara = 0,5. Qual seria a probabilidade de sair coroa no 
mesmo lançamento? 
 
P=1-0,5 = 0,5 ou seja, 
 
P(cara) + P(coroa)=1 ou 100% 
 
 
 
Lei do Produto das Probabilidades 
A teoria das probabilidades diz que a probabilidade de dois ou mais 
eventos independentes ocorrerem simultaneamente é igual ao produto das 
probabilidades de ocorrerem separadamente. 
 
Esse princípio é conhecido popularmente como regra do “e”, pois 
corresponde a pergunta: qual a probabilidade de ocorrer um evento E outro, 
simultaneamente? 
 
Exemplo: Qual será a probabilidade de que uma vaca tenha em dois partos 
consecutivos, dois descendentes, ambos do sexo feminino? Ou qual a probabilidade 
de que uma vaca tenha um descendente do sexo feminino no primeiro e no segundo 
partos? 
 
Solução : ½ x ½ = ¼ 
Lei da Soma das Probabilidades 
Outro princípio de probabilidade diz que a probabilidade de ocorrência de 
dois eventos que se excluem mutuamente é igual à soma das 
probabilidades com que cada evento ocorre. 
 
Esse princípio é conhecido como regra do “ou”, pois corresponde à 
pergunta: qual é a probabilidade de ocorrer um evento OU outro? 
Exemplo, qual a probabilidade de uma vaca ter dois descendentes, um do 
sexo masculino e outro do sexo feminino? 
 
Há duas maneiras de uma vaca ter um macho e uma fêmea: o primeiro ser macho E o 
segundo ser fêmea (1/2*1/2=1/4) OU o primeiro ser fêmea E o segundo ser macho 
(1/2*1/2=1/4). 
Pela lei da soma de probabilidade final temos que é ¼+¼ = ½ 
Distribuição de Probabilidades 
Distribuição Binomial 
 
o Em muitos casos da genética existe a necessidade de se identificar a 
probabilidade de que determinadas combinações de eventos possam 
ocorrer. 
 
o Trata-se de um binômio por existir apenas dois eventos (dois 
descendentes), por exemplo, macho ou fêmea. 
Podemos ter resultados diferenciados quando avaliamos diferentes 
ocorrências . 
𝑃 𝑋 =
𝑛!
𝑘! ∗ 𝑤!
. 𝑝𝑘 . 𝑞𝑤 
onde 
n é o número de eventos ou descendentes 
k é o número de ocorrência do evento a (fêmeas) 
w é o número de ocorrência do evento b (machos) 
p é a probabilidade de ocorrer fêmeas 
q é a probabilidade de ocorrência de machos (complementar a p) 
Exemplo 
Um rebanho contém cem vacas, e cada vaca pode ter até seis 
descendentes em sua vida reprodutiva. A partir dessa informação, 
calcule: 
 
a) a probabilidade de que cada vaca pertencente a este rebanho tenha 
apenas descendentes do sexo feminino. 
 
Dados: 
k=número de fêmeas 
w=número de machos 
P(k =6; w=0)=? 
n= número total de eventos = 6 
Probabilidade de ser fêmea = p=0,5 
Probabilidade de ser macho = q=0,5 
𝑃 𝑘 = 6 =
6!
6! 0!
∗ 0,56 ∗ 0,50 
= 1*0,0156*1=0,0156 
Ou 1,56% 
Exemplo 
b) a probabilidade de que cada vaca pertencente a este rebanho tenha 
cinco descendentes do sexo feminino e um descendente macho. 
 
Dados: 
k=número de fêmeas 
w=número de machos 
P(k =5; w=1)=? 
n= número total de eventos = 6 
Probabilidade de ser fêmea = p=0,5 
Probabilidade de ser macho = q=0,5 
𝑃 𝑘 = 5 =
6!
5! 1!
∗ 0,55 ∗ 0,51 
= 6* 0,03125*0,5=0,09375 
Ou 9,375 
Exemplo 
c) a probabilidade de que cada vaca pertencente a este rebanho tenha 
pelo menos quatro descendentes do sexo feminino. 
 
Dados: 
P(k ≥ 4) a probabilidade de se ter mais que 4 descendentes 
n= número total de eventos = 6 
Probabilidade de ser fêmea = p=0,5 
Probabilidade de ser macho = q=0,5 
𝑃 𝑋 ≥ 4 = 𝑃 𝑋 = 4 + 𝑃 𝑋 = 5 + 𝑃(𝑋 = 6) 
Distribuição de Probabilidades 
Distribuição Polinomial 
Em genética, é normal ocorrerem casos em que estão envolvidos mais de dois 
eventos. 
 
Exemplo: em um rebanho de bovinos da raça Shorthorn a cor dos animais 
pode ser branca, vermelha e vermelho-branca (ruão). 
 
 
Essa característica é controlado por um gene, sendo que o branco possui o 
genótipo R1R1, o vermelho, R2R2 e o vermelho e branco R1R2. 
𝑃 𝑋 =
𝑛!
𝑤! 𝑘! 𝑦!
. 𝑝𝑤 . 𝑞𝑘 ∗ 𝑟𝑦 
onde 
n é o número de tentativas ou experimentos 
w é o número de ocorrência do fenótipo branco 
k é o número de ocorrência do fenótipo ruão 
y sejaa ocorrência do fenótipo vermelho 
 
p é a probabilidade do homozigoto dominante 
q é a probabilidade do heterozigoto 
r é a probabilidade do homozigoto recessivo 
Exemplo: qual a probabilidade de que entre os 12 descendentes três sejam 
brancos, três vermelho-brancos e os demais vermelhos? (fora do esperado) 
n = 12 descendentes 
w = 3 brancos 
k = 3 vermelhos brancos 
y = 6vermelhos 
p = ¼ ou 0,25 
q = ½ ou 0,5 
r = ¼ ou 0,25 
𝑃 𝑋 =
12!
3! 3! 6!
∗ 0,253 ∗ 0,53 ∗ 0,256 
= 0,0088 
 
Ou 0,8811% 
Exemplo: qual a probabilidade de que entre os 12 descendentes três sejam 
brancos, seis vermelho-brancos e os demais vermelhos? (dentro do esperado) 
 
n = 12 descendentes 
w = 3 brancos 
k = 6 vermelhos brancos 
y = 3 vermelhos 
p = ¼ ou 0,25 
q = ½ ou 0,5 
r = ¼ ou 0,25 
𝑃 𝑋 =
12!
3! 6! 3!
∗ 0,253 ∗ 0,56 ∗ 0,253 
= 0,07049 
 
Ou 7,05% 
Leitura complementar 
Capítulo 7