Lista 02 Circunferencias, Funções e Retas

Prévia do material em texto

UFRN – CCET – Departamento de Matemática
MAT0318 – Cálculo Básico I - Turma 01 – Local 3H4
Lista de Exercícios 02 - 28/02/2012
Aluno(a):___________________________________
Prof. Roosewelt F. Soares
Fórmula da distância entre dois pontos do plano
Sejam 
 e 
 dois pontos do plano. A distância entre esses dois pontos é dada por
.
Ex. 1: Uma formiga está sobre uma mesa e o ponto inicial em que ela se encontra é o ponto 
. Ela caminha em linha reta e para no ponto 
. Calcular a distância que a formiga percorreu.
Ex. 2: Considere o retângulo de vértices nos pontos 
, 
, 
 e 
. Mostre, analiticamente, que os comprimentos de suas diagonais são iguais.
Coordenadas do ponto médio
Sejam 
 e 
 dois pontos do plano. Seja 
 o ponto médio do segmento de reta determinado por 
 e 
. Temos que,
 e 
.
Ex. 3: Encontre as coordenadas dos três pontos 
, 
 e 
 que dividem o segmento de reta de 
 a 
 em quatro partes iguais.
Equações de uma Reta
Definição 1: Se 
 e 
 são dois pontos distintos quaisquer na reta r, a qual não é paralela ao eixo y, ou seja, 
, então a inclinação de r, indicada por m, é dada por
.
Definindo 
 e 
, obtemos,
.
Multiplicando ambos os lados desta equação por 
 obtemos
.
Ex. 4: Seja r a reta que passa pelos pontos 
 e 
. Se uma partícula se move ao longo de r, qual é a variação da ordenada y em relação à abscissa x?
Desde que dois pontos distintos 
 e 
 determinam uma única reta, podemos obter uma equação da reta por estes dois pontos. Consideremos 
 um ponto qualquer sobre a reta. Queremos uma equação que seja satisfeita por x e y se, e somente se, 
 está sobre a reta que passa por 
 e 
. Devemos considerar dois casos.
Caso 1: 
Neste caso a reta que passa por 
 e 
 é paralela ao eixo y, ou seja, é uma reta vertical e sua equação é dada por
.
Caso 2: 
Considere que a equação geral de uma reta tem a forma 
 e que a equação reduzida tem a forma 
.
Ex. 5: Encontre as equações geral e reduzida da reta r que passa pelos pontos 
 e 
.
Ex. 6: Encontre as equações geral e reduzida da reta r que passa pelos pontos 
 e 
.
Ex. 7: Encontre as equações geral e reduzida da reta r que passa pelos pontos 
 e 
.
Teorema 1: Se 
 e 
 são duas retas distintas, não verticais, com inclinações 
 e 
, respectivamente, então 
 e 
 são paralelas se, e somente se
.
Teorema 2: Se as retas 
 e 
 não são verticais, então 
 e 
 são perpendiculares se, e somente se o produto de suas inclinações for 
. Isto é,
.
Ex. 8: Demonstre por meio de inclinações que os quatro pontos 
, 
, 
 e 
 são os vértices de um retângulo.
Ex. 9: Determine a equação reduzida da reta paralela à reta cuja equação geral é 
 e contém o ponto 
.
Teorema 3: A circunferência com centro em 
 e raio r tem uma equação dada por:
.
Ex. 10: Encontre uma equação da circunferência com centro em 
 e raio igual a 4.
Ex. 11: Dada a equação 
, demonstre que o gráfico desta equação é uma circunferência e encontre seu centro e seu raio.
Ex. 12: Dada a equação 
, demonstre que o gráfico desta equação é uma circunferência e encontre seu centro e seu raio.
Ex. 13: Dada a equação 
, demonstre que o gráfico desta equação é uma circunferência e encontre seu centro e seu raio.
Funções
Definição 1: Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que f é uma função de A em B se cada elemento de A estiver relacionado com um único elemento de B através de f.
Função Linear:
Seja 
 uma função definida por 
, onde a e b são constantes reais. Dizemos que f é uma função linear.
Ex. 14: Ache as inclinações dos lados do triângulo com vértices 
, 
 e 
. Verifique se o triângulo obtido é retângulo.
Ex. 15: Ache as inclinações dos lados do quadrilátero com vértices 
, 
, 
 e 
. Verifique se o quadrilátero obtido é um paralelogramo.
Ex. 16: Determine se os pontos 
, 
 e 
 estão sobre a mesma reta.
Ex. 17: Ache x e y se a reta que passa por 
 e 
 tiver inclinação 
 e a reta que passa por 
 e 
 tiver inclinação 
.
Ex. 18: Seja 
. Determine a expressão 
.
Função Quadrática:
Seja 
 uma função definida por 
, onde a, b e c são constantes reais, com 
. Dizemos que f é uma função quadrática.
Ex. 19: Esboce o gráfico de 
.
Ex. 20: Seja 
. Encontre 
 e simplifique tanto quanto possível.
Ex. 21: Seja 
. Encontre 
 e simplifique tanto quanto possível.
Ex. 22: Seja 
. Determine a expressão 
.
Ex. 23: Seja 
 a função definida por 
. Encontre os valores de x onde o gráfico da função corta o eixo x. Faça um esboço do gráfico de f. 
Construindo uma função quadrática:
Ex. 24: Expresse a área A de um triângulo equilátero de lado x como
uma função de x.
Função Cúbica:
Seja 
 uma função definida por 
, onde a, b, c e d são constantes reais, com 
. Dizemos que f é uma função cúbica.
Ex. 25: Esboce o gráfico de 
.
Ex. 26: Seja 
 a função definida por 
. Encontre os valores de x onde o gráfico da função corta o eixo x.
Construindo uma função cúbica:
Ex. 27: Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de pedaços de papelão retangulares com 20cm de comprimento e 12cm de largura, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados.
a) Encontre a expressão para o volume V da caixa em função do lado do quadrado a ser cortado;
b) Encontre o domínio desta função.
Ex. 28: Uma caixa aberta em cima tem um volume de 
. O comprimento da base é o dobro da largura. O material da base custa R$ 10,00 por metro quadrado, ao passo que o material das laterais custa R$ 6,00 por metro quadrado. Expresse o custo total do material em função da largura da base.
Funções Polinomiais
Uma função definida por
,
onde n é um inteiro não-negativo e os coeficientes 
 são números reais constantes é chamada de função polinomial. Se 
 dizemos que esta função polinomial é de grau n.
Função Módulo:
Seja 
 a função definida por 
. Dizemos que f é a função módulo de x.
Ex. 29: Esboce o gráfico da função 
.
Ex. 30: Seja 
 a função definida por 
. Encontre os valores de x onde o gráfico da função toca o eixo x. Faça um esboço do gráfico de f.
Operações com funções
Definição: Dadas as funções f e g, definimos as funções soma, diferença, produto e quociente da seguinte forma:
1)	
;
2) 	
;
3) 	
;
4) 	
 com 
.
O domínio das funções 
, 
 e 
 é a interseção dos domínios de f e g. O domínio de 
 é a interseção dos domínios de f e g com 
.
Ex. 31: Esboce o gráfico de 
.
Ex. 32: Esboce o gráfico de 
.
Ex. 33: Esboce o gráfico de 
.
Ex. 34: Esboce o gráfico de 
.
Ex. 35: Esboce o gráfico de 
.
Funções Iguais
Sejam 
 e 
 funções. Dizemos que f e g são funções iguais se, e somente se 
, 
 e 
 para todo x pertencente a A.
Ex. 36: Considere a função 
. Determine o domínio e construa o gráfico de f.
Ex. 37: Considere a função 
. Determine o domínio e construa o gráfico de f. Podemos afirmar que g é igual à função f do exercício anterior? 	
Ex. 38: Considere a função 
. Determine o domínio e construa o gráfico de f.	
Função Recíproca
A função 
 definida por 
 é chamada de função recíproca.
Ex. 39: Seja 
. Esboce o seu gráfico e encontre 
. Simplifique esta expressão tanto quanto possível.
Ex. 40: Seja 
. Determine o domínio de f e esboce o seu gráfico.
Função Composta
Sejam 
 e 
 duas funções, tais que, 
 e 
. Definimos a função composta de f com g, do seguinte modo:
.
Ex. 41: Sejam 
 e 
 Determine: a)	
; b)	
.
Ex. 42: Expresse 
 como a composição de duas funções.
Ex. 43: Esboce o gráfico de (a) 
 (b) 
 e (c) 
.
Ex. 44: Esboce o gráfico de 
.
Ex. 45: Determine as fórmulas para (a) 
 e (b) 
 se 
 e 
.
Ex. 46: Determine as fórmulas para (a) 
 e (b) 
 se 
 e 
.
Ex. 47: Se 
 é definida por 
 e 
 é definida por
, encontre as funções compostas 
 e 
.
a)	Construa osgráficos de 
 e 
 e determine qual das duas funções
	
 ou 
 é par ou ímpar e qual não é nem par nem ímpar.
b)	Encontre 
 e 
.
Função Inversa
Sejam 
 e 
 duas funções, tais que, 
 e 
. Dizemos que 
 é a função inversa de f, de tal modo que a função,
,
é denominada a função identidade em A. Ou seja, 
. 
Dizemos que f é a função inversa de 
, de tal modo que a função,
,
é denominada a função identidade em B. Ou seja, 
 
Ex.48: Seja 
 a função definida por 
. Encontre restrições para o domínio e para o contra-domínio de tal modo que f admita uma inversa. Faça um esboço dos gráficos de f e da função inversa 
 obtida.
Funções Trigonométricas
Ex. 49: Seja 
 a função definida por 
. Faça um esboço do gráfico de f.
Ex. 50: Seja 
 a função definida por 
. Faça um esboço do gráfico de f.
Ex. 51: Seja 
 a função definida por 
. Faça um esboço do gráfico de f.
Ex. 52: Seja 
 a função definida por 
. Faça um esboço do gráfico de f.
Funções pares e ímpares
Função par: 
 para todos 
;
Função ímpar: 
 para todos 
.
Ex. 53: Mostre que a função 
 é par.
Ex. 54: Mostre que a função 
 é par.
Ex. 55: Mostre que a função 
 é ímpar.
Ex. 56: Mostre que a função 
 é ímpar.
Ex. 57: Verifique se a função 
 é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Ex. 58: Verifique se a função 
 é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Ex. 59: Seja 
 uma função. Define-se uma função g pela equação
.
Prove que g é par.
Ex. 60: Seja 
 uma função. Define-se uma função h pela equação
.
Prove que h é ímpar.
Função Racional
Uma função f que pode ser expressa pela equação 
, onde p e q são funções polinomiais e q não é a função constante nula, é denominada função racional. Se o grau do numerador, ou seja, da função p, não for menor do que o grau do denominador, função q, temos uma fração imprópria e, neste caso, dividimos o numerador pelo denominador até obtermos uma fração própria, de modo que o grau do numerador seja menor que o grão do denominador.
Exemplos de Funções Racionais:
Exemplo 1: 
Exemplo 2: 
Exemplo 3: 
Funções racionais expressas como Soma de Frações Parciais
Teorema 1: Qualquer polinômio com coeficientes reais pode ser expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, de tal forma que cada um dos fatores tenha coeficientes reais.
Caso 1: Os fatores de 
 são todos lineares e distintos. Isto é,
onde os 
 são distintos dois a dois, ou seja, 
.
Ex. 61: Seja f a função definida por 
. Determine constantes A e B tais que 
.
Ex. 62: Seja f a função definida por 
. Determine constantes A e B tais que 
.
_1375175541.unknown
_1391877411.unknown
_1391954867.unknown
_1391958286.unknown
_1391960728.unknown
_1391962156.unknown
_1391963587.unknown
_1391965830.unknown
_1391965891.unknown
_1391966124.unknown
_1391966842.unknown
_1391967010.unknown
_1391966811.unknown
_1391966023.unknown
_1391965873.unknown
_1391965679.unknown
_1391965715.unknown
_1391964318.unknown
_1391964648.unknown
_1391965034.unknown
_1391964621.unknown
_1391963613.unknown
_1391962519.unknown
_1391963389.unknown
_1391963552.unknown
_1391963362.unknown
_1391962448.unknown
_1391961621.unknown
_1391961677.unknown
_1391962068.unknown
_1391961649.unknown
_1391961131.unknown
_1391961443.unknown
_1391961586.unknown
_1391961322.unknown
_1391961051.unknown
_1391959193.unknown
_1391959579.unknown
_1391960643.unknown
_1391960653.unknown
_1391960555.unknown
_1391960574.unknown
_1391959645.unknown
_1391959393.unknown
_1391958610.unknown
_1391958634.unknown
_1391958438.unknown
_1391957246.unknown
_1391957965.unknown
_1391958088.unknown
_1391958251.unknown
_1391958020.unknown
_1391957431.unknown
_1391957836.unknown
_1391957326.unknown
_1391955265.unknown
_1391956803.unknown
_1391956840.unknown
_1391956525.unknown
_1391956513.unknown
_1391954877.unknown
_1391879287.unknown
_1391954147.unknown
_1391954774.unknown
_1391954818.unknown
_1391954255.unknown
_1391953812.unknown
_1391879343.unknown
_1391879488.unknown
_1391879540.unknown
_1391879341.unknown
_1391878288.unknown
_1391878826.unknown
_1391878858.unknown
_1391878803.unknown
_1391878612.unknown
_1391877827.unknown
_1391878256.unknown
_1391877466.unknown
_1375544283.unknown
_1391873461.unknown
_1391875742.unknown
_1391875757.unknown
_1391873723.unknown
_1391874501.unknown
_1391619803.unknown
_1391848933.unknown
_1391873271.unknown
_1391873363.unknown
_1391873139.unknown
_1391849105.unknown
_1391848696.unknown
_1391848802.unknown
_1391848128.unknown
_1391619612.unknown
_1391619634.unknown
_1391619584.unknown
_1375538900.unknown
_1375539921.unknown
_1375541907.unknown
_1375542801.unknown
_1375543250.unknown
_1375544217.unknown
_1375542983.unknown
_1375543019.unknown
_1375542190.unknown
_1375542625.unknown
_1375542018.unknown
_1375541442.unknown
_1375541544.unknown
_1375540439.unknown
_1375540853.unknown
_1375541051.unknown
_1375540149.unknown
_1375539333.unknown
_1375539415.unknown
_1375539730.unknown
_1375539401.unknown
_1375539279.unknown
_1375538994.unknown
_1375175867.unknown
_1375176524.unknown
_1375538683.unknown
_1375538829.unknown
_1375176035.unknown
_1375176430.unknown
_1375175985.unknown
_1375175598.unknown
_1375175799.unknown
_1375175831.unknown
_1375175569.unknown
_1374936574.unknown
_1374937905.unknown
_1375175409.unknown
_1375175442.unknown
_1375175463.unknown
_1375175431.unknown
_1375173334.unknown
_1375175376.unknown
_1375175388.unknown
_1375173814.unknown
_1375175363.unknown
_1375173865.unknown
_1375173896.unknown
_1375173634.unknown
_1375173702.unknown
_1375173790.unknown
_1375173472.unknown
_1374938418.unknown
_1374938543.unknown
_1374938625.unknown
_1374938466.unknown
_1374938162.unknown
_1374938194.unknown
_1374938121.unknown
_1374937131.unknown
_1374937306.unknown
_1374937694.unknown
_1374937778.unknown
_1374937831.unknown
_1374937660.unknown
_1374937597.unknown
_1374937619.unknown
_1374937334.unknown
_1374937262.unknown
_1374936702.unknown
_1374937007.unknown
_1374937069.unknown
_1374936956.unknown
_1374936610.unknown
_1374680080.unknown
_1374935961.unknown
_1374936461.unknown
_1374936506.unknown
_1374936057.unknown
_1374935861.unknown
_1374935935.unknown
_1374935849.unknown
_1374679860.unknown
_1374679985.unknown
_1374680023.unknown
_1374679939.unknown
_1364112620.unknown
_1367842574.unknown
_1371888345.unknown
_1364116542.unknown
_1364205293.unknown
_1364112767.unknown
_1364112537.unknown
_1364112572.unknown
_1361279838.unknown
_1364112431.unknown