Lista 12 A Integral Definida

Prévia do material em texto

UFRN – CCET – Departamento de Matemática
MAT0318 – Cálculo Básico I - Turma 01 – Local 3H4
Lista de Exercícios 12 - 08/06/2012
Aluno(a):___________________________________
Prof. Roosewelt F. Soares
Partição de um Intervalo
Definição 1: (Partição) - Seja 
 um intervalo fechado. Definimos uma partição P de 
 do seguinte modo:
.
Tomemos, sem perda de generalidade, 
, ou seja, 
 para todo 
.
Definição 2: (Área) - Seja 
 uma função contínua e não negativa em 
. Uma aproximação da área real A sob a curva 
, de a até b, é definida por:
onde 
 com 
. A soma 
 é chamada de Soma de Riemann da função f.
A área real é dada pelo limite
.
Definição 3: (Integral Definida) - Seja 
 e seja 
 a soma de Riemann de f. Então, a integral definida de f de a até b, denotada por
,
é dada por:
se o limite existe.
Se 
 existe, dizemos que f é integrável em 
.
Interpretação Geométrica da Integral Definida:
Seja 
 uma função contínua e não negativa em 
. Então, a integral definida 
 é a área da região limitada superiormente pela curva 
, inferiormente pelo eixo x e lateralmente pelas retas 
 e 
.
Definição 4: 
 e 
.
Teorema 1: Se 
 é contínua em 
, então f é integrável em 
.
Propriedades da Integral Definida
P1: Se f é integrável em 
 e k é um número real arbitrário, então kf é integrável em 
 e
P2: Se f e g são funções integráveis em 
, então 
 é integrável em 
 e
P3: Se f é contínua em 
, então f é integrável em 
.
P4: Se 
 e f é integrável em 
 e em 
, então f é integrável em 
 e
P5: Se f é integrável em 
 e 
 para todo x em 
, então
.
P6: Se f e g são funções integráveis em 
, e 
 para todo x em 
, então
.
P7: Se f é uma função contínua em 
, então:
.
Dem. Se f é contínua em 
, então:
a)	f é integrável em 
;
b)	
 é contínua em 
;
c)	
 também é integrável em 
.
Sabemos que:
P8: Se f é uma função contínua em 
, existe um ponto c, com, 
, tal que, 
.
Esta propriedade é uma versão do Teorema do Valor Médio para Integrais.
P9: Seja f uma função contínua em 
. Então, a função 
, definida por
é derivável e 
, ou seja,
.
Dem. Seja
Como f é contínua em 
, pela propriedade P8, existe um ponto 
, onde 
, tal que,
.
Portanto,
Como 
, temos que, 
 quando 
. Como f é contínua, temos
.
Logo,
,
ou seja, 
.
Uma importante consequência desta propriedade é toda função f contínua em 
 possui uma primitiva que é dada por
Observamos que 
 e 
 é a área limitada superiormente pelo gráfico de f , abaixo pelo eixo x e lateralmente pelas retas 
 e 
.
Teorema Fundamental do Cálculo
Este teorema relaciona as operações de derivação e integração.
Teorema 2: (Teorema Fundamental do Cálculo) Seja f uma função contínua em 
. Se F é uma primitiva de f neste intervalo, então:
Dem.: Como f é contínua em 
, pela propriedade P9, segue que:
é uma primitiva de f nesse intervalo.
Seja F uma primitiva qualquer de f em 
. Temos que,
.
Como 
 e 
, calculando a diferença 
, obtemos:
Portanto,
ou,
.
Ex. 1: Calcule a integral definida 
.
Ex. 2: Calcule a área da região limitada pelos gráficos das funções 
 e 
.
Ex. 3: Calcule a integral definida 
.
Ex. 4: Calcule a integral definida 
.
Ex. 5: Calcule a integral definida 
.
Ex. 6: Calcule a integral definida 
.
Ex. 7: Calcule a derivada 
.
Ex. 8: Calcule a derivada 
.
Ex. 9: Calcule a derivada 
.
Ex. 10: Calcule a integral definida 
.
Ex. 11: Calcule a integral definida 
.
Ex. 12: Calcule a integral definida 
.
Ex. 13: Calcule a integral definida 
.
Ex. 14: Seja 
 contínua em 
. Mostrar que:
a)	Se f é par, então 
.
b)	Se f é ímpar, então 
.
Ex. 15: Calcule a integral definida 
.
Ex. 16: Calcule a integral definida 
.
Ex. 17: Calcule a integral definida 
.
Ex. 18: Mostrar que 
.
Ex. 19: Mostrar que 
.
Ex. 20: Mostrar que 
.
Sugestão:
onde m e n são dois números inteiros quaisquer.
 
Ex. 21: Calcule a integral definida 
.
Ex. 22: Calcule a integral definida 
.
Ex. 23: Calcule a integral definida 
Ex. 24: Calcule a área da região plana limitada pela curva 
 e o eixo x.
Ex. 25: Calcule a área da região plana limitada pelos gráficos das funções 
 e 
.
Ex. 26: Calcule a integral definida 
.
Ex. 27: Calcule a integral definida 
.
Ex. 28: Calcule a integral definida 
.
Ex. 29: Calcule a integral definida 
.
Ex. 30: Calcule a integral definida 
.	
Ex. 31: Calcule a integral definida 
.
Ex. 32: Use integral definida para calcular a área da região limitada pela curva 
, o eixo x, o eixo y e 
.
Ex. 33: Use integral definida para calcular a área da região limitada pela curva 
, o eixo x, 
 e 
.
Ex. 34: Use integral definida para calcular a área do triângulo com vértices em 	
, 
 e 
.
Ex. 35: Use integral definida para calcular a área do triângulo com vértices em 	
, 
 e 
.
Ex. 36: Use integral definida para calcular a área da região limitada pela curva 	
 e a reta 
.
Ex. 37: Use integral definida para calcular a área da região limitada pelas curvas 	
 e 
.
Ex. 38: Use integral definida para calcular a área da região no primeiro quadrante 	limitada pela curva 
, o eixo x e a reta 
.
Ex. 39: Use integral definida para calcular a área da região limitada pela curva 	
, o eixo x, 
 e 
.
Ex. 40: Calcule 
.
Ex. 41: Calcule 
.
Integração por Substituição Trigonométrica
Integrais do tipo:
Caso 1: 
, onde 
.
Fazemos 
, 
 se 
 e 
 se 
 e 
.
Caso 2: 
, onde 
.
Fazemos 
, 
 se 
 e 
 se 
 e 
.
Caso 3: 
, onde 
.
Fazemos 
, 
 se 
 e 
 se 
 e 
.
 
_1370104754.unknown
_1370274310.unknown
_1370275693.unknown
_1370697357.unknown
_1370697453.unknown
_1370697559.unknown
_1370697620.unknown
_1370697677.unknown
_1370697701.unknown
_1370697597.unknown
_1370697465.unknown
_1370697503.unknown
_1370697419.unknown
_1370696809.unknown
_1370697099.unknown
_1370697138.unknown
_1370697191.unknown
_1370696886.unknown
_1370696247.unknown
_1370696480.unknown
_1370696528.unknown
_1370696443.unknown
_1370696036.unknown
_1370274781.unknown
_1370275021.unknown
_1370275436.unknown
_1370275621.unknown
_1370275355.unknown
_1370275205.unknown
_1370274925.unknown
_1370274963.unknown
_1370274884.unknown
_1370274672.unknown
_1370274750.unknown
_1370274771.unknown
_1370274701.unknown
_1370274388.unknown
_1370274632.unknown
_1370274375.unknown
_1370106411.unknown
_1370264103.unknown
_1370273716.unknown
_1370274096.unknown
_1370274219.unknown
_1370273887.unknown
_1370264573.unknown
_1370273624.unknown
_1370264526.unknown
_1370106853.unknown
_1370107251.unknown
_1370107278.unknown
_1370107035.unknown
_1370106747.unknown
_1370106809.unknown
_1370106467.unknown
_1370106614.unknown
_1370105692.unknown
_1370105987.unknown
_1370106163.unknown
_1370106247.unknown
_1370106085.unknown
_1370105878.unknown
_1370105943.unknown
_1370105798.unknown
_1370105249.unknown
_1370105468.unknown
_1370105581.unknown
_1370105340.unknown
_1370104937.unknown
_1370105150.unknown
_1370104834.unknown
_1370091434.unknown
_1370102206.unknown
_1370103802.unknown
_1370104157.unknown
_1370104325.unknown
_1370104403.unknown
_1370104241.unknown
_1370104028.unknown
_1370104054.unknown
_1370103926.unknown
_1370103244.unknown
_1370103586.unknown
_1370103621.unknown
_1370103576.unknown
_1370103139.unknown
_1370103188.unknown
_1370103013.unknown
_1370091946.unknown_1370101836.unknown
_1370102006.unknown
_1370102139.unknown
_1370101911.unknown
_1370092632.unknown
_1370092851.unknown
_1370101790.unknown
_1370093458.unknown
_1370092777.unknown
_1370092480.unknown
_1370092506.unknown
_1370092475.unknown
_1370092404.unknown
_1370091751.unknown
_1370091866.unknown
_1370091524.unknown
_1370091607.unknown
_1370091452.unknown
_1369839013.unknown
_1370089187.unknown
_1370089552.unknown
_1370090470.unknown
_1370090803.unknown
_1370090980.unknown
_1370090557.unknown
_1370090576.unknown
_1370090421.unknown
_1370089803.unknown
_1370090278.unknown
_1370089362.unknown
_1370089426.unknown
_1370089287.unknown
_1370089210.unknown
_1370089263.unknown
_1370088938.unknown
_1370089038.unknown
_1370089094.unknown
_1370088952.unknown
_1369839420.unknown
_1369839602.unknown
_1369839236.unknown
_1369838281.unknown
_1369838973.unknown
_1369673907.unknown
_1369675006.unknown
_1369838195.unknown
_1369838208.unknown
_1369675119.unknown
_1369675173.unknown
_1369675024.unknown
_1369674389.unknown
_1369674399.unknown
_1369674298.unknown
_1369672909.unknown
_1369673327.unknown
_1369673522.unknown
_1369672940.unknown
_1369672856.unknown
_1369672507.unknown
_1369672588.unknown
_1369672459.unknown