AP Álgebra Linear 2013 2 (Questões e Gabarito)

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Curso de Tecnologia em Sistemas de Computac¸a˜o
Disciplina : A´lgebra Linear
GABARITO DA AP3 - Segundo Semestre de 2013
Professores: Ma´rcia Fampa & Mauro Rincon
(3.0)1. Ache os autovalores da matriz A abaixo e os autovetores corresponden-
tes ao autovalor positivo.
A =
(
4 2
3 −1
)
,
Soluc¸a˜o:
A− λI =
(
4− λ 2
3 −1− λ
)
.
Enta˜o, P (λ) = det(A − λI) = 0. Logo λ2 − 3λ − 10 = 0. Logo
(λ− 5)(λ+ 2) = 0.
Os autovalores de A sa˜o portanto,
λ1 = 5 e λ2 = −2.
Os autovetores associados a λ1 = 5 sa˜o obtidos abaixo:(
4 2
3 −1
)(
x
y
)
= 5
(
x
y
)
⇒
{
4x+ 2y = 5x
3x− y = 5y
⇒
{ −x +2y = 0
3x −6y = 0 ⇒
{ −x +2y = 0
0 = 0
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Onde a equac¸a˜o 0 = 0 foi obtida pela operac¸a˜o L2 := L2+3L1. Soluc¸a˜o:
x = 2y. Os autovetores sa˜o do tipo v = (2y, y) = y(2, 1), para todo
y ∈ IR.
Os autovetores associados a λ2 = −2 sa˜o obtidos abaixo:(
4 2
3 −1
)(
x
y
)
= −2
(
x
y
)
⇒
{
4x+ 2y = −2x
3x− y = −2y
⇒
{
6x +2y = 0
3x +y = 0
⇒
{
6x +2y = 0
0 = 0
Onde a equac¸a˜o 0 = 0 foi obtida pela operac¸a˜o L2 := L2 − 0, 5L1.
Soluc¸a˜o: y = −3x. Os autovetores sa˜o do tipo v = (x,−3x) = x(1,−3),
para todo x ∈ IR.
(2.0)2. Determine o nu´cleo da transformac¸a˜o linear T , de IR4 em IR2, esta-
belecendo sua dimensa˜o e uma base para este subspac¸o de IR4. A
transformac¸a˜o T e´ injetora? Justifique.
T (x1, x2, x3, x4) = (x1 + x2 − x3 + 2x4, x1 + 2x2 − 3x3 + x4)
Soluc¸a˜o:
(
1 1 −1 2 0
1 2 −3 1 0
)
∼
(
1 1 −1 2 0
0 1 −2 −1 0
)
∼
(
1 0 1 3 0
0 1 −2 −1 0
)
Ou seja, x1 = −x3 − 3x4, x2 = 2x3 + x4. Fazendo x3 = α e x4 = β,
temos que
N(T ) = {(−α− 3β, 2α + β, α, β) : α, β ∈ IR}.
A dimensa˜o do nu´cleo e´ 2 e uma base para o nu´cleo e´ {(−1, 2, 1, 0)T , (−3, 1, 0, 1)T}.
T na˜o e´ injetora, pois N(T ) 6= {0}.
(3.0)3. Determine se cada um dos conjuntos abaixo e´ um subspac¸o do espac¸o
das func¸o˜es reais de varia´vel real, justificando sua resposta.
(a) As func¸o˜es f tais que f(x) ≤ 0, ∀x ∈ IR.
Soluc¸a˜o: Na˜o, pois seja, por exemplo, f(x) = −|x| e α = −1.
Neste caso, f(x) ≤ 0, ∀x ∈ IR e αf(x) = |x| > 0, ∀x 6= 0.
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(b) As func¸o˜es constantes.
Soluc¸a˜o: Sim, pois sendoW o espac¸o de todas as func¸o˜es constan-
tes de IR em IR, temos: (i) A func¸a˜o constante f(x) = 0, ∀x ∈ IR
pertence a W . (ii) Se f ∈ W enta˜o f(x) = k para algum k ∈ IR,
logo αf(x) = αk e, portanto, αf ∈ W . (iii) Se f, g ∈ W enta˜o
f(x) = k1 e g(x) = k2, logo (f + g)(x) = f(x) + g(x) = k1 + k2 e
portanto, f + g ∈ W .
(c) As func¸o˜es da forma a+ bsen2x+ cos2x, ∀x ∈ IR.
Soluc¸a˜o: Sim, pois sendo W o espac¸o de todas as func¸o˜es de
IR em IR, tais que f(x) = a + bsen2x + ccos2x, para a, b e c
quaisquer, temos: (i) A func¸a˜o constante f(x) = 0, ∀x ∈ IR
pertence a W , basta considerar a = b = c = 0. (ii) Se f ∈ W enta˜o
f(x) = a+bsen2x+ccos2x para algum a, b, c, logo αf(x) = (αa)+
(αb)sen2x + (αc)cos2x e, portanto, αf ∈ W . (iii) Se f, g ∈ W
enta˜o f(x) = a1+b1sen2x+c1cos2x e g(x) = a2+b2sen2x+c2cos2x,
logo (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (a1 + a2) + (b1 + b2)sen2x+ (c1 +
c2)cos2x e portanto, f + g ∈ W .
(2.0)4. Use determinantes para achar os valores de k para os quais o sistema
seguinte admite soluc¸a˜o u´nica (A resposta so´ sera´ considerada correta
se for baseada no ca´lculo de determinante):

kx + y + z = 1
x + ky + z = 1
x + y + z = 1
Soluc¸a˜o:
O sistema tem soluc¸a˜o u´nica quando D 6= 0, onde D e´ o determinante
da matriz de coeficientes. Calcule
D =
∣∣∣∣∣∣∣
k 1 1
1 k 1
1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣ = k2 − 2k + 1 = (k − 1)2.
Assim, o sistema tem soluc¸a˜o u´nica quando (k − 1)2 6= 0, ou seja,
quando k 6= 1.
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