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1a Lista Linear I

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1) Dados os Vetores 
u
 e 
v
 da figura a seguir, mostrar 
graficamente um representante do vetor: 
 
 
 
a) 
u v
 b) 
v u
 c) 
2v u 
 d) 
3 2u v
 
2) Dados os Vetores 
u
 e 
v
 da figura a seguir, mostrar 
graficamente um representante do vetor: 
 
 
 
a) 
4 2u v w 
 b) 
u v w 
 c) 
2 ( )v u w 
 
3) Sabendo que o ângulo formado por 
u
 e 
v
 é de 60º, 
determine o ângulo formado pelos vetores: 
a) 
u
 e 
v
 b) 
u
 e 
v
 c) 
u
 e 
v
 d) 
2u
 e 
3v
 
4) Mostre usando vetores, que o ponto médio de um segmento 
que une os pontos P0 = (x0,y0, z0) e 
P1 = (x1, y1, z1) é o ponto M = 
,0 1 0 1 0 1
x + x y + y z + z
,
2 2 2
 
 
 
. 
 
5) Mostre que o segmento que une os pontos médios dos 
lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases, e sua 
médida é a média aritmética das medidas das bases. 
(Sugestão: mostre que 
 1
2
MN AB DC 
e conclua que
MN
 
é um múltiplo escalar de 
AB
). 
 
6) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem: 
 
a) 
1 (3,6)v 
 b) 
2 ( 4, 8)v   
 c) 
3 ( 4, 3)v   
 
d) 
4 (5, 4)v  
 e) 
5 (3,0)v 
 f) 
6 (0, 7)v  
 
 g) 
 7 = 3,4,5v
 h) 
 8 3, 3, 0 v 
 i) 
 9 0, 0, 3v  
 
7) Encontre um vetor não-nulo 
u
 com ponto inicial 
P ( -1, 3, - 5) tal que: 
a) 
u
 tem a mesma direção e sentido que 
v
 = (6, 7, -3) 
(b) 
u
 tem a mesma direção mas sentido oposto ao de 
v
 = (6, 7, -3) . 
8) Sejam 
u
 = ( -3, 1, 2), 
v
 = (4, 0, -8) e 
w
 = (6, -1, --4). 
Encontre os componentes de: 
a) 
v
 - 
w
 b) 6
u
 + 2 
v
 c) -
v
 + 
u
 d) 5(
v
 - 4
u
) 
9) Seja ABC um triângulo qualquer com medianas 
AD, BE e CF
. Mostre que o vetor 
0  AD BE EF
. 
10) Determine o vetor 
v
 sabendo que 
(3,7,1) 2 (6,10,4)v v  
. 
11) Encontre os números 

 e 

 tais que 
w u v  
, 
sendo 
(1, 2,1)u  
, 
(2,0, 4)v  
 e 
( 4, 4,14)w  
. 
12) Encontre os valores de

 e 

 para que os vetores 
(4,1, 3)u  
 e 
(6, , )v  
 sejam paralelos. 
13) Verifique se são colineares os pontos: 
a) 
( 1, 5,0), (2,1,3) e ( 2, 7, 1)A B C    
 
b) 
(2,1, 1), (3, 1,0) e (1,0,4)A B C 
 
14) Encontre os valores de

 e 

 de modo que sejam 
colineares os pontos 
(3,1, 2), (1,5,1) e ( , ,7)A B C   . 
15) Mostre que os pontos 
(4,0,1), (5,1,3), (3,2,5)A B C
 e 
(2,1,3)D
 são vértices de um paralelogramo. 
16) Determine o simétrico do ponto 
(3,1, 2)P 
 em relação a 
ao ponto 
( 1,0, 3)A  
. 
17) Dados 
3 5 , 2 4 e 3u i j k v i k w i xj k       
, 
determine 
x
 tal que 
, e u v w
 sejam linearmente 
independentes. 
18) Dados os pontos 
(2,1,5) e (3,6,2)A B
, escreva o vetor 
AB
 como combinação linear dos vetores 
, ,i j k
. Qual a 
norma de 
AB
? 
u
v
u
v
w

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