3a Lista Linear I

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RETAS 
1) Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, 
simétricas das retas nos seguintes casos: 
a) determinada pelo ponto A(1,–2,1) e pelo vetor 
v

=(3,1,4); 
b) determinada pelos pontos A(2,-1,3) e B(3,0,–2) ; 
c) possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida 
pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor diretor v

=(2,–2,3); 
d) possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à reta 
determinada pelos pontos A(5,–2,3) e 
 B(–1,–4,3); 
e) possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação 
2
1z
3
4y
5
2x:r −=+=
−
+ ; 
f) possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor 
v

 = (–2,0,–2); 
g) possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor 
v

=(8,3,0); 
h) possui o ponto A(2, –2,1) e é paralela ao eixo OX ; 
i) possui o ponto A(8,0,–11) e é paralela ao eixo OZ. 
2) Sendo A=(4,3,0) e B=(–2,–3,3), os pontos M e N 
dividem o segmento AB em três partes. Sabendo que o 
ponto P=(0,-1,0), liga-se aos pontos A e B formando as 
retas PM e PN, determine o ângulo formado entre elas. 
 RESP: θ = arc cos 
3
1 ,θ ≅ 700 31'43'' 
3) A reta 2 4:
4 5 3
x z
r
− +
= = , forma um ângulo de 300 com 
a reta determinada pelos pontos A(0,−5,−2) e 
 B(1, n−5, 0). Calcular o valor de n. 
RESP: n=7 ou n=1 
4) Determine as equações da reta r definida pelos pontos 
A (2,–1,4) e B= 21 rr ∩ , com 





+=
+=
=
−
−
=
−
=
−
m2z
m21y
m3x
:r e 
2
1z
4
3y
2
1x:r 21 . 
RESP: 



+=
+−=
2xz
1xy
 
5) Determinar as equações paramétricas da reta t, que é 
perpendicular a cada uma das retas: 
 a) 3 2 2 44 8: 3 e :
2 4 10 2
x y y z
s z r x
− − − +
= = + = =
−
, e 
que passa pelo ponto P(2,3,5); 
 b) 2 2 2-y: 3 3 e r: x 4
2 4 -2 3
x y z
s z
−
= = + + = =
− −
, e 
que passa pelo ponto P(2,–3,1); 
 c) 
2 3
:
10 18
y x
r
z x
= − −
= +



 e 
2 1
2:
6 27
2
y
x
s
y
z
−
=
− +
=





, e que passa 
pelo ponto P(3,−3,4). 
6) São dadas as retas 



−=
+=
1z2y
1zx
:r e 



−=
+=
5zy
3zx
:s e o 
ponto A(3,–2,1). Determine as coordenadas dos 
pontos P e Q pertencentes, respectivamente a r e a s, 
de modo que A seja o ponto médio do segmento PQ. 
RESP: P(1, –1,0) e Q(5,3,2) 
7) Determine as equações da reta s, traçada pelo ponto 
P(−1,−3,1), que seja concorrente com a reta 



−=
−=
2z2y
1z3x
:r e seja ortogonal ao vetor ( )1,0,2v −= . 
RESP: 
3 1: 1
1 2
y zs x + −+ = =
− 
8) Determinar os pontos da reta r : 132 1 2:
yx zr +− = =− − 
que têm: 
 a) abscissa 5 b) ordenada 4 c) cota 1. 
 
 
 
 
 
PLANOS 
1) Determine a equação geral do plano π que: 
a) passa pelo ponto D(1,–1,2) e é ortogonal ao vetor 
v

=(2,–3,1); 
b) passa pelo ponto A(1,−2,1) e é paralelo aos vetores 
kjia


−+= e k2jib

−+= ; 
 c) passa pelos pontos A(–2,1,0) , B(–1,4,2) e 
 C( 0,–2,2); 
 d) passa pelos pontos P(−2,1,0),Q(−1,4,2) e R(0,−2,2); 
 e)passa pelos pontos A(2,1,5), B(−3,−1,3) e C(4,2,3); 
 f) passa pelo ponto E( 1,2,2) e contém os vetores 
v

=(2,–1,1) e w

=( –3,1,−2); 
g) passa pelo ponto P(2,−1,3) e é paralelo ao plano 
XOZ; 
RESP: a)π:2x−3y+z−7=0 b)π:x−y−z=0 
c)π:12x+2y−9z+22=0 d) π:12x+2y−9z+22=0 
e)π:6x−14y−z+7=0 f)π:x+y−z−5=0 g)π:y+1=0 
2)Determine a equação geral do plano α que contém os 
pontos A (1,−2,2) e B(−3,1,−2) e é perpendicular ao 
plano π: 2x+y−z+8-0. RESP: α: x−12y−10z−5=0 
3) Um plano π que contém o ponto P(3,3,−1) intercepta 
os semieixos coordenados positivos OX,OY e OZ, 
respectivamente nos pontos A,B, e C, tais 
que |OB|2|OA| = e | OC|3 || =OA . Determine a 
equação geral de π. RESP: π;x+2y+3z−6=0 
4)Determinar equação geral do plano π que passa pelo 
ponto A(4, 1, 0) e é perpendicular aos planos 
π1: 2x –y –4z– 6 = 0 e π2: x + y + 2z -3 = 0. 
RESP: π: 2x−8y+ 3z=0 
5) Calcule o volume do tetraedro, cujas faces são os 
planos coordenados e o plano π:5x+4y−10z−20=0. 
RESP: VT= 3
20 u.v. 
6) Dados os planos π1: -4x +4y –4 = 0 e 
π2: -2x + y + z = 0, determine: 
a) a interseção entre π1 e π2. 
b) o ângulo formado entre π1 e π2. 
RESP: a) y = z +2 e x = z+1 b) 30° 
7) Sabendo que o plano π: x+y−z−2=0 intercepta os eixos 
cartesianos nos pontos D, E e F, determine a área A e 
a altura h do triângulo DEF. 
RESP: 
8) No paralelepípedo abaixo, tem-se que P = (2,4,3) 
 
a) Determine a equação do plano que passa pelos 
pontos A, E e C. 
b) Determine a equação do plano que passa pelos 
pontos O, P e D. 
c) Determine a equação do plano que contém a face 
BCDP 
d) Determine as coordenadas de um vetor normal ao 
plano que contém face DPFE 
 
9) Determine um vetor normal: 
a) ao plano α determinado pelos pontos P=(-1,0,0), 
Q = (0,1,0) e R = (0,0,-1) 
b) ao plano β que passa pelos pontos A=(1,0,1) e 
 B= (2,2,1) e é paralelo ao vetor (1,-1,3) 
c) ao plano π que passa pelo ponto A=(1,0,3) e é 
ortogonal ao vetor (3,2,5).