Equações Diferenciais

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Tópico 4. Equações Diferenciais 
 
4.1 INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
Definição: uma equação diferencial é uma expressão que envolve uma função incógnita e uma 
ou mais de suas derivadas. O nosso objetivo é tentar descobrir a tal função ou suas propriedades. 
 
Classificação: uma equação diferencial pode ser classificada em ordinária se a função incógnita 
depende apenas de uma variável independente, ou parcial no caso da função incógnita depender 
de mais de uma variável independente. Exemplos: 
 
E.D.O. E.D.P. 
 
y’’ + y’ = cos x 
 
dx
dy
= 3x + 1 
 
y’’ – 6.y’ + 8y = 0 
0
2
2






y
u
x
u
 
 
0
2
2
2
2
2
2









z
w
y
w
x
w
 
 
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela aparece. 
Uma função 
 xyy 
 é uma solução de uma equação diferencial num intervalo aberto I se ao 
substituirmos y e suas derivadas na equação a mesma estiver satisfeita. 
 
Exemplo 1: qual a ordem das equações diferenciais abaixo? 
(a) 
086
2
2

dx
dy
dx
yd
 (b) y’ – y = e2x (c) y’’’ – x.y’ + (x2 – 1).y = ex 
 
 
 
Exemplo 2: verifique se a função 
)3(
9
1
xsenxy 
 é uma solução de seguinte equação 
diferencial 
xyy  9
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
PUCRS - Faculdade de Matemática 
Cálculo Diferencial e Integral II 
Professor: Pedro Sica Carneiro 
 
 
 
2 
4.2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM SEPARÁVEIS 
 
Uma E.D.O. de 1ª ordem é separável se puder ser escrita na forma: h(y) dy = g(x) dx 
 
Como resolver uma EDO separável? 
1º passo: separe as variáveis, reescrevendo a equação na forma diferencial h(y) dy = g(x) dx. 
2º passo: integre ambos os lados da equação do passo 1 (o lado esquerdo em relação a y e o 
lado direito em relação a x). 
3º passo: se possível escreva y em função de x. 
 
Exemplos: 
1) Resolva a equação diferencial y’ = y. Faça um esboço do gráfico de algumas soluções 
particulares da equação. 
 
 
 
 
 
 
 
2) Resolva as equações diferenciais: 
a) y’ = x2.y 
 
 
 
 
 
 
b) dy - y2.x3 dx = 0 
 
 
 
 
 
 
c) 






3)0(
22
y
xxy
dx
dy
 
 
 
 
3 
ATIVIDADES: 
 
1) Mostre que: 
a) 
xey 2
 é uma solução da equação diferencial 
04´´  yy
. 
b) y = 2 3
3x
e é uma solução da equação diferencial 
yxy 2´
. 
 
2) Resolva as seguintes equações diferenciais usando separação de variáveis. 
a) ex dx = y dy com y (0) = 1 b) 3x2y2 dy + 2xy3 dx = 0 
 
 
 
 
c) 2xy + 6x + (x2 – 4).y’ = 0 d) (xy + 3x) dy = -2y dx 
 
 
 
 
3) Encontre a equação de uma curva no plano xy que passe por (0, 3) e cuja reta tangente em 
um ponto (x, y) tenha inclinação 2x/y2. 
 
 
 
 
4) Devido a uma maldição rogada por uma tribo vizinha, os membros de uma aldeia são 
gradualmente impelidos ao suicídio. A taxa de variação da população 
dt
dP
 é -2
P
 pessoas por 
mês, quando o número de pessoas é P. Quando a maldição foi rogada, a população era de 1600 
pessoas, em quanto tempo morrerá toda a população? 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS DAS ATIVIDADES: 
2) a)
12)(  xexy
 b)
3 2
)(
x
C
xy 
 c)
3
4
)(
2



x
C
xy
 
d) y + 3.ln │y │ = -2. ln│x │+ C 3)
3 2 273  xy
 4) 40 meses 
 
4 
4.3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM LINEAR 
Uma equação diferencial de primeira ordem é denominada linear se puder ser escrita no 
formato: 
 xq)(
dx
dy
 yxp
 
Exemplo: na equação 
 xcosyx
dx
dy 4 
 temos: p(x) =...... e q(x) = ........ 
 
Resolução pelo método dos fatores integrantes: 
(A) Determinação do fator integrante:   dxxpeI(x) 
Observação: como qualquer fator integrante será suficiente, podemos tomar a constante de 
integração como zero nesse passo. 
 
(B) Multiplicar ambos os lados da equação por I(x) e expressar o resultado como 
   xqI(x)yI(x)
dx
d

 
 
(C) Integrar ambos os lados da equação obtida no passo (B) em relação a x e então isolar y. 
Solução:
  xq)()(
1
y xI
xI
 
 
Exemplo: resolva as equações diferenciais: 
a) 
423 xyx
dx
dy

 
 
 
 
 
 
 
 
b) xy’ – y = x, com x > 0 e y(1) = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
ATIVIDADES: 
1) Resolva as equações diferenciais usando fatores integrantes: 
a) 
x2xyy ' 
 b) 
22
' 12yy
xx

 
 
 
 
 
 
c) 
 xsenyy ' 
 d) 
ex
4
' 2xyy 
, com x > 0 
 
 
 
 
 
e) 
44 x
x
y
dx
dy

, com x > 0 e y(1) = 
9
10
 
 
 
 
 
2) Resolva as equações diferenciais pelo método dos fatores integrantes e por separação de 
variáveis. Confirme que as soluções são iguais. 
a) 
03  y
dx
dy
 b) 
0)1( 2  xy
dx
dy
x
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS DAS ATIVIDADES: 
1)a) 
2
1
eCy
2x 
 b) 
xe
2
C
2
1
y 
 c) 
   
2
xcos
2
xsen
eCy x  
 
d) 
Cx
e

2
x
y
5 e) 
4
5 1
9
y
x
x

 
2) a) y = c e-3x b) y = 
12 x
c
 
 
6 
4.4 APLICAÇÕES DAS EDO(S) DE 1ª ORDEM 
 
Modelo de crescimento e decrescimento populacional: seja P(t) a quantidade de substância 
(ou população) sujeita a um processo de crescimento ou decrescimento. Se admitirmos que 
dt
dP
, taxa de variação da quantidade da substância, é proporcional à quantidade presente, então 
kP
dt
dP

, onde k é a constante de proporcionalidade. 
 
Exemplos: 
1) Um casal de insetos inicia uma colônia. Após um mês há 10 insetos. Sendo P(t) a quantidade 
de insetos presentes t meses após o instante inicial e supondo válido o modelo de crescimento 
populacional, determine: 
a) um problema de valor inicial cuja solução seja P(t). 
b) a solução do problema de valor inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se, 
inicialmente a quantidade de material é 50 miligramas, e se após duas horas perderam-se 10% 
da massa original, determine: 
a) a expressão para massa de substância restante em um tempo arbitrário t. 
b) a meia vida dessa substância radioativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Transferência de Calor - Lei de Resfriamento de Newton*: 
A taxa segundo a qual decresce a temperatura de um corpo que está resfriando, é proporcional 
à diferença entre a temperatura do corpo e a do meio ambiente. 
Variáveis nesse modelo: t = tempo (variável independente) 
 y = temperatura do corpo no instante t (função de t) 
Taxa de variação da temperatura: é a derivada 
dt
dy
. 
Equação Diferencial: 
)( aTyk
dt
dy

, onde k<0 (constante) e 
aT
 a temperatura ambiente. 
 *Obs. A Lei de Newton também se aplica para problemas de aquecimento. Neste caso, 
deve-se ter k>0. (Lembre-se: derivada positiva → função crescente) 
 
Exemplo: um bolo é retirado de um forno a 200º e em 20 min resfria 40º. Sendo y(t) a 
temperatura do bolo t minutos após ser retirado do forno, e a temperatura ambiente 20º, 
determine: 
a) um problema de valor inicial cuja solução é y(t). 
b) a solução do problema de valor inicial. 
c) o tempo para que a temperatura do bolo seja de 25º. 
 
 
 
 
 
 
Juros Compostos Continuamente: um modelo matemáticopara o investimento de capital, 
onde considera-se apenas a taxa de juros compostos continuamente, diz que a taxa de 
crescimento do capital é proporcional ao tamanho do capital investido. 
Variáveis nesse modelo: t = tempo (variável independente) 
 y = capital investido no instante t (função de t) 
Taxa de variação do capital: é a derivada 
dt
dy
. 
Equação Diferencial: 
y.i
dt
dy

, onde i é a taxa de juros. 
 
Exemplo: uma pessoa aplica R$ 5.000,00 numa conta em favor de um recém-nascido. 
Admitindo-se que não haja outros depósitos nem retiradas, de quanto a criança disporá ao atingir 
a idade de 21 anos, se o banco abona juros de 5% ao ano, compostos continuamente durante 
todo o período? 
 
 
8 
ATIVIDADES: 
1) Um um experimento de laboratório, 400 indivíduos de uma espécie animal foram submetidos 
a testes de radiação, para verificar o tempo de sobrevivência da espécie. Verificou-se que o 
modelo matemático que determinava o número de indivíduos sobreviventes, em função do tempo 
era tal que 
Nk
dt
dN
.
, com o tempo t dado dias. 
Se três dias após o início do experimento, havia 50 indivíduos. Quantos indivíduos vivos existiam 
no 4º dia após o início do experimento? 
 
2) Coloca-se uma barra de metal a temperatura de 100º F num quarto com temperatura de 0º F. 
Se após 20 minutos a temperatura da barra é de 50º F, determine: 
a) a temperatura da barra após 10 minutos; 
b) o tempo necessário para a temperatura da barra chegar à 25º F. 
 
3) Uma panela de sopa fervendo a 100ºC é levada a uma sala em que o ar está a 20ºC e é 
deixada para esfriar. Após 1 hora sua temperatura é de 60ºC. Quanto tempo ainda é necessário 
esperar para que sua temperatura atinja 30ºC? 
 
4) A velocidade com que uma substância radioativa se desintegra é proporcional a massa 
presente em cada instante. 
 Sendo a massa inicial da substância 1 kg, a meia vida 500 anos e y(t) a massa presente no 
instante t, determine: 
a) um problema de valor inicial cuja solução seja y(t). 
b) quanto tempo devemos esperar para que a massa desta substância reduza-se a 10% da 
quantidade inicial? 
 
5) Um investidor aplica na bolsa de valores determinada quantia que triplica em 30 meses. 
Encontre em quanto tempo essa quantia será quadruplicada supondo que o aumento é 
proporcional ao investimento feito. 
 
 
RESPOSTA DAS ATIVIDADES: 
1) 25 
2) R: Y(10) 

 70,5ºF b) t =39,6 min 
3) 2 horas a mais. 
4) a) 










5,0)500(
1)0(
.
y
y
yk
dt
dy
 b) 1660 anos 
5) aproximadamente 37,8 meses ou 3 anos, 1 mês e 25 dias