Sequencias e Séries

Prévia do material em texto

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática 
 
Cálculo Diferencial e Integral II 
 
 Página 1 de 28 
Seqüências e Séries 
 
 
Sequências 
 
Informalmente, dizemos que uma seqüência é uma sucessão interminável de termos. Os termos 
de uma seqüência podem ser números, palavras, objetos, etc. 
 
 Trataremos, em geral, com seqüências numéricas, ou seja, com seqüências cujos 
elementos são números. 
 
 Nem sempre é possível "adivinhar" o termo seguinte de uma sequência, isso só é possível 
para certos tipos muito especiais de seqüências, chamadas seqüências regulares, isto é, 
que possuem uma expressão matemática da geração dos termos. 
 
Por exemplo: 
 
A seqüência dos números pares: 0, 2, 4, 6, ..., 2n, ... 
 
A seqüência dos números ímpares: 1, 3, 5, 7, ..., 2n+1, ... 
 
Cada termo de uma seqüência é, em geral, representado por uma variável indexada. Por 
exemplo: an. O índice serve para indicar qual é a posição do termo na seqüência. Quando 
possível, a seqüência completa é representada por chaves { }, podendo-se indicar o índice de 
início da seqüência. Por exemplo: 
 
A seqüência dos números pares: 
  02 nn
 n = 0,1,2,3,4,... 
 
 
Formalmente: Uma seqüência é uma função cujo domínio pertence ao conjunto dos inteiros não 
negativos. 
 Notações: 
,...3,2,1,)(  nanf n
 ou 
 
1nn
a
 
 
Exercício : Represente por extenso os 5 primeiros termos das seguintes seqüências: 
 
a) 
  03 nn
 
 
 
b) 
1n1n
n







 
 
 
c) 
0n
n2
1






 
 
 
d) 
 
1

n
primonúmeroésimon
 
 
 
e) 
  0n!n 
 
 
 Página 2 de 28 
Seqüências Regulares 
 
Quando é possível dar uma fórmula que represente os termos de uma seqüência, chamamos 
essa seqüência de regular. Nesse caso, a expressão que define os termos é chamada de termo 
geral da seqüência. 
 
Exercício : Quais seqüências do exercício anterior são regulares? 
 
 
 
Representação Gráfica de Seqüências 
 
Em geral, a representação gráfica de uma seqüência é 
similar à representação gráfica de funções, usando-se o 
eixo horizontal para representar o índice e o vertical, para 
os valores dos termos da seqüência. 
 
Por exemplo, a seqüência 
1nn
1






 é representada pelo 
gráfico ao lado. 
 
Pode-se entender uma seqüência numérica como uma “seleção” de pontos de uma função de 
variável real. 
 
A seqüência 
0n
n2
1






 pode ser entendida como uma amostragem da função real x
2
1
)x(f 






. 
 
 
 
Também é comum a representação de seqüências como 
“acumulações de pontos” na reta real. Essa representação 
induz ao entendimento do conceito de limite como ponto 
fixo, ou seja, um ponto que “atrai” os termos da seqüência 
de modo que os mesmos se acumulam em torno desse 
ponto. 
 
Por exemplo, a seqüência 
1nn
1






 é representada pelo 
gráfico ao lado. 
 
 
 Página 3 de 28 
Limite de Seqüências – Resultados importantes 
 
 Ao estudar uma seqüência estaremos particularmente interessados em saber como ela 
evolui, ou seja, como ela se comporta conforme seus termos vão sendo gerados. Se 
associarmos cada termo com um instante no tempo, poderemos dizer que o que nos 
interessa é saber sobre o comportamento da seqüência ao longo do tempo. Por isso, o 
único limite que interessa no estudo das seqüências é o limite no infinito. 
 
 Se uma seqüência tende para um número real, isto é, tem limite e seu limite é um número 
real, dizemos que a seqüência converge. Caso não exista limite ou esse limite seja 
infinito, dizemos que a seqüência diverge. 
 
 A convergência ou divergência de uma seqüência não tem ligação com o modo como ela 
se inicia. Ela depende apenas de como as “caudas” da seqüência se comportam! 
 
 Se a função real correspondente à seqüência tiver limite no infinito, então o limite da 
seqüência será igual a esse valor. Este resultado é extremamente importante pois permite 
que a análise da convergência seja feita sobre uma função de variável real, como 
estudado em Cálculo anteriormente. 
 
 A partir do resultado anterior pode-se usar a Regra de L´Hôpital para a verificação de 
limites com indeterminações 
0
0
, 


 ou 
.0
. 
 
Exercícios : 
1. Represente graficamente no mínimo seis termos de cada sequência e conclua a respeito de sua 
convergência ou divergência. 
 
a) 
  012  nn
 b) 
  0nn)1( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
1n1n
n







 d) 
1
1
1
)1(










n
n
n
n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 4 de 28 
e) 
0n
n2
1






 f) 
1n
n
2
1
1
















 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Verifique a convergência das seqüências: 
 
a) 
1nn
1






 b) 
1nn
1






 
 
 
 
c) 
1
2






nn
n
 d) 
0n
n2
1






 
 
 
 
e) 
  0nn2 
 f) 
012 





 nn
n
 
 
 
 
g) 
1
2
2 1





 
n
n
n
 h) 
0n
ne
n






 
 
 
 
i) 
01
12








nn
n
 j) 
2
2
1
3








n
n
n
 
 
 
 
 
k) 
1
4
43







n
nn
n
 l) 
 
1n
xsen
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 5 de 28 
Seqüências Definidas Recursivamente 
 
 
Algumas seqüências não surgem de uma fórmula para o termo geral, mas de fórmulas que 
especificam como gerar cada termo em função de seus anteriores. Dizemos que tais sequências 
são definidas recursivamente e as fórmulas que as definem são chamadas de fórmulas de 
recursão. 
 
Exemplos 
1. 
1a0 
 e 









n
n1n
a
2
a.
2
1
a
 definem a seqüência: 
 
 
 
 
2. A seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... é chamada seqüência de Fibonacci. 
 
Qual sua fórmula recursiva? 
 
 
 
 
3. 






15,0,12
5,00,2
)(
xx
xx
xf
 
a) Escreva a seqüência 
))),...2,0((()),2,0((),2,0( ffffff
 
b) A seqüência converge? 
 
 
 
 
Exercícios Complementares: 
 
Referência: Anton, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. Volume 2, p. 46 
 
 
1. Em cada parte, ache a fórmula para o termo geral da seqüência, começando com n = 1. 
a) 
,...
27
1
,
9
1
,
3
1
,1
 b) 
,...
27
1
,
9
1
,
3
1
,1 
 c) 
,...
8
7
,
6
5
,
4
3
,
2
1
 
 
 
2. Em cada parte, ache duas fórmulas para o termo geral da seqüência,uma começando com n = 
1 e outra com n = 0. 
 a) 
,...,,,1 32 rrr 
 b) 
,...,,, 432 rrrr 
 
 
 
3. Escreva os cinco primeiros termos da seqüência, determine se ela converge e se isso 
acontecer, ache o limite. 
 
 a) 






 12 nn
n b) 







1
2
12
n
n
n c)  12 n d)   1)1(1 nn e) 








0
2
2
1
2
n
n
n 
 
 
 Página 6 de 28 
 f) 
...
8
7
,
6
5
,
4
3
,
2
1
 g) 
...
81
1
,
27
1
,
9
1
,
3
1
 h) 
)...
5
1
4
1
(),
4
1
3
1
(),
3
1
2
1
(),
2
1
1( 
 
 
 
4. Começando com n = 1, escreva os seis primeiros termos da seqüência 
 na
, onde 
 




parfornsen
ímparfornse
an
,
,1 
 
 
5. Começando com n = 1, e considerando-se separadamente os termos pares e ímpares, ache 
uma fórmula para o termo geral da seqüência 
 
 
,...
2
1
,5,
2
1
,3,
2
1
,1
642
 
 
6. Começando com n = 1, e considerando-se separadamente os termos pares e ímpares, ache 
uma fórmula para o termo geral da seqüência 
 
 
,...
9
1
,
9
1
,
7
1
,
7
1
,
5
1
,
5
1
,
3
1
,
3
1
,1
 
 
7. Determine se as seqüências nos exercícios 4, 5 e 6 convergem. Em caso afirmativo, ache o 
limite. 
 
 
 
Respostas: 
 
1. a) 
1
13
1








n
n
 b) 
1
1
1
)1(
3
1










n
n
n
 c) 
12
12





 
nn
n
 
2. 
 
1
1)( 

n
nr
ou
 
0
)(  n
nr
 b) 
 
1
1)1()( 

n
nnr
ou
 
0
1 )1()( 
 
n
nnr
 
3. a) converge para 1 b) diverge c) converge para 2 d) diverge e) converge para 2 
f)converge para 1 g) converge para zero h) converge para zero 
4. 
 ...,8,1,6,1,4,1,2,1
 
5. 






parénse
ímparénsen
a
n
n
2
1
 
6. 








parénse
n
ímparénse
n
an
1
1
1
 
7. A seqüencia do ex 4 diverge, a seqüencia do ex 5 diverge e a seqüencia do ex 6 converge 
para zero 
 
 
 
 
 
 
 Página 7 de 28 
SÉRIES 
 
Motivação 
 
No século V a.C. o filósofo grego Zenon propôs o seguinte problema: “Uma pessoa percorre um trajeto de 
1 km em etapas, sendo que em cada etapa ela percorre a metade da distância restante. Quando termina 
sua jornada?” Essa questão constituía um paradoxo, pois era impossível conceber que se realizasse um 
número infinito de etapas em um tempo finito, de modo que ir de um ponto a outro seria impossível! 
 
 
 
 
 
No entanto, a subdivisão infinita de [0;1] proposta por Zenon trouxe à tona a evidência de que 
 
1...
8
1
4
1
2
1
 
 
ou seja, de que um processo infinito de acumulação poderia resultar em um resultado finito. Este é principal 
objeto do estudo das Séries. 
 
 
Pergunta: Pode uma soma interminável de termos resultar num número finito? 
 
Exemplos: 
 
a) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... = 
 
b) 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 
 
c) 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ... = 
 
d) 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... = 
 
 
Definição e Notação 
 
Uma série infinita é uma expressão que pode ser escrita na forma 
 
......10
0



k
k
k aaaa
 Os números 
kaaa ,...,, 10
são os termos da série 
Observação: Quando se quer representar uma série genericamente, pode-se usar 

k
ka
. 
 
Exercício: Determine os cinco primeiros termos de cada série: 
a) 


1k
k
 b) 


1k
2k
1
 
 
c) 


1k
k2
1
 d) 




1k
k
k
)1(
 
 
e) 


1k
k10
3
 f) 




1k
10
k
k
)2(
 
0 1 1/2 3/4 ... 
 
 Página 8 de 28 
Somas Parciais de uma Série 
 
É impossível somar diretamente um número infinito de números, as somas de séries infinitas são 
definidas e calculadas por um processo limite indireto. 
Dada a série 
......21
1



k
k
k aaaa
, pode-se construir uma nova seqüência 
 
1kk
S
 tal que: 
 
11 aS 
 
212 aaS 
 
3213 aaaS 
 
... 
kk aaaS  ...21
 Observe que: 


k
k
Slim
 
Essa seqüência recebe o nome de seqüência das Somas Parciais de 


0k
ka
, de modo que 



 
1k
k
k
k aS
. 
Ou seja: 
 uma série converge se sua seqüência de somas parciais converge; 
 uma série diverge se sua seqüência de somas parciais diverge. 
 
 
 
Exemplos: 
1. 




1
......4321
k
nn
 
Seqüência de somas parciais: 





 
,...
2
)1(
...,,15,10,6,3,1
nn
 
 


n
n
Slim 

 2
)1(
lim
nn
n
 
Portanto, a seqüência de somas parciais diverge. Dizemos, neste caso, que a série 


1n
n
 diverge. 
 
 
2. 
...
2
1
...
4
1
2
1
2
1
1


n
nn
 
Seqüência de somas parciais: 





 
,...
2
12
,...,
16
15
,
8
7
,
4
3
,
2
1
n
n 


n
n
Slim 1
2
12
lim 

 n
n
n
 
Portanto, a seqüência de somas parciais converge. Dizemos, neste caso, que a série 


1 2
1
n
n
 
converge. 
 
 
 
 
 
 Página 9 de 28 
 
Séries Geométricas 
 
Uma série geométrica é a soma de uma Seqüência geométrica ou Progressão Geométrica, ou 
seja, é um processo onde cada termo somado é obtido pela multiplicação por uma constante fixa, 
chamada razão da série. 
Uma série geométrica é uma série da forma a + ar + ar2 +ar3 + ...+arn-1 + ... = 




1n
1nar
 com a

0. 
A n-ésima soma parcial da série geométrica é: 
 
 Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1 = 
r1
)r1(a n


, r

1 
 
Se | r | < 1 ,
0rlim
n
n


 e se | r | 

 1,
n
n
rlim

não existe, logo: 
 
 A série geométrica converge se | r | < 1 e sua soma é S = 
r1
a

. 
 A série geométrica diverge se | r | 

 1 
 
 
Exemplo: A série 


0k
k4
5
 é uma série geométrica com a = 5 e r = ¼. Uma vez que r < 1 , a série 
converge e sua soma é 
r1
a

= 
4
1
1
5

=
3
20
, assim 


0k
k4
5
= 
3
20
 
 
Exercício 1: Identifique quais séries abaixo são geométricas e, nesse caso convergente ou 
divergente: 
a) 


1k
k2
1
 b) 




0k
k)1(
 c) 


1k
k10
3
 d) 




1k
)1k.(k
1
 
e) 


1k
k
 f) 











1
1
4
5
k
k g) 




1
1
6
)1(
k
k
k h) 





1
1
1
9
10
)1(
k
k
k
 
i) 









1 2
3
k
k j) 











1
2
3
2
k
k k) 








1 2
3
k
k l) 
 



1
51
k
kk
 
 
 
Exercício 2: Determine o valor numérico das séries geométricas convergentes, do exercício 1. 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: a)1 c) 1/3 g) 1/7 h) 9 j) – 8/45 
 
 
 Página 10 de 28 
Exercício 3: Ache o número racional representado pela dízima periódica 0,484848484848484... 
 
Note que 0,484848484848484...= 0,48 + 0,0048 = 0,000048 + ... 
 
 
 
Exercício 4: Expresse cada dízima periódica abaixo, como fração: 
 
a) 0,444... b) 5,373737... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 0,999... d) 0,451141414... 
 
 
 
 
 
Exercício 5: Determine para quais valores de x a série 


0k
kx
 é convergente. 
 
 
 
 
 
Exercício 6: Ache os valores exatos das quatro primeiras somas parciais, ache a forma fechada 
para a n-ésima soma parcial, determine se a série converge calculando o limite da n-ésima soma 
parcial: 
 
a) 
...
30
1
20
1
12
1
6
1
2
1

 
 
 
 
 
 
b) 2 + 2 + 2 + 2 + .... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 11 de 28 
 Mostramos como achar a soma de uma série encontrando uma forma fechada para a n-ésima 
soma parcial e tomando seu limite. No entanto, como já vimos, para muitas séries é difícil ou 
praticamente impossível encontrar uma fórmula simples para Sn. 
 Em tais casos, são usados alguns testes que não nos fornecem a soma S da série; apenas 
nos dizem se a soma existe. Isto é suficiente na maioria das aplicações porque, sabendo que a 
soma existe, podemos aproximar o seu valor com suficientes termos para atingir o grau de 
precisão desejado. 
 
TESTES 
 
Teste da Divergência 
 
Se 
0alim k
k


, então

k
ka
diverge. 
 
Observação: Se 
0alim k
k


, então 

k
ka
pode convergir ou não. 
 A condição 
0alim k
k


 não é suficiente para garantir a convergência da série 

k
ka
. 
 
 
Exemplos: 
 
a) 




1
2
2 1
n n
n
 , 
01
1
lim
2
2


 n
n
n
 A série é divergente. 
b) 

k
k5
4
 , 
0
5
4
lim 
 kk
 Nada de afirma sobre convergência ou divergência da série. 
 
c) 
...
1n2
n
...
7
3
5
2
3
1



 , 
0
2
1
12
lim 
 n
n
n
 A série é divergente. 
 
d)


1n
n
n
e
 , 
0lim 
 n
en
n
 A série diverge. 
 
 
 
Exercícios 1: 
Use o teste da divergência para mostrar que as séries abaixo divergem: 
 
a) 




1
3
3
n
n
n
 b) 










1
1
1
n n
 c) 





1
3
1
2
n
n
nn
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 12 de 28 
Séries de Termos Positivos 
 
Há alguns resultados sobre séries que só se aplicam àquelas cujos termos são todos positivos. 
Por esse motivo, reconhecer essa característica de uma série é importante. 
 
 
 
 
Exercício 2: Determine quais séries são de termos positivos: 
 
a) 




1k
)1k.(k
1
 b) 




1k
k
k
)1(
 c) 




1k
k
k
)1(1
 
 
Note que 


1k
k
)k(sen
 NÃO é uma série de termos 
positivos!!! 
 
 
 
 
Teste da Integral 
 
 
Seja 

k
ka
 uma série de termos positivos e seja f a função geradora de 
}a{ k
. Se f é decrescente 
e contínua em [a;+), então: 
 

k
ka
 converge  


a
dxxf ).(
 = 

b
a
b
dxxf )(lim
 converge 
 
 
Exemplo: Usando o teste da Integral, vamos determinar se as seguintes séries convergem ou 
divergem. 
 
a) 


1
1
n n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 13 de 28 
b) 


1
2
1
k k
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3: Determine se as séries são convergentes ou divergentes, usando o teste da integral. 
 
a) 




1k
k2e.k
 b) 


 1
21
2
k k
k
 c) 


1
1
n n
 d) 


1
3
1
k k
 e) 


1 )ln(
1
n nn
 
 
 
 
 SÉRIE-P 
 
Uma série do tipo 


1n
pn
1
onde p > 0 é denominada série- p e, 
 
 converge se p >1 e diverge se 0 < p 

 1. 
 
 Justificativa: Para p = 1, a série-p torna-se


1n n
1
, e é chamada série harmônica. 
Diverge(exemplo acima) 
 Se p

1, 
)1b(lim
p1
1
1p
x
limdxxlim
x
dx p1
b
b
1
1p
b1
b
1
p
bp












 





 
 
 
Para p > 1, 
p1
1
)1
b
1
(lim
p1
1
)1b(lim
p1
1
1pb
p1
b 



 


. Logo a série p converge. 
 
Para 0 < p < 1, 




)1b(lim
p1
1 p1
b
. Logo a série p diverge. 
 
Para p< 0, 
 

p
npn
n
n
nlim
n
1
limalim
. Logo, a série p diverge. 
Para p = 0, a série-p torna-se 


1n
1
que é uma série divergente. 
 
Portanto, a série-p é convergente somente quando p > 1. 
 
 
Exercício 4: Identifique quais séries do exercício 2 são série-p. 
 
 
 Página 14 de 28 
 
SÉRIES ALTERNADAS 
 
Uma série cujos termos formam uma seqüência alternada é chamada série alternada. Por 
exemplo, as seguintes séries são alternadas: 
 
 
 




0k
k)1(
 




1k
1k
k
)1(
 




1k
k
).kcos(
 
 
 
 
 
 
Teste de Leibniz (Teste da Série Alternada) 
 
Se 
 
k
k
K a)1(
 é uma série alternada então: 
 
Se 
1 KK aa
 
e 
0lim 

K
k
a
 
então 
 
 
k
k
K a)1(
 converge. 
 
 
 
Exercício 5: Use o teste da série alternada para determinar a convergência das seguintes séries: 
 
a) 




1k
k
k
)1(
 b) 
34
2
)1(
1
1





n
n
n
n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 15 de 28 
c) 
)1(
2
)1(
1 



 nn
n
n
n
 d) 




1
1)1(
n
n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Teste da Comparação dos Limites 
 Sejam 

k
ka
 e 

k
kb
séries de termos positivos. 
 Se 
,0lim 

L
b
a
k
k
k
 então ambas convergem ou ambas divergem. 
 
 
Exercício 6: Determine se a série dada é convergente ou divergente. 
 
a) 


 1n
n31
1
 b) 


 1
24 2
2
n nn
n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 


 1
2 2
3
n n
 d) 


 1n 1n
2e) 




1
3
1
n n
n
 f) 


 1
2 2n n
n
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 16 de 28 
PROPRIEDADES DAS SÉRIES 
 
 Se 


1n
na
 converge e c é uma constante não nula, então 


1n
nca
também converge e 
 


1n
nca
= c


1n
na
. 
 
 Se 


1n
na
e 


1n
nb
 convergem, então 




1
)(
n
nn ba
 e 




1
)(
n
nn ba
são séries convergentes 
 e 




1
)(
n
nn ba
=


1n
na
+ 


1n
nb
, 




1
)(
n
nn ba
=


1n
na
-


1n
nb
 
 
 Se 


1n
na
converge e 


1n
nb
diverge, então 




1
)(
n
nn ba
 diverge. 
 
Observação: Se 


1n
na
diverge e 


1n
nb
diverge, então 




1
)(
n
nn ba
 pode convergir ou divergir. 
 
 Se 


1n
na
converge, então 
0alim n
n


. 
Justificativa: Se


1n
na
converge,
n
n
Slim

= S e
1n
n
Slim 

= S. 
 Como Sn= a1 + a2 + ... an-1 + an , an = Sn – Sn-1. 
 Logo, 
n
n
alim

=
n
n
Slim

-
1n
n
Slim 

= S – S = 0 
 
 
 
 
Séries Absolutas 
 
Quando se tem uma série de termos com diferentes sinais, é comum se usar como referência a 
série absoluta desta, ou seja, a série dos termos em módulo. Por exemplo: a série 
 
...
25
1
16
1
9
1
4
1
1 
 
tem como série absoluta 
...
25
1
16
1
9
1
4
1
1 
 
Em geral, a série absoluta de 

k
ka
 é representada por 

k
ka
. 
 
 
 
 
 Página 17 de 28 
A determinação da série absoluta é interessante devido ao seguinte resultado: 
 
 
 
Teste da Série Absoluta: 
 
Se 

k
ka
 converge, então 

k
ka
 converge. 
 
Nesse caso diz-se que a série é absolutamente convergente. 
 
Note que se 

k
ka
 divergir, 

k
ka
 ainda PODERÁ ser convergente. Nesse caso, diz-se que a 
série é condicionalmente convergente. 
 
 
Exercício 7 : Determine as séries absolutas das seguintes séries. Quando possível diga se a série 
é convergente: 
 
a) 


1k
k2
1
 
 
 
 
 b) 




1k
k
k
)1(
 
 
 
 
 
 
c) 




1k
2
k
k
)1(
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 8 : Determine se a série dada é absolutamente convergente. 
 
a) 




1
2
1)1(
n
n
n
 b) 




1
1)1(
n
n
n
 c) 




1
1)1(
n
n
n
 
 
 
 
 
 
 
d) 





1
1
1
2
)1(
n
n
n e) 




1n
2
n
n
)1n()1(
 f) 


1
3
n
n
 
 
 
 Página 18 de 28 
Teste da Razão 
 
Se 

k
ka
 é uma série de termos não nulos então, calculando 
k
1k
k a
a
lim 


 
tem-se que: 
 
 se  < 1, então 

k
ka
 converge absolutamente e, portanto converge; 
 se  = 1, então nada se pode afirmar sobre 

k
ka
; 
 se  > 1, então 

k
ka
 diverge. 
 
 
Exercício 9: Use o teste da razão para determinar se a série converge ou se o teste é 
inconclusivo: 
 
a) 


1k
!k
1
 f) 


1
2
1
n n
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 


1k
k2
k
 g) 




1n
2
1n
n
!n
)1(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 


1
2
!k k
k
 h) 


1 2
!
n
n
n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação importante: O teste da razão é mais adequado quando an contém potências e produtos e não 
funciona em série-p. 
 
 
 Página 19 de 28 
Exercício 10: Use qualquer método para determinar a convergência das séries. 
 
 
a) 




1 !
3
)1(
n
n
n
n
 b) 




1k
1k.2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 


1n
2
n
n
3
 d) 


1 5
1
k k
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 


1
3
!
k k
k
 f) 




1
2
1 3)1(
k
k
k
k
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 











1
1
4
3
k
k h) 


 3 25
1
k k
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 20 de 28 
 
Exercícios Complementares 
 
Referência: Anton, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. Volume 2. 
 
1. Determine se a série converge e, se ocorrer, ache sua soma: 
 
 a) 











1
1
4
3
k
k b) 
 





1
1
1
6
7
1
k
k
k
 c) 





1
1
2
7
4
k
k
k 
 
 
2. Expresse a dada dízima periódica como uma fração: 
 
 a) 0,4444... b) 5,373737... c) 0,782178217821... 
 
 
3. Nas p-séries dadas, ache p e determine se a série converge: 
 
 a) 


1
3
1
k k
 b) 




1
3
4
k
k
 c) 


1
1
k k
 
 
4. Aplique o teste da divergência e dê a conclusão obtida sobre as séries: 
 a) 


 

1
2
2
12
3
k k
kk
 b) 


 1 3k k
k
 c) 










1
1
1
k k
 
 
 
5. Use qualquer método para determinar a convergência das séries: 
 a) 


 1 6
1
k k
 b)


 1 5
1
k k
 c) 


 1 3 12
1
k k
 
 d)


 1 )1ln(k k
k
 e)




3
01,17
k
k
 f) 


 

1
2
2
3
1
k k
k
 
 
6. Use o teste da razão para determinar se a série converge ou se o teste é inconclusivo: 
 
 a) 


1 !
3
k
k
k
 b) 


3 5
1
k k
 c) 


1
3
!
k k
k
 
 
7. Use qualquer método para determinar a convergência das séries: 
 
 a) 


1 !
7
k
k
k
 b) 


1
2
5k
k
k
 c) 


 1
3 1k k
kd) 


 1 )1(
1
k kk
 e) 


 

1
3 1)1(
2
k k
k
 f) 


 1 1
1
k k
 
 g) 




1 4!!4
)!4(
k
kk
k
 h) 



1 24
1
k
K
 I) 


0
2
)!2(
)!(
k k
k
 
 
 
 
 
 
 Página 21 de 28 
8. Ache o termo geral da série e use o teste da razão para mostrar que a série converge. 
 
...
7.5.3.1
4.3.2.1
5.3.1
3.2.1
3.1
2.1
1 
 
 
9. Mostre que a série






1
1
12
)1(
k
k
k
 converge, confirmando que satisfaz as hipóteses da série alternada. 
 
 
10. Determine se a série alternada converge, justificando: 
 
 a) 







1
1
13
1
)1(
k
k
k
k
 b) 




1
1)1(
k
kk e
 
 
11. Use o teste da razão para convergência absoluta para determinar se a série converge ou diverge. Se o 
teste for inconclusivo, então diga: 
 
 a) 










1 5
3
k
k b) 




1
2
1 3)1(
k
k
k
k
 c) 




1
3
)1(
k
k
k
e
k
 
 
12. Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: 
 
 a) 




1
1
3
)1(
k
k
k
 b) 




1
2
)4(
k
k
k
 c) 







1
1
)3(
2
)1(
k
k
kk
k
 
 
 d) 


1 2k
k
sen

 e) 


 

2
3
2
2
)1()1(
k
k
k
k
 f)






1
1
)!12(
!)1(
k
k
k
k
 
 
Respostas dos exercícios complementares: 
1. a) 
7
4
 b) 42/5 c) 
3
448
 2. a) 
9
4
 b) 
99
532
 c) 
1111
869
 
3. a) p = 3, converge b) p = 4/3, converge c) p = ½, diverge 
4. a) diverge b) diverge c) diverge 
5. a) diverge b) diverge c) diverge d) diverge e) converge f) diverge 
6. a) converge b) inconclusivo c) diverge 
7. a) converge b) converge c) converge d) diverge e) converge f) diverge g) converge 
 h) diverge i) converge 
8. 
2
1
,
)12...(5.3.1
!


 
k
k
ak
 converge 
10. a) diverge b) converge 
11. a) converge absolutamente b) diverge c) converge absolutamente 
12, a) condicionalmente convergente b) divergente c) condicionalmente convergente 
 d) divergente e) condicionalmente convergente f) absolutamente convergente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 22 de 28 
SÉRIE DE POTÊNCIAS 
 
 
O principal uso de uma série de potências é que ela fornece uma maneira de representar algumas 
das mais importantes funções que aparecem na matemática, na física e na química. 
 
Série de potências em x é definida como: 
 
...33
2
210
0



xaxaxaaxa
k
k
k
 
Se c é uma constante, e se x for substituído por x – c, então a série resultante tem a forma: 
 
...)()()()( 33
2
210
0



cxacxacxaacxa
k
k
k
 
onde c é o centro da série. 
 
Note que: 
 ao escrever o termo correspondente a k = 0 adotamos a convenção que 
1)( 0  cx
 
mesmo quando 
cx 
. 
 
 quando 
cx 
 todos os termos são iguais a zero para 
1k
, assim a série sempre 
converge e 
0
0
)( acxa
k
k
k 


. 
 
Exemplos: Represente os primeiros termos das seguintes séries, identificando ak e c. 
a) 


0k
kx
 b) 





0
)2(
3
2
k
k
k
x
k
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 


 

0 )1(3
)1(
k
k
kk
k
x
 d) 




0
)1(!
k
kxk
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 




1
2
)5(
k
k
k
x
 f) 


0k
k
!k
x
 
 
 
 
 Página 23 de 28 
 
Intervalo de Convergência 
 
Uma série de potências pode ser encarada como uma função na variável x. Segundo essa 
interpretação, o conjunto de valores de x para os quais a série é convergente representa o 
domínio dessa função. Esse conjunto é também denominado intervalo de convergência. 
Para uma série de potências 




0
)(
n
n
n cxa
, existem apenas três possibilidades: 
 
(1) a série converge apenas para 
cx 
; 
(2) a série converge absolutamente para todo 
IRx
; 
(3) existe um número real positivo 
""R
 tal que a série converge absolutamente para 
todo
x
 tal que 
Rcx 
 e diverge para todo 
x
 tal que 
Rcx 
. 
 
R
é chamado raio de convergência e 
);( RcRc 
 é o intervalo de convergência. 
 
Para determinar o intervalo de convergência de uma série de potências: 
 
1. Aplica-se o Teste da Razão do mesmo modo que para uma série numérica; 
 
2. Testa-se a convergência dos extremos do intervalo individualmente, com os procedimentos 
vistos para séries numéricas. 
 
Exemplos: Vamos determinar o intervalo de convergência das séries: 
a) 


 1 )1(2n
n
n
n
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 




1
2
)5(
k
k
k
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 24 de 28 
c) 


0
!
k
kxk
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 


0k
k
!k
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1: Encontre o intervalo de convergência de cada série: 
 
a) 





0
)2(
3
2
k
k
k
x
k
 b) 




1
)3(
k
k
k
x
 c) 




0
22
2
)!(2
)1(
k
k
kk
k
x
 d) 





0
13
)2(
k
k
kxk
 
 
 
Representação de Funções por Séries 
 
Como visto anteriormente, uma série de potências pode representar uma função quando for 
convergente. 
Como a soma da série pode depender de x, nós escrevemos que 
 
 




0
)(
k
k
k xaxf
 
 Por exemplo: 
x
xxxx
k
k



 1
1
...1 32
0
 para |x| < 1. 
 
Logo a soma da série de potências é a função 






01
1
)(
k
kx
x
xf
, sendo válida para |x| < 1. 
 
 
Exercício 2: Considerando o resultado acima obtenha uma representação em série de potências 
para: 
 a) g1(x) =
x1
1
 b) g2(x) =
x

1
1
 c) g3(x) =
21
1
x
 d) g4(x) = 
x
x
1
3 
 
 Página 25 de 28 
A questão que permanece é “como associar uma função a uma série?” 
 
Trabalhos notáveis realizados no sentido da associação de funções e séries foram desenvolvidos 
pelos matemáticos Colin MacLaurin (1698-1746) e Brook Taylor (1685-1731). 
 
 
 
Série e Polinômio de MacLaurin 
 
A idéia proposta por MacLaurin era supor que uma função poderia ser escrita na forma de uma 
série de potências, ou seja, 
.........)( 2210 k
k xaxaxaaxf
 
 
restando determinar os coeficientes ak adequadamente. Substituindo x por 0 tem-se: 
0
2
210 ...0....0.0.)0( aaaaaf
k
k 
 
 
MacLaurin observou que, nas condições enunciadas, 
 
...........)( 44
3
3
2
210 
k
k xaxaxaxaxaaxf
  
0)0( af 
 
..........4..3..2)(' 134
2
321 
k
k xakxaxaxaaxf
  
1.1)0(' af 
 
....).1.(.....3.4..2.3.2)('' 22432 
k
k xakkxaxaaxf
  
2.1.2)0('' af 
 
....).2).(1.(.....2.3.4.2.3)(''' 343 
k
k xakkkxaaxf
  
3.1.2.3)0(''' af 
 
 ... 
 
Genericamente: 
k
k akf !.)0()( 
 
Ou ainda: 
)0(0 fa 
 
!
)0()(
k
f
a
k
k 
 
 
A forma geral da Série de MacLaurin é, então, dada por 
 
...
!
)0(
...
!2
)0(
!1
)0(
)0()(
)(
2 



 k
k
x
k
f
x
f
x
f
fxf
 
ou 




1
)(
!
)0(
)0()(
k
k
k
x
k
f
fxf
 
 
 
 
Observe que para ser possível a expansão em Série de MacLaurin: 
 
 A função tem de estar definida em x = 0; 
 
 A série deve ser convergente. 
 
 
 
 Página 26 de 28 
Exemplos: Obtenha a série de MacLaurin para as funções: 
 
a) 
xexf )(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 
)()( xsenxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Série e Polinômio de Taylor 
 
Taylor posteriormente generalizou a idéia proposta por MacLaurin, observando que esse processo 
também era válido para uma expansão em um centro c genérico: 
 
A forma geral da Série de Taylor com centro c é dada por 
 
...).(
!
)(
...).(
!2
)(
).(
!1
)(
)()(
)(
2 



 k
k
cx
k
cf
cx
cf
cx
cf
cfxf
 
ou 
 



1
)(
.
!
)(
)()(
k
k
k
cx
k
cf
cfxf
 
 
Observe que para ser possível a expansão em Série de Taylor: 
 
 A função tem de estar definida em x = c; 
 
 A série deve ser convergente. 
 
 
 
 Página 27 de 28 
Observação: 
Ao polinômio gerado pelo truncamento da Série de Taylor no termo de grau n dá-se o nome de 
polinômio aproximador de Taylor de grau n: 
 
n
n
n cx
n
cf
cx
cf
cx
cf
cfxp )(
!
)(
...)(
!2
)(
)(
!1
)(
)()(
)(
2 




 
 
Observe ainda que: 
 
 O polinômio aproximador de grau 1 é a reta tangente à função, estudada em Cálculo A! 
 
 A Série de MacLaurin é a Série de Taylor com centro c = 0. 
 
 
 
Exemplos: Obtenha a série de Taylor para as funções com os centros indicados: 
 
a) 
)xcos()x(f 
 c =  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
x1
1
)x(f


 c = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
x
1
)x(f 
 c = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 28 de 28 
Exercício 3: Encontre a série de Taylor com os centros indicados: 
 
 a) ln(1+ x) , c = 0 b) f(x) = ln x , c = 1 
 c) 
)()( xsenxf 
 c = 
2

 d) f(x) = sen 2x , c = 

 
Exercício 4: Ache a aproximação quadrática local de f(x) = sen (x) em x =
2

. 
Exercício 5: Ache a aproximação quadrática e linear linear local de 
xxf )(
 em x = 1. 
 
Exercício 6: Ache o polinômio de Maclaurin de ordem 4 e, então, ache a série de Maclaurin para 
a função f em forma de somatório, sendo: 
 
a) f(x) = e-2x 
 
b) f(x) =
1x
1

 
 
Exercício 7: Suponha que os valores de uma função f e de suas três primeiras derivadas em x = 1 
são: f(1)= 3, f´(1) = -1, f´´ (1) = 0 f´´´(1) = 5, determine tantos polinômios de Taylor para f quanto 
puder obter em torno de x = 1. 
 
 
Respostas: 
1. a) (-1;5) b) [2;4) c) IR d) (-5;1) 
 
2. a) 
n
n
x)(
0




 b) 
n
0n
x



 c) 
n
n
x 2
0
)(


 d) 
n
n
x 


 3
0
 
3. a) 




1n
n1n
n
x)1(
 b) 
n
x n
n
n )1()1(
1
1 



 c) 




0
2
)!2(
)
2
()1(
n
nn
n
x

 d) 






0
121
)!12(
)1().()2(
n
nnn
n
x  
4. 
2)
2
(
2
1
1

 x
 
 
5. 
2)1(
8
1
)1(
2
1
1  xx
 e 
)1(
2
1
1  x
 
 
6. a) 




0 !
)2(
n
nn
n
x
 b) 
n
n
x



0
 
 
7. 3, 3 – (x-1) e 
6
)1(5
)1(3
3

x
x
 
Exercícios Complementares 
 
Referência: Anton, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. Volume 2. 
 
Página Exercícios 
77 1, 3, 7, 9, 11, 15 (importante), 17, 19, 21 
78 25, 27, 29, 33, 34 
97 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31