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Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, seqüenciais e organizados. UFSC - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL ECV5214 – MECÂNICA DE SÓLIDOS II 2a Atividade de ensino à distância – Semestre 2016-1 1) Calcule a o giro em C da viga abaixo, usando o Método da Viga Conjugada, também conhecido como Método de Mohr. 2) Calcule as reações da viga apoiada engastada e trace os diagramas de esforços internos. 3) Determine a energia de deformação da viga em balanço AB em virtude da tensão de cisalhamento e da tensão normal, sendo que a viga tem seção transversal quadrada e está submetida a uma carga uniformemente distribuída. Faça uma análise da influência da relação L/a, sendo L o comprimento do balanço e a o lado da seção transversal (use gráficos para ilustrar e explique o fenômeno). 4) Uma barra uniforme de rigidez flexional EI é dobrada e carregada como indica a figura. Determinar, usando o Teorema de Castigliano: a) o deslocamento vertical em D; b) a declividade de BC em C. 5) Defina módulo de dureza e módulo de resiliência. 6) Uma plataforma de observação em um parque de animais silvestres está apoiada por uma série de colunas de alumínio tendo comprimento L = 3.25 m e diâmetro externo d = 100 mm. As bases das colunas estão fixadas em pés de concreto e os topos das colunas estão apoiados lateralmente pela plataforma. As colunas estão sendo dimensionadas para sustentar carregamentos compressivos de P = 100 kN. Determine a mínima espessura necessária t das colunas para um coeficiente de segurança igual a 2,5, considerando à flambagem de Euler. (Para o alumínio, use E= 72 GPa, tensão de escoamento do alumínio MPaesc 422=σ ). Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, seqüenciais e organizados. Resolução dos problemas propostos 1) Calcule o giro em C da viga abaixo, usando o Método da Viga Conjugada, também conhecido como Método de Mohr. Pode-se usar uma estrutura equivalente, na qual a força horizontal aplicada é substituída por uma força e um binário atuando em C. Adicionalmente, pode-se trabalhar com o seguimento BCD da viga conforme ilustrado pela figura abaixo, no qual 4,5qa é a reação do trecho AB sobre o ponto B. O diagrama de corpo livre do segmento BCD e as suas reações são ilustrados pela figura a seguir, na qual qaRC 675,8= e qaRD 175,4−= . Faz-se o digrama de momentos fletores da estrutural real Determina-se, também, a viga conjuda da viga real e aplica-se um carregamento fictício igual ao momento fletor da viga real dividido pela rigidez do trecho correspondente da viga conforme ilustrado abaixo. A viga conjugada BCD é uma viga Gerber e pode ser desmembrada, conforme o esquema a seguir. Tem-se que a rotacão em C, na viga real, é igual ao esforço cortante em C na viga conjugada. CC V=θ 398,81 qa EIC −=θ Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, seqüenciais e organizados. 2) Calcule as reações da viga apoiada engastada e trace os diagramas de esforços internos. Vários métodos podem ser usados: método da integração direta, método da superposição de efeitos, teorema de Castigliano. Neste exercício, foi escolhido o Teorema de Castigliano. Substitui-se o vínculo em A por sua reação, Determinam-se os momentos fletores da viga considerando-se também o carregamento RA. A partir do diagrama de corpo-livre do segmento da esquerda da seção S1, efetua-se o equilíbrio de momentos da seção determina-se o momento interno. ∑ = 0sM 0 2 1 =+⋅+− MxwxxRAV 2 2 1 x wxRM AV −= x R M AV = ∂ ∂ 1 A partir do diagrama de corpo-livre do segmento da esquerda da seção S2, efetua-se o o mesmo procedimento e determina-se o momento interno. ∑ = 0sM 0 422 2 =+ +⋅+ +− MxLLwxLRA + +⋅− += x LL wx LRM A 4222 += ∂ ∂ x L R M A 2 2 Para determinar RA por meio do Teorema de Castigliano, sabe-se que: 0= ∂ ∂ = A A R U v ∫ ∂ ∂ = l A A dxR M EI M v Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, seqüenciais e organizados. 0 2 0 22 2 0 11 = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∫∫ L A L A A dxR M EI Mdx R M EI M v Substituindo-se os momentos internos e as suas derivadas em relação a, obtém uma equação adicional que permite chegar ao valor da reação em A, cujo valor é: wLRA 128 41 = Conhecida a reação RA, pode-se determinar o valor das reações do vínculo B, por meio das equações de equilíbrio estático, a partir do diagrama de corpo- livre da viga. Chega-se à: wLRB 128 23 = e 2 128 7 wLM B = Com isso obtém-se um problema isostático em que se pode determinar as outras reações e os diagramas. Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, seqüenciais e organizados. 3) Determine a energia de deformação da viga em balanço AB em virtude da tensão de cisalhamento e da tensão normal, sendo que a viga tem seção transversal quadrada e está submetida a uma carga uniformemente distribuída. Faça uma análise da influência da relação L/a, sendo L o comprimento do balanço e a o lado da seção transversal (use gráficos para ilustrar e explique o fenômeno). Deduziremos a parcela de flexão e cisalhamento separadamente: ∫= V cis dVG U 2 2τ e It QV =τ ∫ = dAdx G It QV U cis 2 2 Fazendo o desenvolvimento da integral, chega-se a dx A V G fU l c cis ∫= 0 2 2 . A seção é quadrada, portanto o fator de forma é igual a 6/5 e o esforço cortante na seção é ( ) wxxV = . Substituindo na equação, tem-se: ( ) dx A wx G U l cis ∫= 0 2 2 5 6 , dx a xw G U l cis ∫= 0 2 22 5 3 , 2 32 2 32 5 1 35 3 a lw Ga xw G U cis == A parcela da energia de deformação referente à flexão é dada por ∫= V flexão dVE U 2 2σ e I My −=σ . ∫ − = V flexão dVE I My U 2 2 , dx EI MU l flexão ∫= 0 2 2 , sendo ( ) 2 2wx xM = . dx EI wx U l flexão ∫ = 0 22 2 2 dx EI xw U l flexão ∫= 0 42 2 4 , EI lw EI xwdx EI xwU ll flexão 40588 52 0 52 0 42 = ⋅ == ∫ Calculando-se o momento de inércia para a seção, tem-se: 12 4aI = , . 10 3 40 12 12 40 4 52 4 52 4 52 Ea lw Ea lw aE lwU flexão === Logo, a energia de deformação total da viga devida ao cisalhamento e à flexão é dada por: 4 52 2 32 10 3 5 1 Ea lw a lw G U += , += 2 4 52 3 21 10 3 L a G E Ea lwU . Supondo que G = E/2, tem-se: += 2 4 52 3 41 10 3 L a Ea lwU .L a U U flexão 1 0,428571429 0,6 0,675675676 0,4 0,824175824 0,2 0,949367089 0,1 0,986842105 0,05 0,996677741 0,04 0,997871208 0,02 0,999466951 Com isso, percebe-se que a representatividade da energia de deformação devida ao cisalhamento é altamente dependente da esbeltez do elemento, Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, seqüenciais e organizados. sendo que, quanto mais esbelto o elemento considerado, menos representativo é a energia de deformação devida ao cisalhamento. Quando a relação a/L = 0,1, a energia de deformação representa menos de 2% da energia total do sistema. Porém isso não se verifica, para materiais como os polímeros, cuja relação entre E e G é maior. Analisando-se a razão flexão cis U U , chega-se: 2 2 = L a G E U U flexão cis . Para vigas em madeira, tem-se que o 16 EG ≈ , tem- se: 2 32 = L a U U flexão cis . Logo L a flexão cis U U 1 32 0,6 11,52 0,4 5,12 0,2 1,28 0,1 0,32 0,05 0,08 0,04 0,0512 0,02 0,0128 Percebe-se que, quando a/L = 0,1 a energia de deformação representa 32% da energia de flexão. Isso representa uma contribuição elevada para a deformação total da estrutura. Vale lembrar que alguns métodos usados para a determinação de deslocamentos transversais e rotações em vigas são desenvolvidos considerando apenas as energias de deformação devidas à flexão, não sendo indicados para a análise de estruturas pouco esbeltas ou que apresentam módulo de elasticidade transversal (G) muito menor que o módulo de elasticidade longitudinal (E). Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, seqüenciais e organizados. 4) Uma barra uniforme de rigidez flexional EI é dobrada e carregada como indica a figura. Determinar, usando o Teorema de Castigliano: a) o deslocamento vertical em D; b) a declividade de BC em C. Item (a) O Teorema de Castigliano define que o deslocamento é dado por D D Q U v ∂ ∂ = . Se for considerada somente a energia de deformação da estrutura devida à flexão sobre toda a estrutura. Divide-se a integral em 3 domínios de integração, que são os trechos AB, BC e CD. Logo, ∫ ∂ ∂ = estr D D dxQ M EI M v ∫ ∫∫ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = L D CDCD L D BCBC L D ABAB D dxQ M EI M dxQ M EI MdxQ M EI M v 0 00 ]'0[ lx << PxQlM AB +−= ]''0[ lx << QxQlPlM BC += ]'''0[ lx << PxPlM CD = l dQ dM AB = xl dQ dM BC += 0= dQ dM CD ( )( ) ( )( −+−+−−= ∫∫ LL D xQxQlPldxlQlPxEI 00 1 υ ( ) +−+−= ∫∫ LL D dxPlxPlPlxdxEI 0 2 0 1 υ [ ] +− −= L L L D xPlxPlxPl EI 0 2 0 2 0 2 22 1 υ +−−= 22 1 333 PlPlPl EID υ ↑−= EI Pl D 3 υ A direção e sentido do deslocamento vD são os mesmos de Q arbitrado, pois o valor obtido é positivo. Item (b) Deseja-se determinar a declividade da linha elástica em C. O Teorema de Castigliano define que a rotação é dada por C C M U ∂ ∂ =θ . Se for considerada somente a energia de deformação da estrutura devida à flexão, tem-se: ∫ ∂ ∂ = estr C C dxM M EI Mθ ∫ ∫∫ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = L C CDCD L C BCBC L C ABAB C dx M M EI M dx M M EI Mdx M M EI M 0 00 θ ]'0[ lx << PxQM AB += ]''0[ lx << PlQM BC += ]'''0[ lx << )-( xlPM CD = 1= dQ dM AB 1= dQ dM BC 0= dQ dM CD ( ) ( ) ++++= ∫∫ 0 1 00 LL C dxPlQdxPxQEIθ Substituímos Q = 0 na fórmula, pois Q é um momento fictício. O sentido da rotação θc é o Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, seqüenciais e organizados. mesmo do momento fictício arbitrado, pois o valor obtido é positivo. . 2 3 2 EI Pl C =θ 5) Defina o que é módulo de dureza e módulo de resiliência Módulo de Resiliência é a densidade da energia de deformação no material quando a tensão σ atinge o limite de proporcionalidade, sendo dado por: E u lp lplpr 2 2 1 2 1 σ εσ == A resiliência de um material representa a sua capacidade de absorver energia sem sofrer qualquer dano permanente. O módulo de dureza de um material representa a densidade de energia de deformação do material imediatamente antes da ruptura. Essa propriedade deve ser considerada quando se projeta elementos que possam ser sobrecarregados acidentalmente, sendo que a mesma indica como o elemento irá se comportar até a sua ruptura. Cada questão deverá apresentar os cálculos necessários para a justificativa da resposta. Os cálculos deverão ser legíveis, seqüenciais e organizados. 6) Uma plataforma de observação em um parque de animais silvestres está apoiada por uma série de colunas de alumínio tendo comprimento L = 3.25 m e diâmetro externo d = 100 mm. As bases das colunas estão fixadas em pés de concreto e os topos das colunas estão apoiados lateralmente pela plataforma. As colunas estão sendo dimensionadas para sustentar carregamentos compressivos de P = 100 kN. Determine a mínima espessura necessária t das colunas para um coeficiente de segurança igual a 2,5, considerando à flambagem de Euler. (Para o alumínio, use E= 72 GPa, tensão de escoamento do alumínio MPaesc 422=σ ). Considerando-se que na construção da coluna, ela pode ser considerada engastada na base e rotulada na extremidade superior→ Lef = 0,7L; Assim, a carga crítica será dada por ( )2 2 2 2 7,0 L EI L EIP ef cr pipi == e o momento de inércia por [ ]44 64 IEIE ddIII −=−= pi , ( ) ( )[ ]44 21,01,0 64 tmmI −−= pi . A coluna de resistir 2,5 vezes mais que a carga atuante de 100 kN (CS = 2,5), portanto a coluna deve ser dimensionada para resistir a 250 kN. Logo ( ) ( )[ ] ( ) Nm tmm m N Pcr 5 2 44 2 92 105,2 25,37,0 21,01,0 64 1072 ⋅= ⋅ −− ⋅ = pi pi ( ) ( ) 4644 1009,3721,01,0 mtmm −⋅=−− , ( ) 464 1091,6221,0 mtm −⋅=− , mtm 089,021,0 =− , mt 0055,0= , portanto mmtmín 5,5= . É necessário verificar se a falha ocorrerá por flambagem ou por escoamento do alumínio. Para isso é preciso determinar o índice de esbeltez da coluna, dado por: r Lef =λ . O raio de giração r é dado por A I r = . Considerando a espessura da coluna, aquela que foi calculada mmt 85,6= . Tem-se: [ ] ( ) ( )[ ]4444 89100 6464 mmmmddI IE −=−= pipi 4610829,1 mmI ⋅= . A área da seção transversal é dada por [ ] ( ) ( )[ ]2222 89100 44 mmmmddA IE −=−= pipi 288,1632 mmA = . Logo, mm mm mm r 47,33 1632 10829,1 2 46 = ⋅ = , 0,68 47,33 32507,0 = ⋅ = mm mmλ O índice de esbeltez limite pode ser obtido pela equação 2 2 λ pi σ E cr = , quando a tensão crítica for igual à tensão de escoamento do alumínio MPaesc 422=σ 22 2 422 mm NE cr == λ pi σ 9,1683 422 72000 2 2 2 2 lim = ⋅ = mm Nmm N pi λ . 08,41lim =λ . Com limλλ > , indica que a coluna falhará por flambagem. A tensão crítica de flambagem, considerando o coeficiente de segurança igual a 2,5 é MPa mm kN A Pcr cr 1,15388,1632 250 2 ===σ .
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