Lista de Integrais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E BIOLO´GICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Sexta lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Diferencial e Integral A - MTM 700
Professor: Vin´ıcius V. P. de Almeida
1. Verifique se F1(x) = x
2 − 2x, F2(x) = x2 − 2x − 1 e F3(x) = (x − 1)2 sa˜o antiderivadas de
f(x) = 2x − 2. Fac¸a o gra´fico de F1, F2 e F3 no mesmo plano coordenado. Como se relacionam
estes gra´ficos? Que podemos dizer sobre o gra´fico de qualquer outra antiderivada de f ?
2. Utilize as regras ba´sicas de integrac¸a˜o para resolver a integral indefinida e verifique o resultado
por diferenciac¸a˜o.
a)
∫
1dx b)
∫
1
t
dt c)
∫
etdt
d)
∫
3
x5
dx e)
∫
[sen(t) + cos(t)]dt f)
∫
x3−1
x−1 dx
g)
∫
sec utgudu h)
∫
(x4 + 5x2 − 3)dx i) ∫ 3√x2dx
j)
∫
(4 + 4tg2v)dv k)
∫
t2+2
t2
dt l)
∫
1
sen2z
dz
3. Identifique f(g(x))g′(x) no integrando, fac¸a a substituic¸a˜o u = g(x) e reescreva a integral em
termos de u e du. Depois calcule as integrais indefinidas a partir das integrais obtidas apo´s a
substituic¸a˜o.
a)
∫ √
1− 3x dx b)
∫
xe−x
2
dx c)
∫
1√
t− 1dt d)
∫
e4x
1− e4xdx.
4. Calcule as integrais indefinidas:
a)
∫
x2 − 1√
2x− 1 dx b)
∫
6x+
√
2x
x
dx c)
∫
3x2
√
3− x3dx d)
∫
x2
(x+ 1)2
dx
e)
∫
3t√
1− t2 dt f)
∫
x2
√
1− x dx g)
∫
tgx sec2 x dx h)
∫
(senx+ cosx)2 dx
i)
∫
7
cossecx
dx j)
∫
xsen(x2) dx k)
∫
ecosxsenx dx l)
∫
xe3x dx
m)
∫
ln x dx n)
∫
xarctgx dx o)
∫
x sec2 x dx p)
∫
x2 cosx dx
q)
∫
senx ln(cosx) dx r)
∫
ex cos x dx s)
∫
sec3 x dx t)
∫
sen(ln x) dx
u)
∫
xex
(x+ 1)2
dx v)
∫
x(2x+ 3)99 dx w)
∫
1
x(1 + ln2 x)
dx x)
∫
e−
√
x
√
x
dx.
5. Calcule as integrais indefinidas:
a)
∫
5x− 2
x2 − 4 dx b)
∫
x2 + x+ 1
(2x+ 1)(x2 + 1)
dx c)
∫
1
x2(x+ 1)2
dx
d)
∫
3x+ 1
(x2 − 4)2dx e)
∫
x2 + 4x− 1
x3 − x dx f)
∫
x4 + 1
x4 − 1 dx
g)
∫
1
x3 + x2 + x
dx h)
∫
6x2 − 2x− 1
4x3 − x dx i)
∫
e3x
(ex + 1)(e2x + 1)
dx
j)
∫
1
16x4 − 8x2 + 1 dx k)
∫
4x− 2
x3 − x2 − 4 dx l)
∫
2x3 + 9x
(x2 + 3)(x2 − 2x+ 3) dx
2
m)
∫
1− x
x2 + 3x+ 2
dx n)
∫
1
9x4 + x2
dx o)
∫ √
4− x2
x2
dx
p)
∫ √
x2 − 4
x2
dx q)
∫
x2√
x2 + 6
dx r)
∫
1
(16 + x2)3/2
dx
s)
∫ √
16− e2x
ex
dx t)
∫
1√
x2 − 4 dx u)
∫
1
2 + x2
dx
6. Calcule as integrais indefinidas:
a)
∫ √
x2 + 10x dx b)
∫
2x
x2 + 2x+ 5
dx c)
∫
1
(x2 − 6x+ 34)3/2 dx
d)
∫
x+ 5
9x2 + 6x+ 17
dx e)
∫
1
x2 − 2x+ 2 dx f)
∫
1√
7 + 6x− x2 dx
g)
∫
x+ 1
x2 + 1
dx h)
∫
ee
ex
ee
x
ex dx i)
∫
1
x
√
ln x
dx
j)
∫
sen4x dx k)
∫
cos4 x dx l)
∫
ln(x2 + 1) dx
m)
∫
earctgx
1 + x2
dx n)
∫
3x+ 2√
1− x2 dx o)
∫
x4(lnx)2 dx
p)
∫
tgx dx q)
∫
sen(
√
x) dx r)
∫
1
t4 + t3
dt
s)
∫
et cos(2t) dt t)
∫
x3√
4x2 + 1
dx u)
∫
lnx√
x
dx
v)
∫
ln(sen2x)senx cosx
sen2x
dx w)
∫
sec2(6/x3)
x4
dx x)
∫
x arcsenx dx.
7. Calcule as integrais indefinidas:
b)
∫ (
1
3θ3
+ 3e3θ − tgθ
)
dθ c)
∫
(x2 + 3x)4(4x+ 6) dx d)
∫
x3 + 2x+ 1
(2x+ 1)(x2 − 2x+ 2) dx
e)
∫
e2xsen(e2x)
cos(e2x)
dx f)
∫
cos3 xsen2x dx g)
∫
et
e2t + 1
dt
h)
∫
3x+ 5
1 + x2
dx i)
∫
sec x dx j)
∫
1
(
√
1− x2) arcsenx dx
k)
∫
cossec 2x
1 + cotgx
dx l)
∫
tgx ln(cos x) dx m)
∫
1
x(1 + ln2 x2)
dx
n)
∫
1
x2
√
16 + x2
dx o)
∫
ln(x+ 1)
x2
dx p)
∫
x√
24 + 2x− x2 dx.
8. Encontre f(x), sabendo que f ′′(x) = x3 + senx+ cosx+ 1, f ′(0) = 1 e f(0) = 2.
9. Encontre f(x), sabendo que f ′′(x) = 3x + cos 2x, f ′(0) =
1
ln 3
e f(0) = −1
4
.
10. Calcule as seguintes integrais verificando, por meio da derivac¸a˜o, se a resposta encontrada esta´
correta (somente do item a) ate´ o item f)):
a)
∫
x2−x dx b)
∫
x3x dx c)
∫
x5−x
2
dx d)
∫
x2
1 + x2
dx
e)
∫
sen(senθ) cos θ dθ f)
∫
tg(5/x)
x2
dx g)
∫
cos 3x√
5 + 2sen3x
dx h)
∫
ex − e−x
ex + e−x
dx
i)
∫
arctgx dx j)
∫
x sec x2 dx k)
∫
( 3
√
x+ cos2(5x)) dx l)
∫
x2√
1− x dx
m)
∫
ln(x2 + 1) dx n)
∫
3x cos x dx o)
∫ √
1 + 2senx cosx dx p)
∫
x2
3
√
x2 + 9
dx.