eletrostatica

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Exercícios de Aula 
01. (VUNESP 05) 
Em um modelo atômico simples, proposto por Bohr em 1913, um núcleo 
contendo prótons e nêutrons é rodeado por elétrons que giram em órbitas 
circulares de raio rn, onde a força de atração elétrica do núcleo positivo sobre 
cada elétron segue a lei de Coulomb. Utilizando esse modelo para o caso do 
átomo de hidrogênio (um único elétron girando em torno de um núcleo que 
contém um próton), 
a) determine a direção, o sentido e a expressão para o módulo da força 
elétrica, atuando sobre o elétron, em função da carga e do elétron, do raio rn e 
da constante eletrostática no vácuo K. 
b) determine a expressão para a velocidade v da órbita do elétron em função 
da carga e e da massa me do elétron, do raio rn e da constante eletrostática no 
vácuo K. 
 
 
 
Resposta: 
a) 
2
2
n
K.e
F
r
= , na direção da reta que passa pelo próton e pelo elétron, no sentido do 
elétron para o próton (atração). 
b) 
e n
K
v e
m .r
= 
Resolução: 
a) A intensidade da força F
r
 com que o próton atrai o elétron por ser determinada a 
partir da Lei de Coulomb: 
 
Como |qpróton| = |qelétron| = e, temos 
 
• A direção de F
r
 é a da reta que passa pelo próton e pelo elétron. 
• O sentido é do elétron para o próton (atração). 
 
 
b) Segundo o modelo de Bohr, o elétron realiza um MCU ao redor do próton. Dessa 
forma, a força F
r será a resultante centrípeta: 
 
02. (FUVEST 03) 
Duas pequenas esferas metálicas, A e B, são mantidas em potenciais 
eletrostáticos constantes, respectivamente, positivo e negativo. As linhas 
cheias do gráfico representam as intersecções, com o plano do papel, das 
superfícies equipotenciais esféricas geradas por A, quando não há outros 
objetos nas proximidades. De forma análoga, as linhas tracejadas representam 
as intersecções com o plano do papel, das superfícies equipotenciais geradas 
por B. Os valores dos potenciais elétricos dessas superfícies estão indicados no 
gráfico. As questões se referem à situação em que A e B estão na presença 
uma da outra, nas posições indicadas no gráfico, com seus centros no 
plano do papel. 
x(m)
y(m)
S
P
A B
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14
– 
15
0V
–2
00
V +100
–25
0V
–30
0V
–40
0V
–50
0V
–1
000
V
–2
00
0V
+125V
+150V
+200V+250V+300V+400V+500V
+1000V
 
 
 
NOTE/ADOTE 
Uma esfera com carga Q gera, fora dela, a uma distância r do seu centro, 
um potencial V e um campo elétrico de módulo E, dados pelas expressões: 
V = K(Q/r) E = K(Q/r2) = V/r K = constante; 1 volt/metro = 1 
newton/coloumb 
 
 
a) Trace, com caneta, em toda a extensão do gráfico da folha de respostas, a 
linha de potencial V = 0, quando as duas esferas estão nas posições indicadas. 
Identifique claramente essa linha por V = 0. 
b) Determine, em volt/metro, utilizando dados do gráfico, os módulos dos 
campos elétricos EPA e EPB criados, no ponto P, respectivamente, pelas esferas 
A e B. 
c) Represente, em uma escala conveniente, no gráfico, com origem no ponto 
P, os vetores EPA, EPB e o vetor campo elétrico EP resultante em P. Determine, 
a partir desta construção gráfica, o módulo de EP, em volt/metro. 
d) Estime o módulo do valor do trabalho τ, em joules, realizado quando uma 
pequena carga q = 2,0nC é levada do ponto P ao ponto S, indicados no 
gráfico. 
(2,0nC = 2,0 nanocoulombs = 2,0 ⋅ 10–9C). 
 
 
 
Resposta: 
a) 
 
b) EPA = 6250 V/m e EPB = 3125 V/m. 
c) 
 
 
 
EP = 7812,5 V/m 
d) 7,0.10–7 J 
Resolução: 
a) Verifica-se, no gráfico, que nos pontos (1), (2), (3) e (4) a soma dos potenciais 
produzidos pelas duas esferas é nulo. Portanto, tais pontos pertencem ao lugar 
geométrico dos pontos onde V = 0: 
 
 
b) Utilizando-se a escala do gráfico do enunciado: 1cm → 0,02m, temos que rA 
≈ 0,04m. 
Como VPA 250V= , tem–se que a intensidade do campo elétrico EPAé: 
m/V6250E,
r
V
E PA
A
PA
PA =∴= 
Analogicamente: rB ≈ 0,08 m e VPB= –250V, 
Então: EPB=3125V/m. 
c) Na figura, utilizaremos para os vetores campos elétricos a escala: 
1cm → 3125V/m 
Como EP corresponde a 2,5cm, tem-se: 
EP = 2,5 • 3125 ∴ EP = 7812,5 V/m 
 
 
 
d) O trabalho realizado (τ) pela força elétrica no deslocamento da carga q, desde o 
ponto P até o ponto S, é: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
=
=
=
–350V5000–150V
0V
2,0.10q
:onde),V–q(V
S
P
9–
SP
τ 
Portanto, 
τ = 2,0.10–9 [0 – (– 350)] ∴ τ = 7,0.10–7 J 
03. (UNICAMP 05) 
A durabilidade dos alimentos é aumentada por meio de tratamentos térmicos, 
como no caso do leite longa vida. Esses processos térmicos matam os 
microorganismos, mas provocam efeitos colaterais indesejáveis. Um 
dos métodos alternativos é o que utiliza campos elétricos pulsados, 
provocando a variação de potencial através da célula, como ilustrado na figura 
abaixo. A membrana da célula de um microorganismo é destruída 
se uma diferença de potencial de ∆Vm = 1V é estabelecida no interior da 
membrana, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
a) Sabendo-se que o diâmetro de uma célula é de 1 µm, qual é a intensidade 
do campo elétrico que precisa ser aplicado para destruir a membrana? 
b) Qual é o ganho de energia em eV de um elétron que atravessa a célula sob 
a tensão aplicada? 
 
 
 
Resposta: 
a) E = 2 × 106 V/m. 
b) 2 eV. 
Resolução: 
a) Na direção do campo elétrico indicado, a ddp ao longo do diâmetro (d = 1µm) da 
célula é: 
 U = 2∆Vm = 2V 
Considerando-se o campo elétrico uniforme: 
 Ed = U ∴ E × 10–6 = 2 ⇒ E = 2 × 106 V/m 
b) O ganho de energia pode ser medido pelo valor absoluto do trabalho da força 
elétrica: 
 |τFe| = e × U = e × 2 ∴ |τFe| = 2 eV 
Exercícios-Tarefa 
01. (VUNESP 03) 
Considere duas pequenas esferas condutoras iguais, separadas pela distância 
d = 0,3m. Uma delas possui carga Q1 = 1 × 10–9 C e a outra Q2 = – 5 × 10–10C. 
Utilizando 1/(4πε0 ) = 9 × 109 N · m2/C2, 
a) calcule a força elétrica F de uma esfera sobre a outra, declarando se a força 
é atrativa ou repulsiva. 
b) A seguir, as esferas são colocadas em contato uma com a outra e 
recolocadas em suas posições originais. Para esta nova situação, calcule a 
 
 
força elétrica F de uma esfera sobre a outra, declarando se a força é atrativa 
ou repulsiva. 
 
 
 
Resposta: 
a) 5.10-8 N de atração. 
b) 6,25.10-9 N (repulsiva). 
Resolução: 
a) Para a situação descrita no enunciado, haverá atração elétrica, pois as cargas Q1 e 
Q2 são de sinais opostos. 
A intensidade da força elétrica é obtida por meio da Lei de Coulomb. 
 
 
 
b) Após o contato, as duas esferas, sendo idênticas, apresentarão cargas de mesmo 
valor, caracterizando repulsão elétrica. 
O valor das cargas Q’1 e Q’2 após o contato é calculado por: 
 
 
 
Assim, a intensidade da força elétrica na nova situação passará a ser: 
 
 
02. (VUNESP 02) 
Uma pequena esfera, P, carregada positivamente, está fixa e isolada, numa 
região onde o valor da aceleração da gravidade é g. Uma outra pequena 
esfera, Q, também eletricamente carregada, é levada para as proximidades de 
P. Há duas posições, a certa distância d de P, onde pode haver equilíbrio entre 
 
 
a força peso atuando em Q e a força elétrica exercida por P sobre Q. O 
equilíbrio ocorre numa ou noutra posição, dependendo do sinal da carga de Q. 
Despreze a força gravitacional entre as esferas. 
a) Desenhe no seu caderno de respostas um esquema mostrando a esfera P, a 
direção e o sentido de g e as duas posições possíveis definidas pela distância d 
para equilíbrio entre as forças sobreQ, indicando, em cada caso, o sinal da 
carga de Q. 
b) Suponha que a esfera Q seja trazida, a partir de qualquer uma das duas 
posições de equilíbrio, para mais perto de P, até ficar à distância d/2 desta, e 
então abandonada nesta nova posição. Determine, exclusivamente em termos 
de g, o módulo da aceleração da esfera Q no instante em que ela é 
abandonada. 
 
 
 
Resposta: 
a) 
 
b) a = 3g 
Resolução: 
a) Do enunciado, vem: 
 
b) Na situação de equilíbrio do item a, a força eletrostática entre as cargas é igual ao 
peso p da pequena esfera de carga Q. Reduzindo a distância entre as cargas para a 
metade, a força eletrostática entre elas aumenta 4 vezes, ou seja, passa a valer 4p. 
Assim, a força resultante sobre a pequena esfera vale 4p – p = 3p. Sua aceleração é 
dada pelo Princípio Fundamental da Dinâmica: 
FR = m.a 
3p = m.a 
3.m.g = m.a 
a = 3g 
 
 
03. (VUNESP 02) 
O elétron e o próton de um átomo de hidrogênio estão separados por uma 
distância de, aproximadamente, 5,0 . 10– 11 m. Determine 
a) o módulo da força elétrica atrativa entre o elétron e o próton; 
b) a força elétrica sobre o próton, se este estiver localizado em um campo 
elétrico de intensidade 2 . 104 N/C. 
Dados: Constante de Coulomb k ≅ 9,0 . 109 N m2 /C2; a carga do elétron ou 
próton tem magnitude q = 1,6 . 10– 19 C. 
 
 
 
Resposta: 
a) 9,2.10-8 N 
b) 3,2.10-15 N 
Resolução: 
d = 5,0 . 10– 11 m 
a) F = ? 
N10.2,9
10.25
10.2304
F
)10.5(
10.6,1.10.6,1.10.9
F
d
Q.qk
F
8–
22–
29–
211–
19–19–9
2
==
=
=
 
b) 
F = q.E 
F = 1,6 . 10–19 . 2 . 104 = 3,2 . 10–15 N 
04. (UNICAMP 02) 
Eletroforese é um método utilizado para separação de macromoléculas 
biológicas, como, por exemplo, no seqüenciamento do DNA. Numa medida de 
eletroforese, apresentada na figura da esquerda, compara-se uma amostra 
desconhecida de DNA com um padrão conhecido. O princípio de funcionamento 
do método é arrastar os diferentes fragmentos do DNA, com carga elétrica q, 
por meio de um campo elétrico E em um meio viscoso. força de atrito do meio 
viscoso é f =– αv, sendo v a velocidade do fragmento de DNA ou de outra 
macromolécula qualquer. A constante α depende do meio e das dimensões da 
macromolécula. 
a) Qual é a expressão para a velocidade terminal da macromolécula que 
atravessa meio viscoso sob a ação do campo elétrico? 
 
 
b) Sob certas condições, a velocidade terminal depende apenas da massa 
molecular do fragmento de DNA, que pode ser expressa em número de pares 
de base (pb). Identifique, pelo gráfico à direita, o número de pares de base da 
amostra desconhecida de DNA, presente na figura da esquerda. 
1 2 3 4 5
Comprimento da migração (cm)
P
ar
es
 d
e 
ba
se
 (p
b)
DNA
padrão
DNA
amostra
200 pb
5430 pb
3830 pb
1240 pb
954 pb
0
1
2
3
4
5
104
103
102
 
 
 
 
Resposta: 
a) 
α=
E.q
v 
b) 2 . 103 pares de base. 
Resolução: 
a) Desprezando as ações gravitacionais, a expressão da velocidade terminal (v) é 
obtida para condição de equilíbrio como segue: 
α=
=α
=
α=
=
E.q
v
E.qv
E.qF
vf
Ff
.el
.el
 
b) Do gráfico da esquerda, concluímos que o comprimento de migração da amostra é 
de 2,4 cm. No gráfico mono-log da direita, temos: 
 
 
 
Assim, a amostra desconhecida possui 2 . 103 pares de base. 
Obs.: a notação correta para a força de atrito viscoso é vf r
r α–= . 
 
 
05. (VUNESP 03) 
Duas partículas com carga 5 × 10– 6 C cada uma estão separadas por uma 
distância de 1 m. Dado K = 9 × 109 Nm2 /C2, determine 
a) a intensidade da força elétrica entre as partículas; 
b) o campo elétrico no ponto médio entre as partículas. 
 
 
 
Resposta: 
a) 0,225 N 
b) Nulo. 
Resolução: 
a) Pela Lei de Coulomb, temos: 
 
b) No ponto médio entre as partículas, os campos elétricos gerados por elas possuem 
mesma intensidade, mesma direção e sentidos opostos, ou seja, o campo elétrico 
resultante é nulo. 
06. (VUNESP 04) 
Duas partículas de cargas Q1 e Q2 estão separadas por uma distância d e se 
atraem com força de intensidade F = 0,2 N. 
Dado: k = 9 x 109 N.m2/C2. 
a) Determine a intensidade da força entre as cargas, se a carga Q2 tiver o seu 
valor dobrado e a distância entre as cargas for duplicada. 
b) Considerando Q1 = 4 x 10–8 C e d = 40 cm, calcule o potencial devido à 
carga Q1 no ponto médio entre Q1 e Q2. 
 
 
 
Resposta: 
a) 0,1N 
b) 1,8kV 
Resolução: 
a) De acordo com a Lei de Coulomb, temos: 
 
b) 
 
 
 
 
07. (FUVEST 01) 
Duas pequenas esferas, com cargas positivas e iguais a Q, encontram-se fixas 
sobre um plano, separadas por uma distância 2a. Sobre esse mesmo plano, no 
ponto P, a uma distância 2a de cada uma das esferas, é abandonada uma 
partícula com massa m e carga q negativa. Desconsidere o campo 
gravitacional e efeitos não eletrostáticos. Determine, em função de Q, K, q, m 
e a. 
Pq
2a 2a
Oa a
Q Q
 
a) A diferença de potencial eletrostático V = VO –VP , entre os pontos O e P. 
b) A velocidade v com que a partícula passa por O. 
c) A distância máxima Dmax , que a partícula consegue afastar-se de P. Se essa 
distância for muito grande, escreva Dmax =infinito. 
A força F entre duas cargas Q1 e Q2 é dada por F =K . Q1 . Q2/ r2 onde r é a 
distância entre as cargas. O potencial V criado por uma carga Q, em um ponto 
P, a uma distância r da carga, é dado por: V =K Q/r. 
 
 
 
Resposta: 
 
 
a) 
KQ
V
a
= 
b) 
m.a
KQq2v = 
c) a32D .máx = 
 
Resolução: 
a) Desconsiderando a presença da carga q, temos: 
a
KQV
a
KQ
a
KQV
a
KQV
a
KQV
VVV
P
O
PO
=
=
=
=
=
2
2–2
2
2
2
–
 
b) Considerando a resultante como a força elétrica, do Teorema da Energia Cinética, 
temos: 
m.a
KQq2v
2
mv
a
KQ.q
)v–v(
2
mV.q
)v–v(
2
mE
V.q
E
2
2
0
2
2
0
2
C
O
PF
O
PR
C
O
PR
.el
=
=
=
=∆
=τ=τ
∆=τ
rr
r
 
c) Como o sistema é conservativo, a partícula q descreve um movimento periódico 
em torno do ponto O. 
Assim, a distância máxima Dmáx. que a partícula consegue afastar-se de P é o dobro 
da distância, 22 –)2( aaPO = ou seja: 
a32D
a–)a2(2D
.máx
22
.máx
=
=