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Universidade Federal de Sergipe Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnologia Departamento de Matema´tica Vetores & Geometria Anal´ıtica– Lista 1 I Semestre/2016 Prof. Douglas F. de Albuquerque e-mail: douglas@ufs.br E. 1 . Dados os pontos A(1, 2, 3), B(0, 1, 2), C(0, 0, 3) e D(1, 2, 0). Quais destes pontos esta˜o (a) no plano xy, (b) no eixo z, (c) no plano yz? E. 2 . Dado um extremo de um segmento retil´ıneo A(2, 3,−1) e seu ponto me´dio C(1, 1, 1). Encontre o outro extremo B(x, y, z) do segmento. E. 3 . Encontre os valores de a, b e c nas fo´rmulas de translac¸a˜o x′ = x + a y′ = y + b z′ = z + c , se sob esta translac¸a˜o o ponto A(1, 2, 0) muda para A(2, 1, 0). E. 4 . Considere os vetores ~a = (1, 0, 1),~b = (−1, 1, 2),~c = (0, 2,−1). (a) Represente estes vetores em func¸a˜o dos vetores unita´rios ~i,~j e ~k, (b) obtenha o produto vetorial ~a×~b, ~a×~b× ~c ,~b× ~c, (c) obtenha o produto misto ~a · (~b×~b) ,~b · (~c× ~a) . E. 5 . Obtenha o comprimento dos vetores ~v = (2, 2, 1), ~u = (1, 0, 1) e ~w = (2, 0, 1). E. 6 . Obtenha o produto escalar entre os vetores acima, bem como a) ~v · (~u + ~v) . b) ~u · (2~u− ~v) . E. 7 . Obtenha os valores de a de modo que os vetores (a) ~v = (1, a), ~u = (2, 5), sejam paralelos; (b) ~v = (a, 2), ~u = (a,−2), sejam ortogonais. E. 8 . Encontre o cosseno do aˆngulo entre os vetores (a) ~x = (1, 2), ~u = (2,−3). (b) ~x = (1, 0), ~u = (0, 1). (c) ~v = (0, 2), ~u = (3,−3). (d) ~v = (1, a,−a), ~u = (2, 5, 4). (e) ~v = (1, 1,−1), ~u = (2,−7, 9). E. 9 . Escreva os vetores ~u = (a, b), ~v = (−1, 2), ~w = (3,−4, 5) e ~x = (2,−1, 4) em termos dos vetores unita´rios ~i,~j e ~k, e os represente. 1 E. 10 . Que condic¸o˜es devem ser satisfeitas pelos vetores ~x e ~y para que sejam va´lidas as relac¸o˜es (a) |~x + ~y| = |~x− ~y| . (b) |~x + ~y| > |~x− ~y| . (c) |~x + ~y| < |~x− ~y| . E. 11 . Mostre que (a) (~v + ~u) 2 + (~v − ~u)2 = 2 (~v 2 + ~u 2) . (b) −uv ≤ ~u · ~v ≤ uv. Em que casos ocorre a igualdade? (c) ~p = ~b (~a · ~c)− ~c ( ~a ·~b ) e´ perpendicular ao vetor ~a. E. 12 . Sendo ~x, ~y e ~z vetores unita´rios satisfazendo a condic¸a˜o ~x+~y+~z = ~0, obtenha ~x ·~y+~y ·~z+~z ·~x. E. 13 . Determinar o lugar geome´trico dos extremos de uma varia´vel vetorial ~x, se sua origem esta´ em um ponto dado A e o vetor ~x satisfaz a relac¸a˜o ~x · ~a = p , onde ~a e´ um vetor dado e p e´ um nu´mero. E. 14 . Considere os vetores ~a = 2~i−~j + 3~k, ~b =~i− 3~j + 2~k e ~c = 3~i+ 2~j − 4~k. Determine o vetor ~x que satisfaz as condic¸o˜es ~x · ~a = −5 , ~x ·~b = −11 e ~x · ~c = 20 . E. 15 . Os ve´rtices de um triaˆngulo sa˜o descritos pelos pontos A(−1,−2, 4) , B(−4,−2, 0) e C(3,−2, 1) . Determine o aˆngulo interno do ve´rtice B. E. 16 . O vetor ~X e´ perpendicular aos vetores ~a = 3~i + 2~j + 2~k e ~b = 18~i− 22~j − 5~k e forma com o eixo y um aˆngulo obtuso. Determine as coordenadas de ~X sabendo que X = 14. E. 17 . Determine a projec¸a˜o do vetor ~S = (4,−3, 2) sobre o eixo que forma com os eixos coordenados aˆngulos agudos iguais. 2
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