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1. EDO homogênea 
 
Uma EDO de primeira ordem é dita homogênea se 
 
 
 pode ser escrito como uma 
função que depende unicamente da razão 
 
 
, isto é, se tem a forma 
 
 
 (
 
 
) 
 
Para resolver a equação, faremos a mudança de variáveis 
 
 
. Assim, , e 
temos 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
Assim, a equação que define a EDO homogênea se torna 
 
 
 
 ( ) 
que rearrumada se torna 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
que é uma equação de variáveis separáveis. 
 
Exemplo 14: Resolva a EDO 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que essa EDO pode ser escrita como 
 
 
 (
 
 
) (
 
 
) 
Fazendo a mudança de variável e usando o que vimos acima, a EDO se torna 
 
 
 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
Essa equação é de variáveis separáveis. Para resolvê-la, integramos ambos os lados. 
Para o lado esquerdo, usamos frações parciais: 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
Logo, ( ) . Fazendo , obtemos . Fazendo , 
obtemos , logo . Então, 
∫
 
 
 ∫ ∫
 
 
 | | | | 
 
Assim, 
 | | | | | | 
Fazendo , obtemos 
 | | | | | | 
Ou seja, 
 (|
 
 
|) | | | | 
Então 
|
 
 
| | | 
 
Logo, 
 
 
 
pois a constante pode assumir valores positivos ou negativos, e a solução de 
equilíbrio está incluída no caso . Agora, substituímos para obter 
 
 
 
 
 
Assim 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então 
 ( ) 
Finalmente, 
 ( ) 
E 
 ( ) ( ) 
 
é a solução geral da EDO. 
 
Exemplo 15: ( ) 
 
Temos que 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) (
 
 
) 
 
Mudando a variável, temos 
 
 
 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
Integrando, e observando que ( ) , temos que: 
∫
 
( ) 
 ∫
 
 
 
Ou seja, 
 
 
 
 | | | | 
Substituindo , temos 
 
 
 
 | | 
Logo, 
 
 
 | | 
 
Então 
 
 
 | |
 
Finalmente 
 ( ) 
 
 | |
 
é a solução geral da EDO. 
 
Exemplo 16: Resolva a EDO 
 
 
 
 
 
 
 
Dividindo numerador e denominador do lado direito por x, obtemos 
 
 
 
 (
 
 ) 
 (
 
 )
 
Portanto a EDO é homogênea. Fazendo a mudança de variáveis , temos 
 
 
 
 
 
 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
Logo 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
Novamente teremos que usar frações parciais do lado esquerdo: 
 
 
 
 
 
( )( )
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
Logo, 
 ( ) ( ) 
 
Fazendo , obtemos , donde 
 
 
. Fazendo obtemos , 
logo 
 
 
. 
 
Assim, 
∫
 
( )
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
 | | 
 
 
 | | 
 
Daí, a equação fica 
 
 
 | | 
 
 
 | | | | 
 
Ou ainda 
 
| |
 
 
| |
 
 
 | | 
Portanto 
| |
 
 
| |
 
 
 | | 
 
Elevando ao quadrado 
| |
| | 
 
 
Daí, como , 
|
 
 |
|
 
 |
 
| |
| |
| | 
| | 
 
| |
| | 
| | 
| |
 
 
Logo, 
| |
| | 
 
 
E a solução geral é | | | | 
 
Exemplo 17: Resolva a EDO 
 
 
 
 
 
 
 
Bem, como 
 
 
 
 (
 
 ) (
 
 )
 (
 
 ) (
 
 )
 
a equação NÃO é homogênea. No entanto, vamos transformá-la numa EDO 
homogênea através de uma mudança de variáveis 
{
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
 ( )
 ( )
 
 
Para esta EDO ser homogênea é suficiente que tenhamos 
{
 
 
 {
 
 
 
Assim, a mudança de variáveis 
{
 
 
 
Nos leva à EDO 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo exemplo anterior, a solução desta EDO é | | | | . Mas como 
 e , temos que | ( )| | | . 
Portanto, a solução geral da EDO é 
| | | |