Existência e Unicidade de Soluções de Problemas de Valor Inicial

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Aula 5 
1. Existência e Unicidade 
 
Até aqui, estivemos interessados apenas em desenvolver técnicas que nos permitam 
resolver certos problemas de valor inicial. Seria interessante, no entanto, termos a 
priori alguma garantia de que uma solução existe, e caso exista, se é única. É claro 
que não vamos querer, por exemplo, dedicar esforços a resolver um problema que 
não tenha solução. O Teorema seguinte nos dá condições suficientes para que 
tenhamos existência e unicidade de soluções: 
 
Teorema de Existência e Unicidade 
 
Suponha que as funções e sejam contínuas em um retângulo R , 
 contendo o ponto . Então, em algum intervalo 
 contido em , existe uma solução única do problema de valor 
inicial 
 
 
Além disso, basta supor a continuidade de para garantir a existência de soluções do 
PVI, mas não a unicidade. 
 
Vamos entender o Teorema melhor aplicando-o em alguns exemplos: 
 
Exemplo 18: Vamos estudar existência e unicidade de soluções do PVI 
 √ 
 
Aqui temos que a função √ , que é contínua sempre que . Logo, o 
Teorema de Existência e Unicidade garante que existem soluções para todo 
com . Além disso, temos que √ , que é contínua sempre que 
 . Logo, qualquer que seja , sempre haverá solução única no ponto , 
pelo Teorema de Existência e Unicidade. 
 
Vejamos o que ocorre no ponto . Nesse caso, sabemos que existe uma solução, 
mas o Teorema não garante a unicidade! Vamos resolver a equação, que é de 
variáveis separáveis. Primeiramente, observe que a função constante é uma 
solução de equilíbrio. Em particular, é uma solução que satisfaz , logo já 
temos uma solução para o PVI. Separando as variáveis e integrando, obtemos 
∫
 
 √ 
 ∫ 
Logo 
√ 
Como , obtemos , logo uma outra solução que satisfaz o PVI é √ 
 . Note que isso não contraria o Teorema de Existência e Unicidade, já que a função 
 NÃO é contínua em . 
 
Exemplo 19: Analise existência e unicidade de soluções para o PVI 
 
 
Aqui escrevemos . Essa função é contínua sempre que , 
logo temos garantida existência de soluções em todo ponto , com . Além 
disso, , que também é contínua sempre que . Logo, o 
Teorema de Existência e Unicidade nos garante existência de solução única para o 
PVI em todo ponto com . Vejamos agora o que ocorre para . Para 
isso, vamos resolver o PVI, cuja equação é de variáveis separáveis. Observe de 
antemão que a função constante é uma solução da EDO. Separando e 
integrando, temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto a solução da EDO é 
 
 
 
 
 
Vamos primeiro analisar o que ocorre em pontos da forma , com . Como 
 , temos que pela solução obtida acima, qualquer que seja a solução. 
Logo, não existem soluções passando por , com . 
 
E no ponto ? Nesse caso, observe que a solução acima é satisfeita qualquer que 
seja o valor da constante , pois ambos os lados da igualdade dão iguais a zero. Logo, 
qualquer função da forma é solução do PVI. Além dessas, a 
função identicamente nula também é solução do PVI. Assim, temos infinitas soluções 
que passam pelo ponto . O que observamos aqui também não contraria o 
Teorema de Existência e Unicidade, pois como vimos, NÃO é contínua em 
 . 
 
Vamos agora dar uma ideia geral da demonstração do Teorema de Existência e 
Unicidade. Vamos usar o Método de Aproximações Sucessivas, de Picard. Vamos 
construir uma sequência de funções tal que e tal que se 
aproxima de uma solução do PVI quando . A primeira parte é mostrar que 
podemos escrever a expressão de um modo equivalente, da 
seguinte forma 
 ∫ ( ) 
 
 
 
É claro que podemos fazer isso pela 2ª parte do Teorema Fundamental do Cálculo. 
Além disso, a função satisfaz o PVI, pois 
 ∫ ( ) 
 
 
 
 
Novamente pelo Teorema Fundamental do Cálculo, agora pela primeira parte, 
podemos recuperar a equação original derivando a fórmula para . Assim, o 
método consiste em construir a seguinte sequência de funções: 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 
Pode-se demonstrar que essa sequência converge para uma solução do PVI, e que 
essa solução é única. Vejamos como o método de Picard funciona em um exemplo: 
 
Exemplo 20: Usar o método de Picard para obter uma solução de 
 
Então 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ ( 
 
 
) 
 
 
 ∫ ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ ( 
 
 
 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em geral, 
 
(
 
 )
 
 
 
(
 
 )
 
 
 
(
 
 )
 
 
 
(
 
 )
 
 
 
 
Lembre-se que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
Dissemos acima que o limite da sequência de funções que criamos é uma solução do 
PVI. Vejamos que isso ocorre de fato. Seja 
 
 . Então, 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
Além disso, . Logo, a solução obtida pelo método de Picard é 
 
 
 .