Apostila de concreto

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Estudo de Dosagem e 
Controle de Qualidade do Concreto 
 
Prof. Dario de Araújo Dafico, Dr. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Versão: Ago./2012 
 1 
 
 
 
Sumário 
 
 
1. O Traço .......................................................................................................................... 2 
 
2. Obtenção das Equações das Leis Fundamentais ......................................................... 10 
 
3. Método de Estudo de Dosagem do IPT / EPUSP ......................................................... 18 
 
4. A Curva de Gauss .......................................................... ............................................... 22 
 
5. Controle de Qualidade do Concreto............................................ .................................. 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
1 - O TRAÇO 
 
 
1.1 - DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
Denomina-se TRAÇO a expressão da proporção dos materiais componentes de uma 
“receita particular de concreto”. O traço expressa as quantidades relativas de agregados 
miúdos, agregados graúdos e de água em relação à quantidade de cimento. 
 
Chama-se DOSAGEM o ato de medir e misturar os componentes do concreto (cimento, 
agregados, água, aditivos e adições) a partir de um TRAÇO pré-definido. DOSAGEM 
TÈCNICA é aquela feita em obra que possui o conhecimento de um TRAÇO elaborado de 
acordo com a técnica. DOSAGEM EMPÍRICA é aquela feita em obra que não possui o 
conhecimento de um TRAÇO elaborado de acordo com a técnica, para dosagem de 
concreto com os materiais disponíveis na obra, mas utiliza um TRAÇO EMPÍRICO, ou seja, 
uma “receita de bolo” que não considera a implicação da variabilidade das fontes de 
materiais para o concreto nas suas propriedades. Atualmente é inconcebível a utilização de 
dosagem empírica para o preparo de concreto estrutural. 
 
Denomina-se ESTUDO DE DOSAGEM ao procedimento técnico utilizado para obtenção do 
traço que satisfaça certos pré-requisitos particulares de uma obra, em geral um certo valor 
mínimo de resistência à compressão aos 28 dias, mas podem ter vários outros como, por 
exemplo, resistência à tração na compressão diametral, módulo de deformação, retração, 
fluência, massa específica, etc. 
 
ESTUDO DE DOSAGEM EXPERIMENTAL é aquele realizado utilizando dados de misturas 
experimentais feitas com amostras dos materiais que serão utilizados para o preparo do 
concreto para a obra. Para isso são realizados diversos ensaios de caracterização dos 
materiais em laboratório e realizados ensaios para determinação das propriedades dos 
concretos, obtidos através das misturas experimentais. 
 
ESTUDO DE DOSAGEM NÃO EXPERIMENTAL é aquele realizado sem os dados de 
misturas experimentais feitas com amostras dos materiais que serão utilizados para o 
preparo do concreto para a obra. Para que seja possível a realização de um ESTUDO DE 
DOSAGEM NÃO EXPERIMENTAL é necessário haver uma grande “massa de dados” 
acerca dos materiais de uma determinada região, para que se possa obter os “valores de 
referência” de cada material componente da mistura, necessário para a realização dos 
cálculos do estudo, através de simples avaliação visual. ESTUDOS DE DOSAGEM NÃO 
EXPERIMENTAIS eram muito utilizados antigamente no Brasil para a obtenção de TRAÇOS 
para obras de menor porte em função da dificuldade de se encontrar laboratórios 
especializados. Hoje isso não faz mais sentido, o país se desenvolveu e se integrou. Há 
laboratórios espalhados por todo o território nacional. Nas localidades mais longínquas do 
Brasil, aonde não há laboratório nas proximidades, também não faz sentido a realização de 
Estudo de Dosagem Não Experimental pois, neste caso, também não haverá dados que 
fundamentem o estudo. É importante lembrar que atualmente há uma grande diversidade de 
tipos e marcas de cimento no país, o que dificulta ainda mais a realização desse tipo de 
estudo. 
 
No nosso curso iremos aprender como obter um TRAÇO através do ESTUDO DE 
DOSAGEM EXPERIMENTAL e como fazer a DOSAGEM TÉCNICA na usina ou na obra, em 
massa, ou volume unitário. A expressão do traço será sempre feita em proporção da massa 
de cimento. 
 
 
 3 
1.2 - EXPRESSÃO DO TRAÇO DO CONCRETO 
 
O traço do concreto pode ser expresso em termos de proporções em massa ou volume, 
além de uma forma mista, que expressa o cimento em massa e os agregados em volume. 
No nosso curso a expressão do traço será sempre feita em termos de proporções sobre a 
massa de cimento (kg/kg). É a forma moderna de se expressar o traço do concreto. 
 
A expressão do traço do concreto segue a seguinte configuração: 
 
 1 : a : b : a/c 
 
onde: 
 
1 => Primeiro termo que representa a Massa de cimento em relação à Massa de cimento 
(Mc/Mc = 1); 
a => Massa de areia em relação à Massa de cimento (Ma/Mc = a); 
b => Massa de brita / Massa de cimento(Mb/Mc = b); 
a/c => Massa de água em relação à Massa de cimento (Mágua/Mc = a/c). 
 
Observação: Deve-se ter o cuidado para não confundir o significado da letra “a” quando 
representando a proporção de areia do traço, com a letra “a” do parâmetro “a/c” que 
representa a proporção de água e relação ao cimento. 
 
Para entendermos melhor como funciona a representação através do traço vamos ao 
seguinte exemplo. Seja uma mistura para concreto composta por 1 saco de cimento, 150 kg 
de areia, 250 kg de brita 1 e 25 kg de água, então temos que: 
 
 50 / 50 : 150 / 50 : 250 / 50 : 25 / 50 (cimento : areia : brita : água) 
 
Logo o traço será expresso como: 
 
 1 : 3 : 5 : 0,5 
 
No caso de se utilizar mais de um agregado miúdo (areia) e/ou mais de um agregado graúdo 
(pedra britada ou seixo rolado) o traço é expresso do material mais fino para o mais grosso. 
Por exemplo, 2 areias e 3 britas: 
 
 1 : a1 : a2 : b1 : b2 : b3 : a/c 
 
Temos algo como o exemplo de traço mostrado abaixo: 
 
1 : 1,50 : 1,50 : 1,00 : 2,00 : 2,00 : 0,50, sendo a seqüência: (1 : a1 : a2 : b1 : b2 : b3 : a/c) 
 
obs.2: Exceto o primeiro termo do traço que é sempre 1, todos os outros são expressos com números contendo 
duas casas decimais. 
 
Denomina traço bruto “m”, ou traço não desdobrado, à proporção do agregado total (miúdo + 
graúdo) em relação ao cimento. Por exemplo, quando dissemos que m = 3, temos um traço 
1:3, e isso significa que para cada kg de cimento temos a utilização de 3 kg de agregado 
total. 
 
 
 
 
 
 4 
 
1.3 - CÁLCULO DA QUANTIDADE DE CIMENTO DO CONCRETO 
 
Para se calcular a quantidade de cimento de um concreto, em kg de cimento por m3 de 
concreto utilizamos a fórmula que obteremos a seguir: 
 
Sabemos que um certo volume de concreto é o resultado da soma dos volumes absolutos 
de seus constituintes, isto é, do cimento, areia (agregado miúdo), brita (agregado graúdo) e 
água. Também sabemos que em 1 m3 temos 1000 dm3. Logo podemos escrever: 
 
 Vc + Va + Vb + Vágua= Vconc (1) 
 
Sabemos ainda que a massa específica de um material é por definição a sua massa dividida 
pelo seu volume absoluto. Logo o seu volume é a massa dividida pela massa específica ou 
seja: 
 
 se: 
V
M
=ρ , então: 
ρ
M
V = (2) 
 
Como queremos uma fórmula que calcule a quantidade de cimento em 1 m3 de concreto, 
que é o mesmo que dizer a quantidade de cimento por 1000 dm3 de concreto, mas a 
unidade de massa específica utilizada pelas normas técnicas é kg/dm3 , fazemos: 
 
(2) em (1) temos: 
 
 1000=+++
água
água
b
b
a
a
c
c
MMMM
ρρρρ
 (3) 
 
Como a massa específica da água é igual a 1 (ρágua = 1 kg/dm
3), temos: 
 
 1000=+++ água
b
b
a
a
c
c M
MMM
ρρρ
 (4) 
 
Usando o artifício de dividirmos ambos os lados pela massa de cimento (Mc), pois 
trabalhamoscom traços, que são proporções em relação à massa de cimento, temos: 
 
 
cc
água
bc
b
ac
a
cc
c
MM
M
M
M
M
M
M
M 1000
...
=+++
ρρρ
 (5) 
 
Vemos na equação resultante até aqui as relações sobre a massa de cimento que no traço 
representamos por: 
 
 1 : a : b : a/c, que substituindo em (5) fica: 
 
 
cbac M
ca
ba 1000
/
1
=+++
ρρρ
 (6) 
 
Isolando a massa de cimento finalmente obtemos a fórmula desejada: 
 
 5 
 
ca
ba
M
bac
c
/
1
1000
+++
=
ρρρ
 (7) 
 
É costume representar a massa de cimento contida em um m3 de concreto pela letra C, 
maiúscula, então na formula substituiremos o símbolo Mc por C, ficando assim: 
 
 
ca
ba
C
bac
/
1
1000
+++
=
ρρρ
 (8) 
 
Na fórmula (8) não foi considerado nenhum teor de ar incorporado ao concreto, que em 
concretos plásticos normais se situam por volta de 20 dm3 por m3 de concreto. Para 
obtermos uma fórmula que considere o volume de ar incorporado ao concreto temos que 
fazer: 
 
 Vc + Va + Vb + Vágua + Var = Vconc (9) 
 
Repetindo os mesmo procedimentos feitos para obtenção da fórmula (8) temos: 
 
 
cc
ar
c
água
bc
b
ac
a
cc
c
MM
V
M
M
M
M
M
M
M
M 1000
...
=++++
ρρρ
 (10) 
 
Passando o termo que contém o volume de ar para o outro lado fica: 
 
c
ar
cc
água
bc
b
ac
a
cc
c
M
V
MM
M
M
M
M
M
M
M
−=+++
1000
... ρρρ
 (11) 
 
Substituindo pelos parâmetros do traço (1 : a : b : a/c) temos: 
 
c
ar
bac M
V
ca
ba −
=+++
1000
/
1
ρρρ
 (12) 
 
Isolando a massa de cimento obtemos a fórmula desejada: 
 
ca
ba
V
M
bac
ar
c
/
1
1000
+++
−
=
ρρρ
 (13) 
 
Novamente, para seguirmos o costume de utilizamos a letra maiúscula C para 
representarmos a massa de cimento por m3 substituimos Mc por C na fórmula ficando, 
quando consideramos o volume de ar incorporado: 
 
 
ca
ba
V
C
bac
ar
/
1
1000
+++
−
=
ρρρ
 (14) 
 
 6 
1.4 - CÁLCULO DAS DIMENSÕES DAS PADIOLAS 
 
Padiolas são recipientes utilizados para a dosagem dos agregados em volume unitário 
quando não é possível fazê-lo em massa. É utilizado para a dosagem de concretos, em 
obras de menor responsabilidade. A padiola pode ser construída em madeira, compensado 
ou aço, podendo ser feita para ser carregada por dois operários, ou montada sobre rodas 
(estrutura semelhante à de carrinhos de mão), para poder ser transportada por somente 1 
operário. Neste caso, montada sobre rodas, é preciso estar utilizando betoneira com 
carregador, que permite a construção de uma pequena rampa para o acesso da padiola 
sobre rodas. 
 
No caso de padiola de padiola sobre rodas, a seção vertical que corta longitudinalmente a 
padiola forma um trapézio como mostrado na figura abaixo, para facilitar o escoamento do 
agregado para o carregador da betoneira. 
 
 
Para se obter uma fórmula para o cálculo da altura da padiola sobre rodas, sendo a variável 
volume da padiola Vpad em dm
3 e a medida de comprimento Li em dm, temos: 
 
Vpad = 4 . Li . 3,5 + ((3,5 . 1,5)/2) . 4 (15) 
 
simplificamos temos: 
 
Vpad = 14 . Li + 10,5 (16) 
 
14 . Li = Vpad – 10,5 (17) 
 
Finalmente obtemos: 
 
14
5,10−
= padi
V
L (sendo Li em dm) (20) 
 
Li 15 cm
 
h = 35 cm 
e = 40 cm 
Vista superior 
Corte vertical 
Ls 
 7 
Se quisermos o valor de Li em centímetros, que é a unidade de medida usada pelo 
carpinteiro, é só multiplicar o resultado da equação (20) pelo número 10. 
 
A dimensão da seção horizontal de uma padiola para carregamento por dois operários 
geralmente é de 45 x 35 cm, sendo a altura variável conforme o volume necessário para a 
dosagem do traço. Uma padiola deve ser dimensionada para uma massa de agregados não 
superior a 70 kg qualquer que seja o tipo de padiola. 
 
 
 
 
 
 
1.5 - EXERCÍCIOS 
 
Para resolução das questões, utilizar as características físicas dos materiais a seguir 
indicadas. 
 
Materiais Cimento Areia Fina Areia Grossa Brita 0 
(12,5 mm) 
Brita 1 
(19 mm) 
Brita 2 
(25 mm) 
Massa específica (kg/dm3) 3,14 2,63 2,62 2,78 2,75 2,75 
Massa unitária (kg/dm3) - 1,50 1,52 1,38 1,40 1,43 
Umidade (%) - 4,50 3,50 0,80 0,80 - 
Inchamento (%) - 30 27 - - - 
 
I - Calcular as quantidades de materiais a serem adquiridos para a execução de uma 
estrutura cujo volume de concreto é 55 m3. O traço do concreto estudado para a obra é: 
1 : 2,20 : 1,15 : 2,52 : 0,56 (cimento, areia grossa, brita 0, brita 2, água) 
 
II - Utilizando o traço acima, que volume de fôrmas se encherá com o concreto de uma 
betonada em que se utilizam 3 sacos de cimento ? 
 
III - Quantas betonadas de um saco de cimento seriam necessárias para fabricar 1 m3 de 
concreto ? 
 8 
 
IV - Qual o percentual do volume de pasta (cimento + água) do concreto acima ? 
 
V - Qual o percentual do volume de argamassa (cimento + areia + água) ? 
 
VI - Uma obra solicitou 6 m3 de concreto a uma central. Quais as quantidades dos materiais 
colocadas no caminhão betoneira para atender ao traço 1 : 2,0 : 3,5 : 0,5 (cimento, areia 
fina, brita 0, água) ? obs.: Os materiais na central são medidos em massa úmida. 
 
VII - Para os materiais medidos em volume, quais as dimensões das padiolas com seção 
paralelepípeda e trapezoidal, para betonadas de 2 sacos de cimento, a serem 
confeccionadas para o uso do traço acima (questão VI) ? 
 
VIII - Fornecer as quantidades de materiais (cimento em sacos, areia, brita e água em 
volume) que se deve adquirir para fabricar 200 m3 de concreto, sabendo-se que em cada 
betonada utilizam-se as seguintes quantidades de materiais nas condições de canteiro: 
cimento = 1 saco; areia fina úmida = 87 kg; brita 1 úmida = 36 kg; brita 2 úmida = 118 kg; 
água adicionada = 25 l. 
 
IX - Que volume de materiais são necessários para produzir 5 m3 de concreto, sabendo-se 
que em cada betonada deste concreto usam-se: cimento = 1 saco; areia fina = 85 dm3; brita 
1 = 52,8 dm3; brita2 = 83 dm3; água = 22 dm3, considerando-se as condições de canteiro ? 
 
X - Dado o traço de concreto 1 : 2,15 : 1,85 : 2,80 : 0,62 (cimento, areia grossa, brita 0, brita 
1, água), pede-se calcular a quantidade em massa dos materiais (agregados e água) a 
serem colocados numa betoneira de 2 (dois) sacos de cimento, considerando: 
a) Os agregados secos; 
b) Os agregados na condição do canteiro. 
 
XI - Para o mesmo traço do item anterior pede-se a quantidade dos materiais em volume, 
considerando-se as condições do canteiro. 
 
XII - Na fabricação de um concreto de traço (em massa de materiais secos) expresso como 
1 : 2,20 : 4,50 : 0,60 (cimento, areia fina, brita 2, água) verificou-se que o concreto produzido 
não correspondia ao volume esperado. Por um lapso, o encarregado não levou em 
consideração a umidade e o inchamento dos materiais. Determine: 
a) Qual o traço realmente utilizado se os materiais foram medidos em massa? 
b) Qual o traço realmente utilizado se os materiais foram medidos em volume? 
 
XIII - Qual o traço verdadeiro adotado (em massa de materiais secos) sabendo-se que os 
materiais úmidos no canteiro foram: 
- 2 sacos de cimento; 
- 220 kg de areia grossa; 
- 150 kg de brita 1; 
- 250 kg de brita 2; 
- 40 litros de água. 
 
XIV - Calcular o traço de um concreto (em massa de materiais secos) em que se 
misturaram: 
- 1 saco de cimento; 
- 1 padiola de areia fina (Li = 3,5 dm); 
- 1 padiola de brita 1 (Li = 3,0 dm); 
- 2 padiolas de brita 2 (Li = 2,1 dm); 
- 24 litros de água. 
 9 
Respostas: 
 
I - 360 sacos de cimento; 33,2 m3 de areia grossa úmida (26,1 m3 seca); 15 m3 de brita 0; 
31,8 m3 de brita 2.II - Vconc = 0,46 m
3. 
 
III - 7 betonadas. 
 
IV - Volume da pasta = 28,8 % do volume do concreto. 
 
V - Volume da argamassa = 56,3 % do volume do concreto. 
 
VI - 2112 kg de cimento; 4.414 kg de areia fina; 7.451 kg de brita 0; 807 litros de água. 
 
VII – 
Padiola de seção paralelepípeda: 
Areia fina (3 padiolas) => L = 45 cm x e = 35 cm x h = 36,7 cm 
Brita 0 (5 padiolas) => L = 35 cm x e = 40 cm x h = 32,2 cm 
 
Padiola de seção trapezoidal: 
Areia fina (3 padiolas) => e = 40 cm; h = 35 cm; Li = 33,8 cm; Ls = 48,8 cm 
Brita 0 (5 padiolas) => e = 40 cm; h = 35 cm; Li = 28,7 cm; Ls = 43,7 cm 
 
VIII - 1509 sacos de cimento; 109 m3 de areia fina; 38 m3 de brita 1; 125 m3 de brita 2; 38 m3 
de água. 
 
IX - 33 sacos de cimento; 2.805 dm3 de areia; 1.742 dm3 de brita 1; 2.739 dm3 de brita 2; 726 
litros de água. 
 
X e XI 
material nas condições de canteiro material traço correto material seco 
massa úmida volume úmido 
cimento 1 2 sacos 2 sacos 2 sacos 
areia grossa 2,15 215 kg 222,5 kg 179,6 l 
brita 0 1,85 185 kg 186,5 kg 134,1 l 
brita 1 2,80 280 kg 282,2 kg 200,0 l 
água 0,62 62 l 50,8 l 50,8 l 
 
XII 
a) 1 : 2,10 : 4,50 : 0,70 
b) 1 : 1,69 : 4,50 : 0,68. 
 
XIII - 1 : 2,12 : 1,49 : 2,50 : 0,49 
 
XIV - 1 : 1,37 : 1,47 : 2,28 : 0,55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
2 - OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES DAS LEIS FUNDAMENTAIS 
 
 
2.1 - REGRESSÃO LINEAR AOS MÍNIMOS QUADRADOS 
 
Dada um conjunto de pontos conhecidos de coordenadas (x,y) que descrevem uma 
tendência linear como da figura abaixo: 
 
 
Figura 1 – Representação esquemática da regressão aos mínimos quadrados 
 
Para obter os coeficientes “a” e “b” da equação da reta de regressão representativa de um 
fenômeno linear é só obter: 
 
X = média dos valores de “x” 
 
Y = média dos valores de “y” 
 
2
1 )( XXS i
n
ixx −Σ= = 
 
)).((1 YYXXS ii
n
ixy −−Σ= = 
 
E calcular os coeficientes “a” e “b” através das seguintes expressões: 
 
xx
xy
S
S
a = 
 
XaYb .−= 
 
Encontrados os valores dos coeficientes é só colocá-los na equação: 
 
 
bXaY += . 
 
D1 
D2 
D3 
X3 X2 X1 
Y3 
Y2 
Y1 
Y 
X 
Y = a.X + b 
 
D1 , D2 , D3 , ... , Di , ..., Dn são os 
erros de previsão (desvios) 
 11 
Para auxiliar a tarefa de encontrar os valores de xxSYX ,, e xyS , constrói-se uma tabela 
seguindo o modêlo abaixo: 
 
Ponto Xi Yi )( XX i −
 
2)( XX i − )( YYi − )).(( YYXX ii −− 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
M 
n 
X Y 21 )( XXS i
n
ixx −Σ= = )).((1 YYXXS ii
n
ixy −−Σ= =
 
 
 
Resultados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício de fixação: 
 
Uma empresa produtora de blocos de concreto celular localizada na cidade de São Paulo 
possui uma rede distribuidora por todo o interior do Estado. Realizou um estudo para 
determinar qual a função que liga o preço do produto ao consumidor e a distância do 
mercado consumidor da cidade de São Paulo. Os dados são os seguintes: 
 
Yi 
Preço 
(R$/bloco) 
36,00 48,00 50,00 70,00 42,00 58,00 91,00 69,00 
Xi 
Distância 
(Km) 
50 240 150 350 100 175 485 335 
 
a) Estimar a reta de regressão para representar essa relação. (Resp.: p = 30,19 + 0,12.d) 
b) Com base na equação da reta encontrada estime o preço ao consumidor numa nova 
“praça” situada a 420 Km de São Paulo. (Resposta: R$ 80,58) 
c) Calcule e organize em uma tabela os erros de previsão de cada praça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
 
2.2 - LEI DE ABRAMS 
 
 
Figura 2 – Curva de Abrams e a sua equação 
 
Segundo a Lei de Abrams o principal parâmetro a provocar variações na resistência à 
compressão do concreto “fc” é a relação “a/c”. A resistência varia segundo a expressão 
mostrada na figura 2, sendo K1 e K2 constantes que dependem das características 
particulares dos materiais utilizados em uma determinada mistura. 
 
Num estudo de dosagem do concreto, para encontrarmos a equação representativa 
daquelas misturas particulares a partir de alguns poucos pontos conhecidos (mínimo 3), é 
preciso linearizar a equação para se utilizar o Método dos Mínimos Quadrados. Então, se: 
 
cac
K
K
f
/
2
1= 
 
Linearizando, através de logarítimos, temos: 
 
cac
K
K
f
/
2
1loglog = 
ca
c KKf
/
21 logloglog −= 
 
21 log.loglog KKf c
a
c −= 
 
Reorganizando na forma da equação da reta temos: 
 
 
12 log).log(log KKf c
a
c +−= 
 Y a X b 
fc 
a/c 
cac
K
K
f
/
2
1= 
 13 
Para obter a equação de Abrams particular fazemos uma regressão linear entre “log fc” e 
“a/c” obtendo-se “a” e “b” como coeficientes da reta. 
 
Se: 
 
 
210log Ka −= 
 
 aK −=2log 
 
 aK −= 102 
 
Então: 
 
a
K
10
1
2 = 
 
Se: 
 
 110log Kb = 
 
então: 
 
bK 101 = 
 
Com os valores numéricos dos coeficientes K1 e K2 monta-se a Equação de Abrams. Para 
se encontrar o valor da relação “a/c” necessária para uma resistência especificada faz-se: 
 
2
1
log
loglog
K
fK c
c
a
−
= 
 
 
Exercício resolvido: 
 
Em um estudo de dosagem do concreto elaborou-se, para um dado conjunto de materiais, 
concretos com relações “a/c” de 0,41 – 0,55 – 0,70, quando foram moldados corpos-de-
prova para ensaio de resistência à compressão aos 28 dias de idade, cujos resultados 
obtidos foram, respectivamente, 38,0 MPa – 28,0 MPa – 20,0 MPa. Obter a equação de 
Abrams desse concreto. 
 
 
 
a/c fc 
(MPa) 
log fc 
0,41 38,0 1,5798 
0,55 28,0 1,4472 
0,70 20,0 1,3010 
12 log).log(log KKf c
a
c +−= 
 Y a X b 
 14 
 
 
 
 
Ponto X Y )( XX −
 
2)( XX − )( YY − )).(( YYXX −− 
1 0,41 1,5798 - 0,1433 0,0205 0,1371 - 0,0196 
2 0,55 1,4472 - 0,0033 0,0000 0,0045 - 0,0000 
3 0,70 1,3010 0,1467 0,0215 0,1417 - 0,0208 
X Y 2)( XXS xx −Σ= )).(( YYXXS xy −−Σ= 
 
Resultados 
0,5533 1,4427 
 
0,0420 
 
- 0,0404 
 
9619,0
0420,0
04040,0
−=−==
xx
xy
S
S
a 
 
9749,1)5533,0.9619,0(4427,1. =−−=−= XaYb 
 
 
38,941010 9749,11 ===
bK 
 
16,9
10
1
10
1
9619,02
===
−a
K 
 
cac
f
/16,9
38,94
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9619,1).9619,0(log +−= cacf 
 - log K2 log K1 
 15 
2.3 - LEI DE LYSE 
 
Petrucci, baseado em Inge Lyse, estabeleceu afirma que . . . “para concretos plásticos de 
mesma consistência, feitos com os mesmos materiais, a quantidade total de água por 
unidade de volume é constante, independente do traço”. 
 
 
Figura 3 – Teor de água em relação à quantidade de materiais secos é independente do 
traço segundo a Lei de Lyse 
 
 
Figura 4 – Esquema de variação das propriedades reológicas do concreto de mesmo valor 
de abatimento em função da variação do traço 1:m 
 
Obs.: Na figura 4 o termo plástico significa capacidade da mistura fresca ser deformada sob ação de uma 
força externa. A maior plasticidade das misturas mais ricas é conseqüência da redução do atrito interno. 
H2O H2O H2O 
Cimento Cimento Cimento 
Areia Areia 
Areia 
Brita Brita 
Brita 
1 : 3 1 : 4 1 : 5 
diminui a/c 
aumenta fc 
( + ) coeso 
( + ) plástico 
( + ) pasta 
( - ) atrito 
 
aumenta a/c 
diminui fc 
( - ) coeso 
( - ) plástico 
( - ) pasta 
( + ) atrito 
 
p
as
ta
 
ar
g
a
m
as
sa
 
Abatimento constante 
 16 
De acordo com a Lei de Lyse, para um determinado abatimento do concreto, o teor de água 
a ser utilizado para sua elaboração depende das características particulares do cimento e 
agregadosutilizados. Essa regra também vale para concretos com aditivos plastificantes 
desde que o teor de aditivo em relação ao teor de cimento seja mantido constante. 
 
Denomina-se Teor de Água do Concreto, representado pela letra “H”, o valor da relação 
“massa de água / massa de materiais secos” presentes na mistura. Assim sendo: 
 
)( bac
água
MMM
M
H
++
= 
obs.: Alguns autores preferem expressar o “H” em porcentagem da massa de 
materiais secos. Para isso esse valor é multiplicado por 100%. O “H” também é 
chamado por alguns autores de umidade da mistura. 
Como: 
 
 
c
água
c
a
M
M
= , 
c
a
M
M
a = , 
c
b
M
M
b = 
 
Logo: 
 
)..(
).(
ccc
cc
a
MbMaM
M
H
++
= 
 
)1.(
).(
baM
M
H
c
c
a
c
++
= 
 
Como o traço “m” é a soma das proporções de areia “a” e brita “b” em relação ao cimento, 
ou seja: 
 
bam += 
 
Logo: 
 
)1(
)(
m
H c
a
+
= 
 
 
Considerando “H” constante como afirma a Lei de Lyse e fazendo “m” como função de “a/c” 
temos: 
 
H
m c
a )(
1 =+ 
 
1
)(
−=
H
m c
a
 
 
1).(
1
−= ca
H
m 
 
 
 17 
Chamando: 
H
K
1
4 = e Fazendo: 31 K=− 
 
Obtemos a equação de uma reta: 
 
 
 
Assim, a partir de um conjunto de pontos de coordenadas (a/c,m) podemos, através do 
método dos mínimos quadrados, obter a equação que representa a variação do traço em 
função da relação “a/c”. 
 
Importante entender que substituir o valor da constante -1 por k3 significa aceitar a 
possibilidade de se encontrar valores diferentes de -1 para essa constante da equação, 
quando obtida através do método dos mínimos quadrados. Essa adaptação da Lei de Lyse 
feita pelos autores melhora a capacidade da equação de prever o traço como função da 
relação a/c. 
 
 
2.4 - LEI DE MOLINARI 
 
Molinari obteve uma equação que correlaciona o consumo de cimento por m3 de concreto 
“C” com o traço bruto “m”, desde que as várias misturas de traços distintos possuam mesmo 
abatimento e tenham sido dosados com o mesmo cimento e agregados. A equação tem a 
seguinte forma: 
 
 
mKK
C
.
10
65
3
+
= 
 
sendo: K5 e K6 coeficientes representativos de um conjunto particular de materiais (cimento e 
agregados) 
 
Essa equação é muito útil em estudos de dosagem pois permite obter o consumo de cimento 
para qualquer traço desejado entre o intervalo de misturas do estudo. Para obtenção dos 
valores numéricos K5 e K6 é necessário linearizar a equação para colocá-la na forma linear 
(equação de uma reta), permitindo assim o uso do Método dos Mínimos Quadrados. Para 
isso fazemos: 
 
C
mKK
3
65
10
. =+ 
 
 
Rearranjando, para o formato da equação da reta, temos: 
 
 
56
3
.
10
KmK
C
+= 
Y a X b 
34 ).( KKm c
a += 
Y a X b 
 18 
3 - MÉTODO DE ESTUDO DE DOSAGEM DO IPT / EPUSP 
 
3.1 - Fundamentos básicos do método 
 
I – LEI DE ABRAMS: Para um certo conjunto particular de materiais, a resistência do 
concreto é função da relação a/c. 
 
 
cacj
k
k
f
/
2
1= 
 
II – LEI DE LYSE (adaptada => k3 ≠ -1): Para um certo conjunto particular de materiais, a 
consistência do concreto, medida pelo abatimento do tronco de cone, é função da relação 
água/materiais secos “H” (em porcentagem) e é independe do traço seco (1:a:b). 
 
 34 ).( kkm ca += 
 
III – TEOR IDEAL DE ARGAMASSA SECA: Para um certo conjunto particular de materiais, 
existe um teor ideal de argamassa seca “α” (em relação unitária) que é independente do 
traço (ou da resistência requerida). 
 
 Por definição: 
)1(
)1(
m
a
+
+
=α 
 
 Logo: 1)1.( −+= ma α , amb −= 
 
IV – CÁLCULO DO CONSUMO DE CIMENTO: O consumo de cimento (em kg por metro 
cúbico de concreto) pode ser determinado a partir do ensaio de massa específica do 
concreto ( cfρ ) e do traço (1:a:b:a/c) através da expressão: 
 
 
)1(
.1000
c
a
cf
ba
C
+++
=
ρ
 e 





+++−=
c
abaCardeTeor
bac ρρρ
1
..1,0100_(%)__ 
 
V – LEI DE MOLINARI: O consumo de cimento de um concreto correlaciona-se com o valor 
do traço seco “m” através de uma curva do tipo: 
 
 
mkk
C
.
1000
65 +
= 
 
3.2- Principais Requisitos do Projeto Estrutural 
 
- Resistência característica à compressão do concreto; 
- Relação a/c máxima em função da agressividade do meio; 
- Abatimento pelo ensaio do tronco de cone; 
- Dimensão máxima característica do agregado. 
 
3.3 - Dados Preliminares Necessários (para se fazer uma estimativa da relação água/materiais secos 
“H” e do teor ideal de argamassa seca “α” antes da determinação experimental desses parâmetros) 
 
- Conhecimento do tipo e classe do cimento a ser utilizado; 
- Avaliação visual do tipo de agregado a ser utilizado e de sua dimensão máxima 
característica. 
 19 
 
3.4 - Etapas do Estudo de Dosagem 
 
I - Ensaios preliminares => simples avaliação visual 
 
II - Estimativa do “H” para um traço 1:5 
 
III - Determinação experimental do teor de argamassa seca ideal “α” e da relação 
água/materiais secos “H” de traço 1:5, acrescentando-se aos poucos cimento, areia e água 
para o ajuste da trabalhabilidade. Fixa-se o “α” para todos os traços a serem dosados. O 
valor de "H" encontrado serve como estimativa do valor real necessário para o abatimento. 
 
IV – Mistura de 3 traços, sendo eles : 1:3,5 – 1: 5,0 – 1:6,5 
Mede-se as massas específicas desses concretos e moldam-se corpos-de-prova para as 
idades de 3, 7, 28 e 91 dias 
 
V – Construção do diagrama de dosagem 
 
 
 
 
 
3.5 - Recomendações quanto ao abatimento dos concretos 
 
Abatimento (mm) 
Elemento estrutural 
Pouco armada Muito armada 
Laje ≤ 60 + 10 ≤ 70 + 10 
Viga e parede armada ≤ 60 + 10 ≤ 80 + 10 
Pilar do edifício ≤ 60 + 10 ≤ 80 + 10 
Paredes de fundação, 
sapatas, tubulões 
≤ 60 + 10 ≤ 70 + 10 
 
observação.: Para aceitação do concreto na obra utiliza-se esses limites de + 10 mm. Entretanto, no Estudo 
de Dosagem feito em laboratório, é possível e recomendável utilizar-se de uma faixa menor de 
aceitação, de + 5 mm. 
 
 
 20 
 
3.6 - Determinação da composição ideal entre agregados graúdos 
- Considera como sendo a melhor composição aquela que produz o maior da massa unitária 
no estado compactado seco 
 
Tabela exemplo da determinação da composição “ideal” entre brita 1 e brita 2 através da 
massa unitária no estado compactado seco 
21
2
britabrita
brita
+
 
brita 2 
(kg) 
brita 1 
(kg) 
acréscimo 
de brita 1 
(kg) 
Massa da 
mistura no 
recipiente * 
(kg) 
Massa 
unitária no 
estado 
compactado 
(kg/dm3) 
1,0 30   
0,9 30 3,33 + 3,33 24,50 1,63 
0,8 30 7,50 + 4,17 24,80 1,65 
0,7 30 12,86 + 5,36 25,40 1,69 (escolhido) 
0,6 30 20,00 + 7,14 25,50 1,69 
0,5 30 30,00 + 10,00 
0,4 30 45,00 + 15,00 
0,3 30 70,00 + 25,00 
* Recipiente com volume de 15 dm3 
 
 
3.7 - Determinação experimental do teor ideal de argamassa seca de uma mistura com 
30 kg de agregado graúdo 
 
Tabela dos acréscimos de cimento e areia 
Quantidade de areia 
(kg) 
Quantidade de cimento 
(kg) 
Quantidade de água 
(kg) 
Relação 
a/c Teor de 
argamassa 
(%) 
Traço 
(1 : a : b) acréscimo 
na mistura 
Massa 
total 
acréscimo 
na mistura 
Massa 
total 
acréscimo 
na mistura 
Massa 
total 
 
35 1: 1,10 : 3,90  8,46  7,69 
37 1 : 1,22 : 3,78 1,22 9,68 0,25 7,94 
39 1 : 1,34 : 3,66 1,31 10,99 0,25 8,20 
41 1 : 1,46 : 3,54 1,37 12,36 0,27 8,47 
43 1 : 1,58 : 3,42 1,50 13,86 0,30 8,77 
45 1 : 1,70 : 3,30 1,59 15,45 0,329,09 
47 1 : 1,82 : 3,18 1,72 17,17 0,34 9,43 
49 1 : 1,94 : 3,06 1,85 19,02 0,37 9,80 
51 1 : 2,06 : 2,94 2,00 21,02 0,40 10,20 
53 1 : 2,18 : 2,82 2,17 23,19 0,44 10,64 
55 1 : 2,30 : 2,70 2,36 25,55 0,47 11,11 
57 1 : 2,42 : 2,58 2,59 28,14 0,52 11,63 
59 1 : 2,54 : 2,46 2,84 30,98 0,57 12,20 
61 1 : 2,66 : 2,34 3,12 31,10 0,62 12,82 
63 1 : 2,78 : 2,22 3,47 37,57 0,69 13,51 
65 1 : 2,90 : 2,10 3,86 41,43 0,78 14,29 
 
 
 21 
 
Tabela contendo os traços em função do teor ideal de argamassa encontrado 
 
Traços desdobrados a partir dos traços brutos 1:3,5 , 1:5,0 e 1:6,5 
1 : a : b 
Teor de 
argamassa 
(%) 
1:3,5 1:5,0 1:6,5 
35 1 : 0,58 : 2,92 1 : 1,10 : 3,90 1 : 1,63 : 4,87 
37 1 : 0,67 : 2,83 1 : 1,22 : 3,78 1 : 1,78 : 4,72 
39 1 : 0,76 : 2,74 1 : 1,34 : 3,66 1 : 1,93 : 4,57 
41 1 : 0,85 : 2,65 1 : 1,46 : 3,54 1 : 2,08 : 4,42 
43 1 : 0,94 : 2,56 1 : 1,58 : 3,42 1 : 2,23 : 4,27 
45 1 : 1,03 : 2,47 1 : 1,70 : 3,30 1 : 2,38 : 4,12 
47 1 : 1,12 : 2,38 1 : 1,82 : 3,18 1 : 2,53 : 3,97 
49 1 : 1,21 : 2,29 1 : 1,94 : 3,06 1 : 2,68 : 3,82 
51 1 : 1,30 : 2,20 1 : 2,06 : 2,94 1 : 2,83 : 3,67 
53 1 : 1,39 : 2,11 1 : 2,18 : 2,82 1 : 2,98 : 3,52 
55 1 : 1,48 : 2,02 1 : 2,30 : 2,70 1 : 3,13 : 3,37 
57 1 : 1,57 : 1,93 1 : 2,42 : 2,58 1 : 3,28 : 3,22 
59 1 : 1,66 : 1,84 1 : 2,54 : 2,46 1 : 3,43 : 3,07 
61 1 : 1,75 : 1,75 1 : 2,66 : 2,34 1 : 3,58 : 2,92 
63 1 : 1,84 : 1,66 1 : 2,78 : 2,22 1 : 3,73 : 2,77 
65 1 : 1,93 : 1,57 1 : 2,90 : 2,10 1 : 3,88 : 2,62 
 
 
 
3.8 - Lubrificação da betoneira (caso o estudo se destine a concretos produzidos na obra) 
 
 O abatimento do concreto é muito sensível ao teor de pasta da mistura. Como a pasta 
do concreto tende a aderir às paredes da betoneira, no caso de misturas de pequeno 
volume, é recomendável fazer uma lubrificação prévia da mesma com um concreto traço 
1:2:3, com 1 kg de cimento. Para isso, molha-se previamente a betoneira, acrescenta-se a 
brita, um pouco de água e a areia. Acrescenta-se mais água até que se forme um concreto 
que tenha aparência de um concreto com a trabalhabilidade que se pretende produzir. 
Retira-se esse concreto com a betoneira em movimento, pára-se a betoneira e retira-se o 
restante de concreto com uma colher de pedreiro, deixando-se uma camada de pasta 
aderida por toda a cuba. 
 
 
3.9 - Seqüência de mistura 
 
No preparo dos concretos, após a lubrificação da betoneira, coloca-se primeiramente a brita, 
um pouco de água, o cimento, mais água, a areia, mais água aos poucos até alcançar o 
abatimento desejado. O ensaio de abatimento é feito quantas vezes for necessário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
 
4 – A CURVA DE GAUSS 
 
Fenômenos naturais representados por variáveis aleatórias de tendência central possuem 
boa aderência à Curva de Gauss. A resistência à compressão do concreto é um fenômeno 
aleatório natural de tendência central, portanto, a Curva de Gauss é uma boa ferramenta 
matemática para avaliação de riscos. Mas, primeiramente, é importante definir alguns 
conceitos. Então vamos lá: 
 
- Fenômeno natural: todo fenômeno governado por leis da natureza, ou seja, leis da física e 
da química. Por exemplo: velocidade das moléculas de água dentro de um copo, altura das 
pessoas, peso das pessoas, resistência do concreto, etc. Fenômeno não natural (ou social) 
é todo aquele governado por decisões humanas. Por exemplo: Salário de presidentes de 
empresas privadas, riqueza pessoal, taxa de suicídios entre adolescentes, etc. 
 
- Variável aleatória: toda variável cujas alterações são resultantes da influência de vários 
fenômenos agindo de modo independente ao mesmo tempo. 
 
- Variável de tendência central: toda variável cujos valores tendem para um valor médio 
sendo os desvios, em relação à média, na maioria das vezes relativamente pequenos. 
 
- Avaliação de riscos: cálculo da probabilidade de ocorrência de um evento indesejável. 
Por exemplo: Probabilidade de ser atingido por um raio, probabilidade de um jovem de 18 
anos do sexo masculino estudante de engenharia civil bater o carro a cada ano, 
probabilidade de uma betonada de concreto resultar numa resistência inferior à metade da 
esperada, etc. 
 
Um modo de descrever o comportamento probabilístico de eventos aleatórios é fazendo a 
distribuição gráfica da ocorrência dos eventos na forma de um gráfico de barras verticais 
conforme mostra a figura 1. Neste exemplo a categoria altura foi dividida entre 7 intervalos e 
os todos os alunos foram classificados conforme suas alturas em um desses intervalos. 
Essa classificação, ou seja, a computação do número de eventos (eixo y) ocorridos em 
cada categoria (eixo x) é denominada de distribuição, pois é uma forma de distribuir, neste 
caso, distribuir os resultados conforme a regra criada para classificá-los. Este tipo de 
distribuição chama-se distribuição descontínua, porque qualquer dado “cabe” dentro de 
um intervalo relativamente grande (não infinitesimal). Esses intervalos são como gavetas de 
um armário onde as coisas são organizadas conforme seu tamanho. Se distribuirmos os 
dados em intervalos infinitesimais, então a distribuição será denominada contínua. 
 
2
8
1
22
44
5
18
131-140 141-150 151-160 161-170 171-180 181-190 191-200
Altura (cm)
 
Figura 1 – Distribuição do número de alunos de uma classe com 100 exemplares conforme a altura 
 
 23 
Veja que, sendo a altura uma variável aleatória natural de tendência central, a maioria dos 
alunos (44 %) possui altura entre 161 e 170 cm, intervalo que também deve conter o valor 
médio da altura dos alunos. Observe também, pelo mesmo motivo, que não há nenhum 
aluno com altura de na faixa de 1 milímetro ou com 10 km de altura. Em fenômenos não 
naturais (sociais), como por exemplo, fenômenos econômicos, distribuições alargadas são 
muito comuns. 
 
O mesmo conjunto de dados do exemplo anterior pode ser distribuído em intervalos um 
pouco menores, como mostra a figura 2. Observe como o desenho formado pela união das 
colunas lembra a forma de um sino (ou chapéu). Podemos ir construindo outros gráficos com 
intervalos cada vez menores se tivermos número suficiente de eventos para distribuir nos 
intervalos. Imagine que ao invés da amostra do exemplo anterior estivéssemos trabalhando 
com uma amostra de 100.000 estudantes brasileiros matriculados em um curso superior e 
os intervalos de altura fossem de 1 mm. Então, um determinado exemplar, por exemplo um 
certo aluno chamado João da Silva, se tivesse 1765 mm de altura, seria esse dado colocado 
no intervalo que coubesse esse valor. 
 
 
Figura 2 – Mesmos dados distribuídos em intervalos menores 
 
Note que, quanto menor o intervalo, menor a porcentagem relativa do mesmo. Numa 
distribuição com intervalos infinitesimais (contínua), a porcentagem de cada intervalo é 
também infinitesimal e, desse modo, perde o sentido físico. No entanto, numa distribuição 
com intervalos infinitesimais podemos, ao invés de perguntar o número de eventos dentro 
daquele intervalo infinitesimal (que é aproximadamente zero), podemos perguntar qual o 
número de eventos que está compreendido entre um conjunto de intervalos infinitesimais. 
Por exemplo, qual o número de alunos com altura de no máximo 150 cm? Repare que na 
figura 2 cada quadrado representa um exemplar, ou seja, um aluno. Logo a soma das 
alturas das colunas dos intervalos que contêm os exemplares que satisfazem os quesitos da 
 24 
pergunta corresponde ao número de alunos, e a resposta é 6, ou seja, como a amostra 
possui 100 alunos, 6 % do número total de alunos possuem altura de no máximo 150 cm. 
 
O exemplo da figura 2 foi proposto com uma amostra de 100 exemplares para facilitar a 
compreensão. Entretanto, se a amostra tivesse, por exemplo, 200 exemplares,a curva teria 
a mesma forma, a diferença é que seriam 200 quadrados, cada um deles representando um 
exemplar. Do mesmo modo a amostra poderia ser formada por 758 exemplares e abaixo da 
curva seriam então 758 quadrados, cada um representando um exemplar, ou qualquer outro 
número. O que se pode perceber é que a área total abaixo da curva é formada pela soma de 
todos os quadrados (toda a amostra), cada quadrado representando um exemplar. A 
contagem do número de quadrados em um certo intervalo, dividido pelo total de exemplares, 
vezes 100, dá a freqüência de valores nesse intervalo. 
 
Em função dessa interpretação, ao invés de plotarmos a altura das colunas como número de 
exemplares, podemos plotá-las em termos de porcentagem da amostra (freqüência), ou 
como relação unitária, o que é mais comum. Desse modo, se a freqüência em um certo 
intervalo (coluna ou soma de colunas) for, por exemplo, 0,23, isso significa que 23 % dos 
eventos se dão com valores dentro de tal intervalo. A soma das freqüências de todas as 
colunas de um mesmo gráfico dará sempre 1, ou seja, 100 %. Observe que até agora 
estamos falando somente de gráficos de colunas. 
 
Se os intervalos forem infinitesimais ainda assim o conjunto de colunas de largura 
infinitesimal definirá um desenho na forma de sino. Essa forma pode ser descrita 
matematicamente de vários modos. A equação preferida é da Curva de Gauss, porque é 
relativamente simples, e também porque utiliza como coeficientes para particularização de 
uma determinada amostra somente dois números. Esses números são a média de valores 
da amostra e um índice de desvio, um número que representa a tendência apresentada pelo 
fenômeno em desviar-se de sua média. Esse índice é denominado de desvio-padrão e tem 
como origem histórica a Curva de Gauss. A função matemática que descreve a Curva de 
Gauss, chamada de função densidade de probabilidade, possui a seguinte configuração: 
 
 
2
2
2
)(
2
1
)( σ
µ
πσ
−
−
=
x
exf 
 
onde: 
 f(x) = densidade de probabilidade (1) de eventos de valor x 
µ = média da população; 
σ = desvio-padrão da população. 
 
(1)Observação: Densidade de probabilidade não é o mesmo que 
probabilidade (freqüência). Não há um sentido intuitivo para essa variável. A 
probabilidade (freqüência) de ocorrência de eventos de valores dentro do 
intervalo entre x e x + ∆x é de aproximadamente f(x).(x + ∆x), ou seja, a área 
abaixo da curva entre x e x + ∆x. 
 
Veja como é simples. Basta conhecer a média de uma população e sua tendência de desvio 
em relação à média para podermos construir uma equação matemática que descreve a 
ocorrência de eventos em qualquer intervalo não muito distante da média. Ou seja, basta o 
valor da média e do desvio-padrão para podermos calcular probabilidades, calcular os riscos 
de ocorrência de eventos indesejáveis. E melhor, não é preciso um número elevado de 
dados para construir a equação. Com uns poucos resultados tem-se uma boa aproximação. 
Quanto maior o número de dados melhor será a equação que descreve um fenômeno 
 25 
particular. Com 30 resultados (tamanho de uma amostra) a precisão se torna praticamente 
igual àquela conseguida com todo o universo (todos os eventos de um fenômeno analisado). 
 
A Curva de Gauss não surgiu por acaso. Os matemáticos (não foi somente Gauss) 
procuravam por uma equação que tivesse a forma de sino e que pudesse descrever a 
distribuição estatística dos valores de um fenômeno aleatório a partir de sua média e de sua 
tendência de desvio em relação à média. Conseguiu-se encontrar uma equação 
relativamente simples, particularizada através da média “µ” e do índice “σ” que é função da 
dispersão dos valores. Verificou-se que o índice “σ” poderia ser obtido a partir de uma 
amostra que tivesse pelo menos de 30 resultados usando a seguinte equação: 
 
 
n
xxxxxxxx n
22
3
2
2
2
1 )()()()( −++−+−+−=
L
σ 
 
onde: 
nxxxx ,,,, 321 L = valores de cada exemplar; 
x = valor médio; 
n = número de exemplares. 
 
Esse valor “σ” é denominado de desvio-padrão da população. Se a amostra contiver 
menos que 30 exemplares, então o desvio-padrão será chamado de desvio-padrão da 
amostra, representado pela letra “S”, sendo seu valor obtido através da seguinte equação: 
 
 
1
)()()()( 223
2
2
2
1
−
−++−+−+−
=
n
xxxxxxxx
S n
L
 
 
A figura 3 mostra como o gráfico da função densidade de probabilidade pode ser utilizado 
para cálculo de probabilidades. Note que para um certo fenômeno de média “µ” a 
probabilidade de ocorrência de eventos com valores entre µ-2σ e µ+2σ é de 95,4%, pois a 
área abaixo da curva entre esses valores de x é de 95,4 % da área total abaixo da curva que 
representa a totalidade de eventos. Por exemplo, imagine que a média de altura de alunos 
seja 170 cm e o desvio-padrão das alturas seja de 10 cm. Então, podemos afirmar que 95,4 
% dos alunos possuirão alturas entre 150 e 190 cm. Ou podemos afirmar que somente 4,6 
% dos alunos (100 % - 95,4 %) possuem alturas menores que 150 cm (µ-2σ) e maiores que 
190 cm (µ+2σ). Ainda que somente 2,3 % dos alunos (4,6 % ÷÷÷÷ 2) possuem alturas menores 
que 150 cm ou que somente 2,3 % dos alunos possuem alturas maiores que 190 cm. Do 
mesmo modo podemos dizer que 68,3 % dos alunos possuirão alturas entre 160 cm (µ-1σ) e 
180 cm (µ+1σ). Essa é uma propriedade da Curva de Gauss, não importa se a tendência de 
desvio do fenômeno, em relação à média, é pequeno ou grande. 
 
 
Figura 3 – Porcentagens das áreas abaixo da curva para intervalos entre + 1 σ e + 2 σ. 
 
 26 
A figura 4 (a) mostra duas distribuições com médias diferentes, mas de mesmo desvio-
padrão. Poderia ser, por exemplo, a distribuição dos alunos do sexo feminino cuja média 
seria µ1 e dos alunos do sexo masculino cuja média seria µ2. Em média os dois grupos, 
separados por sexo, possuem alturas médias diferentes, mas ambos possuem desvios em 
relação à média semelhantes. Esse é um exemplo bem próximo da realidade. A figura 4 (b) 
mostra a distribuição de valores de três grupos de mesma média, mas com tendências de 
desvios em relação à média diferentes. Um exemplo poderia ser a distribuição da variável 
tamanho de pães produzidos por 3 diferentes fábricas de pães de fôrma. A fábrica com 
melhor controle sobre a produção (melhor qualidade) possui um σ pequeno, enquanto a 
fábrica com controle de qualidade ruim irá apresentar um σ grande. 
 
 
 
 
 
 
a) Médias diferentes e desvios-padrão iguais. b) Médias iguais e desvios-padrão diferentes. 
Figura 4 – Curvas de Gauss de diferentes amostras caracterizadas por suas médias e desvios-
padrão. 
 
Percebe-se então que, para calcular probabilidades relacionadas a um fenômeno aleatório 
que segue a distribuição de Gauss, basta calcular a área abaixo da curva de Gauss do 
fenômeno, no intervalo de interesse. Seria fácil se a função de Gauss fosse integrável, mas 
não é, pelo menos não por métodos matemáticos convencionais. Uma boa solução é utilizar 
a capacidade dos computadores em realizar cálculos simples com grande rapidez. Para 
calcular a área abaixo em um certo intervalo de interesse é só dividir essa área em vários 
trapézios de altura de altura diminuta ∆x e fazer a soma. Quanto menor o ∆x maior precisão 
se obtêm para o cálculo da área. Mas em tratando-se de cálculos probabilísticos precisão é 
algo que não faz muito sentido. O que importa é que atualmente podemos fazer uma rotina 
simples com uma planilha eletrônica para efetuar esses cálculos. Mas antigamente isso não 
era possível. Para resolver o problema os matemáticos criaram um artifício. Inventaram a 
Curva de Gauss Padronizada, ou Curva Normal de Probabilidade, ou simplesmente 
Curva Normal. 
 
A Curva Normal é uma curva de distribuição de um fenômeno abstrato qualquer cuja média 
de valores é igual a zeroe o desvio-padrão é igual a 1. Desse modo, o cálculo da área 
abaixo da curva pode ser calculado em termos de quantidades de quadrados de lado σ, ou 
seja, um quadrado desses mede 1 σ2. Unidades de medida podem ser polegadas, pés, 
centímetros, km, etc., ou simplesmente sigma. Imagine um ladrilho cerâmico cujo lado mede 
1 sigma. Imagine que você viva num país imaginário e a unidade de medida é o sigma (é 
como o metro). Então o ladrilho cerâmico possui área de 1 sigma quadrado, ou 1 σ2. 
 
O desvio-padrão ao quadrado, ou σ2, é chamado de variância. A área abaixo da curva de -∞ 
a +∞ em uma curva normal possui área de 1 σ2. Logo, se você souber a área abaixo da 
curva normal em termos de frações de 1 σ2 , em qualquer intervalo de interesse em termos 
de número de sigmas, você saberá automaticamente a freqüência de ocorrência de eventos 
com valores nesse intervalo. A figura 5 mostra as Curvas de Gauss de quatro diferentes 
amostras onde há diferenças em termos de médias e variâncias. Note que uma das 
distribuições é a distribuição normal, pois possui a média igual a zero e o desvio-padrão 
 27 
igual a 1. Na figura 6 vê-se a Curva Normal plotada de tal forma que o eixo da densidade de 
probabilidade possui a dimensão igual a 1, ou 1 sigma. A escala dos dois eixos é de 0,1, ou 
seja, cada quadrado possui lado de tamanho 0,1. Logo, a área abaixo da curva de - ∞ a + ∞ 
possui 100 quadrados. 
 
 
 
Figura 5 – Curvas de Gauss de diferentes médias e variâncias. 
 
 
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-3 -2 -1 0 1 2 3
 
Figura 6 – Curva normal com eixo das ordenadas de dimensão igual a 1 desvio-padrão. 
 
Se podemos saber a freqüência de ocorrência de eventos de um fenômeno abstrato de 
média µ = 0 e σ = 1 simplesmente contando os quadrados abaixo da curva dentro do 
intervalo de interesse, podemos utilizar essa mesma curva para calcular a freqüência 
provável de qualquer outra amostra com µ ≠ 0 e σ ≠ 1, desde que a amostra possua 
distribuição na forma de sino, fazendo a padronização da variável x. Ou seja, passamos a 
expressar a variável x em termos de desvio em relação à média, na forma de número de 
desvios-padrão da própria amostra. Essa padronização é feita do seguinte modo: 
 
 Troca-se os valores de x pelo valor padronizado z fazendo: 
 
σ
µ−
= ii
x
z 
Por exemplo, caso se queira saber a freqüência provável de ocorrência de um evento de 
valor entre x1 = 1,8 e x2 = 2,5 se a média da amostra é 2 e seu desvio-padrão é 0,71. Para 
isso calcula-se as variáveis padronizadas z1 e z2 fazendo: 
 
 28,0
71,0
28,1
1 −=
−
=z e 70,0
71,0
25,2
2 +=
−
=z 
 
 28 
A freqüência provável de ocorrência de um evento de valor entre x1 = 1,8 e x2 = 2,5 será a 
mesma freqüência provável de ocorrência de um evento de valor entre z1 =-0,28 e z2 =+0,70 
, que é facilmente obtido da curva normal. Mas não é preciso ter uma curva normal plotada 
em um grande papel milimetrado e contar quadradinhos toda vez que precisar calcular uma 
freqüência provável. Desde o começo, quando ainda não haviam computadores, os 
matemáticos construíram as tabelas mostradas nas figuras 1 e 2 que contêm as freqüências 
acumuladas entre -∞ e zi. Na tabela 1 estão as freqüências acumuladas para os casos em 
que zi for negativo e na tabela 2 quando for positivo. Resultado do exemplo será 36,83 %. 
 
Tabela 1 – Valores tabelados da freqüência acumulada da curva normal para valores de zi < 0. 
 
P(z < zi) quando zi < 0 
 
σ
µ−
= ii
x
z 
 
Zi - 0 - 0,01 - 0,02 - 0,03 - 0,04 - 0,05 - 0,06 - 0,07 - 0,08 - 0,09 
- 0,0 0,5 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 
- 0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 
- 0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 
- 0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 
- 0,4 0,3446 0,3409 0,3373 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 
- 0,5 0,3086 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2878 0,2844 0,2810 0,2776 
- 0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2644 0,2611 0,2579 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 
- 0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2297 0,2267 0,2237 0,2207 0,2177 0,2148 
- 0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1895 0,1868 
- 0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1686 0,1661 0,1636 0,1611 
- 1,0 0,1587 0,1563 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1424 0,1401 0,1379 
- 1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1293 0,1272 0,1251 0,1231 0,1210 0,1190 0,1171 
- 1,2 0,1151 0,1132 0,1113 0,1094 0,1075 0,1057 0,1039 0,1021 0,1003 0,0986 
- 1,3 0,0969 0,0952 0,0935 0,0918 0,0902 0,0886 0,0870 0,0854 0,0839 0,0823 
- 1,4 0,0808 0,0793 0,0779 0,0764 0,0750 0,0736 0,0722 0,0708 0,0695 0,0682 
- 1,5 0,0669 0,0656 0,0643 0,0631 0,0618 0,0606 0,0594 0,0583 0,0571 0,0560 
- 1,6 0,0549 0,0538 0,0527 0,0516 0,0506 0,0495 0,0485 0,0475 0,0466 0,0456 
- 1,7 0,0446 0,0437 0,0428 0,0419 0,0410 0,0401 0,0393 0,0384 0,0376 0,0368 
- 1,8 0,0360 0,0352 0,0345 0,0337 0,0330 0,0322 0,0315 0,0308 0,0301 0,0295 
- 1,9 0,0288 0,0282 0,0275 0,0269 0,0263 0,0257 0,0251 0,0245 0,0239 0,0234 
- 2,0 0,0228 0,0223 0,0218 0,0213 0,0208 0,0203 0,0198 0,0193 0,0188 0,0184 
- 2,1 0,0180 0,0175 0,0171 0,0167 0,0163 0,0159 0,0155 0,0151 0,0147 0,0144 
- 2,2 0,0140 0,0136 0,0133 0,0130 0,0126 0,0123 0,0120 0,0117 0,0114 0,0111 
- 2,3 0,0108 0,0105 0,0103 0,0100 0,0097 0,0095 0,0092 0,0090 0,0087 0,0085 
- 2,4 0,0083 0,0081 0,0079 0,0076 0,0074 0,0072 0,0070 0,0068 0,0067 0,0065 
- 2,5 0,0063 0,0061 0,0060 0,0058 0,0056 0,0055 0,0053 0,0052 0,0050 0,0049 
- 2,6 0,0048 0,0046 0,0045 0,0044 0,0042 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 
- 2,7 0,0036 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 
- 2,8 0,0027 0,0026 0,0025 0,0024 0,0024 0,0023 0,0022 0,0022 0,0021 0,0020 
- 2,9 0,0020 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 
- 3,0 0,0014 0,0014 0,0014 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 
- 3,1 0,0011 0,0010 0,0010 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 
- 3,2 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 
- 3,3 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 
- 3,4 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 0,0003 
 
 
 
 29 
 
 
Tabela 2 – Valores tabelados da freqüência acumulada da curva normal para valores de zi > 0. 
 
P(z < zi) quando zi > 0 
 
σ
µ−
= ii
x
z 
 
Zi 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,5 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 
0,4 0,6554 0,6591 0,6627 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 
0,5 0,6914 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7122 0,7156 0,7190 0,7224 
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7356 0,7389 0,7421 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7703 0,7733 0,7763 0,7793 0,7823 0,7852 
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8105 0,8132 
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8314 0,8339 0,8364 0,8389 
1,0 0,8413 0,8437 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8576 0,8599 0,8621 
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8707 0,8728 0,8749 0,8769 0,8790 0,8810 0,8829 
1,2 0,8849 0,8868 0,8887 0,8906 0,8925 0,8943 0,8961 0,8979 0,8997 0,9014 
1,3 0,9031 0,9048 0,9065 0,9082 0,9098 0,9114 0,9130 0,9146 0,9161 0,9177 
1,4 0,9192 0,9207 0,9221 0,9236 0,9250 0,9264 0,9278 0,9292 0,9305 0,9318 
1,5 0,9331 0,9344 0,9357 0,9369 0,9382 0,9394 0,9406 0,9417 0,9429 0,9440 
1,6 0,9451 0,9462 0,9473 0,9484 0,9494 0,9505 0,9515 0,9525 0,9534 0,9544 
1,7 0,9554 0,9563 0,9572 0,9581 0,9590 0,9599 0,9607 0,9616 0,96240,9632 
1,8 0,9640 0,9648 0,9655 0,9663 0,9670 0,9678 0,9685 0,9692 0,9699 0,9705 
1,9 0,9712 0,9718 0,9725 0,9731 0,9737 0,9743 0,9749 0,9755 0,9761 0,9766 
2,0 0,9772 0,9777 0,9782 0,9787 0,9792 0,9797 0,9802 0,9807 0,9812 0,9816 
2,1 0,9820 0,9825 0,9829 0,9833 0,9837 0,9841 0,9845 0,9849 0,9853 0,9856 
2,2 0,9860 0,9864 0,9867 0,9870 0,9874 0,9877 0,9880 0,9883 0,9886 0,9889 
2,3 0,9892 0,9895 0,9897 0,9900 0,9903 0,9905 0,9908 0,9910 0,9913 0,9915 
2,4 0,9917 0,9919 0,9921 0,9924 0,9926 0,9928 0,9930 0,9932 0,9933 0,9935 
2,5 0,9937 0,9939 0,9940 0,9942 0,9944 0,9945 0,9947 0,9948 0,9950 0,9951 
2,6 0,9952 0,9954 0,9955 0,9956 0,9958 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 
2,7 0,9964 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 
2,8 0,9973 0,9974 0,9975 0,9976 0,9976 0,9977 0,9978 0,9978 0,9979 0,9980 
2,9 0,9980 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 
3,0 0,9986 0,9986 0,9986 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 
3,1 0,9989 0,9990 0,9990 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 
3,2 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 0,9993 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 
3,3 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 0,9995 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 
3,4 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 0,9997 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
 
5 – O CONTROLE DE QUALIDADE DO CONCRETO 
 
5.1. CONCEITO DE RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA DO CONCRETO – fck 
 
Quando construímos uma estrutura, o fazemos baseados em uma expectativa de 
durabilidade e segurança. Podemos construir estruturas para durar 10 anos ou 1000 anos, 
mas quanto maior a exigência de durabilidade e menores forem os riscos admitidos, maiores 
serão os custos da obra. A essência da engenharia é estabelecer o equilíbrio custo 
admissível x segurança admissível. A engenharia utiliza as ferramentas da estatística para 
projetar as estruturas e controlar a execução das obras de tal forma que esse equilíbrio se 
mantenha. 
 
A resistência à compressão do concreto é uma variável aleatória de tendência central. Logo, 
os resultados dos ensaios de resistência à compressão de corpos-de-prova moldados 
durante uma produção possuem distribuição de freqüências que aderem à Curva de Gauss. 
Assim, a Curva de Gauss pode ser utilizada para estimar os riscos de uma produção de 
concreto não atingir a resistência necessária ao bom desempenho de uma estrutura. Desse 
modo é possível especificar as características de um traço do concreto de acordo com os 
riscos que aceitamos correr. Também podemos, após realizada a produção, verificar se o 
volume total produzido atende às especificações. 
 
A Resistência Característica à Compressão do Concreto (fck) é o valor, segundo a 
Curva de Gauss de Distribuição das Resistências, em relação a qual a probabilidade de 
existência de valores mais baixos é de 5 %. Esse valor estatístico é que é especificado como 
resistência à compressão do projeto. A Resistência Média (fc), relaciona-se com o fck 
segundo a expressão: 
 
fck = fc – 1,65.Sn 
onde, 
 fck = Resistência característica à compressão do concreto em MPa; 
 fc = Resistência média à compressão do concreto em MPa; 
 Sn = Desvio-padrão (da população se n ≥ 30 exemplares ou da amostra se n < 30). 
 
Observação: Costuma-se também incluir a letra “j” para indicar que a resistência se refere a 
uma certa idade de “j” dias. Por exemplo, a resistência média fcj, aos 28 dias, é representada 
pelo símbolo fc28. 
 
A figura 1 ilustra um caso hipotético de produção de concreto cuja resistência média aos 28 
dias resultou em fcj = 29 MPa, teve desvio-padrão Sn = 5,5 MPa e sua resistência 
característica foi exatamente igual ao valor especificado em projeto, ou seja, fck = 20 MPa. 
 
Figura 1 – Distribuição de freqüência de resistências em que o fck = 20 MPa, Sn = 5,5 MPa e fcj = 29 MPa. 
 
 
 
 31 
Resistência de Dosagem (fcd) é a resistência média especificada à compressão do 
concreto, que relaciona-se com o fck segundo a expressão: 
 
fcd = fck + 1,65.Sd sendo que: Sd = Kn.Sn 
onde, 
 fcd = Resistência média especificada à compressão do concreto em MPa; 
 fck = Resistência característica à compressão do concreto em MPa; 
Sd = Desvio-padrão de dosagem. 
 
O Kn possui o seguinte valor, mostrado na tabela 1, em função do número “n” de 
exemplares utilizado para o calculo do desvio-padrão da produção: 
 
Tabela 1 – Kn em função do número de exemplares do cálculo de desvio-padrão da produção 
n 20 25 30 50 200 
Kn 1,35 1,30 1,25 1,20 1,10 
 
A resistência média especificada, como vimos, é um valor calculado em função de um valor 
adotado de desvio-padrão de dosagem, que por sua vez deve ser maior que o desvio-
padrão esperado da produção. Se tudo correr conforme o esperado, a resistência média do 
concreto produzido ficará próxima da média especificada e a resistência característica 
resultante (fckest) será maior que a resistência característica de projeto (fck). 
 
O uso da tabela 3 existia na antiga NBR 6118 (1978) que a suprimiu em função da 
responsabilidade pelos critérios de dosagem e controle de qualidade do concreto terem 
passado totalmente para a NBR 12655 (2006). Entretanto essa norma falha ao prescrever a 
utilização do valor do desvio-padrão simples quando deve utilizar o limite superior da faixa 
de desvios-padrão prováveis referente à amostra estudada. 
 
A figura 2 ilustra a distribuição de freqüências de um caso hipotético em que a resistência 
característica estimada do lote é maior que a resistência característica especificada. E é 
assim mesmo que tem que ser pois, se programarmos para produzir concretos cujo fck 
esperado seja igual ao fck de projeto erraremos em 50 % dos casos. 
 
Figura 2 – fckest = 25 MPa é maior que o fck de projeto que é 20 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 32 
Exercícios: 
 
I - Certa usina de concreto produz um concreto de resistência à compressão média aos 28 
dias de 25 MPa. O desvio-padrão estimado de seu processo de produção é de 3 MPa. 
Considerando o desvio-padrão estimado como o desvio-padrão da produção determine o 
valor da resistência característica desse concreto (fck), ou seja, a resistência para a qual 5% 
dos resultados sejam menores que ele. Faça isso utilizando a tabela de freqüências da 
Curva Normal. 
 
II - Com os mesmos dados do problema anterior, mas um desvio-padrão de 5 MPa, 
determine o fck. 
 
III - Duas concreteiras A e B produzem concreto de fck = 20 MPa, mas a Concreteira A 
possui desvio-padrão de 3 MPa e a Concreteira B de 7 MPa. Pergunta-se: 
a) Qual a resistência média dos concretos produzidos por cada uma das usinas? 
b) Qual concreteira gasta mais cimento para produzir concreto de fck = 20 MPa? 
c) Qual a melhor concreteira sob o ponto de vista do consumidor? 
d) Determine o valor da resistência à compressão para a qual 1 % dos resultados sejam 
menores que ele. 
 
IV - Dada uma produção de concreto de fck = 20 MPa e desvio-padrão de 5 MPa, determine 
o valor de cálculo da resistência do concreto após utilizar o coeficiente de minoração do 
concreto γc = 1,4 e calcule a probabilidade de ocorrência de betonadas com concretos de 
resistência menor que a resistência de cálculo. 
 
 
Observação: 
Numa produção industrial define-se como lote toda uma quantidade do produto produzido, 
quantidade esta que poderá ser aceita ou rejeitada pelo controle de qualidade conforme 
demonstre estar conforme ou não conforme com os padrões estipulados pela fábrica. O 
tamanho do lote depende da variabilidade do processo, dos custos de controle e dos custos 
de rejeição. Uma amostra é um conjunto de exemplares (eventos) que representa um lote. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33 
5.2. O CONTROLE DE ACEITAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO SEGUNDO A 
NORMA NBR 12.655 (2006) 
 
 A norma NBR12655 (2006) trata do preparo, controle e recebimento do concreto. No 
texto a seguir extraímos os conteúdos mais importantes, especialmente os que tratam do 
controle de aceitação. O texto e as numerações são os mesmos da NBR 12.655 (2006), não 
possuindo relação com as numerações da apostila. O formato de letra monotype corsiva delimita 
a parte da apostila cujos textos foram extraídos integralmente da NBR 12655 (2006). 
 
(início)(início)(início)(início) 
. . . 5.6.3.1 – Condições de preparo do concreto 
 
O cálculo da resistência de dosagem do concreto depende, entre outras variáveis, da condição de preparo do concreto, 
definidas a seguir: 
 
a) condição A (aplicável às classes C10 até C80); o cimento e os agregados são medidos em massa, a água de 
amassamento é medida em massa ou volume com dispositivo dosador e corrigida em função da umidade dos 
agregados; 
 
b) condição B: 
- aplicável às classes C10 até C25: o cimento é medido em massa, a água de amassamento é medida em volume 
mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em massa combinada com volume, de acordo com o exposto 
em 5.4; 
 
- aplicável às classes C10 até C20: o cimento é medido em massa, a água de amassamento é medida em volume 
mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em volume. A umidade do agregado miúdo é determinada 
pelo menos três vezes durante o serviço do mesmo turno de concretagem. O volume de agregado miúdo é 
corrigido através da curva de inchamento estabelecida especificamente para o material utilizado; 
 
c) condição C (aplicável apenas aos concretos de classe C10 e C15): o cimento é medido em massa, os agregados são 
medidos em volume, a água de amassamento é medida em volume e sua quantidade é corrigida em função da 
estimativa da umidade dos agregados e da determinação da consistência do concreto, conforme disposto na 
ABNT NBR NM 67 ou outro método normalizado. 
 
. . . 5.6.3.3 Concreto com desvio-padrão desconhecido 
 
No início da obra, ou em qualquer outra circunstância em que não se conheça o valor do desvio-padrão Sd, deve-se 
adotar para o cálculo da resistência de dosagem o valor apresentado na tabela 6,de acordo com a condição de preparo 
(ver 5.6.3.1), que deve ser mantida permanentemente durante a construção. 
 
Tabela 6 – desvio-padrão a ser adotado em função da condição de preparo do concreto 
Condição de preparo do concreto Desvio-padrão de dosagem (MPa) 
A 4,0 
B 5,5 
C (1) 7,0 
(1) Para a condição de preparo C, e enquanto não se conhece o desvio-padrão, exige-se para os concretos de classe 
C15 o consumo mínimo de 350 Kg de cimento por metro cúbico de concreto. 
 
 
. . . 6.2 – Ensaios de resistência à compressão 
 
Os resultados dos ensaios de resistência, conforme a NBR 5739, realizados em amostras formadas como descrito em 
6.2.1 e 6.2.2, devem ser utilizados para aceitação ou rejeição dos lotes. 
 
 
 34 
6.2.1 Formação de lotes 
 
A amostragem do concreto para ensaios de resistência à compressão deve ser feita dividindo-se a estrutura em lotes que 
atendam a todos os limites da tabela 7. De cada lote deve ser retirada uma amostra, com número de exemplares de 
acordo com o tipo de controle (ver 6.2.3). 
 
Tabela 7 – Valores para a formação de lotes de concreto 
Solicitação principal dos elementos da estrutura 
Limites superiores 
Compressão ou compressão e flexão Flexão simples 
Volume de concreto 50 m3 100 m3 
Número de andares 1 1 
Tempo de concretagem 3 dias de concretagem (1) 
(1) Este período deve estar compreendido no prazo total máximo de 7 dias, que inclui eventuais interrupções 
para tratamento de juntas. 
 
6.2.2 Amostragem 
 
As amostras devem ser coletadas aleatoriamente durante a operação de concretagem, conforme a NBR NM 33. Cada 
exemplar é constituído por dois corpos-de-prova da mesma amassada, conforme a NBR 5738, para cada idade de 
rompimento, moldados no mesmo ato. Toma-se como resistência do exemplar o maior dos dois valores obtidos no ensaio 
do exemplar. 
 
6.2.3 Tipos de controle da resistência do concreto 
 
Consideram-se dois tipos de controle de resistência: o controle estatístico por amostragem parcial e o controle do 
concreto por amostragem total. Para cada um destes tipos é prevista uma forma de cálculo do valor estimado da 
resistência característica, fckest , dos lotes de concreto. 
 
6.2.3.1 Controle estatístico do concreto por amostragem parcial 
 
Para este tipo de controle, em que são retirados exemplares de algumas betonadas de concreto, as amostras devem ser 
de no mínimo 6 exemplares para os concretos do Grupo I (classes até C50, inclusive) e 12 exemplares para os concretos 
do Grupo II (classes superiores a C50), conforme define a NBR 8953: 
 
 a) para lotes com números de exemplares 6 ≤ n < 20, o valor estimado da resistência característica à 
compressão (fckest), na idade especificada, é dado por: 
 
 
m
m
est f
m
fff
fck −
−
+++
= −
1
).(2 121 L 
 
onde: 
2
n
m = . Despreza-se o valor mais alto de n, se for ímpar; 
 
 f1, f2, . . . , fm = valores das resistências dos exemplares, em ordem crescente. 
 
Não se deve tomar para fckest valor menor que Ψ6.f1, adotando-se para Ψ6 os valores da tabela 8, em função da 
condição de preparo do concreto e do número de exemplares da amostra, admitindo-se interpolação linear. 
 b) para lotes com número de exemplares n ≥ 20: 
 
 fckest = fcm – 1,65 . Sd 
 
 onde: 
fcm é a resistência média dos exemplares do lote, em megapascals; 
 
 35 
 Sd é o desvio-padrão da amostra de n elementos, calculado com um grau de liberdade a menos [(n-1) no 
denominador da fórmula] em megapascals. 
 
Tabela 8 – Valores de Ψ6 
Número de exemplares ( n ) Condição de 
preparo 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 ≥ 16 
A 0,82 0,86 0,89 0,91 0,92 0,94 0,95 0,97 0,99 1,00 1,02 
B ou C 0,75 0,80 0,84 0,87 0,89 0,91 0,93 0,96 0,98 1,00 1,02 
Nota – Os valores de n entre 2 e 5 são empregados para os casos excepcionais (ver 7.2.3.3). 
 
 
6.2.3.2 Controle do concreto por amostragem total (100%) 
 
Consiste no ensaio de exemplares de cada amassada de concreto e aplica-se a casos especiais, a critério do responsável 
técnico pela obra (ver 4.4). Neste caso não há limitação para o número de exemplares do lote e o valor estimado da 
resistência característica é dado por: 
 
 a) para n ≤ 20, fckest = f1; 
 
 b) para n > 20, fckest = fi. 
 
onde: 
 
i = 0,05 n. Quando o valor de i for fracionário, adota-se o número inteiro imediatamente superior. 
 
6.2.3.3 Casos excepcionais 
 
Pode-se dividir a estrutura em lotes correspondentes a no máximo 10 m3 e amostrá-los com número de exemplares entre 
2 e 5. Nestes casos, denominados excepcionais, o valor estimado da resistência característica é dado por: 
 
 fckest = Ψ6 . f1 
 
onde: Ψ6 é dado pela tabela 8, para os números de exemplares entre 2 a 5. 
 
6.2.4 Aceitação ou rejeição dos lotes de concreto 
 
Os lotes de concreto devem ser aceitos, quando o valor estimado da resistência característica, calculado conforme 6.2.3, 
satisfizer a relação: 
 
fckest ≥ fck 
 
Em caso de existência de não-conformidade, devem ser obedecidos os critérios estabelecidos na NBR 6118. 
 
7 Recebimento do concreto 
 
O concreto deve ser recebido, desde que atendidas todas as condições estabelecidas nesta norma. 
 
Em caso de existência de não-conformidade, devem ser obedecidos os critérios estabelecidos na NBR 6118. 
 
(fim)(fim)(fim)(fim) 
 
 
 
 
 36 
 
5.3 ESTRATÉGIAS PARA O PLANO DE AMOSTRAGEM DO CONCRETO 
 
Vimos que a NBR 12.655 (2006) admite amostragens parciais com diferentes tamanhos de 
amostra. Para o engenheiro que deve planejar a amostragem fica a dúvida. Com quantos 
exemplares devo formar a amostra parcial? Isso é função da relação entre custo do concreto 
x custo de laboratório. Para amostrasmenores há que se ter uma resistência de dosagem 
mais alta e vice-versa. A análise estatística não é muito simples e por isso não é 
conveniente sua descrição na presente apostila. A alternativa que propomos aqui é uma 
delimitação das regras da NBR 12.655 (2006) com o fim de facilitar a vida do engenheiro RT 
da obra e evitar algumas interpretações errôneas da norma (coisa bastante comum), durante 
a execução da obra, que possam resultar em amostras de tamanho insuficiente. A seguir 
vamos às sugestões: 
 
 
I - Concreto usinado (Betonadas em geral de 6 ou 8 m3) 
 
a) Peças submetidas a esforços de compressão ou flexo-compressão (lotes de no máximo 
50 m3) 
 
Exemplos desse tipo de peça estrutural: pilares, vigas de transição, blocos de coroamento 
de estacas ou tubulões, estacas tubulões, sapatas, etc. 
 
Utilizar sempre AMOSTRAGEM TOTAL => moldar 1 exemplar (2 corpos-de-prova) de 
cada betonada para ensaio aos 28 dias de idade. 
 
b) Peças submetidas somente a esforços de flexão (lotes de até 100 m3) 
 
Exemplos : vigas, lajes, etc. 
 
Utilizar preferencialmente AMOSTRAGEM TOTAL mas pode ser economicamente 
interessante utilizar AMOSTRAGEM PARCIAL => moldar 6 exemplares por lote (total de 
12 corpos-de-prova). 
 
 
II - Concreto produzido na obra com betoneiras de pequeno volume (menor que 6 m3) 
 
Utilizar AMOSTRAGEM PARCIAL => moldar sempre 6 exemplares por lote (total de 12 
corpos-de-prova). 
 
Respeitar os seguintes limites: 
- 1 semana por lote; 
- Volume máximo por lote de 50 m3 para peças submetidas a esforços de compressão ou 
flexo-compressão; 
- Volume máximo por lote de 100 m3 para peças submetidas somente a esforços de 
flexão. 
 
III - Concreto usinado com complementações utilizando concreto produzido na obra 
 
Além das amostras dos lotes de concreto usinado não esquecer de formar pelo menos 
uma amostra composta por 6 exemplares a cada semana para o concreto complementar 
produzido na obra. Distribuir essa amostragem durante a semana. 
 
 
 37 
 
IV - Casos excepcionais 
 
Mesmo sabendo-se que a NBR 12655 (2006) admite a formação de amostras parciais 
com número de exemplares entre 2 e 5 para os casos de lotes com volumes menores que 
10 m3 , isso não é recomendável na prática, pois aumenta-se consideravelmente o risco 
de não aceitação automática de um lote conforme. A nossa recomendação é também 
formar essa amostra com 6 exemplares. 
 
Isso acontece, por exemplo, quando, após a concretagem e aceitação automática dos 
concretos de vários pavimentos, passa-se à última concretagem, do conjunto barrilete-
caixa d’água. Com um volume menor que 10 m3 , pode-se optar por uma amostra menor 
que 6 exemplares. No entanto, se o concreto utilizado for o mesmo que os anteriores, e 
os fcks estimados com 6 exemplares foram somente ligeiramente superiores ao fck de 
projeto, quando a amostra for reduzida, a probabilidade de não aceitação vai ser 
aumentada consideravelmente. Para que isso não ocorra é necessário mudar o traço do 
concreto a fim de produzi-lo com uma resistência média maior. Resumindo: Na prática é 
mais fácil e mais barato fazer a amostragem com 6 exemplares e manter o mesmo traço. 
 
 
 
 
 
Mudando de assunto. . . 
Sobre o controle aceitação do concreto fresco observe o que diz a norma americana 
ASTM C94/94M-04a – Standard Specification for Ready Mixed Concrete 
 
. . . Tolerâncias para o Slump Nominal 
 
Slump especificado (nominal) Tolerância 
50 mm ou menos + 15 mm 
50 a 100 mm + 25 mm 
mais que 100 mm + 40 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38 
 
Exercícios de Controle de Aceitação de Estrutura de Concreto 
 
1) Durante um controle da resistência do concreto da estrutura de um edifício cuja 
resistência característica aos 28 dias era 20 MPa, obteve-se os valores relacionados na 
tabela abaixo para o concreto das lajes e vigas do 9o Pavimento Tipo que ao todo dava um 
lote de concreto usinado. O volume total de concreto das lajes e vigas do Pavimento Tipo 
era 96 m3 e foi totalmente misturado em caminhões betoneira de volume máximo de 6 m3. 
Verifique se a estrutura será aceita automaticamente. 
 
Resistência à compressão (MPa) 
Exemplar 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
c.p. 1 20,0 22,5 21,2 24,2 25,0 23,8 22,9 21,3 27,2 26,1 22,4 
c.p. 2 18,5 24,0 21,3 25,8 23,3 26,7 24,5 25,2 23,4 24,3 22,4 
 
2) Verifique se a estrutura será aceita automaticamente para os mesmos dados do 
problema anterior sendo a única diferença o fato de que o volume total de concreto das lajes 
e vigas do Pavimento Tipo era de 66 m3. 
 
3) Um edifício de 10 pavimentos é concretado usando concreto de fck de projeto de 20 MPa 
produzido na obra em uma betoneira de volume útil de 2 m3. O cimento é medido em massa, 
a água de amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados 
medidos em volume. A umidade do agregado miúdo é determinada pelo menos três vezes 
durante o serviço do mesmo turno de concretagem. O volume de agregado miúdo é corrigido 
através da curva de inchamento estabelecida especificamente para o material utilizado. As 
vigas e lajes de cada pavimento formam um lote de 88 m3 em que são moldados 22 
exemplares para ensaio à compressão cujo resultado à 28 dias do 4o andar é apresentado 
na tabela abaixo. Verifique se a estrutura composta pelas vigas e lajes do 4o andar pode ser 
aceita automaticamente. 
 
Resistência à compressão (MPa) 
Exemplar 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
c.p. 1 18,8 22,5 20,2 24,2 25,0 23,8 22,9 21,3 27,2 26,1 22,0 
c.p. 2 18,5 24,0 20,3 25,8 23,3 26,7 24,5 25,2 23,4 24,3 22,5 
Resistência à compressão (MPa) 
Exemplar 
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 
c.p. 1 23,0 21,5 20,2 21,2 25,5 22,8 24,9 20,3 28,2 24,1 20,0 
c.p. 2 19,5 25,0 21,3 22,8 24,3 23,7 25,5 25,2 25,4 23,3 20,6 
 
4) Faça a mesma verificação do exercício anterior considerando que só tivessem sido 
moldados os exemplares de 1 a 6 mostrados na tabela. 
 
5) O conjunto de pilares do Pavimento Tipo do 3o andar de um edifício com fck = 20 MPa a 
28 dias possui volume total de 5,6 m3. Eles foram concretados utilizando a produção de uma 
betoneira de volume nominal 320 l (volume útil de 250 litros) e condição de preparo do 
concreto tipo B. Foram moldados 2 exemplares cujos resultados do laboratório são 
apresentados na tabela abaixo. Verifique se a estrutura composta pelos pilares do 3o andar 
será aceita automaticamente. 
 
Resistência à compressão (MPa) 
Exemplar 1 2 
c.p. 1 25,5 23,0 
c.p. 2 24,3 19,5 
 39 
 
 
6) Faça a mesma verificação anterior para o caso de terem sido moldados 3 exemplares 
segundo a tabela abaixo: 
 
Resistência à compressão (MPa) 
Exemplar 1 2 3 
c.p. 1 25,5 23,0 20,2 
c.p. 2 24,3 19,5 22,3 
 
7) Um edifício de 6 pavimentos terá sua estrutura executada em concreto produzido na obra 
(fck = 20 MPa). Sabendo-se que a concretagem dos pilares, vigas e lajes de cada pavimento 
será executada numa mesma etapa (volume total de 48 m3 por pavimento), que o ritmo de 
execução da estrutura prevê a produção de um pavimento a cada 15 dias e que o volume 
de produção de uma betonada é de 250 litros de concreto (para cada saco de cimento), 
estabelecer um programa de controle da resistência do concreto, ou seja, número de lotes 
por pavimento, número de betonadas por lote, número de exemplares por lote e em que 
seqüência de moldagem.