GRADIENTE EXER. RESOLVIDOS

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Lista 3 – Oendel Roberto Wagner – 15/12/2009 
1) Calcule o gradiente de f para as seguintes funções: 
a) ²)²ln(),( yxyxf  
Solução: 
 
Derivando em relação a x e em relação a y temos: 
Para isso iremos considerar ²)²( yxu  e dessa forma substituindo temos: 
²)²(
22)2(1)(ln²)²ln(
yx
x
u
xx
ux
u
du
udyx
x 






 
 
²)²(
22)2(1)(ln²)²ln(
yx
y
u
yy
uy
u
du
udyx
y 






 
 
Dessa forma o gradiente da função fica: 
²)²(
2,
²)²(
2²)²ln(
yx
y
yx
xyx

 
 
b) 
²²
1),(
yx
yxf

 
Solução: 
 Consideramos novamente o ²² yxu  , e resolvendo temos: 
²)³²(2
221
2
1)(1
²²
1
2
3
2
3
2
1
yx
x
u
xx
u
x
u
du
ud
uxyxx 
























 
 
²)³²(2
221
2
1)(1
²²
1
2
3
2
3
2
1
yx
y
u
yy
u
y
u
du
ud
uyyxy 
























 
 
Dessa forma a solução do gradiente da função é: 





















²)³²(
,
²)³²(²²
1
yx
y
yx
x
yx
 
 
 
2) Determine a derivada direcional, )( p
v
f


da função )cos(²),( xyxyxf  no ponto 
)0,1(p na direção do vetor )1,1(v . 
 
Solução: 
1º Modo 
21.2)0cos(2)(
)0))(0()²0cos(()2)0(2()0)²0(())0(4)³0(2)²0(5()(
)0)(²cos()22()²()14³2²5()(
)0)(²cos()22()²())12()(12²()(
)0()²cos()12²()(
)0())(()(
)0)(²cos()12²()(
))1cos(()²1(),1()(
),1(

































p
v
f
senp
v
f
tttttsentttp
v
f
tttttsentttp
v
f
dt
ttttdp
v
f
dt
vtpfdp
v
f
ttttvtpf
tttttfvtpf
ttvtp
 
 
 
2º Modo 
 
Temos que: 
),1())(),(( ttvtptytxvtp 

 
 
Aplicando a regra da cadeia obtemos: 
2)1(2)(
00cos20)(
)0.1()³1(()0.1cos()1.(2)0.1(0)².1(()(
)1).((³()1)).(cos(2)(²()(
)0(')()0(')()0())(()(




























p
v
f
p
v
f
sensenp
v
f
xysenxxyxxyysenxp
v
f
yp
y
fxp
x
f
dt
vtpfdp
v
f