1º ESTÁGIO CÁLCULO I - UFCG

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RESPOSTAS DA AVALIAÇÃO 1
1. (2,0)(a) Para a função ser definida devemos ter 4 − z2 > 0, ou seja,−2 < z < 2. Daí, D(f ) = (−2, 2).Agora, observe que se z = 0 então √4− z2 = √4− 4 = 0,ou seja, g(0) = 12 . Para qualquer outro número entre −2 e 2,√4− z2 terá como resultado um número positivo menor do que2, isto é, 1√4− z2 > 12 . Logo,
Imf = [12,∞
) .
(b) Pela regra que define a função observamos que a mesma estádefinida para todos os valores reais. Logo
Df = R.
Agora, para x ≤ 1, todos os valores reais não negativos sãoassumidos, pois f (x) = x2. Como para x > 1 a função é f (x) =3x − 1x − 1 resulta também em um número positivo, concluimos queImf = [0,∞).
2. (2,0)(a) Como y = f (x) = x2 + 1, x ≥ 0, é injetiva podemos determinarsua inversa. Trocando as posições de y e x , obtemos x = y2+1,ou seja, y2 = x − 1, donde
y = f−1(x) = √x − 1, x ≥ 0.
(b) Temos,
(f ◦ f−1)(x) = f (f−1(x)) = f (√x − 1)= (√x − 1)2 + 1 = x − 1 + 1= x
e (f−1 ◦ f )(x) = f−1(f (x)) = f−1(x2 + 1)= √(x2 + 1)− 1 = √x2= x
Portanto, (f ◦ f−1)(x) = (f−1 ◦ f )(x).3. (3,0)
(a)
limx→2
√3x − 2− 22x − 4 = limx→2
√3x − 2− 22x − 4 ·
√3x − 2 + 2√3x − 2 + 2= limx→2 3x − 2− 4(2x − 4)(√3x − 2 + 2)= limx→2 3x − 6(2x − 4)(√3x − 2 + 2)= 3(x − 2)2(x − 2)(√3x − 2 + 2)= 32 limx→2 1(√3x − 2 + 2)= 32 · 1√3 · 2− 2 + 2 = 32 · 14 = 38.(b)
limx→0 sen3x − 5x3x = limx→0 sen3x3x − limx→0 5x3x= 1− 53 = −23.(c) Sabendo que as raízes de 3x2 − 12 são ±2 e as raízes de2x2 + 3x − 2 são −2 e 1/2, temos
limx→−2 3x2 − 122x2 + 3x − 2 = limx→−2 3(x + 2)(x − 2)2(x + 2)(x − 1/2)= limx→−2 3(x − 2)2(x − 1/2) = 32 limx→−2 x − 2x − 1/2= 32 · (−2− 2)(−2− 1/2) = 32 · (−4)(−5/2) = 125 .4. (1,0) Note que
limx→±∞ 1x2 − 4 = limx→±∞ 1/x21− 4/x2 = 0.3
Logo, y = 0 é a assíntota horizontal do gráfico da função g. Por outrolado, sendo x = ±2 as raízes de x2 − 4 e, portanto, indeterminaçõesda função, temos
limx→2+ 1x2 − 4 = +∞ e limx→−2+ 1x2 − 4 = +∞
Logo, x = 2 e x = −2 são as assíntotas verticais do gráfico de dafunção g.5. (2,0) Observe que as raízes de x2 − 4x + 3 são x = 1 e x = 3, ouseja, h(x) = x + 1x2 − 4x + 3 = x + 1(x − 1)(x − 3).Logo, concluímos que h é descontínua em x = 1 e x = 3 por não serdefinida nesses pontos. Por outro lado, para qualquer ponto a realdiferente dos dois anteriores temos
limx→ah(x) = limx→a x + 1x2 − 4x + 3 = a+ 1a2 − 4a+ 3 = h(a),
ou seja, h é contínua em qualquer número real exceto a = 1 e a = 3.Portanto, a função h é contínua nos intervalos
(−∞, 1), (1, 3) e (3,∞).
BOA PROVA!!!
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