primeira va algelin

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Universidade Federal Rural de Pernambu
o - UACSA
Primeira Veri�
ação de Aprendizagem - Álgebra Linear
Não é permitida 
onsulta a qualquer tipo de material. Esta folha de questões deve ser entregue juntamente
om a folha de respostas.
Prof. Fernando Gonçalves de Almeida Neto
Nome: Turma:
1. Ao estudar um 
ir
uito elétri
o, um estudante obteve o seguinte sistema de equações lineares para
al
ular as tensões v1, v2 e v3:


4v1 − v2 = 2
−v1 + 6v2 − [(k − 1)
2
− 39/8]v3 = 5
− 2v2 + 7v3 = 17
, (1)
em que k é uma 
onstante des
onhe
ida.
(a) (0,5) Es
reva o sistema de equações na forma matri
ial e identi�que a matriz dos 
oe�
ientes, o
vetor de in
ógnitas e o vetor de termos independentes.
(b) (1,0) Quando o estudante montou o 
ir
uito, ele 
on�rmou que o 
ir
uito fun
ionava (ou seja:
que o sistema de equações possui solução úni
a). Determine os valores que k não pode
assumir para que o sistema de equações tenha solução úni
a.
(
) (1,0) Utilizando [(k − 1)2 − 39/8] = 2 (que 
orresponde ao valor dessa expressão quando k =
1 +
√
55/8) , o estudante de
idiu resolver o sistema de equações realizando o es
alonamento da
matriz ampliada. Durante seus 
ál
ulos, ele se deparou 
om a seguinte matriz:


1 −1/4 0 1/2
0 1 −8/23 22/23
0 0 0 −435/46

 .
Apenas olhando essa matriz, sabemos que o estudante errou suas 
ontas. Como é possível 
hegar a
essa 
on
lusão sem fazer nenhum 
ál
ulo? (Di
a: lembre-se do que vo
ê veri�
ou no item anterior.)
(d) (2,5) Substitua [(k − 1)2 − 39/8] = 2 e 
al
ule a solução do sistema de equações (1) utilizando a
matriz inversa.
2. Considere o seguinte 
onjunto
V =




1
a21
a31

 ; aij ∈ R

 ,
onde estão de�nidas as seguintes operações de soma e multipli
ação por es
alar para u, w ∈ V e k ∈ R:
• Soma: u+w =


1
u21
u31

+


1
v21
v31

 =


1
u21 + v21
u31 + v31


• Multipli
ação por es
alar: ku = k


1
u21
u31

 =


1
ku21
ku31


(a) (1,0) Qual o vetor nulo de V ?
(b) (1,0) Dado um vetor u, qual o vetor oposto de u?
(
) (2,0) Mostre que V é um espaço vetorial.
(d) (1,0) Seja W1 =




1
a
a2

 ; a ∈ R

. W1 é um subespaço de V ? Mostre 
omo 
hegou a essa
on
lusão.
1