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Universidade Federal Rural de Pernambu
o - UACSA
Segunda Veri�
ação de Aprendizagem - Álgebra Linear
• É permitida a 
onsulta a apenas a uma úni
a folha de papel A4 trazida pelo aluno. As anotações na
folha de papel A4 devem ser manus
ritas, não sendo permitidas folhas impressas ou 
ópias xerox.
• É permitido o uso de 
al
uladora.
• Não é permitido emprestar a 
al
uladora.
• Não é permitida 
onsulta a qualquer outro tipo de material além da folha de papel A4 
om as anotações
do aluno. Também não é permitida a 
onsulta aos 
olegas.
• Esta folha de questões e a folha de papel A4 
om as anotações 
onsultadas pelo aluno devem ser
entregues juntamente 
om a folha de respostas.
Prof. Fernando Gonçalves de Almeida Neto
Nome: Turma:
1. (1,5) Considere a função f : R2 → R2, dada por
f
([
x
y
])
=
[
1 2
3 4
] [
x
y
]
+
[
a
b
]
.
Para quais valores de a e b a função f
([
x
y
])
é uma transformação linear? Justi�que sua resposta.
2. Considere a transformação linear T : R3 → R3
T



 xy
z



 =

 1 4 70 2 5
0 0 3



 xy
z

 .
(a) (1,0) En
ontre Im(T ) e ker(T ). T é injetora? T é sobrejetora? Justi�que suas respostas.
(b) (2,0) En
ontre os autovalores e os autovetores asso
iados a essa transformação linear.
(
) (1,0) Considere a matriz
A =

 1 4 70 2 5
0 0 3


4
.
Quais são os autovalores de A? Justi�que sua resposta.
3. Sejam
β =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
e
γ =
{[
2 0
0 4
]
,
[
0 1
0 1
]
,
[
0 0
2 0
]
,
[
0 0
0 4
]}
bases de M(2, 2) (o espaço vetorial das matrizes de dimensão 2× 2).
(a) (1,5) En
ontre [I]βγ .
(b) (1,0) Dado um v =
[
1 2
3 4
]
, obtenha [v]β e [v]γ .
4. Seja β = {1− x, 2x+ x2, 3+2x2} uma base de P2 (o espaço vetorial dos polin�mios de de grau menor
ou igual a 2). Sejam u = a1 + a2x+ a3x
2
e v = b1 + b2x+ b3x
2
dois vetores de P2 e o produto interno
〈u, v〉 = a1b1 + 2a2b2 + 3a3b3.
(a) (1,0) Veri�que se a base β é ortogonal segundo esse produto interno.
(b) (1,0) Considere dois vetores, v1 = −1 + x e v2 = x − x
2
. De�na v
′
1
= v1 e obtenha o vetor v
′
2
,
ortogonal a v
′
1
, segundo o produto interno apresentado.
1