terceira va

Prévia do material em texto

Universidade Federal Rural de Pernambu
o - UACSA
Ter
eira Veri�
ação de Aprendizagem - Álgebra Linear
É permitido o uso de 
al
uladora, mas não é permitido emprestar a 
al
uladora durante a prova. Esta folha de
questões deve ser entregue juntamente 
om a folha de respostas.
Prof. Fernando Gonçalves de Almeida Neto
Nome: Turma:
1. A equação que des
reve a posição de uma partí
ula no plano xy em função do tempo t e de sua posição ini
ial
s0x em relação ao eixo x e s0y em relação ao eixo y, é dada por:
S(s0x , s0y , t) = (s0x + 2t, s0y − 4t).
(a) (1,0) Mostre que S(s0x , s0y , t), para S : R
3 → R2, é uma transformação linear.
(b) (0,5) Considere β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e γ = {(1, 2), (3, 1)}, bases de R3 e de R2,
respe
tivamente. Cal
ule [(0, 2, 2)]β e [S(0, 2, 2)]γ .
(
) (1,0) Obtenha [S]βγ .
2. Ao estudar um pro
esso industrial, um engenheiro me
âni
o obteve o seguinte modelo para des
rever seu fun-
ionamento:
PSfrag repla
ements
T (·) T (x)x
H
H
s
V
Ou seja: para 
ada entrada x, uma saída T (x) é en
ontrada. x é de�nido 
omo um vetor x = (x1, x2), onde a
oordenada x1 representa a temperatura ini
ial do pro
esso em
oC e a 
oordenada x2 representa a pressão ini
ial
do pro
esso, medida em bar. T (x) = (y1, y2) também é um vetor 
om 2 elementos, em que y1 é a temperatura
em
oC na saída do pro
esso e y2 é a pressão na saída do pro
esso, medida em bar. Ao realizar alguma medidas,
ele obteve os seguintes valores: {
T (40, 2) = (80, 25)
T (45, 3) = (60, 24)
(a) (1,0) Sabendo que T (x1, x2) é uma transformação, obtenha T (x1, x2).
(b) (0,5) Cal
ule T (90, 2).
(
) (0,5) Suponha que após um estudo mais detalhado do pro
esso, o engenheiro tenha en
ontrado uma repre-
sentação mais simples para o pro
esso, dada por
T (x1, x2) =
[
2 4
1/5 1
] [
x1
x2
]
.
Para poder 
ontrolar totalmente o pro
esso e garantir que a planta industrial é segura, ele deve veri�
ar se
a transformação é inversível (ou seja, deve veri�
ar se essa transformação admite transformação inversa).
Para esse 
aso, ele sabe que deve estudar a matriz des
rita na de�nição de T (x1, x2). O que ele deve
veri�
ar para saber se a transformação é inversível? Faça esse 
ál
ulo e diga se existe a transformação
inversa.
(d) (1,0) Cal
ule o valor de x1 e de x2 em [
78
9
]
=
[
2 4
1/5 1
] [
x1
x2
]
3. Ao estudar uma nova mistura de 
omponentes para fabri
ar 
erâmi
as mais resistentes e duradouras, um enge-
nheiro de materiais obteve uma relação linear que permite 
al
ular a proporção de 3 materiais x, y e z na fórmula
da nova mistura, dada por
F (x, y, z) =
[
1 2 3
4 1 6
]
 xy
z

 .
Ao obter as equações, ele per
ebeu que poderia obter um 
onjunto gerador de todas as soluções desse problema.
Para isso, ele notou que deveria en
ontrar o 
onjunto gerador da imagem de F (x, y, z).
(a) (1,0) En
ontre um 
onjunto gerador de vetores para Im(F ).
(b) (0,5) Os vetores do 
onjunto gerador de Im(F ) formam uma base de R2? Justi�que sua resposta.
1