Lista de Sistemas Lineares para o pessoal de Ciência da Computação!!

Prévia do material em texto

DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - UFRPE
PROFESSOR: Adriano Regis Rodrigues
A´lgebra Vetorial e Linear para Computac¸a˜o
2013.2
Turmas: LC1 e BC3
Lista II - Sistemas Lineares
1. (FUVEST) Sabendo que x, y e z sa˜o nu´meros reais e
(2x+ y− z)2 + (x− z)2 + (z− 3)2 = 0, enta˜o x+ y+ z
e´ igual a:
2. (ITA) Sejam a1, a2, a3 e a4, quatro nu´meros reais
(com a1 6= 0), formando nessa ordem uma
progressa˜o geome´trica. Enta˜o, o sistema em x e y{
a1x+ a3y = 1
a1a2x+ a1a4y = a2
e´ um sistema :
(a) imposs´ıvel
(b) poss´ıvel determinado
(c) poss´ıvel indeterminado
(d) poss´ıvel determinado apenas para a1 > 1.
(e) poss´ıvel determinado apenas para a1 < −1.
3. Seja a, b ∈ R. Considere os sistemas lineares em x, y
e z:
x+ y − z = 0
x− 3y + z = 1
−2y + z = a
e

x− y = 0
x+ 2y − z = 0
2x− by + 3z = 0
Se ambos admitem infinitas soluc¸o˜es reais, enta˜o :
(a) a/b = 11 (b) b/a = 22 (c) ab = 1/4 (d)
ab = 22 (e) ab = 0
4. (FUVEST) Joa˜o diz a Pedro: se voceˆ me der 1/5 do
dinheiro que possui eu ficarei com uma quantia igual
ao dobro do que lhe restara´. Por outro lado, se eu lhe
der R$ 6.000,00 do meu dinheiro no´s ficaremos com
quantias iguais. Quanto dinheiro possui cada um?
5. (UFES) Por ocasia˜o do Natal, uma empresa
gratificara´ seus funciona´rios com certo nu´mero de
ce´dulas de R$ 50,00. Se cada funciona´rio receber 8
ce´dulas, sobrara˜o 45 delas; se cada um receber 11
ce´dulas, faltara˜o 27.
O montante a ser distribu´ıdo e´
(a) R$ 9.600,00 (b) R$ 10.550,00 (c) R$ 11.850,00
(d) R$ 13.250,00 (e) R$ 15.00,00
6. (FUVEST) considere o sistema
{
x−my = 1−m
(1 +m)x+ y = 1
(a) Prove que o sistema admite soluc¸a˜o u´nica para
cada nu´mero real m.
(b) Determine m para que o valor de x seja o maior
poss´ıvel.
7. Seja f : R2 → R2 uma func¸a˜o definida por f(x, y) =
(2x+y, x−y). Sabe-se que a equac¸a˜o f(x, y) = λ(x, y)
possui soluc¸a˜o (x, y) 6= (0, 0). Calcule λ.
8. (03 Boldrini, pg. 49) Reduza as matrizes a` forma
escada reduzida por linhas.
(a)

1 −2 3 −1
2 −1 2 3
3 1 2 3
 (b)

0 1 3 −2
2 1 −4 3
2 3 2 −1

(c)

0 2 2
1 1 3
3 −4 2
2 −3 1

9. (06 Boldrini, pg. 50) Determine k, para que o sistema
admita soluc¸a˜o .
−4x+ 3y = 2
5x− 4y = 0
2x− y = k
10. (07 Boldrini, pg. 50) Encontre todas as soluc¸o˜es do
sistema
x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 − 7x5 = 14
2x1 + 6x2 + x3 − 2x4 + 5x5 = −2
x1 + 3x2 − x3 + 2x5 = −1
11. Seja
AX =
[
1 2
3 λ
][
x1
x2
]
(a) Para quais valores de λ o sistema AX = 0 tem
(i) u´nica soluc¸a˜o; (ii) mais que uma soluc¸a˜o?
1
(b) Se b = [1 3]t para quais valores de λ AX = b
tem (i) u´nica soluc¸a˜o; (ii) mais que uma soluc¸a˜o,
(iii) na˜o tem soluc¸a˜o?
(c) Se h = [1 1]t para quais valores de λ AX = h
tem (i) u´nica soluc¸a˜o; (ii) mais que uma soluc¸a˜o,
(iii) na˜o tem soluc¸a˜o?
12. (19 Boldrini, pg. 52) Chamamos de sistema homogeˆ
neo de n equac¸o˜es e m inco´gnitas aquele sistema cujos
termos independentes, bi, sa˜o todos nulos.
(a) Um sistema homogeˆ neo admite pelo menos uma
soluc¸a˜o. Qual e´ ela?
(b) Encontre os valores de k ∈ R, tais que o sistema
homogeˆ neo
2x− 5y + 2z = 0
x+ y + z = 0
2x+ kz = 0
tenha uma soluc¸a˜o distinta da soluc¸a˜o trivial.
13. (20 Boldrini, pg. 52) Considere o sistema{
x+ 6y − 8z = 1
2x+ 6y − 4z = 0
Note que podemos escreveˆ-lo na forma matricial
[
1 6 −8
2 6 −4
]
x
y
z
 =
[
1
0
]
(1)
(a) Verifique que a matriz X1 =

x
y
z
=

−1
1/3
0
 e´
uma soluc¸a˜o para o sistema.
(b) Resolva o sistema e verifique que toda
matriz-soluc¸a˜o e´ da forma
X =

x
y
z
 = λ

−4
2
1
+

−1
1/3
0
 ,
onde λ ∈ R.
(c) Verifique que
λ

−4
2
1
 =

−4λ
2λ
λ
 ,
e´ a soluc¸a˜o do sistema homogeˆ neo, associado ao
sistema (1),
[
1 6 −8
2 6 −4
]
·

x
y
z
 =
[
0
0
]
(2)
(d) Conclua dos itens (a), (b) e (c), que
o conjunto-soluc¸a˜o do sistema (1) e´ o
conjunto-soluc¸a˜o do sistema (2) somado a uma
soluc¸a˜o particular de (1).
14. (21 Boldrini, pg. 53) Dado a sistema

1 2 0 −1
1 0 2 −1
1 2 2 −1
3 4 4 −3
 ·

x
y
z
w
 =

2
2
4
8
 (3)
(a) Encontre uma soluc¸a˜o dele sem rsolveˆ-lo.(Atribua
valores para x, y, z e w.)
(b) Agora, resolva efetivamente o sistema, isto e´,
encontre sua matriz soluc¸a˜o .
(c) resolva tambe´m o sistema homogeˆneo associado.
(d) Verifique que toda matriz-soluc¸a˜o obtida em (b)
e´ a soma de uma matriz-soluc¸a˜o encontrada em
(c) com a soluc¸a˜o particular que voceˆ encontrou
em (a).
15. (22 Boldrini, pg. 53) Altamente motivado pelos
exerc´ıcios anteriores, mostre que toda matriz-soluc¸a˜o
de um sistema linear AX = B e´ a soma de uma
soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo associado AX = 0 com
uma soluc¸a˜o particular de AX = B. Sugesta˜o : siga
as etapas seguintes, usando somente propriedades de
matrizes.
(i) Mostre que se X0 e´ uma soluc¸a˜o do sistema
AX = 0 e X1 e´ soluc¸a˜o do sistema AX = B,
enta˜o X0 +X1 e´ soluc¸a˜o do sistema AX = B.
(ii) Se X1 e X2 sa˜o soluc¸o˜es de AX = B, enta˜o
X1 −X2 e´ soluc¸a˜o de AX = 0.
(iii) Use (i) e (ii) para chegar a` conclusa˜o desejada.
16. (24 Boldrini, pg. 54) Dado o sistema linear
3x+ 5y + 12z − w = −3
x+ y + 4z − w = −6
2y + 2z + w = 5
2
(a) Discuta a soluc¸a˜o do sistema.
(b) Acrescente a equac¸a˜o 2z+kw = 9 a este sistema,
e encontre um valor de k que torne o sistema
incompat´ıvel.
17. Considere a seguinte matriz
A =

1 0 0
−5 0 1
0 12 0
 .
Encontre matrizes elementares E1, E2, ..., Ek tais que
Ek · Ek−1 · ... · E1 ·A = I.
18. Resolva simultaneamente os treˆ s sistemas a seguir por
linha-reduc¸a˜o da matriz [A
... K1
... K2
... K3]
a) AX = K1 =

1
1
1
 ; b) AX = K2 =

1
−3
2
 ;
c) AX = K3 =

1
2
−2
,
onde
A =

1 2 3
2 4 5
3 5 6

19. Seja A =

1 3 3
1 3 4
1 4 3
 . Resolva os treˆ s sistemas:
a) AX =

1
0
0
 b) AY =

0
1
0
 c) AZ =

0
0
1
,
usando a mesma te´cnica do exerc´ıcio anterior.
20. Seja
A =

2 1 1
1 1 1
3 1 1
 .
Mostre que o sistema AX = b tem soluc¸a˜o se, e
somente se b3 − 2b1 + b2 = 0, onde b = [b1 b2 b3]T .
21. Encontre as inversas das seguintes matrizes, atrave´s
do me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan.
A =

1 3 3
1 3 4
1 4 3

B =

1 1 −1 2
1 3 2 −3
−1 2 1 −1
2 −3 −1 4

C =

2 4 3 2
3 6 5 2
2 5 2 −3
4 5 14 14

22. Encontre uma matriz P na˜o-singular tal que PA = B,
onde
A =

2 3 4
4 3 1
1 2 4
 B =

1 2 −1
−1 1 2
2 −1 1

23. Afirmac¸a˜o: Se [A
... B]
L∼ [I... C], enta˜o C = A−1B
(tente demonstrar este fato). Esta e´ uma maneira
eficiente de computar A−1B. Use a afirmac¸a˜o para
computar:
(a)

1 0 1
3 1 0
1 0 0

−1 
4 1 4
0 1 0
2 0 3

(b)

1 0 1 1
2 1 −1 0
4 4 1 0
8 12 −1 0

−1 
3 0 0 0
1 3 0 0
0 1 4 0
0 0 1 3

3