Matemática Financeira 1 Parte I

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MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA SMF-NITEROI 
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1 
 
 
Introdução ............................................................................................. 2 
Juros ...................................................................................................... 2 
Formas de Representação da Taxa de Juros .......................................... 4 
Elementos da Operação de Juros ........................................................... 4 
Regimes de Capitalização ...................................................................... 6 
Capitalização Simples ............................................................................ 6 
Capitalização Composta ......................................................................... 7 
Juros Simples ........................................................................................ 8 
Homogeneização entre a taxa e o prazo de capitalização .................... 10 
Taxas Proporcionais ............................................................................ 11 
Juros Simples Ordinários (Comerciais) e Exatos .................................. 12 
Prazo, Taxa e Capital Médios ............................................................... 21 
Fórmula do Prazo Médio ...................................................................... 25 
Fórmula da Taxa Média ........................................................................ 26 
Fórmula do Capital Médio .................................................................... 27 
Relação das questões comentadas ....................................................... 30 
Gabaritos ............................................................................................. 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
 
A Matemática Financeira é uma ciência que não se preocupa apenas com o 
cálculo dos juros simples e compostos. Esta é a função de um dos capítulos 
iniciais da matemática comercial. A Matemática Financeira é o elo entre os 
métodos matemáticos e os fenômenos financeiro-econômicos. É uma ciência 
que se preocupa com a construção de modelos gerais, representação de 
variáveis monetárias na linha do tempo. Matemática Financeira é a disciplina 
que estuda o entendimento dos modelos de aplicação, avaliação de 
investimentos e captação de recursos. 
A operação básica da matemática financeira é a operação de empréstimo. 
Alguém dispõe de certo capital, empresta-o por certo período de tempo. Após 
esse período, recebe o seu capital acrescido de uma remuneração pelo 
empréstimo. A essa remuneração denominamos juro. 
Existem diversas razões que justificam o pagamento dos juros na operação de 
empréstimo. O primeiro deles é o custo de oportunidade. Obviamente, quando 
alguém disponibiliza certa quantia para ser emprestada, deixará de investir o 
capital em outros projetos. Portanto, o não-uso deste capital deverá ser 
remunerado. 
Deve-se levar em consideração a perda do poder de compra na linha do tempo. 
Com o aumento generalizado de preços causado pela inflação, quem empresta 
o dinheiro quer preservar o poder de compra. O elemento que será responsável 
por preservar o valor do dinheiro no tempo é o juro. 
Os bancos em geral têm despesas administrativas e obviamente têm o 
interesse de repassar essas despesas para os devedores. 
Um aspecto de destaque é o de considerar os valores em seu momento no 
tempo. A valoração que fazemos de algo está diretamente associada ao 
momento em que ocorre. 
Juros 
 
O juro é o dinheiro pago pelo dinheiro emprestado. É o custo do capital de 
terceiros colocado à nossa disposição. 
 
Alguém que dispõe de um capital C (denominado principal, capital inicial, valor 
atual), empresta-o a outrem por certo período de tempo, e após esse período 
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recebe o seu capital de volta. Esse capital ao ser devolvido deverá ser 
remunerado. Essa remuneração é chamada de juro. 
Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado período de tempo, 
costumamos cobrar o juro, de tal modo que, no fim do prazo estipulado, 
disponhamos não só da quantia emprestada, como também de um acréscimo 
que compense a não-utilização do capital financeiro, por nossa parte, durante o 
período em que foi emprestado. 
A soma capital + juros é chamada de montante e será representada por M. 
�������� � ��	
��� � 
���� 
� � � � � 
 
Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a 
uma unidade de tempo: dia, mês, bimestre, trimestre, semestre, ano,... . 
Utilizamos, usualmente, a letra i para denotar a taxa de juros. A letra i é a 
inicial da palavra inglesa interest, que significa juros. 
O elemento que faz a equivalência dos valores ao longo do tempo é o juro, que 
representa a remuneração do capital. 
Exemplo: 
 � 24%	��	��� � 24%	�. �. 
 � 6%	��	��
������ � 6%	�. �. 
 � 3,5%	��	�
� � 3,5%	�. �. 
 
Veremos ao longo deste curso, que não é permitido em Matemática Financeira 
operar com quantias em épocas diferentes. 
O objetivo da Matemática Financeira é permitir a comparação de valores em 
diversas datas de pagamento ou recebimento e o elemento chave para a 
comparação destes valores é a taxa de juros. 
Imagine que o Banco Agi Ota cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque 
especial. E em determinado mês, Alberto precisou pegar emprestado do banco 
R$ 15.000,00. Que valor ele deve depositar na sua conta daqui a um mês para 
saldar a dívida? 
Vimos anteriormente que ao pegar alguma quantia emprestada, além de 
devolver o principal, deve-se remunerar o capital. 
 
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E quanto será a remuneração? Quem responderá essa pergunta é a taxa de 
juros. 
Se a taxa de juros é de 6% ao mês e a quantia emprestada é de R$ 15.000,00, 
então para saldar a dívida deve-se pagar os R$ 15.000,00 e mais os juros 
cobrados pelo banco. O juro que deverá ser pago daqui a um mês será 6% de 
R$ 15.000,00. 
Ou seja, 
� � 6%	��	15.000 � 6100 ∙ 15.000 � 900	���
� 
 
O valor total que Alberto deve depositar na sua conta para saldar a dívida é 
igual a 15.000 � 900 � 15.900	���
�. 
Formas de Representação da Taxa de Juros 
 
É importante observar que no cálculo anterior, a taxa de juros 6% foi 
transformada em fração decimal para permitir a operação. Assim, as taxas de 
juros terão duas representações: 
i) Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano = 6% a.a. 
ii) Sob a forma de fração decimal (taxa unitária): $%&& � 0,06 
A representação em percentagem é a comumente utilizada; entretanto, 
todos os cálculos e desenvolvimentos de fórmulas serão feitos através 
da notação em fração decimal. 
Elementos da Operação de Juros 
 
Na situação descrita acima, podemos perceber os principais elementos de uma 
operação de juros. 
Imagine que o Banco Agi Ota cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do 
cheque especial. E em determinado mês, Alberto precisou pegar 
emprestado do banco R$ 15.000,00. Que valor Alberto deve depositar 
na sua conta daqui a um mês para saldar a dívida? 
 
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Capital (C) → Pode ser chamado de principal, capital inicial, valorpresente, valor atual, montante inicial, valor de aquisição, valor à vista. 
No nosso exemplo, é o dinheiro que Alberto pegou emprestado do banco. 
Temos então, no nosso problema, que o capital é igual a R$ 15.000,00. 
� � '(. ))), )) 
Juros (J) → Também chamado de rendimento. Quando uma pessoa empresta 
a outra um valor monetário, durante certo tempo, é cobrado um valor pelo uso 
do dinheiro. Esse valor é denominado juro. 
Pelos cálculos que fizemos na página anterior: 
� � *)), )) 
Taxa de juros (i) → A taxa de juros representa os juros numa certa unidade 
de tempo. A taxa obrigatoriamente deverá explicitar a unidade de tempo. 
Por exemplo, se Alberto vai ao banco tomar um empréstimo e o gerente diz: 
- Ok! O seu empréstimo foi liberado! E a taxa de juros que nós cobramos é de 
apenas 8%. 
Ora, a informação desse gerente está incompleta. Pois se os juros forem de 8% 
ao ano... Ótimo! E se essa taxa de juros for ao dia? PÉSSIMO! Portanto, 
perceba que a indicação da unidade da taxa de juros é FUNDAMENTAL. 
Tempo (n) → Quando falamos em tempo, leia-se NÚMERO DE PERÍODOS. 
No nosso exemplo, se Alberto ficasse devendo ao banco por 3 meses, o número 
de períodos seria igual a 3. Agora, imagine a seguinte situação. Toma-se um 
empréstimo com a taxa de 7,5% a.b. (ao bimestre). Se Alberto demorar 6 
meses para efetuar o pagamento da dívida, o seu “n”, ou seja, o seu tempo não 
será igual a 6. O seu tempo será igual a 3!!! Pois a taxa é bimestral, e em um 
período de 6 meses temos 3 bimestres. No nosso caso, a taxa era mensal e 
Alberto usou o cheque especial durante apenas um mês. 
Montante (M) → Pode ser chamado de montante, montante final, valor 
futuro. É o valor de resgate. Obviamente o montante é maior do que o capital 
inicial. O montante é, em suma, o capital mais os juros. 
� � � � � 
As operações de empréstimo são feitas geralmente por intermédio de um banco 
que, de um lado, capta dinheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de 
outro, empresta esse dinheiro aos tomadores interessados no empréstimo. 
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Regimes de Capitalização 
 
Denominamos regimes de capitalização aos diferentes processos como os 
juros são gerados e agregados ao capital aplicado. 
Os juros são normalmente classificados em simples ou compostos, 
dependendo do processo de cálculo utilizado. Ou seja, se um capital for aplicado 
a certa taxa por período, por vários intervalos ou períodos de tempo, o valor do 
montante pode ser calculado segundo duas convenções de cálculo, chamadas 
de regimes de capitalização: capitalização simples (juros simples) e 
capitalização composta (juros compostos). 
A definição e a fórmula que demos para MONTANTE, independe do 
processo de capitalização. Ou seja, não interessa se o regime adotado é 
o simples ou o composto, sempre teremos: 
� � � � � 
Vejamos dois exemplos para entender os esses dois tipos de capitalização. 
Capitalização Simples 
 
De acordo com esse regime, os juros gerados em cada período são sempre 
os mesmos. 
Nessa hipótese, os juros pagos de cada período são calculados sempre 
em função do capital inicial empregado. Vejamos um exemplo numérico 
visando a fixação desse conceito. 
Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros simples durante 5 anos à taxa de 20% 
a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o 
período de aplicação. 
Como a própria leitura da taxa indica: 20% ao ano (vinte por cento ao ano). 
Cada ano, de juros, receberei 20%. 20% de quem? Do capital aplicado – R$ 
10.000,00. A taxa de juros, no regime simples, sempre incide sobre o 
capital inicial. 
Os juros gerados no primeiro ano são +&%&& ∙ 10.000 � ,. ))). 
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Os juros gerados no segundo ano são +&%&& ∙ 10.000 � ,. ))). 
Os juros gerados no terceiro ano são +&%&& ∙ 10.000 � ,. ))). 
Os juros gerados no quarto ano são +&%&& ∙ 10.000 � ,. ))). 
Os juros gerados no quinto ano são +&%&& ∙ 10.000 � ,. ))). 
Na CAPITALIZAÇÃO SIMPLES os juros gerados em cada período são sempre 
os mesmos, ou seja, a taxa incide apenas sobre o capital inicial. 
Dessa forma, o montante após os 5 anos vale R$ 10.000,00 (capital 
aplicado) mais 5 vezes R$ 2.000,00 (juros). Conclusão: o montante é 
igual a R$ 20.000,00 (lembre-se que o montante é o capital inicial mais 
o juro). 
Capitalização Composta 
 
No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período 
agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo 
período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”. 
 
Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros 
compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados 
em cada período e o montante após o período de cada aplicação. 
Os juros gerados no primeiro ano são +&%&& ∙ 10.000 � 2.000 e o montante após o 
primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000. 
Os juros gerados no segundo ano são +&%&& ∙ 12.000 � 2.400 e o montante após o 
segundo ano é 12.000+2.400=14.400. 
Os juros gerados no terceiro ano são +&%&& ∙ 14.400 � 2.880 e o montante após o 
terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280. 
Os juros gerados no quarto ano são +&%&& ∙ 17.280 � 3.456 e o montante após o 
quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736. 
Os juros gerados no quinto ano são +&%&& ∙ 20.736 � 4.147,20 e o montante após o 
quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20. 
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Observação: Se a operação de juros for efetuada em apenas um 
período, o montante será igual nos dois regimes. No nosso exemplo, se 
parássemos a aplicação no primeiro mês, teríamos um montante de R$ 
12.000,00 nos dois regimes de capitalização. 
Observe ainda que o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do 
que a juros simples. 
Juros Simples 
 
Como vimos anteriormente, juros simples são aqueles calculados sempre sobre 
o capital inicial, sem incorporar à sua base de cálculo os juros auferidos nos 
períodos anteriores. Ou seja, os juros não são capitalizados. 
Vejamos outro exemplo para entendermos bem a fórmula de juros simples. 
Imagine que você aplique R$ 5.000,00 à taxa de juros simples de 3% ao mês. 
Então, ao final do primeiro mês de aplicação, o juro produzido será: 
3%	��	5.000 � 3100 ∙ 5.000 � 150 
Ou seja, para calcular o juro produzido no primeiro mês, basta 
multiplicar a taxa de juros pelo capital inicial. 
Como, sob o regime de capitalização simples, os juros produzidos em cada 
período são sempre iguais, podemos concluir que, se esse capital fosse 
aplicado por 10 meses, produziria juros de: 
150 x 10 = 1.500. 
A partir desse exemplo, é fácil compreender a fórmula para o cálculo do juro 
simples. 
 
 
Adotaremos as seguintes notações: 
 
 
C →→→→ Capital inicial 
i →→→→ taxa de juros simples 
n →→→→ tempo de aplicação 
J →→→→ juro simples produzido durante o período de aplicação. 
M →→→→ montante ao final da aplicação 
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O juro produzido no primeiro período de aplicação é igual ao produto do 
capital inicial (C) pela taxa de juros (i), como foi feito no nosso exemplo. E, 
consequentemente, o juro produzido em n períodos de aplicação será: 
J C i n= ⋅ ⋅ (1) 
E, lembrando também que o montante é a soma do capital com os juros 
produzidos, temos a seguintefórmula abaixo: 
M C J= + (2) 
Substituindo a fórmula (1) na fórmula (2), temos então a seguinte expressão: 
M C C i n= + ⋅ ⋅ 
 
 Em álgebra, C significa 1 C⋅ , portanto, 
1M C C i n= ⋅ + ⋅ ⋅ 
Colocando o C em evidência, 
(1 )M C i n= ⋅ + ⋅ (3) 
É de suma importância memorizar as três fórmulas abaixo. 
J C i n= ⋅ ⋅ (1) 
M C J= + (2) 
(1 )M C i n= ⋅ + ⋅ (3) 
E devemos estar atentos ao seguinte fato: 
Deve-se utilizar a taxa na forma unitária. Assim, por exemplo, se a taxa for 
de 30% , utilizamos /&%&& � 0,30. 
J 
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Homogeneização entre a taxa e o prazo de capitalização 
 
A taxa de juros deverá estar explicitada na mesma unidade de tempo 
apresentada pelo prazo de capitalização. Ou seja, deve existir concordância 
entre as unidades da taxa de juros e do tempo. 
Assim, se a taxa for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses; 
Se a taxa for bimestral, o tempo deverá ser expresso em bimestres; 
E assim sucessivamente. 
Exemplos 
i=3% a.m. 
n=150 dias. 
A taxa está expressa em meses e o tempo em dias. Para que haja concordância 
entre as unidades, deveremos escolher uma unidade comum e transformar um 
dos objetos. 
O mês comercial é de 30 dias. Portanto, para transformar o tempo de 150 dias 
para meses, basta dividir por 30. 
� � 150	�
�� � 1503 	����� � 5	����� 
i=3% a.m. 
n= 5 meses 
Para efetuar a transformação da taxa, no regime de juros simples, utilizaremos 
o conceito de taxas proporcionais. 
 
Transformar a taxa significa encontrar uma taxa equivalente, ou seja, que para 
um mesmo período, os juros gerados sejam o mesmo. No regime de 
capitalização simples, taxas proporcionais são equivalentes. 
 
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Taxas Proporcionais 
 
Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre os 
respectivos períodos expressos na mesma unidade de tempo. 
 
A definição de taxas proporcionais não está condicionada ao regime de 
capitalização. Portanto, teremos taxas proporcionais tanto no regime de 
capitalização simples quanto no regime de capitalização composta. O fato 
importante é que no regime de capitalização simples as taxas 
proporcionais são equivalentes. 
 
Simbolicamente, dizemos que a taxa 
% referente ao período �% é proporcional à 
taxa 
+ referente ao período �+ se 
%
+ �
�%
�+ 
 
Para exemplificar, no regime de juros simples, um capital aplicado por 1 ano 
(12 meses) a uma taxa de 36% ao ano produz o mesmo montante quando o 
mesmo capital é aplicado a uma taxa de 3% ao mês por 12 meses. 
Neste exemplo, dizemos que 3% ao mês é proporcional a 36% ao ano, pois 
como 1 ano é o mesmo que 12 meses, tem-se: 
 
2%
24% �
1	�ê�
12	����� 
 
Poderíamos ter adotado a seguinte linha de raciocínio. Como 1 ano é 12 vezes 
maior do que o período de 1 mês, então a taxa anual proporcional é 12 vezes 
maior do que a taxa mensal. 
Exemplo: Determinar a taxa diária proporcional a 3% ao mês. 
 
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Aplicando a definição de taxas proporcionais (lembre-se que o mês comercial 
possui 30 dias). 
1
2 �
30	�
��
1	�
� 
3%
2 �
30	�
��
1	�
� 
 
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
2 ∙ 30 � 3% ∙ 1 
 
2 � 3%30 � 0,1%	��	�
� 
 
Poderíamos ter adotado a seguinte linha de raciocínio. Como 1 dia é 30 vezes 
menor do que o período de 1 mês, então a taxa diária proporcional é 30 vezes 
menor. 
2 � 
130 �
3%
30 � 0,1%	��	�
� 
 
Juros Simples Ordinários (Comerciais) e Exatos 
 
Na prática, usualmente, é adotado o juro simples ordinário (utiliza o ano 
comercial com 360 dias e meses com 30 dias). O juro simples exato (utiliza o 
ano civil com 365 dias) somente é usado quando para isso for expresso 
explicitamente na operação. 
 
Os juros são considerados ordinários ou comerciais quando utilizam o ano 
comercial para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo. Logo, 
em juros ordinários, consideramos que todos os meses têm 30 dias e o ano tem 
360 dias. 
 
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13 
Juros exatos são aqueles em que se utiliza o calendário civil para 
verificarmos a quantidade de dias entre duas datas. Logo, quando o mês tem 
31 dias deveremos considerar o total e não 30 dias. 
 
Para facilitar o cálculo de juros nestas modalidades, é fundamental efetuarmos 
o cálculo com taxa anual e o tempo expresso em dias. Para calcular a taxa 
equivalente diária devemos dividir a taxa anual pelo número total de dias do 
ano comercial (360 dias) ou ano exato (365 ou 366 dias). 
 
Devemos ficar atentos ao fato de o ano ser ou não bissexto no caso de juros 
exatos. Podemos “criar” dois processos mnemônicos para saber quais anos são 
bissextos ou não. 
 
Para começar, os anos bissextos obrigatoriamente são pares. 
Um ano é dito bissexto se for múltiplo de 4, exceto os que são múltiplos 
de 100, a não ser que sejam múltiplos de 400. 
 
Dica: Para verificar se um número é divisível por 4 basta dividir os últimos dois 
dígitos do número por 4. 
 
Assim, 1998 não é divisível por 4 e, portanto, não é bissexto. 
 
Uma maneira mais “lúdica” de memorizar é o seguinte: 
 
Os anos pares ou são anos de Olimpíada ou são anos de Copa do Mundo. 
 
Os anos bissextos são os anos de Olimpíadas!!! 
 
Como em 1998 houve a Copa do Mundo da França, o ano não foi 
bissexto. 
 
Vamos agora começar a resolver as questões. Se eu tivesse que apostar em 
uma questão de juros simples, ela seria igual a primeira questão que vamos 
fazer. Esta mesma questão cai em provas da FGV desde 2001. 
01. (FUNARTE 2014/FGV) Uma televisão pode ser comprada em certa loja por 
R$ 860,00 à vista ou em duas parcelas de R$ 460,00, uma no ato da compra e 
a outra 30 dias depois. A taxa de juros ao mês que a loja está cobrando é de: 
a) 8% 
b) 10% 
c) 12% 
d) 15% 
e) 18% 
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Resolução 
Esta é uma questão muito fácil de juros simples. A dificuldade que as pessoas 
têm é em saber qual é o capital e qual é o juro da operação. Vejamos o que diz 
o enunciado. A televisão custa R$ 860,00 à vista. O indivíduo dará uma entrada 
de R$ 460,00. Ora, se a televisão custa R$ 860,00 e a pessoa dá uma entrada 
de R$ 460,00, quanto esta pessoa ficou devendo para a loja? Quatrocentos 
reais!! 
A situação é a seguinte: a pessoa está devendo 400 reais. A loja faz a proposta 
para que ele pague R$ 460,00 daqui a um mês. 
Assim, o capital que foi emprestado pela loja é de R$ 400,00. E o juro? O juro é 
de R$ 60,00. O prazo é de um mês. Vamos jogar estes dados na fórmula de 
juros simples. 
 � � ∙ 
 ∙ � 
60 � 400 ∙ 
 ∙ 1 
 � 60400 
Para transformar esta taxa em porcentagem, devemos multiplicá-la por 100%. 
 � 60400 ∙ 100% � 15% 
Letra D 
Vamos fazer as questões que caíram na FGV desde 2001 e que são idênticas a 
esta. Há uma grande probabilidade de cair uma igual na sua prova. 
02. (Vestibular FGV 2001) Um vidro de perfume é vendido à vista por R$48,00 
ou a prazo, em dois pagamentos de R$25,00 cada um, o primeiro no ato da 
compra e o outro um mês depois. A taxa mensalde juros do financiamento é 
aproximadamente igual a: 
A) 6,7% 
B) 7,7% 
C) 8,7% 
D) 9,7% 
E) 10,7% 
Resolução 
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O valor à vista é de R$ 48,00. Se o indivíduo dá uma entrada de R$ 25,00, 
então ficou devendo R$ 23,00. Mas o pagamento feito um mês depois foi de R$ 
25,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 2,00. Observe que a taxa de juros só 
incide no valor devido e não sobre o valor já pago. 
 
 � � ∙ 
 ∙ � 
 
2 � 23 ∙ 
 ∙ 1 
 
 � 223 ≅ 0,0869 ≅ 8,7% 
 
Letra C 
 
03. (BESC 2004/FGV) Um artigo é vendido, à vista, por R$ 150,00 ou em dois 
pagamentos de R$ 80,00 cada um: o primeiro, no ato da compra e o segundo, 
um mês após a compra. Os que optam pelo pagamento parcelado pagam juros 
mensais de taxa aproximadamente igual a: 
a) 14,29% 
b) 13,33% 
c) 9,86% 
d) 7,14% 
e) 6,67% 
Resolução 
O valor à vista é de R$ 150,00. Se o indivíduo dá uma entrada de R$ 80,00, 
então ficou devendo R$ 70,00. Mas o pagamento feito um mês depois foi de R$ 
80,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 10,00. 
 
 � � ∙ 
 ∙ � 
 
10 � 70 ∙ 
 ∙ 1 
 
 � 1070 ≅ 0,142857 ≅ 14,29% 
 
Letra A 
 
04. (SEFAZ-MS 2006/FGV) Um artigo custa, à vista, R$ 200,00 e pode ser 
comprado a prazo com uma entrada de R$ 100,00 e um pagamento de R$ 
120,00 um mês após a compra. Os que compram a prazo pagam juros mensais 
de taxa: 
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16 
a) 5% 
b) 10% 
c) 20% 
d) 25% 
e) 30% 
Resolução 
O valor à vista é de R$ 200,00. Se o indivíduo dá uma entrada de R$ 100,00, 
então ficou devendo R$ 100,00. Mas o pagamento feito um mês depois foi de 
R$ 120,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 20,00. 
 � � ∙ 
 ∙ � 
20 � 100 ∙ 
 ∙ 1 
 � 20100 � 20% 
Letra C 
 
05. (Auditor da Receita Estadual/AP 2010/FGV) Em certa loja, um artigo pode 
ser comprado por R$ 172,00 à vista ou em duas prestações de R$ 92,00, uma 
no ato da compra e outra 30 dias depois. A taxa de juros (embutida) que a loja 
está cobrando nesta operação é de: 
(A) 15% 
(B) 13% 
(C) 11% 
(D) 9% 
(E) 7% 
Resolução 
O artigo custa R$ 172,00. Como o indivíduo deu uma entrada de R$ 92,00, 
então ele ficou devendo 172 4 92 � 80	���
�. 
Simplificando a conversa: Há uma dívida de 80 reais (capital inicial) a ser paga 
em 30 dias (1 mês). O valor pago em um mês foi de R$ 92,00. Portanto, o 
cliente pagou R$ 12,00 de juros em um mês. 
� � 80	���
� � � 1	�ê� 
 � 12	���
� 
Vamos aplicar a fórmula de juros simples. 
 � � ∙ 
 ∙ � 
12 � 80 ∙ 
 ∙ 1 
 
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17 
80 ∙ 
 � 12 
 � 1280 � 0,15 � 15% 
Letra A 
06. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 
4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias é de: 
a) R$ 6.255,00 
b) R$ 5.500,00 
c) R$ 6.500,00 
d) R$ 4.855,00 
e) R$ 4.675,00 
Resolução 
Temos todas as informações necessárias para o cálculo dos juros simples: o 
capital, a taxa e o tempo. Além disso, a taxa e o tempo já conformidade em 
relação à unidade. 
Lembremos a fórmula de juros simples: 
 � � ∙ 
 ∙ � 
Temos que o capital é igual a R$ 4.500,00, a taxa é igual a 
0,5% � 0,5/100 � 0,005 ao dia e o tempo é igual a 78 dias. 
 
 � 4.500 ∙ 0,005 ∙ 78 
 � 1.755 
O valor a ser pago é o montante (capital + juros). 
� � � � 
 
� � 4.500 � 1.755 
� � 6.255 
Letra A 
07. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa 
de juros simples ordinários de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 
8.400,00. Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos é: 
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18 
a) R$ 6.500,00 
b) R$ 7.850,00 
c) R$ 8.017,00 
d) R$ 8.820,00 
e) R$ 8.000,00 
Resolução 
As unidades de tempo de referência do período de aplicação e da taxa devem 
ser iguais, porém a taxa de juros e o período de aplicação não estão expressos 
na mesma unidade. Devemos traçar a nossa estratégia: escolher uma unidade 
comum para a taxa e para o período de capitalização. 
Lembre-se que juro ordinário é um sinônimo de juro comercial. Desta forma, 
consideramos que cada mês tem 30 dias e o ano possui 360 (12 x 30) dias. 
Ora, se o ano comercial possui 360 dias, então os 120 dias do problema 
representam: 
120
360 �
1
3 	��	��� 
Agora temos homogeneidade entre as unidades. A taxa de juros é igual a 15% 
= 0,15 ao ano e o tempo de aplicação é igual a 1/3 do ano. Lembremos a 
fórmula do montante simples: 
� � � ∙ 61 � 
 ∙ �7 
 
O montante fornecido é igual a R$ 8.400,00. 
8.400 � � ∙ 81 � 0,15 ∙ 139 
8.400 � � ∙ 61 � 0,057 
8.400 � � ∙ 1,05 
� � 8.4001,05 � 8.000 
Desta forma, o capital aplicado é igual a R$ 8.000,00. 
Letra E 
 
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19 
08. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à 
taxa semestral de: 
a) 15,00% 
b) 1,50% 
c) 18,00% 
d) 9,00% 
e) 12,00% 
Resolução 
No regime de capitalização simples as taxas proporcionais são 
equivalentes. 
Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre os 
respectivos períodos expressos na mesma unidade de tempo. 
Simbolicamente, dizemos que a taxa 
% referente ao período �% é proporcional à 
taxa 
+ referente ao período �+ se 
%
+ �
�%
�+ 
 
Queremos comparar a taxa diária com a taxa semestral. Lembre-se que um 
semestre é a metade de um ano. Como o ano comercial tem 360 dias, um 
semestre tem 180 dias. 
2
: �
1	�
�
180	�
�� 
 
0,05%
: �
1
180 
 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
 
1 ∙ 
: � 180 ∙ 0,05% 
: � 9% 
 
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20 
Poderíamos ter resolvido utilizando o raciocínio seguinte: como um semestre 
tem 180 dias, então a taxa semestral será igual a taxa diária multiplicada por 
180. 
: � 180 ∙ 0,05% 
: � 9% 
Letra D 
 
09. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros 
simples de 5% ao mês durante 2 meses e depois reaplicado a uma taxa de 
juros simples de 10% ao mês durante 2 meses, resultando em R$ 13.200,00. O 
valor do montante inicial era de: 
a) R$ 18.500,00 
b) R$ 13.000,00 
c) R$ 12.330,00 
d) R$ 11.000,00 
e) R$ 10.000,00 
 
Resolução 
Têm-se duas aplicações a juros simples sucessivas. Digamos que o capital 
inicial aplicado seja igual a C. Desta forma, aplicando C reais durante 2 meses a 
uma taxa de 5% ao mês, o montante será igual a: 
 
�% � � ∙ 61 � 
% ∙ �%7 
�% � � ∙ 61 � 0,05 ∙ 27 
�% � � ∙ 1,1 
Este montante M1 será o capital de uma nova aplicação. Aplicaremos M1 reais 
durante dois meses a uma taxa de 10% ao mês. O novo montante será igual a: 
�+ � �% ∙ 61 � 
+ ∙ �+7 
�+ � � ∙ 1,1 ∙ 61 � 0,10 ∙ 27 
�+ � � ∙ 1,1 ∙ 1,2 
�+ � 1,32 ∙ � 
O montante final é igual a R$ 13.200,00. Portanto: 
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21 
1,32 ∙ � � 13.200 
� � 13.2001,32� 10.000 
O capital inicial é de R$ 10.000,00. 
Letra E 
Prazo, Taxa e Capital Médios 
 
Apesar de este tópico não estar presente explicitamente no edital da FGV, esta 
banca já colocou este assunto em provas mesmo sem explicitá-lo no edital 
(como aconteceu no concurso SEFAZ-RJ 2008). 
 
Vejamos alguns exemplos numéricos para um bom entendimento dos conceitos 
deste tópico para em seguida apresentarmos as fórmulas de prazo, taxa e 
capital médio. 
 
Prazo Médio 
 
Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um 
mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês 
durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês 
durante 8 meses. O credor e João decidem substituir os prazos de vencimento 
dos dois empréstimos por um único prazo, de forma que não haja prejuízo para 
o credor nem para o devedor João. Qual é esse prazo? 
 
A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve ao 
fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos. 
Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos: 
 
1º empréstimo 
 
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% � 4.000 ∙ 10100 ∙ 4 � 1.600 
2º empréstimo 
+ � 2.000 ∙ 5100 ∙ 8 � 800 
 
Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 
800,00 referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros. 
 
Nosso objetivo é trocar o prazo de 4 meses do primeiro empréstimo e o 
prazo de 8 meses do segundo empréstimo de forma que o juro total 
permaneça o mesmo (R$ 2.400,00). 
 
O prazo que substituirá todos os outros sem alterar o juro total é 
denominado prazo médio. 
 
4.000 ∙ 10100 ∙ �1 � 2.000 ∙
5
100 ∙ �1 � 2.400 
 
400 ∙ �1 � 100 ∙ �1 � 2.400 
 
500 ∙ �1 � 2.400 
 
�1 � 245 ����� 
 
Devemos dividir 24 meses por 5. Ora, 24 meses dividido por 5 é igual a 4 
meses e resto igual a 4 meses. Como o mês comercial possui 30 dias, os 4 
meses de resto equivalem a 4 ∙ 30 � 120	�
��. Devemos dividir 120 dias por 5 que 
é igual a 24 dias. 
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23 
24	�����	;				5							
	4	�����							4	�����	
120	�
��			;				5							
					0																24	�
�� 
 
Assim, o prazo médio é igual a 4 meses e 24 dias. 
 
Taxa Média 
 
Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, 
de um mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% 
ao mês durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 
5% ao mês durante 8 meses. O credor e João decidem substituir as 
taxas de juros dos dois empréstimos por uma única taxa, de forma que 
não haja prejuízo para o credor nem para o devedor João. Qual é essa 
taxa? 
 
A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se 
deve ao fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos. 
Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos: 
1º empréstimo 
 
% � 4.000 ∙ 10100 ∙ 4 � 1.600 
2º empréstimo 
+ � 2.000 ∙ 5100 ∙ 8 � 800 
 
Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 
800,00 referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros. 
A taxa que substituirá todas as outras sem alterar o juro total é 
denominado taxa média. 
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24 
 
4.000 ∙ 
1 ∙ 4 � 2.000 ∙ 
1 ∙ 8 � 2.400 
 
16.000 ∙ 
1 � 16.000 ∙ 
1 � 2.400 
 
32.000 ∙ 
1 � 2.400 
 
1 � 2.40032.000 ∙ 100% � 7,5% 
 
Assim, a taxa média é de 7,5% ao mês. 
 
Capital Médio 
 
Imagine a seguinte situação: João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um 
mesmo credor. O primeiro foi de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês 
durante 4 meses. O segundo foi de R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês 
durante 8 meses. O credor e João decidem substituir os capitais dos dois 
empréstimos por um único capital, de forma que não haja prejuízo para o 
credor nem para o devedor João. Qual é esse capital? 
 
A condição de não haver prejuízo para o credor nem para o devedor se deve ao 
fato de os juros pagos nas duas situações serem os mesmos. 
Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos: 
 
1º empréstimo 
 
% � 4.000 ∙ 10100 ∙ 4 � 1.600 
2º empréstimo 
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25 
+ � 2.000 ∙ 5100 ∙ 8 � 800 
 
Dessa forma, João pagará R$ 1.600,00 referentes ao primeiro empréstimo e R$ 
800,00 referentes ao segundo empréstimo, totalizando R$ 2.400,00 de juros. 
O capital que substituirá todos os outros sem alterar o juro total é 
denominado capital médio. 
�1 ∙ 10100 ∙ 4 � �1 ∙
5
100 ∙ 8 � 2.400 
 
0,4 ∙ �1 � 0,4 ∙ �1 � 2.400 
 
0,8 ∙ �1 � 2.400 
 
�1 � 3.000 
 
Assim, o capital médio é de R$ 3.000,00. 
 
Fórmulas do Prazo Médio, Taxa Média e Capital Médio 
 
Neste tópico demonstraremos as fórmulas de Prazo Médio, Taxa Média e Capital 
Médio e em seguida resolveremos diversas questões de concursos. A 
demonstração será feita para um caso particular de três aplicações, mas pode 
ser generalizada para um número qualquer de aplicações. 
 
Fórmula do Prazo Médio 
 
Considere três capitais �',�,		<	�=,, aplicados às taxas simples >',>,		<	>=,, 
pelos prazos ?',?,		<	?=,. 
 
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26 
O juro total obtidos com essas três aplicações é de: 
 
@ � �% ∙ 
% ∙ �% � �+ ∙ 
+ ∙ �+ � �/ ∙ 
/ ∙ �/ 
 
Nosso objetivo é substituir os três prazos por um único prazo �1 denominado 
prazo médio de forma que o juro total permaneça constante. 
 
@ � �% ∙ 
% ∙ �1 � �+ ∙ 
+ ∙ �1 � �/ ∙ 
/ ∙ �1 
Dessa forma: 
�% ∙ 
% ∙ �1 � �+ ∙ 
+ ∙ �1 � �/ ∙ 
/ ∙ �1 � �% ∙ 
% ∙ �% � �+ ∙ 
+ ∙ �+ � �/ ∙ 
/ ∙ �/ 
 
�1 ∙ 6�% ∙ 
% � �+ ∙ 
+ � �/ ∙ 
/7 � �% ∙ 
% ∙ �% � �+ ∙ 
+ ∙ �+ � �/ ∙ 
/ ∙ �/ 
 
�1 � �% ∙ 
% ∙ �% � �+ ∙ 
+ ∙ �+ � �/ ∙ 
/ ∙ �/�% ∙ 
% � �+ ∙ 
+ � �/ ∙ 
/ 
 
�1 � 
% � 
+ � 
/�% ∙ 
% � �+ ∙ 
+ � �/ ∙ 
/ 
A partir desta fórmula, podemos concluir que o prazo médio é a média 
ponderada dos prazos com fatores de ponderação os capitais e as taxas. 
Fórmula da Taxa Média 
 
Procedendo da mesma maneira que o item anterior (Fórmula do Prazo Médio), 
conclui-se que a taxa média é a média aritmética das taxas, tendo como fatores 
de ponderação os capitais e os prazos. 
1 � 
% � 
+ � 
/�% ∙ �% � �+ ∙ �+ � �/ ∙ �/ 
 
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27 
Fórmula do Capital Médio 
 
Analogamente aos casos anteriores. O capital médio é a média aritmética dos 
capitais, tendo como fatores de ponderação os as taxas e os prazos. 
�1 � 
% � 
+ � 
/
% ∙ �% � 
+ ∙ �+ � 
/ ∙ �/ 
 
Exemplo 
 
João fez 2 empréstimos, a juros simples, de um mesmo credor. O primeiro foi 
de R$ 4.000,00 a uma taxa de 10% ao mês durante 4 meses. O segundo foi de 
R$ 2.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 8 meses. Determine o prazo 
médio, a taxa média e o capital médio. 
 
Resolução 
 
Vejamos os juros pagos nos dois empréstimos: 
 
1º empréstimo 
 
% � 4.000 ∙ 10100 ∙ 4 � 1.600 
2º empréstimo 
+ � 2.000 ∙ 5100 ∙8 � 800 
Prazo médio 
 
�1 � 
% � 
+�% ∙ 
% � �+ ∙ 
+ 
 
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28 
�1 � 1.600 � 8004.000 ∙ 0,10 � 2.000 ∙ 0,05 �
2.400
500 �
24
5 ����� � 4	�����	�	24	�
�� 
 
Taxa Média 
1 � 
% � 
+�% ∙ �% � �+ ∙ �+ 
 
1 � 1.600 � 8004.000 ∙ 4 � 2.000 ∙ 8 �
2.400
32.000 ∙ 100% � 7,5%	��	�ê� 
 
Capital Médio 
�1 � 
% � 
+
% ∙ �% � 
+ ∙ �+ 
 
�1 � 1.600 � 8000,10 ∙ 4 � 0,05 ∙ 8 �
2.400
0,8 � 3.000	���
� 
 
10. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Os valores de R$ 50.000,00 e R$ 100.000,00 foram 
aplicados à mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses, 
respectivamente. O prazo médio da aplicação conjunta desses capitais, em 
meses é: 
a) 12 
b) 8 
c) 10 
d) 9,2 
e) 7,5 
 
Resolução 
 
Já que as taxas das quatro aplicações são iguais, podemos dizer que todas as 
taxas são iguais a 
. 
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29 
 
Vamos calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações. 
 
% � 50.000 ∙ 
 ∙ 12 � 600.000 ∙ 
 
 
+ � 100.000 ∙ 6 ∙ 
 � 600.000 ∙ 
 
 
Apliquemos a fórmula do prazo médio. 
 
�1 � 
% � 
+�% ∙ 
% � �+ ∙ 
+ 
 
�1 � 600.000 ∙ 
 � 600.000 ∙ 
50.000 ∙ 
 � 100.000 ∙ 
 
 
�1 � 1.200.000 ∙ 
150.000 ∙ 
 � 8	����� 
Letra B 
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30 
Relação das questões comentadas 
 
01. (FUNARTE 2014/FGV) Uma televisão pode ser comprada em certa loja por 
R$ 860,00 à vista ou em duas parcelas de R$ 460,00, uma no ato da compra e 
a outra 30 dias depois. A taxa de juros ao mês que a loja está cobrando é de: 
a) 8% 
b) 10% 
c) 12% 
d) 15% 
e) 18% 
02. (Vestibular FGV 2001) Um vidro de perfume é vendido à vista por R$48,00 
ou a prazo, em dois pagamentos de R$25,00 cada um, o primeiro no ato da 
compra e o outro um mês depois. A taxa mensal de juros do financiamento é 
aproximadamente igual a: 
A) 6,7% 
B) 7,7% 
C) 8,7% 
D) 9,7% 
E) 10,7% 
03. (BESC 2004/FGV) Um artigo é vendido, à vista, por R$ 150,00 ou em dois 
pagamentos de R$ 80,00 cada um: o primeiro, no ato da compra e o segundo, 
um mês após a compra. Os que optam pelo pagamento parcelado pagam juros 
mensais de taxa aproximadamente igual a: 
a) 14,29% 
b) 13,33% 
c) 9,86% 
d) 7,14% 
e) 6,67% 
04. (SEFAZ-MS 2006/FGV) Um artigo custa, à vista, R$ 200,00 e pode ser 
comprado a prazo com uma entrada de R$ 100,00 e um pagamento de R$ 
120,00 um mês após a compra. Os que compram a prazo pagam juros mensais 
de taxa: 
a) 5% 
b) 10% 
c) 20% 
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31 
d) 25% 
e) 30% 
05. (Auditor da Receita Estadual/AP 2010/FGV) Em certa loja, um artigo pode 
ser comprado por R$ 172,00 à vista ou em duas prestações de R$ 92,00, uma 
no ato da compra e outra 30 dias depois. A taxa de juros (embutida) que a loja 
está cobrando nesta operação é de: 
(A) 15% 
(B) 13% 
(C) 11% 
(D) 9% 
(E) 7% 
06. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) O valor a ser pago por um empréstimo de R$ 
4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias é de: 
a) R$ 6.255,00 
b) R$ 5.500,00 
c) R$ 6.500,00 
d) R$ 4.855,00 
e) R$ 4.675,00 
07. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um capital é aplicado durante 120 dias a uma taxa 
de juros simples ordinários de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 
8.400,00. Nestas condições, o capital aplicado, desprezando os centavos é: 
a) R$ 6.500,00 
b) R$ 7.850,00 
c) R$ 8.017,00 
d) R$ 8.820,00 
e) R$ 8.000,00 
08. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à 
taxa semestral de: 
a) 15,00% 
b) 1,50% 
c) 18,00% 
d) 9,00% 
e) 12,00% 
 
 
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09. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros 
simples de 5% ao mês durante 2 meses e depois reaplicado a uma taxa de 
juros simples de 10% ao mês durante 2 meses, resultando em R$ 13.200,00. O 
valor do montante inicial era de: 
a) R$ 18.500,00 
b) R$ 13.000,00 
c) R$ 12.330,00 
d) R$ 11.000,00 
e) R$ 10.000,00 
 
10. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Os valores de R$ 50.000,00 e R$ 100.000,00 foram 
aplicados à mesma taxa de juros simples durante 12 e 6 meses, 
respectivamente. O prazo médio da aplicação conjunta desses capitais, em 
meses é: 
a) 12 
b) 8 
c) 10 
d) 9,2 
e) 7,5 
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Gabaritos 
 
01. D 
02. C 
03. A 
04. C 
05. A 
06. A 
07. E 
08. D 
09. E 
10. B