Matemática Financeira 2 Parte II

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MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA SMF-NITEROI 
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Aula 2 – Parte 2 
Desconto Racional (por dentro) Composto ................................................................................................... 2 
Desconto Comercial (por fora) Composto ..................................................................................................... 3 
Demonstração da fórmula dos valores tabelados ....................................................................................... 20 
Relação das questões comentadas.................................................................................................................. 22 
Gabaritos ......................................................................................................................................................... 26 
 
 
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Desconto Racional (por dentro) Composto 
 
A operação de desconto racional composto, por definição, é equivalente a uma 
operação de juros compostos. 
Enquanto que na operação de juros compostos, o nosso objetivo é projetar um valor 
presente para o futuro, na operação de desconto racional composto teremos como 
objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual. 
O desconto composto por dentro ou desconto composto racional é obtido aplicando-se a 
taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde ao juro simples sobre o 
valor atual durante o tempo que falta para o vencimento do título. 
Já que o desconto racional simples equivale à operação de juros simples, podemos fazer 
um desenho comparativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� O valor atual do desconto racional composto corresponde ao capital inicial da 
operação de juros compostos. 
� O valor nominal do desconto racional composto corresponde ao montante da 
operação de juros compostos. 
� O desconto da operação de desconto racional composto corresponde ao juro da 
operação de juros compostos. 
Correspondência entre os elementos das operações 
Juros Compostos Desconto Racional Composto (por 
Capital Inicial 
JUROS COMPOSTOS 
Juros 
Montante 
Valor Atual 
0 
(Data zero) 
Linha do tempo 
 Desconto 
Valor Nominal 
DESCONTO RACIONAL 
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dentro) 
Capital Inicial (C) Valor Atual (A) 
Montante (M) Valor Nominal (N) 
Juro (J) Desconto (D) 
 
Vamos então “deduzir” a fórmula da operação de desconto racional simples (por dentro). 
Juros Compostos: 
(1 )nM C i= ⋅ +
 
 
Desconto Racional Simples: 
 
 
Vejamos um esquema comparativo entre o regime simples e o regime composto. 
Desconto Racional Simples (por 
dentro) 
Desconto Racional Composto (por 
dentro) 
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ (1 )nN A i= ⋅ + 
 
A única coisa que mudou foi o “lugar do n”. Ao passarmos do regime simples para o 
regime composto, o n (número de períodos) foi para o expoente. 
O mais importante de tudo é lembrar que a operação de desconto racional composto 
equivale a uma operação de juros compostos. 
Desconto Comercial (por fora) Composto 
 
Vimos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos. 
Na operação de juros compostos, a taxa de juros incide sobre o capital inicial. 
Obviamente, no desconto racional composto (que equivale ao juro simples) a taxa incide 
sobre o valor atual. 
O desconto comercial composto não é o “teoricamente” correto. A taxa no desconto 
comercial composto incide sobre o valor nominal. 
(1 )nN A i= ⋅ +
 
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Vimos a semelhança entre os descontos racionais simples e composto. 
 
Desconto Racional Simples (por 
dentro) 
Desconto Racional Composto (por 
dentro) 
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ (1 )nN A i= ⋅ + 
 
Qual é a diferença entre as duas fórmulas? Que no desconto composto o “n” foi para o 
expoente. O mesmo acontecerá com o desconto comercial composto. 
 
Desconto Comercial Simples (por 
fora) 
Desconto Comercial Composto (por fora) 
(1 )A N i n= ⋅ − ⋅ (1 )nA N i= ⋅ − 
 
Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre 
será igual ao valor nominal menos o desconto. 
� = � − � 
01. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um título é descontado dois anos antes de seu 
vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros 
compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso este 
título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, 
utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de 
a) R$ 21.780,00 
b) R$ 21.600,00 
c) R$ 20.702,00 
d) R$ 19.804,00 
e) R$ 19.602,00 
Resolução 
Sabemos que a operação de desconto racional (por dentro) composto equivale à 
operação de juro composto. 
Assim, � = �� ∙ �1 + ��
 ⇒ � = 20.000 ∙ �1 + 0,10�� = 24.200 
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A relação entre o valor atual e o valor nominal na operação de desconto comercial 
composto é a seguinte: �� = ��1 − ��
 �� = 24.200 ∙ �1 − 0,1�� = 19.602,00 
 
Letra E 
 
02. (SUSEP 2010/ESAF) Um título sofre um desconto racional composto dois meses 
antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao mês. Dado que o valor do desconto é R$ 
10 000,00, qual o valor mais próximo do valor nominal do título? 
 
a) R$ 100 000,00. 
b) R$ 107 561,00. 
c) R$ 102 564,00. 
d) R$ 97 561,00. 
e) R$ 110 000,00. 
 
Resolução 
 
A operação de desconto racional composto equivale a uma operação de juros 
compostos. 
 N = A ∙ �1 + i�� 
 N = A ∙ �1 + 0,05�� 
 N = 1,1025 ∙ A 
 
O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
 � − � = 10.000 
 1,1025 ∙ A − � = 10.000 
 0,1025 ∙ A = 10.000 
 A = 97.560,98 
 N = 97.560,98 + 10.000 = 107.560,98 ≅ 107.561,00 
 
Letra B 
 
03. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um título com o valor de R$ 50.000 e 
2 anos para o vencimento é descontado, no regime de juros compostos, com uma taxa de 
desconto comercial de 20% ao ano. O valor do desconto composto é, então, 
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a) R$ 10.000,00 
b) R$ 18.000,00 
c) R$ 22.653,86 
d) R$ 24.000,00 
e) R$ 20.000,00 
Resolução 
No desconto comercial composto, a relação entre o valor atual e o valor nominal do 
título é dada pela expressão 
� = � ∙ �1 − ��
 
� = 50.000 ∙ �1 − 0,2�� = 32.000 
Assim, o desconto composto é igual a D = 50.000 – 32.000 = 18.000,00. 
Letra B 
04. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos conceitos de 
desconto bancário e comercial, nos regimes de juros simples e compostos, analise as 
afirmativas a seguir: 
 
I. A fórmula do Desconto Racional, no regime de juros simples, é dada por: �"#$%&'% =()
* , em que VF é o valor futuro, n é o número de períodos e i é a taxa de juros. 
 
II. A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de desconto comercial (d), 
ambas no regime de juros simples, é expressa por 
+ = �1 + �&, 
Em que n é o número de períodos. 
 
III. A relação entre Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF), no regime dejuros compostos 
e usando-se a taxa de desconto comercial, é expressa por: ,- = ,. ⋅ �1 − +�
, 
Em que n é o número de períodos. 
 
Assinale 
 
a) se somente a afirmativa III estiver correta. 
b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. 
c) se todas as afirmativas estiverem corretas. 
d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 
e) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. 
 
Resolução 
 
I. Falsa. 
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A operação de desconto racional simples, por definição, é equivalente a uma 
operação de juros simples. 
Enquanto que na operação de juros simples, o nosso objetivo é projetar um valor 
presente para o futuro, na operação de desconto racional simples teremos como 
objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual. 
O desconto simples por dentro ou desconto simples racional é obtido aplicando-se a taxa 
de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde ao juro simples sobre o valor 
atual durante o tempo que falta para o vencimento do título. 
� O valor atual do desconto racional simples corresponde ao capital inicial da 
operação de juros simples. 
� O valor nominal do desconto racional simples corresponde ao montante da 
operação de juros simples. 
� O desconto da operação de desconto racional simples corresponde ao juro da 
operação de juros simples. 
Podemos dizer que o valor nominal é o montante do valor atual em uma operação 
de juros simples em que o juro é igual ao desconto racional simples!! 
Vamos então “deduzir” as fórmulas da operação de desconto racional simples (por 
dentro). 
Juros Simples: J C i n= ⋅ ⋅ 
 
 
Desconto Racional Simples: 
 
II. A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de desconto comercial (d), 
ambas no regime de juros simples, é expressa por 
+ = �1 + �&, 
Em que n é o número de períodos. 
 
Vejamos: Para fazermos uma comparação entre as taxas, devemos ter o mesmo valor 
atual e o mesmo valor nominal. Dessa forma, os descontos também são iguais. 
 �� = �� 
 � ⋅ � ⋅ & = � ⋅ + ⋅ & � ⋅ � = � ⋅ + 
D A i n= ⋅ ⋅
 
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Lembrando que 
 
� = � ⋅ �1 + � ⋅ &� ⇒ � = �1 + � ⋅ & 
 �1 + � ⋅ & ⋅ � = � ⋅ + 
 11 + � ⋅ & ⋅ � = + 
 �1 + � ⋅ & = + 
 
A proposição II, portanto, é verdadeira. 
 
III. Verdadeira. A taxa de desconto comercial composto é aplicada no valor nominal (valor 
futuro). 
 
Letra D 
 
05. (Analista Legislativo – Contabilidade – Senado Federal 2008/FGV) Seja A1 o valor 
descontado de um título, 2 meses antes do vencimento, submetido a um desconto 
racional composto à taxa de 10% ao mês. Seja A2 o valor descontado desse mesmo 
título, 2 meses antes do vencimento, submetido a um desconto comercial simples à 
mesma taxa mensal. 
Se �0 − �� = 1$96,00, o valor nominal desse título, em reais, é um número: 
a) múltiplo de 3. 
b) múltiplo de 4. 
c) múltiplo de 7. 
d) múltiplo de 13. 
e) primo 
Resolução 
 
Preste bem atenção!! Valor descontado é sinônimo de valor atual!!! 
 
Muita gente confunde valor descontado com desconto... 
 
Valor descontado é o valor do título após receber o desconto. Assim, 
 34567 89:;6<=486 = 34567 4=>45 
 
Vamos “quebrar” o enunciado em partes: Seja A1 o valor descontado de um título, 2 
meses antes do vencimento, submetido a um desconto racional composto à taxa de 
10% ao mês. 
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Ora, sabemos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros 
compostos. Portanto: 
 � = �0 ∙ �1 + 0,10�² 
 � = �0 ∙ 1,21 
 
�0 = �1,21 
 
Seja A2 o valor descontado desse mesmo título, 2 meses antes do vencimento, 
submetido a um desconto comercial simples à mesma taxa mensal. 
 
Ora, se o título é o mesmo, então vamos utilizar o mesmo valor nominal. Além disso, o 
tempo de antecipação e a taxa são todos iguais. A única coisa que muda é a modalidade 
do desconto: comercial simples 
 
No desconto comercial simples, temos a seguinte relação: 
 �� = � ∙ �1 − �&� 
 �� = � ∙ �1 − 0,10 ∙ 2� 
 �� = 0,8 ∙ � 
 
O problema informa que �0 − �� = 1$96,00. 
 
 �1,21 − 0,8 ∙ � = 96 
 
Vamos multiplicar os dois membros da equação por 1,21. 
 
1,21 ∙ �1,21 − 1,21 ∙ 0,8 ∙ � = 1,21 ∙ 96 
 � − 0,968 ∙ � = 116,16 
 0,032 ∙ � = 116,16 
 
� = 116,160,032 
 � = 3.630 
Que é um múltiplo de 3. 
 
Letra A 
 
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06. (AFRF 2001 ESAF) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de 
seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto 
de 3% ao mês. 
a) R$ 140,00 
b) R$ 104,89 
c) R$ 168,00 
d) R$ 93,67 
e) R$ 105,43 
Resolução 
A = 840,00. 
Sabemos que a operação de desconto racional composto equivale à operação de juros 
compostos; onde o valor nominal equivale ao montante e o valor descontado equivale ao 
capital inicial. Temos a seguinte expressão: 
(1 )nN A i= ⋅ + 
4840 (1 0,03)N = ⋅ + 
4840 1,03N = ⋅ 
Para calcular o valor de 1,034, calcularemos primeiramente 1,032 e em seguida 
multiplicaremos 1,032 por 1,032 
1,032 = 1,0609 
1,034 = 1,032 x 1,032 = 1,0609 x 1,0609 = 1,1255088 
4840 1,03 840 1,1255088 945, 43N = ⋅ = ⋅ ≅ . 
Como estamos interessados no valor do desconto, utilizaremos o fato de que em qualquer 
tipo de desconto o valor do desconto é igual à diferença entre o valor nominal e o valor 
atual. 
D N A= − 
945,43 840 105, 43D = − = 
Letra E 
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07. (Analista de Compras de Recife 2003 – ESAF) Um título é descontado por R$ 
10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o 
valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o desconto racional 
composto. Despreze os centavos. 
a) R$ 11.255,00 
b) R$ 11.295,00 
c) R$ 11.363,00 
d) R$ 11.800,00 
e) R$ 12.000,00 
Resolução 
Quando o enunciado diz que o título é descontado por R$ 10.000,00 quer dizer que o 
valor atual é R$ 10.000,00. 
(1 )nN A i= ⋅ + 
410.000 (1 0,03)N = ⋅ + 
410.000 1,03 10.000 1,1255088N = ⋅ = ⋅ 
11.255,00N = 
Letra A 
 
08. (AFRF 2002 ESAF) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 
quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado 
do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. (dado que 1,054 = 
1,215506) 
a) R$ 25.860,72 
b) R$ 28.388,72 
c) R$ 30.000,00 
d) R$ 32.325,90 
e) R$ 36.465,18 
Resolução 
Temos a seguinte expressão que relaciona o valor nominal e o valor descontado no 
desconto racional composto. 
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(1 )nN A i= ⋅ + 
O que acontece aqui é que o problema nos forneceu o valor do desconto. O desconto é a 
diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
Assim, 
6.465,18N A− = 
Substituindo o valor de N por A.(1+i)n temos: 
(1 ) 6.465,18nA i A⋅ + − = 
4(1 0,05) 6.465,18A A⋅ + − = 
Lembre-se que A em álgebra significa 1.A (um vezes A). 
41,05 1 6.465,18A A⋅ − ⋅ = 
Podemos então colocar A em evidência:4(1,05 1) 6.465,18A ⋅ − = 
4
6.465,18 6.465,18
1,05 1 1,215506 1
A = =
− − 
6.465,18
30.000,00
0,215506
A = =
 
Letra C 
09. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será 
descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao 
mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional 
composto. A diferença D – d, em reais, vale 
a) 399,00 
b) 398,00 
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c) 397,00 
d) 396,00 
e) 395,00 
Resolução 
Dados do problema: 
N = 24.200,00 
n = 2 meses 
i = 10% a.m. = 0,10 a.m. 
1º) Desconto comercial composto (D) 
Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto comercial composto: 
(1 )nA N i= ⋅ − 
224.200 (1 0,10)A = ⋅ − 
224.200 0,90 24.200 0,81A = ⋅ = ⋅ 
19.602,00A = 
E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a diferença entre o 
valor nominal e o valor atual, temos que 
D = 24.200 – 19.602 
D = 4.598,00 
2º) Desconto racional composto (d) 
Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto racional composto: 
(1 )nN A i= ⋅ + 
224.200 (1 0,10)A= ⋅ + 
24.200 1,21A= ⋅ 
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24.200
20.000,00
1,21
A = =
 
E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a diferença entre o 
valor nominal e o valor atual, temos que 
d = 24.200,00 – 20.000,00 
d = 4.200,00. 
Dessa forma, a diferença D – d = 4.598,00 – 4.200,00 = 398,00 
Letra B 
010. (MDIC – 2002 ESAF) Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de 
R$ 672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou à troca 
do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo 
desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês. 
a) R$ 600,00 
b) R$ 620,15 
c) R$ 624,47 
d) R$ 643,32 
e) R$ 672,00 
Resolução 
Temos nessa questão, novamente, dois tipos de desconto. Um desconto comercial 
simples e um desconto racional composto. Dois regimes: simples e composto. 
Duas modalidades: comercial e racional. 
1º) Desconto Comercial Simples 
Sabemos, pela teoria exposta na aula passada, que a taxa do desconto comercial simples 
é incidida sobre o valor nominal ! 
Assim, temos que D N i n= ⋅ ⋅ 
672 0,03 4N= ⋅ ⋅ 
672 0,12N= ⋅ 
672 672,00 67.200
5.600
0,12 0,12 12
N = = = =
 
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Assim, o valor nominal é igual a R$ 5.600,00. 
2º) Desconto Racional Composto 
Lembremos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros 
compostos. Temos a seguinte relação: 
(1 )nN A i= ⋅ + 
Assim, 
(1 )n
N
A
i
=
+ 
4
5.600
(1 0,03)
A =
+ 
Para efetuar esse cálculo você terá duas saídas. 
i) Efetuar o cálculo na base da mão. 
 
4
5.600 5.600
4.975,53
(1 0,03) 1,1255088
A = = =
+ 
 
ii) Utilizando tabelas financeiras. 
 
Nessa prova do MDIC realizada pela ESAF, foram fornecidas duas tabelas. 
Uma que fornece os valores de (1+i)n. 
 
 
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Essa tabela não ajuda muito. Pois o nosso real problema é efetuar 
5.600
1,125508
. 
A outra tabela fornecida é a seguinte. 
 
 
Essa tabela será utilizada na aula sobre Série de Pagamentos e na aula sobre Sistemas 
de Amortização. 
E no presente momento, para que nos serve? 
Para utilizarmos um artifício. 
O artifício serve para calcular os valores de 
( )
1
1
n
i+
. No nosso caso, para calcular 
4 4
5.600 1
5.600
(1 0,03) (1 0,03)
A = = ⋅
+ + 
Temos a seguinte relação: 
( ) ( 1)
1
1
n i n in
a a
i
¬ − ¬= −
+
 
Os valores de n ia ¬ constam na tabela acima. 
A demonstração desta relação se encontra no final desta aula. 
( 1)4 4
5.600 1
5.600 5.600
(1 ) (1 )
n i n i
A a a
i i
¬ − ¬ = = ⋅ = ⋅ − + + 
[ ]4 3% 3 3%5.600A a a¬ ¬= ⋅ − 
Esses valores são tabelados. 
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[ ]5.600 3,717098 2,828611A = ⋅ − 
5.600 0,888487A = ⋅ 
4.975,53A = . 
Agora que sabemos utilizar essa tabela vamos resolver novamente essa questão uma 
maneira um pouco mais rápida. 
2º) Desconto Racional Composto 
Lembremos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros 
compostos. Temos a seguinte relação: 
(1 )nN A i= ⋅ + 
Assim, 
( 1)
5.600
5.600
(1 ) (1 )
n i n in n
N
A a a
i i
¬ − ¬ = = = ⋅ − + + 
[ ]4 3% 3 3%5.600A a a¬ ¬= ⋅ − 
Esses valores são tabelados. 
 
[ ]5.600 3,717098 2,828611A = ⋅ − 
5.600 0,888487A = ⋅ 
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4.975,53A = . 
Ou seja, utilizando esse artifício, trocamos uma divisão de um número natural por um 
número com 6 casa decimais para efetuar uma subtração e uma multiplicação. 
O novo desconto será d = N – A = 5.600 – 4975,53 = 624,47 
Letra C 
011. (APOFP – SEFAZ – SP 2009 ESAF) Um título no valor de face de R$ 1.000,00 
deve ser descontado três meses antes do seu vencimento. Calcule o valor mais próximo 
do desconto racional composto à taxa de desconto de 3% ao mês. 
a) R$ 92,73 
b) R$ 84,86 
c) R$ 87,33 
d) R$ 90,00 
e) R$ 82,57 
Resolução 
Valor de face é o mesmo que valor nominal. 
Vejamos a expressão do desconto racional composto: 
(1 )nN A i= ⋅ + 
(1 )n
N
A
i
=
+ 
( 1)
1
1.000 1.000
(1 )
n i n in
A a a
i
¬ − ¬ = ⋅ = ⋅ − + 
[ ]3 3% 2 3%1.000A a a¬ ¬= ⋅ − 
Vejamos a tabela fornecida na prova. 
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Assim, 
[ ]3 3% 2 3%1.000A a a¬ ¬= ⋅ − 
[ ]1.000 2,828611 1,913469A = ⋅ − 
1.000 0,915142A = ⋅ 
915,14A = 
Dessa forma, o valor do desconto é 1.000 – 915,14 = 84,86 
Letra B 
012. (Fiscal de Rendas – SP 2009/FCC) Um título é descontado dois anos antes de seu 
vencimento, a uma taxa positiva � ao ano. Se for utilizado o desconto racional composto, o 
valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se for utilizado o desconto comercial 
composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. O valor nominal deste título é igual a 
a) R$ 40.000,00 
b) R$ 36.000,00 
c) R$ 34.000,00 
d) R$ 32.000,00 
e) R$ 30.000,00 
Resolução 
1º) Desconto Racional Composto 
� = � ∙ �1 + ��
 
� = 25.000 ∙ �1 + ��� 
2º) Desconto Comercial Composto 
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� = � ∙ �1 − ��
 
� = ��1 − ��
 
� = 23.040�1 − ��� 
Como o valor nominal é o mesmo nos dois descontos, podemos igualar as duas 
expressões obtidas: 
25.000 ∙ �1 + ��� = 23.040�1 − ��� 
�1 − ��� ∙ �1 + ��� = 23.04025.000 
@�1 − ��� ∙ �1 + ��� = A2.3042.500 
�1 − �� ∙ �1 + �� = 4850 
1 − �� = 0,96 
�� = 0,04 
� = 0,2 
Sabemos que: � = 25.000 ∙ �1 + ��� 
� = 25.000 ∙ �1 + 0,2�� = 36.000 
Letra B 
Demonstração da fórmula dos valores tabelados 
Queremosmostrar que ( 1)
1
(1 )
n i n i n
a a
i
¬ − ¬− = +
. 
1
( 1) 1
(1 ) 1 (1 ) 1
(1 ) (1 )
n n
n i n i n n
i i
a a
i i i i
−
¬ − ¬ −
+ − + −
− = −
⋅ + ⋅ +
 
Para subtrair frações de denominadores diferentes, devemos calcular o m.m.c. dos 
denominadores. Em seguida, dividir o m.m.c. por cada denominador e multiplicar pelo 
numerador. Observe que 1
(1 )
1
(1 )
n
n
i i
i
i i
−
⋅ +
= +
⋅ +
 
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11
( 1) 1
(1 ) 1 (1 ) 1 (1 )(1 ) 1 (1 ) 1
(1 ) (1 ) (1 )
n n
n n
n i n i n n n
i i ii i
a a
i i i i i i
−−
¬ − ¬ −
 + − − + − ⋅ ++ − + −  − = − =
⋅ + ⋅ + ⋅ +
 
( 1)
(1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 1
(1 ) (1 )
n n n n
n i n i n n
i i i i i i
a a
i i i i
¬ − ¬
+ − − + + + + − + − + +
− = =
⋅ + ⋅ +
 
( 1)
(1 ) (1 ) 1 1
(1 ) (1 )
n n
n i n i n n
i i i i
a a
i i i i
¬ − ¬
+ − + − + +
− = =
⋅ + ⋅ +
 
( 1)
1
(1 )
n i n i n
a a
i
¬ − ¬− = +
 
 
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Relação das questões comentadas 
 
01. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um título é descontado dois anos antes de seu 
vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros 
compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso este 
título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, 
utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de 
a) R$ 21.780,00 
b) R$ 21.600,00 
c) R$ 20.702,00 
d) R$ 19.804,00 
e) R$ 19.602,00 
02. (SUSEP 2010/ESAF) Um título sofre um desconto racional composto dois meses 
antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao mês. Dado que o valor do desconto é R$ 
10 000,00, qual o valor mais próximo do valor nominal do título? 
 
a) R$ 100 000,00. 
b) R$ 107 561,00. 
c) R$ 102 564,00. 
d) R$ 97 561,00. 
e) R$ 110 000,00. 
 
03. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um título com o valor de R$ 50.000 e 
2 anos para o vencimento é descontado, no regime de juros compostos, com uma taxa de 
desconto comercial de 20% ao ano. O valor do desconto composto é, então, 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 18.000,00 
c) R$ 22.653,86 
d) R$ 24.000,00 
e) R$ 20.000,00 
04. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos conceitos de 
desconto bancário e comercial, nos regimes de juros simples e compostos, analise as 
afirmativas a seguir: 
 
I. A fórmula do Desconto Racional, no regime de juros simples, é dada por: �"#$%&'% =()
* , em que VF é o valor futuro, n é o número de períodos e i é a taxa de juros. 
 
II. A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de desconto comercial (d), 
ambas no regime de juros simples, é expressa por 
+ = �1 + �&, 
Em que n é o número de períodos. 
 
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III. A relação entre Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF), no regime de juros compostos 
e usando-se a taxa de desconto comercial, é expressa por: ,- = ,. ⋅ �1 − +�
, 
Em que n é o número de períodos. 
 
Assinale 
 
a) se somente a afirmativa III estiver correta. 
b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. 
c) se todas as afirmativas estiverem corretas. 
d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 
e) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. 
 
05. (Analista Legislativo – Contabilidade – Senado Federal 2008/FGV) Seja A1 o valor 
descontado de um título, 2 meses antes do vencimento, submetido a um desconto 
racional composto à taxa de 10% ao mês. Seja A2 o valor descontado desse mesmo 
título, 2 meses antes do vencimento, submetido a um desconto comercial simples à 
mesma taxa mensal. 
Se �0 − �� = 1$96,00, o valor nominal desse título, em reais, é um número: 
a) múltiplo de 3. 
b) múltiplo de 4. 
c) múltiplo de 7. 
d) múltiplo de 13. 
e) primo 
06. (AFRF 2001 ESAF) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de 
seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto 
de 3% ao mês. 
a) R$ 140,00 
b) R$ 104,89 
c) R$ 168,00 
d) R$ 93,67 
e) R$ 105,43 
07. (Analista de Compras de Recife 2003 – ESAF) Um título é descontado por R$ 
10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o 
valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o desconto racional 
composto. Despreze os centavos. 
a) R$ 11.255,00 
b) R$ 11.295,00 
c) R$ 11.363,00 
d) R$ 11.800,00 
e) R$ 12.000,00 
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08. (AFRF 2002 ESAF) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 
quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado 
do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. (dado que 1,054 = 
1,215506) 
a) R$ 25.860,72 
b) R$ 28.388,72 
c) R$ 30.000,00 
d) R$ 32.325,90 
e) R$ 36.465,18 
09. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será 
descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao 
mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional 
composto. A diferença D – d, em reais, vale 
a) 399,00 
b) 398,00 
c) 397,00 
d) 396,00 
e) 395,00 
010. (MDIC – 2002 ESAF) Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de 
R$ 672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou à troca 
do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo 
desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês. 
a) R$ 600,00 
b) R$ 620,15 
c) R$ 624,47 
d) R$ 643,32 
e) R$ 672,00 
011. (APOFP – SEFAZ – SP 2009 ESAF) Um título no valor de face de R$ 1.000,00 
deve ser descontado três meses antes do seu vencimento. Calcule o valor mais próximo 
do desconto racional composto à taxa de desconto de 3% ao mês. 
a) R$ 92,73 
b) R$ 84,86 
c) R$ 87,33 
d) R$ 90,00 
e) R$ 82,57 
012. (Fiscal de Rendas – SP 2009/FCC) Um título é descontado dois anos antes de seu 
vencimento, a uma taxa positiva � ao ano. Se for utilizado o desconto racional composto, o 
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valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se for utilizado o desconto comercial 
composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. O valor nominal deste título é igual a 
a) R$ 40.000,00 
b) R$ 36.000,00 
c) R$ 34.000,00 
d) R$ 32.000,00 
e) R$ 30.000,00 
 
 
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Gabaritos 
01. E 
02. B 
03. B 
04. D 
05. A 
06. E 
07. A 
08. C 
09. B 
10. C 
11. B 
12. B