AULA SUBSTITUI��ES TRIGONOM�TRICAS[1]

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CÁLCULO II 
 
Prof. Msc. Antonio Diego Silva Farias 
Pau dos Ferros – RN, 30 de Março de 2016 
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO – UFERSA 
CAMPUS PAU DOS FERROS 
CURSO DE BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 PROBLEMA: Calcular integrais de funções com 
expressões dos tipos: 
a) 𝑥2 + 𝑎2 
b) 𝑥2 − 𝑎2 
c) 𝑎2 − 𝑥2 
SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 EXEMPLO: Como calcular 
 
1
0
2 4dxx
SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 Para calcular esses tipos de integrais usaremos um 
tipo especial de substituição. 
 Ao invés de fazermos uma substituição do tipo: 
 
𝜃 = 𝑓 𝑥 ⟹ 𝑑𝜃 = 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 
 
 Fazemos a substituição inversa: 
 
𝑥 = 𝑓 𝜃 ⟹ 𝑑𝑥 = 𝑓′ 𝜃 𝑑𝜃 
 
SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
TABELA DE SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
EXPRESSÃO SUBSTITUIÇÃO IDENTIDADE 
 
 
 ou 
 
 
22 xa 
22 xa 
22 ax 
)(. senax 
22




)(. tgax 
22




)sec(. ax 
2
0

 
2
3
 
)(cos)(1 22   sen
)(sec)(1 22   tg
)(1)(sec 22  tg
SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 Exemplo 1: Calcule 
9−𝑥2
𝑥2
𝑑𝑥 
 
 Exemplo 2: Encontre a área da região 
delimitada pela elipse 
 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 𝑎 
 
SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 Exemplo 1: Calcule 
9−𝑥2
𝑥2
𝑑𝑥 
 Exemplo 2: Encontre 
1
𝑥2 𝑥2+4
𝑑𝑥 
 Exemplo 3: Calcule 
1
𝑥2−4
𝑑𝑥 
 Exemplo 4: Calcule 
𝑥3
4𝑥2+9
3
2 
3 3
2
0
𝑑𝑥 
 Exemplo 5: Determine 
1
3−2𝑥−𝑥2
𝑑𝑥