APOSTILA mat

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CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
1 – Conceito de taxa de juros 
 
Taxa de juro é a relação entre o valor do juros pagos (ou recebidos) no final de um 
determinado período de tempo e o valor do capital inicialmente emprestado (ou 
aplicado). Representando a taxa de juro pela letra i, o valor dos juros pela letra J e 
o valor do capital inicial (também conhecido por principal, valor presente ou valor 
atual) pela letra P, tem-se que: 
 
P
Ji = 
O juro, como foi enunciado, é um valor pago (ou recebido) no final de um certo 
período de tempo, e o capital inicial, um valor colocado à disposição na data do 
contrato (ou da operação). Assim sendo, é importante enfatizar que, do ponto de 
vista conceitual, juro antecipado não existe. Ou seja, o juro é sempre postecipado. 
 
Para maior clareza, vamos exemplificar: 
Uma pessoa pede um empréstimo de R$ 1.000,00 pelo prazo de 1 mês. O 
gerente do banco manda creditar R$ 950,00 na conta do cliente sob a 
alegação de que os juros de R$ 50,00 foram descontados no ato, isto é, 
“pagos antecipadamente”. 
 
De acordo com o conceito de taxa de juros, temos que: 
 
Taxa de juro cobrada pelo banco: %,
,
,
265
00950
0050
==i 
 
No caso deste exemplo, não houve pagamento antecipado de juros. Apenas o 
banco emprestou R$ 950,00 para receber R$ 1.000,00 no final de um mês. 
Portanto, o valor dos juros efetivamente foi recebido pelo banco no final, isto é, no 
vencimento. 
 
Observação importante: 
A divisão dos juros de R$ 50,00 pelo valor R$ 1.000,00, igual a 5%, corresponde à chamada taxa 
de desconto, calculada de acordo com o critério de desconto simples (ou bancário ou comercial), 
cujo conceito não será abordado neste trabalho. 
 
 
 
 
 2
2 – Conceito de juros simples (ou capitalização simples) 
 
Capitalizar em matemática financeira significa adicionar juros ao capital. E essa 
adição pode ser feita de forma linear ou exponencial. Quando feita de forma linear 
dizemos que a capitalização é simples, e quando feita exponencialmente dizemos 
que ela é composta. Assim, podemos conceituar juros simples como sendo o 
processo de obtenção dos juros em que a taxa definida para o período unitário 
(dia, mês ou ano) incide sempre sobre o capital inicial, não incidindo, pois, sobre 
os juros que vão se acumulando. 
 
Exemplo: calcular o valor dos juros correspondente a um empréstimo de $ 
1.000,00, contratado a uma taxa de juro de 5% ao mês, pelo prazo de 4 
meses. 
 
Solução: 
 
MÊS JUROS MENSAIS JUROS ACUMULADOS 
1 0,05 x 1.000,00 = 50,00 50,00 
2 0,05 x 1.000,00 = 50,00 100,00 
3 0,05 x 1.000,00 = 50,00 150,00 
4 0,05 x 1.000,00 = 50,00 200,00 
 
O valor dos juros a ser pago no final de um certo prazo é determinado com base 
na fórmula: J = P x i x n , 
em que P é o capital inicial, i a taxa de juros e n o prazo. 
 
No caso do nosso exemplo, tem-se que: 
 
 J = 1.000,00 x 0,05 x 4 = 200,00 
 
Como o montante, que representamos pela letra S, é igual ao capital mais juros, 
temos que: 
 
 S = 1.000,00 + 400,00 = 1.400,00 
 
 
3 – Conceito de juros compostos (ou capitalização composta) 
 
Podemos conceituar juros compostos como sendo o processo de obtenção juros 
(ou do montante) em que a taxa de juro definida para o período unitário (dia, mês 
 3
ou ano) incide sobre o capital inicial e também sobre os juros que vão se 
acumulando periodicamente. 
Exemplo: calcular o valor dos juros e do montante correspondente a um 
empréstimo de R$ 1.000,00, contratado a uma taxa de juro de 10% ao mês, 
pelo prazo de 4 meses. 
 
Solução: 
 
MÊS JUROS 
MENSAIS 
JUROS ACUM. MONTANTE 
1 100,00 100,00 1.100,00 
2 110,00 210,00 1.210,00 
3 121,00 331,00 1.331,00 
4 133,10 464,10 1.464,10 
 
O montante é determinado com base na fórmula: S = P(1+i)n 
 
No caso do nosso exemplo, tem-se que: 
 
 S = 1.000,00 x (1,10)4 = 1.464,10 
 
Como o valor dos juros é igual ao montante menos o capital, temos que: 
 
 J = 1.464,10 – 1000,00 = 464,10 
 
 
4 – Conceito de séries de pagamentos iguais 
 
Trata-se de uma série de pagamentos iguais, periódicos (mensais, bimestrais, 
trimestrais ou anuais) e sucessivos. Esse sistema de pagamentos é o mais 
utilizado no mundo, tanto para amortizar dívidas ou empréstimos, quanto para 
formar uma poupança. Em relação a este sistema é importante saber que: 
• o montante total formado no final das aplicações é o resultado da soma dos 
montantes de cada uma das prestações consideradas individualmente; 
• de forma idêntica, o valor do empréstimo (que é capital inicial ou valor 
presente na data do contrato) é o resultado da soma dos valores presentes de 
cada uma das prestações consideradas individualmente; 
• para o cálculo desses dois modelos utiliza-se juros compostos; não se tem 
conhecimento de um único país no mundo que faça diferente; também não 
conheço um único livro de matemática financeira, editado nos últimos 40 anos, 
 4
de autor nacional ou estrangeiro, que apresente esses modelos desenvolvidos 
com base em juros simples. 
 
 
4.1 – Montante de uma série de pagamentos iguais 
 
Exemplo: calcular o montante correspondente a aplicação de 4 prestações 
mensais iguais de R$ 1.000,00 cada, à taxa de juros de 10% ao mês, 
conforme fluxo abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
O montante total, de acordo com o fluxo acima, corresponde à soma dos 
montantes de cada uma das parcelas, como segue: 
 
• Montante da primeira parcela: S1 = 1000 x 1,103 = 1.331,00 
• Montante da segunda parcela: S2 = 1000 x 1,102 = 1.210,00 
• Montante da terceira parcela: S3 = 1000 x 1,101 = 1.100,00 
• Montante da quarta parcela: S4 = 1000 x 1,100 = 1.000,00 
• MONTANTE TOTAL: ST = = 4.641,00 
 
ou escrito de outra forma: 
 
 
0123
1011000101100010110001011000 ,,,, ×+×+×+×=TS 
 
Colocando-se 1000 em evidência, tem-se que: 
 
 ),,,,( 0123 1011011011011000 +++×=TS 
 
0 1 2 3 4 
1.000 1.000 1.000 1.000 
S = ? 
 5
A partir desta última equação, e utilizando a fórmula da soma de uma PG 
(Progressão Geométrica), deduz-se que: 
 006414
100
1101
1000
4
,.
,
,
=
−
×=TS 
Generalizando-se a expressão acima, e fazendo ST = S, chega-se à fórmula para 
o cálculo do montante de uma série de pagamentos iguais postecipados, de uso 
generalizado no mundo, a saber: 
 
 
i
iRS
n
11 −+
×=
)(
 
 
em que R representa o valor das prestações (ou parcelas ) iguais e n o número de 
prestações. 
 
 
4.2 – Valor presente de uma série de pagamentos iguais 
 
Exemplo: um empréstimo deverá ser liquidado em 4 prestações mensais 
iguais de R$ 1.000,00 cada, à taxa de juros de 10% ao mês, conforme fluxo 
abaixo. Calcular o valor emprestado, ou seja, o valor presente na data do 
contrato. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
O valor presente total, como mencionado, corresponde à soma dos valores 
presentes de cada uma das parcelas, como segue: 
 
• Valor presente da primeira parcela: P1 = 1000 / 1,101 = 909,09 
• Valor presente da segunda parcela: P2 = 1000 / 1,102 = 826,45 
• Valor presente da terceira parcela: P3 = 1000 / 1,103 = 751,31 
• Valor presente da quarta parcela: P4 = 1000 / 1,104 = 683,01 
0 1 2 3 4 
1.000 1.000 1.000 1.000 
P = ? 
 6
• VALOR PRESENTE TOTAL: PT = = 3.169,86 
 
 
Assim, sabendo que: 
 
 
 
4321
101
1000
101
1000
101
1000
101
1000
,,,,
+++=TP 
 
Colocando-se 1000 em evidência, tem-se que:







+++×=
4321
101
1
101
1
101
1
101
1
1000
,,,,
TP 
 
 
Utilizando a fórmula da soma de uma PG (Progressão Geométrica), deduz-se que: 
 
 
100101
1101
1000
4
4
,,
,
×
−
×=TP 
 
Generalizando-se a expressão acima, e fazendo-se PT = P, chega-se a fórmula 
para o cálculo do valor presente de uma série de pagamentos iguais postecipados, 
de uso generalizado no mundo, a saber: 
 
 
ii
iRP
n
n
×+
−+
×= )(
)(
1
11
 
 
A partir dessa expressão, deduz-se facilmente a fórmula que calcula diretamente o 
valor das prestações, como segue: 
 
 
11
1
−+
×+
×=
n
n
i
iiPR )(
)(
 
 
 7
Essa fórmula serve para determinar o valor das prestações iguais, sendo, no 
Brasil, conhecida por TABELA PRICE. E como ficou evidenciado através da 
dedução que fizemos, ela é calculada com base no critério de juros compostos. 
 
 
Primeiro exemplo: 
Calcular o valor das prestações mensais iguais correspondentes a um 
empréstimo de R$ 10.000,00, contratado a uma taxa de juro de 3% ao mês, 
para ser pago em 24 prestações mensais. 
 
Solução: 
 
 47590
1031
030031
0000010
24
24
,
),(
,),(
,. =
−
×
×=R 
 
Segundo exemplo: 
Um veículo no valor de R$ 42.000,00 está sendo vendido com 20% de entrada 
e o restante financiado em 60 prestações iguais, mensais e consecutivas. 
Sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 1,85% ao mês, calcular o valor 
das prestações mensais. 
 
Solução: 
 
Entrada: 20% x 42.000,00 = 8.400,00 
 
Valor financiado: 42.000,00 – 8.400,00 = 33.600,00 
 
 82931
101851
0185001851
0060033
60
60
,
,
,,
,. =
−
×
×=R 
 
 
 
 
 
 
5 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
 8
Um sistema de amortização nada mais é do que um plano de pagamentos para 
quitação de uma dívida. Ora, de quantas maneiras uma dívida pode ser quitada? 
Resposta: infinitas! 
Entretanto, dois são casos mais comuns no mundo, a saber: 
1) devolução do capital mais juros de uma só vez no final período contratado; 
2) devolução do capital mais juros em prestações mensais e consecutivas. 
No caso de devolução integral do capital no final do contrato, também é comum o 
pagamento periódico (mensal, trimestral ou semestral) dos juros. Quanto aos 
casos de pagamentos mensais envolvendo parcelas de capital e de juros, os dois 
planos mais conhecidos e utilizados no mundo são os seguintes: 
• Sistema de prestações iguais ou uniformes; 
• Sistema de prestações decrescentes em progressão aritmética (PA). 
Entre esses dois planos, o sistema de prestações mensais iguais é seguramente o 
mais utilizado nas operações de empréstimos e de financiamentos. No Brasil, e 
apenas no Brasil, esse plano é conhecido por Sistema PRICE, ou simplesmente 
Tabela PRICE. Também é conhecido por Sistema Francês de Amortização. 
Quanto ao sistema de prestações decrescentes em progressão aritmética, 
conhecido universalmente por SAC – Sistema de Amortização Constante, é muito 
utilizado em nosso país para financiamentos imobiliários; sua adoção no Brasil 
tem crescido substancialmente nos últimos anos em função do menor risco de 
crédito para o agente financeiro, e principalmente pelas restrições legais ao uso da 
Tabela PRICE. Fora o setor habitacional, o SAC é bastante utilizado nas 
operações com recursos do BNDES (Banco Nacional de Desenvolvimento 
Econômico e Social), em que o FINAME (Financiamento de Máquinas e 
Equipamentos) é a modalidade mais conhecida. 
Entre outros infinitos planos que podem ser adotados para a amortização de uma 
dívida, podemos citar mais dois: o SAM (Sistema de Amortização Misto) e o 
SACRE (Sistema de Amortização Crescente). O primeiro, o SAM, é um misto do 
PRICE com o SAC , ou seja, cada prestação corresponde à média aritmética das 
prestações calculadas com base nesses dois sistemas; foi muito utilizado pelo 
extinto BNH (Banco Nacional da Habitação) para financiamento de unidades 
habitacionais; quanto ao SACRE, criado pela Caixa Econômica Federal e utilizado 
também pelo Banco Nossa Caixa, está caindo em desuso. Neste trabalho não 
vamos trata desses dois sistemas. 
 
 
5.1 – Sistema de prestações iguais ou uniformes (PRICE) 
 9
 
Esse sistema, também conhecido por Sistema Francês de Amortização, é o mais 
utilizado nos casos de pagamentos mensais de parcelas de capital e de juros; 
deve representar cerca de 80 a 90% dos planos de pagamentos utilizados no 
mundo, servindo de base para o cálculo de prestações nos casos de 
financiamento de veículos, imóveis, eletrodomésticos, roupas, móveis, 
empréstimos pessoais, capital de giro e de operações de leasing. 
Para melhor entendimento e caracterização desse sistema, vamos resolver o 
seguinte exemplo: 
 
Calcular os valores das prestações correspondentes a um empréstimo de R$ 
1.000,00 a ser quitado em 4 parcelas mensais, considerando-se uma taxa de 
juro de 10% ao mês. Mostrar também a decomposição de cada prestação 
em parcelas de amortização e de juros. 
 
Solução: 
 
Como se trata de uma série de pagamentos iguais, o valor das prestações é 
obtido com base na fórmula já conhecida, ou seja: 
 
11
1
−+
×+
×=
ni
iniPR
)(
)(
 
Substituindo-se as variáveis da fórmula especificada pelos dados do problema, 
obtém-se o valor das prestações, como segue: 
 47315
1101
100101
1000
4
4
,
),(
,),(
=
−
×
×=R 
Decomposição das prestações em parcelas de amortização e juros: 
 
 
MÊS 
SALDO 
DEVEDOR 
 
AMORTIZAÇÃO 
 
 JUROS 
 
PRESTAÇÃO 
0 1.000,00 0,00 0,00 0,00 
1 784,53 215,47 100,00 315,47 
2 547,51 237,02 78,45 315,47 
3 286,79 260,72 54,75 315,47 
4 0,00 286,79 28,68 315,47 
TOTAL - 1.000,00 261,88 1.261,88 
 
Os valores contidos na coluna “JUROS” foram obtidos através da multiplicação da 
taxa de juros de 10% pelos valores discriminados na coluna “SALDO DEVEDOR”, 
correspondentes aos meses imediatamente anteriores; os valores da coluna 
 10
“AMORTIZAÇÃO” resultam da subtração das parcelas de juros dos valores das 
prestações; e os valores discriminados na coluna “SALDO DEVEDOR” são obtidos 
pela dedução das parcelas de amortização dos saldos devedores existentes nos 
meses imediatamente anteriores. 
 
 
 
5.2 – Sistema de amortização constante (SAC) 
 
No SAC, como o próprio nome já diz, as amortizações mensais são constantes, ou 
seja, de mesmo valor. Assim, para se obter o valor da amortização constante 
basta dividir o valor financiado pelo número de parcelas, como segue: 
 
 Valor da amortização constante = A = 
n
P
 = 00250
4
000001
,
,.
= 
 
Decomposição das prestações em parcelas de amortização e juros: 
 
 
MÊS 
SALDO 
DEVEDOR 
 
AMORTIZAÇÃO 
 
JUROS 
 
PRESTAÇÃO 
0 1.000,00 0,00 0,00 0,00 
1 750,00 250,00 100,00 350,00 
2 500,00 250,00 75,00 325,00 
3 250,00 250,00 50,00 300,00 
4 0,00 250,00 25,00 275,00 
TOTAL - 1.000,00 250,00 1.250,00 
 
Como se pode observar, a decomposição das prestações no caso do SAC é bem 
mais simples. A partir das parcelas de amortização, que são iguais, e seguindo-se 
a mesma rotina de cálculo mostrada na tabela anterior, obtém-se facilmente os 
valores contidos nas colunas “SALDO DEVEDOR” e “JUROS”; os valores das 
prestações contidos na última coluna resultam da soma das parcelas de 
amortização e de juros. 
Como se observa na tabela apresentada, os valores das prestaçõesdecrescem 
mensalmente à razão constante de 25,00, constituindo-se, pois, numa progressão 
aritmética. E sendo assim, os valores de todas as prestações podem ser 
facilmente obtidos a partir do conhecimento de apenas dois elementos: o valor da 
primeira prestação e o valor do decréscimo mensal, calculados como segue: 
• Valor da primeira prestação = A + i x P 
• Valor do decréscimo mensal = razão = i x A 
 11
 
No caso do nosso exemplo, temos: 
 
• Valor da primeira prestação = 250,00 + 0,10 x 1000,00 = 350,00 
• Valor do decréscimo mensal = razão = 0,10 x 250,00 = 25,00. 
 
O valor da última prestação também é facilmente obtido: ele é dado pela soma da 
parcela de amortização com a parcela de juros calculada sobre o saldo devedor 
do mês imediatamente anterior, ou seja: 
 
Última prestação = A + i x A = A x (1 + i) 
 
Assim, no caso do nosso exemplo, temos: 
 
Última prestação = 250,00 x 1,10 = 275,00 
 
Em uma progressão aritmética, quando se conhece o valor da primeira e da última 
parcela, é possível obter a soma de todas. Para tanto, basta utilizar a fórmula que 
calcula a soma dos termos de uma PA (progressão aritmética), dada pela seguinte 
equação: 
 
2
1 naa n
PAS
×+
=
)(
 
em que: 
 
SPA = soma dos termos de uma progressão aritmética; 
a1 = valor do primeiro termo; 
an = valor do último termo; 
n = número de termos 
 
Aplicando-se essa fórmula no caso do nosso exemplo, temos: 
 
002501
2
40027500350
,.
),,(
=
×+
=PAS 
 
 
5.3 – Exemplo de utilização dos sistemas PRICE e SAC 
 
Um financiamento no valor de R$ 120.000,00 deverá ser amortizado em 240 
prestações (20 anos). Sabendo-se que a taxa de juros é de 1% ao mês, 
calcular o valor das prestações mensais de acordo com os sistemas PRICE e 
SAC, bem como a soma das prestações dos respectivos planos. 
 
Solução: 
 
 12
Sistema PRICE: 
• Valor das prestações: 303211
1011
010011
00000120
240
240
,.
),(
,),(
,. =
−
×
×=R 
 
• Valor da primeira prestação = valor da última = 1,321,30 
 
• Soma das prestações = 240 x 1.321,30 = 317.112,00 
 
Sistema SAC: 
 
• Valor da parcela de amortização = 120.000,00 / 240 = 500,00 
• Valor da primeira prestação = 500,00 + 0,01 x 120.000,00 = 1.700,00 
• Valor da última prestação = 500,00 + 0,01 x 500,00 = 505,00 
• Soma da prestações: 00600264240
2
00505007001
,.
),,.(
=×
+
=PAS 
 
 
 
Prof. José Dutra Vieira Sobrinho 
São Paulo, janeiro de 2009