Métodos matriciales con MATLAB para ingenieros Juan Carlos Herrera FREELIBROS.ORG

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Métodos Matriciales 
1 1 para ingenieros 
con MATLAB 
Facultad de Ingenieria 
Pontificia Universidad 
JAVERIANA 
----Cali----
Rect or: Jorge Humberto Peláez P iedrahita, 2.J. 
Vicerrect or Acooémico: A ntonio de Roux Rengifo 
Vicerrect or del Medio Univers ita r io: Luis Ferna ndo Granados Ospina, 2.J. 
F acultad de l ngenier fo, 
Decano Acádemico: Mauricio Ja.ramillo Ayerbe 
Decano del Medio U niversitario: A lbe1t o Benavides Herrán 
Directo1 Depto de Ciencias e Ingeniería de la Producción: Alvn.ro F igueroa Cabrera 
Título Métodos Matriciales con MATLAB 
Autor: Juan Carlos Herrera 2ánchez, Ph.D. 
12 BN 978-958-8347-52-3 
Coordinador Editorial: Ignacio M urgueitio Restrepo 
e-mail: mignacio@javerianacali.edu. co 
© Derechos Reservados 
© 2 ello Editor ial J averiano 
Correspondencia, suscr ipciones y sol icitudes de canje: 
C::.lle 18 # 118-250 
2 antiago de Cali , \ Talle del Ca u ca 
Pontificia Universidad J averiana Cali 
F acultoo de Ciencias de la 2alud 
Teléfono 3218200 ex-t. 493 - 533 
\VW\V .j ::.verianacali. edu. co 
F ormsto: 17 x 2& cms 
Concept o Gtáfico: E dith V ::.lencia F-. 
Edición: agosto de 2011 
Métodos Matriciales 
1 1 para ingenieros 
con MATLAB 
Herrern. Sá.nchez, Ph D , Jun.n Cn.rlos 
:tvlétodos :tvl n.tricin.les pn.rn. ingenieros con :tvIA T LAB / J un.n Casios Herrern. 
Sá.nchez, P h.D . -- Sn.ntia.go de Cn.li: Pontificin. Universidad .Jn,verin.nn., Sello 
Editorin.l .Jn.ver in.no, 2011. 
p. 154 : il.; 17 x 25 cm. 
Incluye referencin.s bibliogr6ficn.s. 
ISBN 978-958-8347-52-3 
1. lvi n.t rices (lvin.temáticn.s) 2. lvIA TLAB 3. Determinn.ntes 4 . Ecu n.ciones 
linen.les l. Pontificin. Universidad Jn.verin.nn. (Cn.li). F n.culta.cl de l ngenierín.. 
SCDD 512.9434 ed.21 
BPUJC n.rm/ 11 
Prefacio 
El presente texto está orie11tado hacia los cursos de pregrado 
de i\.nálisis de Estructuras, Análisis Matricial y Dinámico de 
Estructuras y .A..11álisis Numérico, ofrecidos para Ingeniería Ci\1il. 
También será de referencia en cursos de postgrado tales como 
Método de Eleme11tos Finitos. No obsta11te, será útil como texto de 
referencia para estudia11tes de otras áreas de la i11geniería ofrecidas 
por la Facultad. En el Capítulo 1 se presentan los conceptos 
básicos del álgebra de matrices así como al manejo de \1ectores y 
matrices con MATLAB. En éste capítulo JI a lo largo del texto se 
presentan nu1nerosos ejemplos usando el soft\:vare citado, para que 
sirvan de complemento a los aspectos teóricos presentados. En el 
Capítulo 2 se tratan las operaciones fundamenta les con matrices . 
El Capítulo 3 está dedicado al tema de inversión de matrices y 
al cálculo de determinantes. En el Capítulo 4 se prese11tan los 
métodos tradicionales para la solució11 de sistemas de ecuaciones 
lineales. Finalmente, en el Anexo, se presenta una introducción 
a al tópico sobre integración y diferenciación de matrices usando 
NIATLAB. El texto es de carácter introductorio, y por tanto será 
de utilidad tanto a estudiantes de pregrado de ingeniería, como a 
profesionales de inge11iería. 
El Autor 
Tabla de co11te11ido 
Capítulo 1. T ipos de matrices ....... . _ ........ __ ..... . _ ....... . __ .. 9 
1.1 Definiciones.... .. ....... ......... .. ....... ......... .. ....... . ......... 9 
l . 2 Manipulació11 de ·vectores y inatrices en MATL.A.B· ........ . 10 
1.3 Clases de matrices ............... ........ . ......... ........ . .......... 20 
1 .4 Referencias bibliográficas ..... .. ·--- ······· ·-- ··· ····- ······· ·- ·-·· 41 
1. 5 Problemas ... . _ ...... . ......... .. ...... _ . .. ...... .. ...... _ . . . . . . . . . . . . . 41 
Capítulo 2. Operaciones con matrices ....... _ ....... . _ ........ _ . .. 43 
2.1 Producto de un número real por una matriz .. .. .. . .... . .. _ . . 43 
2.2 Suma de matrices .. ............... -······· -- ······· --······· -- ··· .. 44 
2.3 J\!Iultiplicación de matrices ... ·-··· ···· · -·· · -··· --··· ···· · -·· · -·-·· 52 
2. 4 P artición de matrices... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 
2.5 Referencias bibliográficas ......... .. ........ . ....... _ ......... . .... 63 
2.6 Problemas .. ... ..... ... ....... ... ..... ... ....... ... ..... ... ....... ... .. 63 
Capítulo 3. Deter1ninantes e inversión de inatrices ... . _ .. ..... 65 
3.1 Determinante de una matriz ..... _ . . ..... __ ... _ .... _....... ... 65 
3.2 Expansión de Laplace ........ .. ................ .. ................ . 67 
3. 3 P eterminante por Condensaciónn P ivotal. ... . __ _ . . .. _. ___ ... _ 77 
3.4 Inversión usando la m atriz adjunta .... .. ............. . ... . ..... 79 
3.5 J\!Iétodo de Gauss-Jordan ....... . .. . .............. . .. .. ....... .. .... 82 
3. 6 Inversa de u11a inatriz por medio de partición ............... 91 
3. 7 Referencias bibliográficas ................ ... ..... __ . . ........ . _... 98 
3. 8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 
7 
Capítulo 4. Solución de sistemas de ecuaciones lineales ... ... 101 
4.1 Forma matricial de las ecuaciones.. . . . ... ... . ... ___ . . ... 101 
4. 2 Solución por inversión de matrices . .. ...... __ . ....... _ ........ .. 102 
4 .3 Regla de Crarner .... ... ....... . ....... ... ...... . . ...... .. .. ........ .. 106 
4 .4 l\1étodo de eliminación de Gauss .... . ...... .. . .... ..... ....... .. 109 
4.5 Método de Gauss-.Jordan .. ............... ... ................ ....... 127 
4.6 J\!Iétodo de Cholesl<J'. · -····· ·-- ······ ·--- ····· ·-- ······ ·--- ········ 137 
4. 7 Factorización L U .. ................ .. ................ .. ....... _._ ..... . 142 
4.8 Referencias bibliográficas .. .. . ....... . ___ ..... . ___ ..... ... . .. ..... 146 
4 9 Problemas .. ... ..... ... ....... ... ..... ... ....... ... ..... ... ....... ... .. 146 
Anexo. Difere11ciación e integració11 de matrices con 
Mi\.TLi\.B ..... ___ ... ··· -·· --·- ······ ·········· -·-·· --·-·-· ···· -······ -·- ·-·-·-·-· ····· 149 
8 
Capítulo 1 
Tipos de matrices 
1.1 Definiciones 
Una matriz se defi11e como un conjunto de elementos ordenados 
en u11 número de filas m )' un número de columnas n. En este 
caso la matriz se dice que es de orden ( m x n). La matriz [A]m:: n 
se define por: z 
ª1 1 ª12 ••• ªin 
ª21 ª 22 • • • a ? A= _n • 
• a a in • lj 
a mn a m2 a. m; a mn 
La i-ésima fila de [A] tiene n elementos: 
a.,, · · · a ] 
, _ in lxn 
La j-ésima columna de [.A..] tiene m eleme11tos: 
a,, . 
- ) 
• 
• 
• 
a . 
m; 
9 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
En la matriz anterior cada a ij indica el elemento ubicado en la fila 
" i/' )1 la columna "j" . Por ejemplo: el elemento a3:2 es el elemento 
de la fila 3 y columna 2. 
U na matriz de orden ( 1 x n) , tiene 1 sola fila , es un vector fi la. 
Se puede escribir: 
U na matriz de orden ( m x 1), tiene 1 sola columna y m filas , se 
denomina vector colum11a. 
1.2 1\ifanipulación de vectores y matrices en 
J\!IATLAB 
Para crear u11 \1ector fila en Nii\. TLAB , se escribe el conjunto de 
elementos entre corchetes . Se separan por espacios o u11a coma( ,) 
para delimitar los números. 
>> va=[-1 O 1] 
v a 
- 1 o 
Si se usan comas: 
>> va=[-1, O, 1 ] 
v a 
- 1 o 
1 
1 
Vector columna: Para crear un vector columna, se escribe el 
conjunto de números entre corchetes y se separan por punto y 
coma (;): 
>> vc=[1; 2 ;4;1 6 ] 
10 
TIPOS DE l\1ATRICES 
v e 
1 
2 
4 
16 
Transpuesta de un \iector: 
Un \iector fila se puede convertir a un \iector columna calculando su 
transpuesto. Se usa el comando trans pose (V) o la comilla(') . 
Ejemplo: 
Obtener un vector columna del vector \ia=[-1 O 1]. 
>> ve=v a' 
v e 
- 1 
o 
1 
>> ve=transpose(va) 
v e 
- 1 
o 
1 
Calcule1nos un vector fila , usando el \iector columna [\;c] : 
>> ve=[1; 2 ;4;1 6 ] 
v e 
1 
2 
4 
16 
>> v f=v e' 
v f 
1 2 4 16 
11 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Para definir un vector igualmente espaciado se da el comando: 
x=[ ví : í: vf] 
Donde : 
vi: \ialor inicial 
vf: \ialor final 
i: incremento 
Para generar el \iector a=[O 1 2 ... 9] se escribe e11 MATLi\.B: 
>> a=[O:l: 9] 
a = 
o 1 2 3 4 5 6 
8 9 
7 
Creemos el \iector x=[O , 0.25, O 5, ... ,1.75, 2]T, con increme11tos 
de 0.25, 
>> x = [ 0 : 0 . 25 :2 ] ' 
X = 
o 
0 . 250 0 
0 . 5000 
0 . 750 0 
1 . 0000 
1 .25 00 
1 . 5000 
1 . 750 0 
2 . 0000 
Otra forma es usar el comando lins pace (Xl , X2 , N). Este 
comando genera N puntos entre los valores X1 a11d X2. 
Para crear el \iector x=[O , 0.25, O 5, ... ,175, 2]T se escribe en 
Mi\. TL.i\.B: 
>> B=l inspace (0 ,2, 9) ' 
12 
B -
o 
0 .25 00 
0 . 5000 
0 . 750 0 
1 . 0000 
1 . 2500 
1 . 5000 
1 . 7500 
2 . 0000 
TIPOS DE l\1ATRICES 
Para definir u11a inatriz se escriben las filas separadas por ";". 
Pa.ra definir la m atriz [B] de 2 filas y 3 columnas, se escribe: 
>> B= [ l 2 3 ;4 5 6 ] 
B = 
1 
4 
2 
5 
3 
6 
La otra forma es introducir la primera fila y luego d ar en ter 
(+--). 
>> B= [ l 2 3+-
4 5 6 ] 
B 
1 
4 
2 
5 
3 
6 
Para definir una matriz t ambién se puede separar cada fila por 
(( . 11 
~ . . . 
13 
>>ml= [2 
ml -
2 
o 
o 
6 
o 
o 
o 
o 
6 
o 
o 
o 
156 
22 
o 
54 
-13 
o 
156 
22 
o 
5 4 
- 13 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
o 
22 
4 
o 
13 
-3 
o 
22 
4 
o 
13 
-3 
6 
o 
o 
12 
o 
o 
6 
o 
o 
12 
o 
o 
o 
5 4 
13 
o 
56 
-22 
o 
54 
13 
o 
56 
-22 
o 
- 13 
-3 
o 
-2 2 
4 
Para indicar el elemento b 12 escribimos 
>> b l2=B( l ,2) 
b 12 = 2 
De igual forma para indicar el eleme11to b28 escribimos: 
>> b23=B(2,3) 
b 23 = 6 
o; . . -
-13; . . . 
-3; .. . 
o; . . . 
-22; . .. 
4 l ; 
El orden de (B] es (2x 3). En l\IIATLAB para obtener el orden de 
una matriz es el comando size. 
>> size(B) 
a ns -
2 3 
14 
TIPOS DE l\1ATRICES 
El comando si z e indica el numero de filas y colu1nnas de la 
matriz. Otra forma usar este comando es: 
>> [m,n]=size(B ) 
m - 2 
n = 3 
La siguiente instrucción retor11a el ·vector {Vb} con el número de 
filas y columnas de la matriz (B]. 
>> Vb=size (B) 
Vb -
2 3 
Ejemplo: 
Para definir la m atriz fila [.!\.] de 1 fila y 3 colum11as, se escribe: 
>> A= [ l 2 3 ] 
A= 
1 2 3 
>> [m,n]=size(A ) 
m = 
1 
n = 
3 
15 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Para obtener el número de filas de un \1ector columna, o el número 
de columnas de u11 \1ector fila e11 MATLi\.B, se usa el comando 
length(V) 
>> length (A) 
ans -
3 
Ejemplo: 
Para definir un \1ector columna [A] de 3 filas , se escribe los 
elementos separados por ";" : 
>> A= [2;4;6] 
A = 
2 
4 
6 
>> length (A) 
a ns -
3 
>> [m,n]=size(A ) 
m = 
3 
n = 
1 
16 
TIPOS DE l\1ATRICES 
Para obtener la columna j-ésima de una matriz [A] se da la 
instrucción A ( : , j ) . 
Ejemplo: 
>> A 
A = 
1 
4 
6 
2 
5 
5 
3 
6 
4 
Así para definir un vector , con la primera columna de la matriz 
[AJ, escribimos: 
> > NV=A ( : , 1) 
NV 
1 
4 
6 
>> NV=A ( :, 3) 
NV 
3 
6 
4 
Para definir un \iector , con los elementos de la k-ésima fila de la 
matriz [.I\] , se da la instrucción A ( k , : ) . 
17 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo: 
Para defi11ir un \iector fila; con la pri1nera fila de la inatriz [AJ, se 
da la i11strucció11: 
>> vf=A(l,:) 
vf 
1 2 3 
De la misma forma para obtener un vector de la fila k-ésima de 
una matriz [.A..] y las columnas de la m a p , se da la instrucción 
A(k,m :p) . 
Ejemplo: 
>> A 
A= 
1 
4 
6 
5 
4 
5 
5 
6 
3 
6 
4 
7 
5 
8 
7 
9 
Para formar el vector de la fila 3 , columnas de la 2 a la 4 , se da 
la instrucción: 
>> vf=A(3,2 :4 ) 
vf 
5 4 7 
18 
TIPOS DE l\1ATRICES 
Para formar el vector de la columna 2, filas de la 2 a la 4, se da 
la instrucción: 
>> vc=A(2 : 4,2) 
ve -
5 
5 
6 
Ejemplo: ge11erar la matriz [Bl] con los ele1nentos de la filas 2 a 
5 y columnas 3 a 5 de [B]. 
>> B=5*eye(5) 
B = 
5 
o 
o 
o 
o 
o 
5 
o 
o 
o 
>> Bl =B(2 : 5 ,3: 5) 
Bl -
o 
5 
o 
o 
o 
o 
5 
o 
o 
o 
5 
o 
o 
o 
o 
o 
5 
o 
o 
o 
5 
o 
o 
o 
o 
o 
5 
Para borrar la segunda columna de B se escribe: 
B( :, 2) = [] 
19 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
B -
5 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
5 
o 
o 
o 
o 
o 
5 
o 
1. 3 Clases de matrices 
J\IIatriz nula 
o 
o 
o 
o 
5 
U na rnatriz de orden ( m x n) , con todos sus elementos iguales a 
cero se define como matriz nula. Así por ejemplo, la matriz [ü]8xS, 
se define 
o o o 
[O)= O O O 
o o o 
Ejemplo: 
Para definir una matriz nula en !vIATLAB se usa el comando 
zeros (m ,n ) donde mes el i1ú1nero de filas y n el nú1nero de 
columnas. 
>> B=zeros(3 , 3) 
B = 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
20 
TIPOS DE l\1ATRICES 
La matriz [B] creada es de orden (3 x 3) 
Para crear u11a matriz nula de orden ( 4 x 3) damos la 
instrucción: 
>> C=zeros(4 , 3) 
e = 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
Para generar un \iector fila nulo se escribe: 
>> v =zeros(l ,4 ) 
V = 
o o o o 
Para generar una \1ector columna nulo se escribe: 
>> v o=zero s(4 , 1 ) 
vo 
o 
o 
o 
o 
21 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Matriz t ranspuesta 
Si la matriz (A] se define por: 
Se define la matriz transpuesta como: 
ªi l ª 21 
... 
[A]T = ª 12 ª 22 ... 
• • • 
• • 
. . 
ª in ª 2n 
Ejemplo: 
Si se define (A] por: 
p 
[A]= u 
X 
s 
V 
y 
t 
w 
-
-
a mi 
a m2 
amn 
Entonces la transpuesta de [i\.] es: 
u X 
V y 
w -
-
22 
TIPOS DE l\1ATRICES 
Propiedades: 
([A)T)T = [.t\] 
([A] ± [B]) T = [A]T ± [B]T 
([A][B]) T = [B]T[A]T 
([A][B][C]) T = [C)T[B]T[,L\]T 
Ejemplo: 
Para obtener la transpuesta de una matriz en NI.t\ TL.t\B se usa el 
comando tranpose (A) o simplemente A' . 
Definamos la matriz [i\ ] como 
>> A= [ 2 4 - 6 8 ;4 4 8 0;-5 10 3 2; 8 10 12 - 6 ] 
A = 
2 
4 
- 5 
8 
4 
4 
10 
10 
- 6 
8 
3 
12 
>> AT=transpose(A) 
AT -
2 
4 
- 6 
8 
4 
4 
8 
o 
-5 
10 
3 
2 
8 
o 
2 
- 6 
8 
10 
12 
- 6 
T ambién se puede dar la instrucción: 
>> AT=A' 
23 
AT 
2 
4 
- 6 
8 
4 
4 
8 
o 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
- 5 
10 
3 
2 
8 
1 0 
12 
- 6 
Para comprobar ((A]T)T = [A] , calculamos la tra11spuest a de 
[AT] : 
>> AT ' 
a ns 
2 
4 
- 5 
8 
4 
4 
10 
10 
- 6 
8 
3 
12 
J\IIat riz cuadrada 
8 
o 
2 
- 6 
Es una matriz que tie11e el número de colum11as igual al de filas , 
m = n. La matriz se dice que es cuadrada de orden n x n. 
ª 11 ª12 Clin 
ª 21 ª 22 
. . . 
ª 2n (A)= • 
• 
ª u a in . 
a nl a n2 a nj a nn 
La diagonal principal de u11a matriz cuadrada son los eleme11tos 
a11, a22, .. . ann La diago11al secundaria es la formada por los 
elementos a1n, a2_n-t, . . . , ª nr 
24 
Ejemplo: 
2 6 1 
[A]= 6 4 -6 
o -6 8 
TIPOS DE l\1ATRICES 
La diagonal principal está formada por 2,4 ,8 y la diagonal 
secundaria por 1 ,4,0. 
Traza de una inatriz cuadrada es la sumatoria de los eleme11tos 
de la diagonal principal. 
n 
Tr(A) =La,.¡ =a11 + a22 + .. . + ann 
i- 1 
Ejemplo: 
2 6 o 
[B]= 6 4 -6 
o -6 8 
El ·valor de Tr(B)= 2+4+8= 14 
Propiedades: 
1) Tr ([A] ± [B]) = Tr([i\.]) ± Tr([B]) 
2) Tr (A.[A])= A, Tr([A]) , A.: constante 
3) Tr (A.([A]+[B]))= A. Tr ([i\.])+'A Tr ([B]) 
4) Tr ([A][B])= Tr ([B] [.A]) 
La traza se calcula en l\lf i\.TLAB , con el comando trac e (A) • 
25 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo: 
>> B= [2 6 8 ; 6 4 - 6 ; 0 - 6 8 ) 
B = 
2 
6 
o 
6 
4 
- 6 
>> tB=trace (B ) 
t B -
14 
8 
- 6 
8 
Si k=l O, entonces tr(k*B)=10*14=140 
EnMATLAB: 
>> k=lü ; 
>> tr a ce (k* B) 
a ns = 
14 o 
J\!Iatriz diagonal 
Si [A] es una m atriz cuadrada, en donde ªu= O para i -::f. j , 
entonces se dice que [ . .I\.] es una matriz diago11al. La diagonal 
puede conte11er elementos nulos o no. 
ª 11 o o o 
[A]= o ª2'.?. o o o o • o • • 
o o o ann 
26 
TIPOS DE l\1ATRICES 
Matriz identidad 
Es u11a matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal 
principal iguales a 1. También se denomina matriz unidad. Se 
representa generalmente por [I] . 
[1] = 
1 o 
o 1 
o o • 
o 
o 
• 
o 
o 
o 
o o o 1 
Se puede escribir mediante la ecuación: 
l ,i = j 
ª u= {O,i -:t= j 
J\IIatriz escalar 
Si [.A..] es una matriz diagonal, en donde a¡¡ = A, para i = 1, ... , n , 
entonces se dice que [A] es una rnatriz escalar. Por ejemplo: 
Á o o 
[A]= O O 
o o 
Ejemplos en MA TLAB: 
1 2 3 
Crear la matriz [A]= 4 5 6 
6 5 4 
27 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
En MATLAB se escribe: 
>> A= [ l 2 3 ;4 5 6 ; 6 5 4] 
A = 
1 
4 
6 
2 
5 
5 
>> [m,n]=size (A) 
m = 
3 
n = 
3 
3 
6 
4 
La diagonal principal , en forma de \1ector , se obtiene con el 
comando diag. 
>> d=d iag (A) 
d = 
1 
5 
4 
>> n=l ength( d ) 
n = 
3 
El \1ector diagonal es de orden n=3 
28 
TIPOS DE l\1ATRICES 
Ejemplo: 
Para obtener la traza en IVIi\.TLi\.B se usa el comando 
t race (A) 
>> Tra=trac e(A) 
Tra -
10 
Ejemplo: 
Para generar una matriz identidad de orden n=5, se usa el 
comando de Mi\.TLAB eye (N ) 
>> A=eye(5 ) 
A= 
1 
o 
o 
o 
o 
o 
1 
o 
o 
o 
Calculemos la traza: 
>> trace(A ) 
a ns -
5 
o 
o 
1 
o 
o 
o 
o 
o 
1 
o 
29 
o 
o 
o 
o 
1 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo: 
Para ge11erar u11a matriz identidad de orden n=4, usamos los 
comandos ones )1 diag. Pri1nero se crea u11 vector inediante la 
instrucción: 
>> V=ones (4 ,1 ) 
V = 
1 
1 
1 
1 
Luego generamos la matriz diagonal J\!II con el \iector V 
>> MI =diag(V) 
MI 
1 
o 
o 
o 
o 
1 
o 
o 
o 
o 
1 
o 
o 
o 
o 
1 
De manera simplificada, también se puede escribir: 
>> MI =diag(ones(4 ,1 )) 
MI 
1 
o 
o 
o 
o 
1 
o 
o 
o 
o 
1 
o 
o 
o 
o 
1 
30 
TIPOS DE l\1ATRICES 
Ejemplo: 
Para obtener la inatriz [E]=c[I] , co11 el ' ;alor c=lü, se dan las 
instrucciones: 
>> c=lO ; 
>> E=c*eye(5) 
E = 
10 
o 
o 
o 
o 
o 
10 
o 
o 
o 
o 
o 
10 
o 
o 
o 
o 
o 
10 
o 
o 
o 
o 
o 
1 0 
Otra forma es generar un ' ;ector, mediante la i11strucción 
siguiente: 
>> V=10*ones(5 , 1) 
V = 
10 
10 
10 
10 
10 
Luego se genera la matriz con el ' ;ector anterior: 
>> C=d iag(V) 
e = 
10 
o 
o 
o 
o 
o 
10 
o 
o 
o 
o 
o 
10 
o 
o 
o 
o 
o 
10 
o 
31 
o 
o 
o 
o 
1 0 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo: 
Para generar una matriz diagonal CU) 'OS eleme11tos \1an de -3 a 3 
se da la instrucción en Mi\.TLAB: 
>>m=3; 
>> diag( - m:m) 
ans -
-3 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
-2 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
-1 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
1 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
2 
o 
Ejemplo: verificar en Nli\.TLAB [I]=[I]T; [E]=[E]T 
>> I=t ranspose (MI) 
I = 
1 
o 
o 
o 
o 
1 
o 
o 
o 
o 
1 
o 
>> ET=trans pose(E) 
ET -
10 
o 
o 
o 
o 
o 
1 0 
o 
o 
o 
o 
o 
10 
o 
o 
o 
o 
o 
1 
o 
o 
o 
10 
o 
32 
o 
o 
o 
o 
10 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
3 
TIPOS DE l\1ATRICES 
Mat riz simét rica 
Es una matriz cuadrada [A] en que se cumple a .. = a .. para todo 
l) J l 
1 < i , j < n . Toda matriz si1nétrica satisface [A]= [i\]T 
Ejemplo: 
k -2k o 
[K] = -2k 4k -6k 
o -6k 8k 
Su transpuesta es: 
k -2k o 
[K]T = 
-2k 4k -6k 
o -6k 8k 
J\IIatriz antisimétrica 
Es una matriz cuadrada [A] e11 que se cumple a ii = -aj¡· Toda 
matriz antisimétrica satisface [,i\]=-[ . .l\.]T. Los elementos de la 
diagonal principal son ceros. 
Ejemplo: 
o 2k k 
[Ka]= -2k o 6k 
-k -6k o 
Su transpuesta es: 
o -2k -k 
[Ka]T = 2k 0 -6k 
k 6k o 
33 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
o 2k k 
- [Ka ]r = -2k Ü 6k 
-k -6k o 
Se ' ;erifica que [i\.]=-[ . .l\.]T 
1\!Iatriz opuesta 
La inatriz opuesta de una matriz [B] es la que resulta de sustituir 
cada elemento por su inverso aditivo. La opuest a de [B] es - [B]. 
Cada elemento de la matriz opuesta es -bij 
Ejemplo: 
2 6 
[B] = 9 -7 
- 7 8 
-2 - 6 
- [B]= -9 7 
7 -8 
1\!Iatrices ortogonales 
Dos matrices [A] )1 [B] son ortogo11ales entre si cuando se 
verifica: 
( A]r ( B] = ( B]r (A]= ( 1] 
Una matriz cuadrada [A],,,,n se dice que es ortogonal cuando 
multiplicada por su transpuesta da como resultado la matriz 
identidad : 
34 
TIPOS DE l\1ATRICES 
Ejemplo: 
Verificar si las matrices 
1 1 2 -1 
(A)= -1 -2 ; [B)= 1 1 
1 2 o 2 
son ortogonales. 
Calculando primero el producto [i\]T[B] 
2 -1 
[A )T [ B) = l -1 1 1 1 
1 -2 2 
o 2 
T 2(1) + 1(-1) + Ü 
(A) [B)= -1(1)+1(-1) +2(1) 
2(1) + 1(-2) +o 
-1(1) + 1(-2) + 2(2) 
Ahora se calcula el producto [B]T[A]: 
1 o 
o 1 
2(1) + 1(-1) +o 
-1(1) + 1(-1) + 2(1) 
2(1) + 1(-2) +o 
-1(1) + 1(-2) + 2(2) 
35 
1 o 
o 1 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo: 
\ ! erificar que la siguie11te inatriz [O] es ortogonal. 
.j3 1 
[C]= 
1 
2 
.j3 
2 
2 2 
La matriz transpuesta es: 
.j3 1 
2 
1 
2 
.j3 
2 2 
por tanto: 
.j3 1 
2 
1 
2 
J3 
2 2 
.j3 
2 
1 
2 
J\IIatriz triangular 
1 
2 
J3 
2 
Matriz Triangular Superior: es una matriz cuadrada que tiene 
todos los elementos debajo de la diagonal pri11cipal nulos. 
ª1 1 ª1 2 
... 
ªin 
o 
ª 22 ••• ª 2n [A]= 
• • 
• • 
ª u ain . . 
o o o ann 
36 
TIPOS DE l\1ATRICES 
Ejemplo: 
k - 2k k 
[u ]= o 4k - 6k 
o o 8k 
ivfatriz Triangular Inferior: es una matriz cuadrada que tiene 
todos los elementos sobre la diago11al principal iguales a cero. 
ª1 1 o • • • 
ª 21 ª 22 
... [A]= 
ª iJ 
an.l ª n.2 anj 
Ejemplo: 
k o o 
[L] = 2k 4k O 
k 6k 8k 
Matriz in versa 
o 
o 
o 
ann 
Una matriz [A] cuadrada de orden n es una matriz invertible, si 
existe una matriz [B] de orden n , tal que: 
[i\.] [B] = [B] [.A.]=[I] 
[B] se denomina matriz in·versa de [i\.]. Se usa la notación 
[B]= [AJ-1 
37 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Para una matriz diagonal [D], 
d¡ ¡ o o o 
(D] = o d2'2 o o 
o o • o • • d ii * O V i = 1, 2, ... n 
' 
o o o dnn 
su in\iersa [D]-1 se define por: 
Yall o ... o 
o Ya22 ... o [D]-1 = 
• 
• • • . .. . .. 
o o ... Yann 
Propiedades: 
1) ([A]-1)-1 = [A] 
2) ( c[ .. i\])-1 = [A]-1/ e , ci= O 
3) ([A] [B])-1 = [B]-1[.A.]-1 
4) ([,i\]T) -1 = ([_,i\]-1 )T 
Pa.ra el producto de varias matrices: 
38 
Ejemplo: 
1 2 [A]= 
1 1 
2 (A]-1 = -1 
1 -1 
Se ' ;erifica que: 
TIPOS DE l\1ATRICES 
Para obtener la in,1ersa de una matriz e11 MATLAB se usa el 
comandoinv (A) 
Ejemplo: 
Dada la matriz [AJ : 
a) Calcular [AJ-1 
>> A= [ 2 4 6 ;4 4 0;6 2 8 ] 
A= 
2 
4 
6 
4 
4 
2 
>> AI=inv(A) 
6 
o 
8 
39 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
AI -
- 0 . 2000 
0 . 2000 
0 . 1 000 
0 . 125 0 
0 .1250 
- 0 . 1250 
0 . 1500 
- 0 .1500 
0 . 0500 
Para obtener la in\iersa de u11a matriz en IYIATLi\B otra opción 
es dar el coma11do se usa el comando A/\. ( -1 ) 
>> AA ( -1 ) 
ans = 
- 0 . 2000 
0 . 2000 
0 . 1 000 
0 .1250 
0 . 1250 
- 0 . 125 0 
0 .1500 
- 0 . 1500 
0 . 0500 
b) Verificar co11 Mi\TL.AB ([.A]-1)-1 = [A] 
>> (inv(A) )/\.( - 1) 
ans -
2 . 0000 
4 . 0000 
6 . 0000 
4 . 0000 
4 . 0000 
2 . 0000 
6 . 0000 
o 
8 . 0000 
b) Verificar co11 M.ATL.AB que ([.A]T)-1 = ([i\]-l)T 
>> Al =inv(tr anspose(A)) 
Al -
- 0 . 2000 
0 . 1250 
0 . 1500 
0 . 2000 
0 . 1250 
- 0 . 1500 
>> A2=t ranspose( inv(A)) 
0 .1 000 
- 0 . 1250 
0 . 0500 
40 
TIPOS DE l\1ATRICES 
A2 -
- 0 . 200 0 
0 .125 0 
0 . 150 0 
0 . 200 0 
0 .125 0 
- 0 . 150 0 
0 . 100 0 
- 0 .125 0 
0 . 050 0 
1.4 Referencias bibliográficas 
Etter, Delores 11. Solución de problemas de ingeniería con 
J1JATLAB. México, D.F.: 11cGraw-Hill Interamericana, 
1998. 
Hsieh, Y. Teoría elemental de estructuras. Prentice Hall 
Hispa11oamericana, iVIéxico, D.F. , 1970. 
l(iusalaas, .J. Numcrical J1Jcthods in Enginccring with J1JATLAB. 
Cambridge U ni,;ersit); Press, 2009. 
l(olman, B. Algcbra lineal con aplicaciones y ll!fatlab. Prentice 
Hall Hispanoamericana, México, D.F , 1999. 
Laub, i\.. ll!fatrix Analysis for Scicntists and Enginccrs. 
SIAM: Society for Industrial and i\pplied Mathematics. 
Philadelphia, 2004. 
Mathews J , Fink, l(. lVIétodos numéricos con JVIATLAB, Madrid, 
Pre11tice Hall, 2000. 
Uribe, .J. J1Jicrocomputadorcs en ingeniería estructural. Ecoe 
Ediciones, Colo1nbia, 1995. 
Yang, , , . Y et .. .l\.l. Applicd Numerical J1Jethods Using J1JATLAB. 
''Tile)r-Interscience, 2005. 
1.5 Problemas 
1) Calcular la trazri. de [B] 
1 6 o 
[B ]= 6 -3 -6 
o -6 8 
41 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
2) Usando la matriz anterior calcule tr(k[B]) , con k=3. 
3) Dada la matriz [I<:] , determi11e (I<:]T 
k -2k 6k 
[ K ] = -k 4k -6k 
4k -6k 8k 
4) Verificar si la siguiente matriz (O] es ortogonal. 
[C]= 
-13 1 
2 
1 
2 
J3 
2 2 
5) Calcular la in\;ersa de la matriz 
k o o 
[D] = O 4k O 
o o 8k 
42 
Capítulo 2 
Operaciones co11 inatrices 
2.1 Producto de un número real por una n1atriz 
Dada una matriz [.i\.] para e\raluar el producto ,B(A], donde ,8 es 
un escalar, se multiplica cada elemento a ij por /3 . 
ª11 ª12 
... 
ªin 
ª 21 ª 22 
... a2n [A] = • 
• 
ª u ain . 
amn am~ amj amn 
Entonces, 
f3a1 1 f3a1 2 ••• f3a1n 
f3a21 f3a22 ••• f3a~n 
/3 [A] = • • jJaiJ f3ain • • . . 
/Jamn f3am2 /JamJ /Jamn 
P ropiedades: 
1)( ,8+ A- )(A]= ,B[A] + A-[A] 
2) A-([.i\.] + [B])= A-[.i\.]+ A-[B] 
3) A-(/3 [A])= (A/1) [.i\.] 
,8, A: constantes 
Ejemplo: 
Dadas [A] y [B] , ,8=2, A-=1.5, calcular,8[.i\.] + A-(B] 
43 
1 5 
[A] = 3 4 
- 1 o 
2 3 
[B)= 2 7 
o 4 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
2 10 3 4.5 
¡J[A]+ A.[B] = 6 8 + 3 10.5 
-2 o 
6 14.5 
¡J[A] +A.[B]= 9 18.5 
-2 6 
o 6 
2.2 Suma de n1atrices 
La adición de matrices o suma de matrices entre la matriz [.A..]nu:n 
y la matriz [B]""' se puede realizar sólo cuando ambas matrices 
tiene11 la misma dimensión, es decir m =r y n=s. 
El resultado de la adición de dos matrices es otra matriz [S] de 
m'1'n 
la misma dimensión, cuyo elemento s .. = (a .. + b .. ) 
l) l) IJ 
Dadas las matrices , 
44 
OPERACIONES CON MATRICES 
La suma de [A]+[B] es: 
[S]= ª 11 + bl l 
ª 21 + b 21 
ª1 2 + b 12 
ª 22 + b 22 
Análogamente, la resta se expresa: 
[D]=[A]-[B] 
[D] = ª11 - bl 1 
ª21 - b 21 
ª12 - b 12 
ª22 - b 22 
Cualquier inatriz cuadrada se puede expresar como la suma de 
una matriz simétrica y de una antisimétrica. Si [O] es una matriz 
cuadrada, entonces: 
[ C] = [C] + [C]T + [C] - [C]r 
2 2 
En la expresión anterior , el primer término es una matriz simétrica 
y el segundo una matriz antisimétrica. Dado que: 
[C] + [C]T 
2 
[C]- [C]r 
2 
En las expresiones anteriores , el intercambio de j y k no genera 
cambio e11 la pri1nera ecuación, pero si cambia el signo de la 
segunda ecuación. Por ejemplo, si 
45 
[ ] 
C¡ ¡ 
e = 
C'.?. I 
de modo que, 
[C] + [C]T 
2 
y 
[C]- [C]r 
2 
Ejemplo: 
-
-
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
2 
2 
o c12 - c2 1 
2 
c21 - c 12 o 
2 
Dada [O] verificar las expresiones anteriores. 
2 7 (C]= 
4 6 
2 4 [ c ]T = 7 6 
[C] + [C]T 
2 
2 
4 + 7 
2 
7+4 
2 
6 
46 
OPERACIONES CON MATRICES 
[C]-[C]T 
2 
Por tanto, 
o 
4-7 
2 
7-4 
2 
o 
[C] + [C]T [C] - [C]T 
----+ = 
2 2 
2 
5.5 
[C] + [C]T [C]-[C]T 2 7 
----+ = 
2 2 4 6 
Ejemplo: 
5.5 
6 
+ 
o 
-1.5 
1.5 
o 
Dada [O] verificar las expresiones anteriores en MATL.i\.B. 
> > C= [ 2 7 ; 4 6 ] 
e = 
2 7 
4 6 
>> CT=C ' 
CT -
2 4 
7 6 
>> Cl=(C+CT) . /2 
Cl -
2 . 0000 
5 . 5000 
5 . 5000 
6 . 0000 
47 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
>> C2=(C-CT) . /2 
C2 -
o 
- 1 . 5000 
>> Cl+C2 
ans -
2 7 
4 6 
Ejemplo: 
1 .500 0 
o 
a) Calcular [ .I\.] + [B] 
1 5 
[A]= 3 4 
-1 o 
2 3 
[ B] = 2 7 
o 4 
1+ 2 5+3 
[A] + [B]= 3 + 2 4+7 
-1 + 0 0 + 4 
3 8 
[A] + [B]= 5 11 
-1 4 
48 
OPERACIONES CON MATRICES 
b) Calcular [A] - [B] 
1-2 5-3 
[A]-[B]= 3-2 4-7 
-1-0 0-4 
-1 2 
[A]- [ B] = 1 -3 
-1 -4 
Propiedades: 
1) (A]+([B]+[C]) = ((A]+[B])+[C] 
2) (A]+[B] = [B]+(A] 
3) (ü]+[i\] = (A]+ [ü]= [A] 
4) (A] + (-(A]) = (-[,i\]) + [.A.] = (O] 
.5) e( k(A ])=( ck) [.i\] 
6) k([.A.] + (B]) = k[A] + k[B] 
7) (e + k)[A] = c[i\] + k[A] 
Ejemplos en MA TLAB: 
>> A= [2 6 8 ; 6 4 - 6 ; 0 - 6 8] 
A = 
2 
6 
o 
6 
4 
- 6 
8 
- 6 
8 
>> B= [ l 4 8 ;5 4 -5; 0 - 6 9] 
49 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
B -
1 
5 
o 
4 
4 
- 6 
8 
-5 
9 
a) Cálculo de [ .I\.] + [B] 
>> A+B 
a ns -
3 
11 
o 
10 
8 
- 1 2 
16 
-11 
17 
b) Cálculo de [B] + [A] 
>> B+A 
ans -
3 
11 
o 
10 
8 
- 1 2 
16 
-11 
17 
c) Cálculo de [A] - [B] 
>> A-B 
ans -
1 
1 
o 
>> k=lO 
k = 
10 
2 
o 
o 
o 
-1 
-1 
50 
OPERACIONES CON MATRICES 
d) Cálculo de k( (A] + (B]) 
>> k*(A+B ) 
a ns -
30 100 160 
110 80 - 1 10 
o - 120 170 
e) Cálculo de k([B] + [.i\.]) 
>> k* (B +A) 
a ns -
30 100 160 
110 80 - 1 10 
o - 120 170 
>> c=5 
e = 
5 
f) Cálculo de (e + k)[A] 
>> (c+k)*A 
ans -
30 
90 
o 
>> c*A 
90 
60 
- 90 
120 
- 90 
1 20 
51 
a ns -
10 
30 
o 
>> k*A 
a ns -
20 
60 
o 
30 
20 
- 30 
60 
40 
- 60 
>> c *A+k*A 
a ns -
30 
90 
o 
90 
60 
- 9 0 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
40 
-30 
40 
80 
- 60 
80 
1 20 
- 90 
1 20 
2.3 l\!Iultiplicación de matrices 
Antes de definir la multiplicación de matrices, co11sidérese el 
producto inter110 de dos ·vectores de tamaño n . 
El \iector fila [p] tiene n elementos: 
El \ iector colu1nna [c] tiene n elementos: 
52 
OPERACIONES CON MATRICES 
El producto interno [p] [c] se define 
n [P][ e]= L P ¡C¡ = P 1C1 + P 2C2 + · ··+ P¡C; 
i=l 
Dada u11a matriz [i\.] de di1nensió11 {m x n) y una inatriz [B] de 
dimensión {nxr) , la multiplicación queda definida por: 
[A]mxn [ B]rrc,. = [ C]mxr 
donde el elemento c .. esta dado por:lj 
n 
e = ~ a kb1q· = a 1b1 . + a.?b,, . + ···+a b . lJ ~ 1 1 J 1 _ -J in nJ 
k=l 
Es decir , cada fila de [.!\.] se multiplica por cada columna de [B]. 
El número de columnas de [A] debe ser igual al número de filas 
de [B]. 
ª1 1 ll¡ 2 ll¡ 3 bl 1 b l2 
(A)= ª 21 ª22 ª 23 [B) = b 21 b 22 
ª31 ª32 ª33 b3 1 b 32 
La multiplicación esta dada por: 
ª11 ª 12 ª13 bl 1 b12 
[ c ]3x2 = ª21 ª22 a,,~ -~ h21 h22 
ª31 ª32 ª~~ ~~ b31 h~? ~-
( ª1lbl1 + ª12b21 + ª 13b31) ( ª 11b12 + ª12b22 + ª13b32 ) 
[ C]3x2 = (a21b11 + ª22b21 + ª23b31 ) (a21b12 + ª22b22 + ª 23b32 ) 
(a31h11 + ª32h21 + G33h31 ) (a31h12 + ª32h22 + G33h32 ) 
53 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Cada elemento c iJ es el producto interno de la i-ésima fila de [i\.] 
con la j-ésima columna de [B]. Por ejemplo, el eleme11to c81 es 
bl 1 
C31 = [ a3 1 a3'.?. a33 ] b'.?.1 
b31 
Ejemplo: dadas [A] y [B] , calcular [ .. i\][B] . 
1 5 
[A ]= 3 4 
-1 o 
2 3 [B] = 
4 7 
1(2) + 5(4) 
[A][B]= 3(2) + 4(4) 
-1(2) + O( 4) 
22 38 
[A][B] = 22 37 
-2 -3 
1(3) + 5(7) 
3(3) + 4(7) 
-1(3) + 0(7) 
54 
OPERACIONES CON MATRICES 
Ejemplo: 
\ !erificar ([A][B])T = [B]T[A]T 
T 22 22 - 2 
([A][ B]) = 38 37 -3 
2 4 1 
3 7 5 
3 -1 
4 o 
Propiedades: 
1) ([.i\] [B])[C] = [.i\]([B][C]) 
2) [A]([B]+[C]) = [A][B]+ [.A.][C] 
3) -l[A]([B]+[C]) = -l[A][B]+ -l[A] [O] 
4) [A][B] -:F [B][.i\] 
5) [A][I] = [I][A] = [.i\] 
6) [A][ü] = [ü][A]= [O] 
Ejemplos en .1\JA TLAB: 
>> A= [ 2 6 8 ; 6 4 - 6 ; 0 - 6 8] 
A = 
2 
6 
o 
6 
4 
- 6 
8 
- 6 
8 
55 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
>> B= [ l 4 8 ;5 4 -5; 0 - 6 9] 
B = 
1 
5 
o 
4 
4 
- 6 
8 
-5 
9 
>> C= [2 3 5 ;3 8 6 ;1 -2 5] 
e = 
2 
3 
1 
3 
8 
-2 
5 
6 
5 
a) Cálculo con MATLAB de [.A][B] 
>> A*B 
a ns -
32 
26 
- 30 
- 16 
76 
- 7 2 
58 
-2 6 
102 
b) Cálculo con NIATL .. i\B de [B] [A] 
>> B*A 
a ns -
26 
34 
- 36 
- 26 
76 
- 78 
4 8 
-24 
108 
c) \ !erificación con NI.ATL.AB de [A]([B]+[C])= [A][B]+ [A][C] 
>> A*(B+C) 
56 
OPERACIONES CON MATRICES 
a ns -
62 22 1 44 
44 138 -2 
- 40 - 136 106 
>> A*B+A*C 
a ns -
62 22 1 44 
44 138 -2 
- 40 - 136 106 
d) Verificación con Mi\TLi\B de ([i\][B])T = [B]T[.A]T 
>> tra nspos e (A*B) 
a n s -
32 
- 16 
58 
26 
76 
- 26 
>> (B ' )*(A' ) 
a n s -
32 
- 16 
58 
26 
76 
- 26 
- 30 
- 72 
102 
- 30 
- 72 
102 
d) Verificación con M.ATL.AB de ([.A][B])-1 = [BJ-1[.AJ-1 
>> i nv( A* B) 
57 
a n s -
0 . 024 3 
- 0 . 0077 
0 . 00 17 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
- 0 . 01 05 
0 . 02 07 
0 . 0115 
- 0 . 01 65 
0 . 0097 
0 . 011 8 
>> i nv( B)*in v(A) 
a n s -
0 . 024 3 
- 0 . 0077 
0 . 00 17 
- 0 . 01 05 
0 . 02 07 
0 . 0115 
- 0 . 01 65 
0 . 0097 
0 . 011 8 
2.4 P art ición de n1atrices 
En muchas aplicaciones , es conveniente subdi,;idir una matriz 
en sub-matrices para reducir cálculos. P ara una matriz [i\.] la 
subdi\;isión o partición de matrices se puede realizar de muchas 
formas . 
Donde 
Á¡ = 
_J 
58 
OPERACIONES CON MATRICES 
También la matriz [A] se puede particionar 
ª1 1 ª12 ª 13 ª14 
A= 
ª 21 ª 22 ª 23 ª 24 =[~ 1 ~2 ~3 ~4 ] 
G31 a~,, ª 33 G34 ~-
ª 41 ª 42 ª 43 ª 44 
Donde ahora: 
ª 11 ª12 
A 11 = 
ª 21 
A 12 = 
ª 22 
ª31 ª~') ~-
ª 41 ª42 
ª 13 ª 14 
~3 = ª')~ -~ 
ª33 
~4 = ª 24 
ª34 
G 43 ª 44 
El producto de dos matrices [A] )i [B] también se puede expresar 
como el producto de sub-matrices. Dada la matriz [.A.] ; se puede 
subdi·vidir de la forma siguiente 
59 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
ª11 ª 12 ª13 Ái1 Ái2 [A ] = ª 21 ª 22 a,.,~ .-.> A21 A22 -··-··-·-·-·--·-··-·--·~·--·-··--' 
' 
ª31 ª32 ' a,., ,.., 1 ' 1 jj 
' 
donde: 
A11 = ª11 ª12 A12 = ª13 
ª 21 ª 22 a1~ _ _, 
~1 = [ ª 31 ª~') ] _,_ A')') = [ ª~~ ] 
-- jj 
La matriz [B] se puede particionar de la for1na 
bl 1 b12 
B11 [B ] = b21 b 22 
B21 -·-·-·-··-··-··-··-
b31 b~,., _,_ 
donde: 
De tal manera que el producto [A][B] queda 
60 
OPERACIONES CON MATRICES 
Ejemplo: dadas [A] )i [B] calcular [A][B] 
2 5 6 
(A]= -6 7 1 
3 4 2 
-1 3 
( B] = 2 6 
o 4 
La matriz [A] se puede particionar de la forma 
2 5 
-6 7 
6 
La matriz [B] se puede particionar de la forma 
donde: 
-1 3 
6 
2 5 -1 3 
-6 7 2 6 
6 o 24 ~1B21 = 1 (O 4] = O 4 
8 36 
20 24 
61 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Reemplazando los anteriores \1alores se obtiene finalmente: 
Ejemplo: 
8 60 
20 28 
-------~-~-~----
5 41 
Resol\1er el problema anterior con M ATLi\.B 
>> A= [2 5 6 ;-6 7 1; 3 4 2 ] 
A = 
2 
- 6 
3 
5 
7 
4 
6 
1 
2 
>> B= [-1 3 ;2 6 ; 0 4] 
B -
- 1 3 
2 6 
o 4 
>> All =A(1 : 2,1 : 2) ; 
>> A12=A (1 : 2, 3) ; 
>> A21=A (3 ,1:2 ) ; 
>> A22=A (3 , 3) ; 
62 
OPERACIONES CON MATRICES 
>> Bll=B( 1 :2,: ); 
>> B21=B (3, : ); 
>> AB=[Al l* Bll +A12*B21 ; A21*Bl l+A22*B2 1] 
AB -
8 60 
2 0 28 
5 41 
2.5 Referencias bibliográficas 
Etter, Delores l\!I . Solución de problemas de ingeniería con 
111ATLAB. México, D.F.: McGraw-Hill Interamericana, 
cl998. 
l(iusalaas, .J. Numcrical J11ethods in Engincering with lVIA TLAB. 
Cambridge Uni\iersity Press, 2009. 
I\:olman, B. A lgebra lineal con aplicaciones y lllf atlab . Prentice 
Hall Hispanoamericana, l\1éxico, D.F ., 1999. 
Laub, i\. lllf atrix Analysis far Scicntists and Enginecrs. 
SIAM: Society for Industrial and _.t\.pplied Mathematics. 
Philadelphia, 2004. 
Mathews J , Finl(, I<:. Nlétodos numéricos con 11.fATLAB, lv'Iadrid, 
Prentice Hall, 2000. 
Hsieh, Y Teoría elemental de estructuras. l\!Iéxico, D.F.: Prentice 
Hall Hispanoamericana, 1970. 
Uribe, .J. 11.ficrocomputadorcs en ingeniería estructural. Ecoe 
Ediciones, Colo1nbia, 1995. 
Yang, ,,-. Y et. _.t\.L Applied Numcrical J11ethods Using J11ATLAB. 
''Tile)1-Interscience, 2005. 
2. 6 Problemas 
1) Dadas las matrices [AJ )1 (B] calcular: 
63 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
a) (A]+[B] 
b) 2(A] + 3[B] 
c) 4[.I\.] - 3[B] 
1 2 
[A]= 3 4 
- 1 o 
- 1 3 
[E]= 2 6 
o 4 
2) Dadas las matrices [A] )' (B] calcular: 
a) (B]- [i-\.] 
b) 4(A] - 3[B] 
c) 5([A] + [B]) 
2 5 6 
[A]= -6 7 1 
3 4 2 
-5 2 7 
[E]= -3 4 -8 
2 -9 -7 
3) Dadas las matrices [B] )1 (O] calcular: 
a) (B](O] 
b) [B] [O]T 
c) [O](B]T 
d) [O] [B l T [O] 
5 1 7 
[E]= -3 4 -8 
2 -9 -7 
2 5 o 
[e]= 6 1 1 
3 4 2 
4) Dadas [.!\.] y [B] calcular [.l\.][B] , usando partición de matrices. 
1 5 4 
[A]= -6 5 1 
3 4 2 
1 4 
[E]= 2 6 
o 2 
64 
Capítulo 3 
Deter1ninantes e i11versió11 de inatrices 
3.1 Determinante de una matriz 
Si [A] es una matriz cuadrada de orden n , el determina11te de 
[A] se denota por IA y se define como el escalar o polinomio que 
resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz 
de acuerdo a una serie de restricciones. El determinante de una 
matriz de orden 2, de defi11e como: 
Para definir el determinante de una matriz de orden mayor que 2 es 
necesario introducir algunos conceptos. Dada una matriz cuadrada 
[A] de orden n , definimos el me11or , lVI .. como el determinante de IJ 
la sub1natriz de orden {n-1) x {n-1) que se obtiene eli1ni11ando 
la i -csima fila y la j-csima columna de la matriz [i\.] de orden n. 
El cofactor Aij asociado al menor l\!Iid en una matriz [i\.] se define 
como: 
Por ejemplo: 
ª11 ª12 ª13 
[A]= 
ª21 ª22 a,.,~ 
-" 
ª31 a~,., 
"-
ª33 
65 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
El menor NI21 se obtiene eliminando fila 2 )1 la columna 1 de [i\]: 
M21 = 
por tanto, 
Ejemplo: 
El menorNI11 de la siguiente matriz se obtiene al calcular el 
determi11a11te de la matriz resultante de eliminar la fila 1 )1 la 
columna l . 
2 5 6 
[A]= -6 7 1 
3 4 2 
1 7 
M ,,1 = 
- 4 
66 
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
El cofactor asociado se calcula como 
Ái1 (- l)1+1M11 
Ái1 (-1)2 (10) = 10 
3.2 Expansión de Laplace 
Dada una matriz cuadrada [.A.] de orden n se define su determinante 
como la suma del producto de los elementos de una fila (o colu1n11a) 
cualquiera de la inatriz , por sus correspondientes cofactores. De 
acuerdo a la expansión de Laplace, el deter1ni11ante de una matriz 
[A] cuadrada de orden n , está definido por: 
n Al L aikÁ¡k ' i = 1 .. . n 
Ó k=I 
n Al L a19A19 , j=l .. . n 
k=I 
Para la matriz [.A.] si se selecciona la columna j-2 , entonces: 
ª 11 ª12 ª 13 ~ 
_, 
Al= ª 21 a,., ,, ª23 = L ª k2A k2 
k=I 
ª 31 ª32 ª33 
Para la expansión por cofactores, se cumple que la suma de los 
productos de cualquier elemento a .. de una fila (o colum11a) de una IJ 
matriz [i\.] , multiplicado por el cofactor de otra fila (o colum11a) 
de [i\.] es cero. Esto es 
67 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
n 
L ª ikAjk =O , i * j 
k=l 
n 
L ª ¡qAki =O , j * i 
k=l 
Se define la matriz cofact or [A ] como: 
A 11 A 1'.?. • • • A1n 
[A]= Á 21 A 2'.?. • • • Ázn • • Au ~n • • • • 
- -
~1 ~2 ~j ~n 
Ejemplo: 
Calcular la matr iz cofactor [A] dada la siguiente matriz: 
1 
[A]= 1 
o 
Solución. 
5 2 
1 7 
-3 4 
Procedem os a calcular los valores de los cofactores Aü 
A - (-l )(l+l) M - (-l ) (Z) 1 
11 - 11 - -3 
1 
68 
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
A')1 = (-l) C'.:!+1) M ,.,1 = (-1)(3) 5 
- - -3 
~' = (-l)C'.:!+:i) M ,,? = (-l)C4) l 
-- -- o 
~~ = (-l)c:i+3) M , ,., = (-l)cs) 1 
_ _, -- o 
2 
=-26 
4 
5 
=3 
- 3 
2 
=33 
7 
Reemplazando en la ecuación para [A ] : 
25 -4 -3 
[ AJ= - 26 4 3 
33 - 5 - 4 
Ejemplo: 
Calcular el determinante usando la expansión de Laplacc de la 
matriz [.!\.] que se da a continuación: 
2 4 -11 
[A] = -1 3 -16 
2 o 21 
69 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Solución. 
Si se selecciona la 2ª columna, e11to11ces j=2. 
3 
Al = L ª k2Ak2 = ª12Ái2 + ª22~2 + ª32~2 
k=l 
-1 6 ( '> '>) 2 +3(-1) _+_ 
21 2 
2 4 -11 
A= -1 3 -1 6 =-4(-21+32)+3(42+22)=148 
2 o 21 
Si se selecciona la 1 :i. columna, ahora j=l. 
3 
Al = L ª k1Ak1 = ª11~1 + ª21~1 + ª31A31 
k=l 
3 Al= 2(-l)CJ+l) -16 4 - 1(- 1)(2+1) -11 4 + 2(-1)(3+1) 
o 21 o 21 3 
Al= 2( 63) + (84) + 2(-64+33)=148 
Verificación de cálculo en MA T LAB: 
>> A= [2 4 -11;-1 3 - 1 6;2 O 21 ) 
70 
- 11 
- 16 
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
A -
2 
- 1 
2 
>> det(A) 
ans = 
14 8 
P ropiedades. 
4 
3 
o 
-11 
-1 6 
2 1 
1) Si todos los elementos de una fila (o una columna) de una 
matriz cuadrada [A] son cero, entonces 
Al=ü 
Por ejemplo, si la columna j=2, es cero: 
ª 11 o ª13 
Al= ª 21 
o a.,~ 
-~ 
• • • • •• • • • 
ª ni o a n3 
Ejemplo: 
o 4 3 
[A]= O 3 1 
o 5 6 
• • • aln 
• • • aln 
=Ü 
• • • • • • 
••• a nn 
71 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Expandiendo la primera fila: 
IA = O+ 4(-1)1+~ o 1 + 3(-1)1+3 o 
o 6 o 
2) Si la fila i o la colum11a j de [A] se inultiplican por u11a constante 
lv, entonces el i1ue''º determi11ante es A Al . 
Ejemplo: 
-16 (') ") 2,1,, -11 + 3(-1) -+~ +o 
21 2,1,, 21 
2,1,, 4 -11 
BI= -A, 3 -16 =-4,1,,(-21+32) + 3,1,,(42+22)=,1,,(192-44) 
2,1,, o 21 
Ejemplo de cálculo en 1\d"A TLAB: para el caso a11terior usar 
A-=2 
>> A= [2 4 -11;-1 3 - 16 ;2 O 21 ] 
A = 
2 
- 1 
2 
4 
3 
o 
>> l ambda=2 ; 
-11 
-16 
21 
72 
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
>> A( :,l ) =l ambda*A( :, 1) 
A = 
4 
-2 
4 
>> det(A) 
a ns = 
2 96 
4 
3 
o 
-11 
-16 
21 
3) Si dos filas (o columnas) de una matriz se i11tercambian, el 
determinante de la matriz cambia de signo. 
Ejemplo: 
Para la matriz [i\.] intercambiar la primera)' segunda columna. 
2 4 -11 
[A]= -1 3 -16 
2 o 21 
la i1ue·va Inatriz es: 
4 2 - 11 
[A]= 3 - 1 -16 
o 2 21 
- 1 Al= 4(- l)O+l) 
2 
' 
IA = 148 
- 16 2 
+ 3(-1)(2+1) 
21 2 
Al= 4(-21+ 32)-3( 42 + 22) = - 148 
73 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
4) Si dos filas (o columnas) de una matriz[.!\.] son iguales , entonces 
Al=ü 
Ejemplo: 
2 2 2 
[A]= 2 2 2 
3 o 6 
2 Al= 2(-1)0+2) 
3 
2 (" '>) 2 + 2(-1) -+-
6 3 
Al= -2(6) + 2(6) =O 
4) Si una fila (o columna ) de una matriz [.!\.] es múltiplo de otra , 
ent onces Al = O 
Ejemplo: 
Para la matriz dada [A] , la tercer a fila 
2 6 3 
[A]= 2 1 O 
4 12 6 
6 Al= 2(-l)(J+I) 
12 
3 (" ") 2 3 + 1(-1) _+_ 
6 4 6 
Al= -2(0) + 1(0) = O 
74 
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
.5) El determinante de la transpuesta de una matriz (A] es igual 
al deter1ninante de la matriz. ( A = AT ) 
Ejemplo: 
2 2 3 
[ A]T = 2 2 o 
2 2 6 
2 AT = 3(-1)(1+3) 2 
2 
2 + o+ 6(-1)(3+3) 2 
2 2 2 
Ejemplo de cálculo en 1\IIA TLAB: 
>> A= [2 4 3 ;2 2 O ; 2 2 6 ) 
A = 
2 
2 
2 
>> det(A) 
ans = 
- 24 
4 
2 
2 
3 
o 
6 
>> det( trans pose(A)) 
ans = 
- 24 
75 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
6) El determinante del producto de dos matrices (A] JI (B] es igual 
al producto de sus determina11tes. ( IAB = IA BI = IB IA ) 
Ejemplo: 
[A]= 2 5 
-6 7 
Al= 14 + 30 = 44 
- 1 3 [B ] = 
2 6 
BI= -6-6 = - 12 
AB = 192 - 720 = -528 
Al B = 44(-12) = -528 
Ejemplo de cálculo en l\1A TLAB: 
>> A= [2 4; 6 8 ]; 
>> B= [-2 5 ; 0 7 ] ; 
>> det (A) *det(B ) 
76 
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
a ns = 
112 
>> det(A* B) 
a ns = 
112 
>> det (B*A) 
a ns = 
112 
3. 3 Determinante por condensación pivotal 
En este método se deben convertir a cero todos los eleme11tos 
de una fila (o columna) , excepto u110 Tnediante transformaciones 
elementales de filas y columnas. 
La transformación elemental de una fila se represe11tara por 
F~F+F J J l 
lo cual represe11ta "la fila j se reemplaza por la f ila j mas la fila 
. }} 
i 
La fórmula para hacer ceros una columna es: 
* 
a 
F = F - JP F 
J J a P 
op 
F . es la fila origi11al, a es el pi\iote )1 F la fila donde se ubica el J op p 
pivote 
77 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo: 
Calcule por conde11sación pi,;otal el determinante de [B] : 
2 1 o -3 
BI= 1 -2 4 5 3 o 1 4 
-3 2 4 1 
En este caso el pi\rote será el elemento b12, por facilidad 
Paso 1: 
F2 ---+ F2 - b22F; 
F2 ---+ F2 + 2F; 
Los ele1nentos de la fila 2 queda11: 
b =1+2(2)=5 
:21 
b22=-2+2(1)=0 
b23= 4+2(0)=4 
b:24= 5+ 2(-3)=-1 
2 
5 
3 
1 
o 
o 
o 
4 
1 
-3 
-1 
4 
-3 2 4 1 
Ahora, se reduce a cero el ele1nento b 42, mediante la 
transformación: 
F4 ---+ F4 - ª42F; 
F4 ---+ F4 - 2F; 
78 
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
2 1 o -3 
Al= 
5 o 4 - 1 
3 o 1 4 
-6 o 3 7 
Efectuando la expansión de la segunda colum11a, se obtiene: 
5 4 - 1 
Al= (-1)1+2 3 1 4 
-6 3 7 
Al=-(35-96-6-60-84)= 220 
3.4 Inversión usando la matriz adjunta 
Se define la matriz adjunta como la transpuesta de la matriz 
cofactor [.AJ 
Ai1 ~¡ • • • An1 
A4f ([A])= [.J]r = Ái2 A12 ••• 4i2 
• • • -
• • 4ii • • • 
-
Ain A1n AJn 4in 
La matriz In\1ersa [i\]-1 se puede calcular usando cofactores 
mediante: 
79 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
- - - -
A11 ~l ••• 4i1 
-
Ái2 ~2 • • • ~2 
• • • 
An1 • • • • • • 
[ A ]-1 = A1n ~n Ajn 4in 
A 
Ejemplo: 
Calcular la in\iersa de la siguie11te matriz 
1 5 2 
[A]= 1 1 7 
o -3 4 
Primero calculemosel determinante, usando expansión por 
cofactores: 
3 
Al L ªk1.Ak1 = ª11.A; 1 + ª21.A21 + ª3 1~1 
k =l 
7 5 
- 1 
4 -3 
3 Al L ak1Ak1 = 1(25)- 1(26) = - 1 
k =l 
80 
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
La matriz [AJ se calcltló en el ejemplo pasado: 
25 -4 -3 
[A] = -26 4 3 
33 -5 -4 
25 -4 -3 T 
A4f ([A])= [A]r = -26 4 3 
33 -5 -4 
25 -26 33 
A4f ([A])= [A ]r = -4 
-3 
Usando la ecuación: 
25 -26 33 
-4 4 -5 
[ A]-1 = -3 3 -4 
- 1 
-25 26 -33 
[ A]-1 = 4 -4 5 
3 -3 4 
4 -5 
3 -4 
81 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo: repetir el cálculo usa11do l\IIATLAB 
>> A= [ l 5 2 ;1 1 7 ; 0 -3 4 ] 
A = 
1 
1 
o 
5 
1 
-3 
a) Cálculo de Al 
>> det(A) 
a ns -
- 1 
b) Cálculo de [ A]-1 
>> i nv(A) 
a ns = 
- 25 
4 
3 
26 
-4 
-3 
2 
7 
4 
-33 
5 
4 
3.5 l\!létodo de Gauss-Jordan 
El l\1étodo de Gauss-.Jordan se basa en operaciones fundamentales 
en filas de matrices. Las operaciones so11: 
1. J\!l ultiplicación de una fila (columna) por un escalar distinto de 
cero. 
2. Intercambio de dos renglones (o columnas). 
82 
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
3. Reemplazo de la fila j por la suma de la fila j más 'A ·veces la 
fila k donde 'A es cualquier escalar 
El procedimiento general es partir de una matriz ampliada [A l I ] 
y mediante operaciones fundamentales , obtener la inversa 
Se deben efectuar los pasos siguientes para k= 1, .. _, n ( n: orden de 
la matriz [.i\]) 
i) Dividir la fila k por ak.Jc . 
ii) Hacer ceros sobre la columna k mediante operaciones 
fundame11ta les 
Ejemplo: 
-4 7 8 
[A]= 10 -6 -8 
-5 7 6 
El primer paso es obtener la matriz aumentada: 
-4 7 8 
[A l I] = 10 -6 -8 
-5 7 6 
1 o o 
o 1 o 
o o 1 
El primer pi,;ote será el elemento a11 =-4 
F; ~ F; 1 
ª11 
F; ~ F; 1 
-4 
83 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
1 
[A]= 10 
-5 
-7 
4 
-6 
7 
-2 
-8 
6 
- 1 o o 
4 
o 1 o 
o o 1 
La siguiente operación fu11dame11tal es 
F2 ----+ F2 - F¡ ( ª 21 ) 
F2 ----+ F2 - F¡ ( 1 O) 
1 -7 -2 
4 
[A]= o 23 12 2 
-5 7 6 
- 1 
4 
5 
2 
o 
La operación el la fila 3 es: 
F3 ----+ F3 - F¡ ( ª31) 
F3 ----+ F3 -F¡ (-5) 
1 -7 -2 
4 
[A]= o 23 12 2 
o -7 -4 
4 
- 1 
4 
5 
2 
-5 
4 
o o 
1 o 
o 1 
o o 
1 o 
o 1 
84 
DETERMINANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
23 
Ahora el pi,;ot e es el elemento ª·)·' = -
_ ¿ 2 
F., ~ F,, 1 
- - a.,., 
F., ~ F,, 2 
23 - -
1 -7 - 2 - 1 o o 
4 4 
[A]= o 1 24 5 2 o 23 23 23 
o -7 - 4 - 5 o 1 
4 4 
Ahora se debe hacer cero el ele1nento a12 
F¡ ~ F¡ - F2 ( ª 12 ) 
- 7 F¡ ~ F¡ -F2 
4 
1 o - 4 
23 
(A]= o 1 24 23 
o -7 - 4 
4 
3 7 o 
23 46 
5 2 o 
23 23 
- 5 o 1 
4 
85 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Procedemos a hacer cero el elemento a3:2 
F3 ----) F3 - F2 ( ª32 ) 
-7 R ----) F~ - F? 
~ ~ - 4 
1 o -4 
23 
[A]= o 1 24 23 
o o 50 
23 
3 7 o 
23 46 
5 2 o 
23 23 
-20 7 1 
23 46 
50 
Ahora el pÍ\iOte es el eleme11to a33= -23 
1 o -4 3 7 o 
23 23 46 
[A]= o 1 24 5 2 o 23 23 23 
o o 1 2 -7 /100 -23 
5 50 
86 
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
Ahora se debe hacer cero el elemento a13 
F; ~F'¡-F3(a13 ) 
-4 F;~F;-F3 
23 
Ahora se debe hacer cero el elemento ª u 
F2 ~ F2 - F3 ( ª 23 ) 
24 F,., ~F? -F~ 
- - :> 23 
87 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Por tanto, 
1 7 -2 
-
5 50 25 
( A]-1 = - 1 4 12 
5 25 25 
2 -7 -23 
5 100 50 
Fi11almente se puede comprobar: 
[A][A]-1 =[1] 
1 7 -2 
-4 7 8 5 50 25 1 o o 
10 -6 -4 - 1 4 12 o 1 o --
5 25 25 
-5 7 6 2 -7 -23 o o 1 
5 100 50 
88 
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
En el cuadro 3.1 se prese11ta un programa para la in\1ersión de 
matrices por el Niétodo de Gauss-.Jorda11. 
% Inversión de matrices 
% 
% Metodo de Gauss Jordan % 
% 
close all; clear all 
% Definición de la matriz [A] 
A=[l 5 2; 1 1 7 ;O -3 4 ] ¡ 
[p, k] =size (A) ; 
I=eye(p); 
% Definición de la matriz aumentada [M]=[A I] 
M = [A I] ¡ 
for i=l:p 
M ( i' : ) =M ( i' : ) /M ( i I i) 
f or 
if 
j=l:p 
• • l. ~ =J 
M(j, :) - M(j, :)-M(i, :)*M(j,i) 
end 
end 
end 
% Matriz Inversa MI 
MI= M(:,p+l:p+k) 
Cuadro 3. 1: P rograma en l\IATLAB del l\Iétodo de Gauss-Jordan. 
89 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo: 
Calcular la in\;er sa de la siguiente matriz 
1 5 2 
[A]= 1 1 7 
o - 3 4 
S olución: 
M = 
M = 
1 
1 
5 
1 
2 
7 
1 
o 
o 
1 
o 
o 
1 . 0000 o o - 25 . 0000 26 . 0000 - 33 . 0000 
M -
o 
1 
o 
o 
MI -
- 25 
4 
3 
>> A*MI 
o 1 . 0000 - 1 . 2500 0 . 2500 - 0 . ?500 o 
o o 1 . 0000 3 . 0000 - 3 . 0000 4 . 0000 
- 3 
o 
1 
o 
26 
-4 
- 3 
4 
o 
o 
1 
- 33 
5 
4 
o 
-25 
4 
3 
90 
o 
2 6 
- 4 
- 3 
1 
- 33 
5 
4 
a ns -
1 
o 
o 
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
o 
1 
o 
o 
o 
1 
3.6 Inversa de una n1atriz por medio de 
partición 
Para una Inatriz [A] de orden nxn, su partición se puede expresar 
de la forma: 
[ Ai1 ],x,. 
[ A11lsxr 
[ A12],xs 
[ A 12 ]sxr 
La ecuación [i\] [AJ-1= [I], se reemplaza por [.i\] [B]-1= [I]. La partición 
de [B] debe ser igual a la de la inatriz [A]. Por tanto: 
[ All l1xr [ Ai2],xs [ B1 1]1xr [ B12 ]1xs 
[ A21]sx,. [ A 12 ]sxr [ B21 lsxr [ B22 lsxr 
[ l1 ]1xr [O ],xs 
[O lsxr [ 12 lsxr 
La ecuación anterior se puede expresar corno 
91 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
De la ecuación tercera ecuación se obtiene 
Reemplazando en la primera ecuación se obtiene: 
Factorizando, 
De la ecuación segunda se puede despejar: 
Reemplazando e11 la cuarta se obtie11e: 
De expresión anterior se obtiene: 
Con esta matriz se determina [B12]: 
92 
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
Finalmente la in,;ersa de [i\.] se expresa 
Ejemplo: 
Calcular la in,;ersa de la matriz [i\.] usando partición 
1 -3 1 
(A]= -2 4 2 
3 -7 1 
Efect uando la siguiente partición 
2 -6 1 
(A]= -2 4 2 
3 -7 1 
Las sub-matrices se definen por: 
2 -6 1 
[A ]- · (A J-11 - -2 4 ' 12 - 2 
Calculando el producto: 
-7 
-14 
93 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
U san do la ecuación para [ B11 l • 
2 -6 
4 
-2 -1 [B11l = 4 
-8 18 
[B11l = -~ 1 
-2 ~ 
3 
6 
-7 
-14 
Empleando la ecuación para [B21l: 
[B21 l = [-3 7] -~ 
[B21 l =[-~ ,Xl 
1 
,X 
1 
~ 
Ahora se debe calcular [ A 11 l-l : 
T [A l-1 = 1 4 2 - -2 -X 
11 
-2 3 1 - 1 -~ 
94 
- 1 
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
Calculamos el producto: 
- 7] 
-5 
= [3 - 7] = [-1] 
-2 
[B22 ] = {[1] - [-1]}-1 =[X] 
Ahora se calcula [B12 ] : 
-2 1 Ji 
2 [X]= 1 
La inversa se obtie11e como: 
-X 
B 11 B12 [A ] - 1 = 
-2 
B 21 B 22 
- X 
Ejemplo: 
-2 - X 
- 1 - X 
1 Ji 
X 1 
X X 
1 
2 
Como ejemplo didáctico del manejo de partición de matrices en 
Mi\TLAB , se repetirá el procedimiento a11terior para invertir la 
matriz 
1 5 2 
[A]= 1 1 7 
o -3 4 
95 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Solución: 
>> A= [ l 5 2 ;1 1 7 ; O - 3 4 ] 
A = 
1 
1 
o 
5 
1 
- 3 
>> All=A(1 : 2 ,1 : 2) 
All -
1 5 
1 1 
>> A12=A(1 : 2 , 3) 
A12 -
2 
7 
>> A21=A(3 ,1:2 ) 
A2 1 -
o - 3 
>> A22=A(3 , 3) 
A2 2 -
4 
2 
7 
4 
96 
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
>> 8 ll=inv(All-A12* i nv(A22)*A21) 
8 11 = 
- 25 26 
4 -4 
>> 821=-inv(A22)*A21*811 
8 21 -
3 - 3 
>> 822=inv(A22 - A21*inv(All)*A12) 
82 2 -
4 
Cálculo de (B12 ] = -( A11]-
1 
( A12 ]( B22 ] 
>> 8 12=-inv(Al l)*A12*82 2 
8 12 = 
- 335 
97 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
>> AI=[Bll B12;B21 822 ] 
AI -
- 25 
4 
3 
26 
-4 
-3 
-33 
5 
4 
3. 7 Referencias bibliográficas 
l(iusalaas, J. Numcrical J1!Jcthods in Enginccring with NIATLAB. 
Cambridge U ni,;ersit); Press, 2009. 
l(olman, B . A lgcbra lineal con aplicaciones y ll!f atlab. Prentice 
Hall Hispanoamericana, México, D.F , 1999. 
Laub, i\.. ll!fatrix Analysis for Scicntists and Enginccrs. 
SIAM: Society for Industrial and i\.pplied Niathematics. 
Philadelphia, 2004. 
Mathews .J , Fink, l(. J\!fétodos numéricos con J1!JATLAB, Madrid, 
Pre11tice Hall, 2000. 
Hsieh, Y. Teoría elemental de estructuras. Prentice Hall 
Hispanoamericana, Niéxico, D F. , 1970. 
Uribe, J. J1!ficrocomputadorcs en ingeniería estructural. Ecoe 
Ediciones, Colombia, 1995 
'''atl<ins, D. Fundamcntals of J1!fatrix Gomputations_,,.iley 
Interscience, New York, 2002. 
Yang, ''T· Y et. al. Applicd JVumcrical ll!fcthods Using NIATLAB. 
''Tile)1-Interscience, 2005. 
3.8 Problemas 
1) Calcular la matriz cofactor [A ] dada la siguiente matriz 
98 
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
2 7 2 
(A]= 1 1 7 
4 -3 o 
2) Calcular el determinante usando la expansión de Laplace de la 
matriz [A] que se da a co11tinuación: 
2 8 - 11 
(A]= -1 6 -16 
2 o 21 
3) Calcule por condensación pi,;otal el determina11te de [.A..] : 
2 1 o -6 
1 
3 
-3 
-2 
o 
2 
4 
1 
4 
10 
8 
2 
4) Calcular la inversa de la siguiente matriz usando la matriz 
adju11ta. 
4 5 2 
(A]= 4 1 7 
o -3 4 
5) Use el programa en MATLAB del Método de Gauss-Jordan del 
cuadro 3.1 , para calcular la inversa de la siguiente matriz: 
-4 7 8 
(A]= 10 -6 -8 
-5 7 6 
6) \ Terificar el resultado del problema anterior usando MATL.A..B. 
99 
Capítulo 4 
Solución de sistemas de ecuacio11es 
lineales 
Dentro de las muchas aplicaciones del algebra matricial en 
ingeniería, esta la solución de sistemas de ecuaciones lineales para 
problemas encontrados en diferentes disciplinas como análisis de 
estructuras, circuitos eléctricos, flujos en redes , conducción de 
calor , distribución de recursos , etc. 
4.1 Forma matricial de las ecuaciones 
Un sistema de n ecuaciones lineales simultáneas con 11 incógnitas 
de la for1na 
ª 11X1 + ª 12X2 + '· '+ ª 111Xn = b l 
ª21X1 + ª22X2 + .. . + a2nXn = b2 
• 
• 
• 
se puede escribir en forma matricial corno 
ª 11 ª 12 • • • a ln XI bl 
ª21 ª22 
• • • 
ª2n X,, b ,, 
• • • • • • 
• • • • • • 
• • • • • • 
ªni an2 • • • a nn x n bn 
Las ecuaciones anteriores se pueden expresar como: 
(A](x]=(b] 
101 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Donde, 
ª 11 
ª 21 [A]= • 
• 
• 
X [x]= .2 
• 
• 
bl 
[b ] = b,., -• 
• 
• 
bn 
ª1 2 • • • ªin 
ª22 
• • • 
ª2n 
• • 
• • • 
• • • 
• • • 
La solución del sistema de ecuaciones [A] [ x] = [ b] en MATLi\.B 
se calcula por medio de la instrucción A\ b 
4.2 Solución por inversión de n1atrices 
Un sistema de n ecuaciones li11eales simultá11eas se puede resol\ier 
usando la inversa de la matriz de coeficientes [.l\.] , si IA =t:. O. 
Dado el sistema: 
(A](x]=(b] 
pre-multiplicando ambos lados de la ecuación por [A]-1 
( A]-1 (A] ( x] = ( A]-1 ( b] 
[l ][x]=[A]-1 [b ] 
102 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
El ' ;ector de incógnitas se calcula e11tonces por: 
Ejemplo: 
Solucionar el sistema de ecuaciones siguiente usando in,;ersión 
x1 + 5x2 + X 3 = 2 
4x1 + 2x3 = 6 
Las ecuaciones anteriores se pueden escribir: 
1 5 1 X1 2 
Ü 4 2 X2 6 
Ü 1 1 X~ 4 
~ 
Primero, calculamos A : 
4 Al= (1)2 
1 
Al= 2 
2 
= 1(4-2) 
1 
La matriz cofactor [A ] se calcula como 
2 o o 
[AJ = -4 1 -1 
6 -2 4 
103 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Luego se calcula la matriz Ad_j ([A]) : 
2 0 0 T 
A4f ([A])= [A]r = -4 1 - 1 
6 -2 4 
2 4 6 
A4f ([A])= O 1 -2 
o 1 4 
Finalmente la in,;ersa se calcula por: 
2 -4 6 
o 1 -2 
( A]-1 = o - 1 4 
2 
1 -2 3 
( A]-1 = O 0.5 - 1 
o -0.5 2 
104 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
La solución del sistema es: 
1 -2 3 2 
[x]= O 0.5 -1 6 
o -0.5 2 4 
2 
[ x] = -1 
5 
Ejemplo: 
Verificar la solución anterior en 11ATLAB. 
>> A= [ l 5 1 ; 0 4 2;0 1 1] 
A = 
1 
o 
o 
5 
4 
1 
>> b= [ 2 6 4] ' 
b = 
2 
6 
4 
>> % solución 
>> x=A\ b 
1 
2 
1 
105 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
X = 
2 
- 1 
5 
4.3 Regla de Cran1er 
El Niétodo de Cramer para resol\ier un sistema de ecuaciones, 
hace uso del desarrollo de determi11antes para obtener la in\iersa 
de una matriz. 
( x] = (A ]-1 ( b] 
Recordando que: 
Entonces, 
{x} = Aq/([A])[b] 
A 
Dado que: 
Á ¡¡ ~] • • • 
[A]r = Ái2 A~,, • • • 
• • 
• • 
• 
A1n Á zn A Jn 
41 
-
42 
-
4 i 
-
4n 
106 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
Entonces la solución del sistema se obtiene como: 
X1 Ái l A21 ••• An1 b¡ 
X2 1 Á¡2 Á22 ••• ~2 b2 
IA 
• • • 
Ani • • • • • • • • • • • 
xn Áin ~n AJn ~ bn 
Efectuando el producto de la derecha se obtie11e 
X¡ b1Ái1 + b2A21 + bnAnl 
X') 1 b1A12 + b'2~2 + bnAn2 
-
• • • IA I • • • • • • • • • • • • • • • 
xn b1Áin + b2A2n + bnAnn 
Despejando los \1alor es de x i 
X 
- b1A11 + b2~1 + .. . + bn~1 
, 1 - IA 
X = b1Ái2 + b'2A22 + · · · + bnAn2 
2 IA 
X i = . ... .. . ....... ... .... , .. . .. , . , 
X = b1Áin + b2~n + · · · + bn~n 
n Al 
El nu1nerador de cada ecuación corresponde a la expansión de un 
determinant e por cofactores , la cual se puede escribir como 
b¡ ª12 ª 13 '' ' ª in 
b2 ª 22 ª 23 ''' ª 2n 
• • • • • • • • • • • • • • • 
bn anl an3 • • • bn 
x= Al 1 
107 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
ªi i b ¡ ª13 • • • ªin 
ª 2i b 2 ª?~ ••• ª 2n -~ 
• • • • • • • • • • • • • • • 
ª ni b n a n3 • • • a nn 
X 2 = IA 
• • • 
• • • 
• • • • • • • • • • • • • • • 
ª n i a n2 a n3 • • • b n 
X = Al n 
Ejemplo: 
Resol\ier por la regla de Cramer el sistema [A] [ x] = [ b] 
2 
[A]= - 1 
4 1 
3 -2 
2 -3 5 
Solución: 
x= i 
- 11 
- 16 
21 
2 
- 1 
2 
4 1 
3 -2 
-3 5 
4 1 
3 -2 
-3 5 
- 11 
[b ]= - 16 
21 
= 38 = 2 
19 
108 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
2 - 11 1 
- 1 - 16 -2 
2 21 5 
-76 
=-4 X = --2 19 19 
2 4 - 11 
- 1 3 - 16 
2 -3 21 
=!.2.= 1 X~= 
~ 19 19 
4. 4 l\!létodo de Eliminación de Gauss 
Otro procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones lineales 
que también se basa en transformaciones fundamentales sobre filas 
de una matriz , es el clásico Método de Eliminación de Gauss. El 
procedimiento general para la solución de sistemas de ecuaciones , 
consta básica1nente de dos pasos 
1) Reducir la matriz de coeficientes de u11 sistema dado de 
ecuaciones a una matriz triangular superior usando las 
transformaciones fundamenta les 
2) Hallar la solución del sistema de ecuaciones resol\iiendo 
el sistema triangular superior obte11ido en el paso anterior. 
Después de la primera etapa se obtiene una matriz aumentada 
de la forma: 
Ái1 Ái2 • • • Áin b; 
~1 ~2 • • • ~nb; [A b'] = • • • 
• • • 
• • • 
An1 ~2 • • • ~nb~ 
109 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
La ultima ecuación, da como resultado: 
b' 
X = n 
n 4in 
Se puede determina xk de la k-ésima ecuación: 
Akkxk + A k,k+1Xk+1 + · · · + Aknxn = b~ 
La expresió11 anterior se puede escribir como: 
n 
b; - L A 1qx1 ' k=n-1 n-2 ... 1 ' ' ' J=k+I 
Ejemplo: 
Resol,ier el siste1na de ecuaciones: 
2x1 - 3x2 - x 3 + 2x4 = 15 
-x1 + x 2 + 2x3 - 2x4 = - 13 
X1 - X?. + X3 + X 4 = 4 
3x1 + 2x2 - x3 - x4 = 3 
Las ecuaciones a11teriores se puede11 escribir: 
2 -3 - 1 2 x1 15 
- 1 1 2 -2 X ,, - 13-
1 - 1 1 1 X~ 
~ 
4 
3 2 - 1 - 1 X4 3 
110 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
El cual tiene la for1na 
[A][x]=[b] 
Primero se obtiene la matriz aumentada: 
[A 1 b] 
2 -3 - 1 2 15 
-1 1 2 -2 - 13 
1 - 1 1 1 4 
3 2 - 1 - 1 3 
La primera operación es con·vertir a la unidad el elemento a
11 
F; ~F; 1 
ª 11 
F; ~F; 1 
2 
1 
-3 - 1 
1 15 
2 2 2 
- 1 1 2 -2 - 13 
1 - 1 1 1 4 
3 2 - 1 - 1 3 
La siguiente operación fundamental es 
F 2 ~ F 2 - F; ( ª21 ) 
F2 ~ F2 -F; (- 1) 
11 1 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
1 - 3 - 1 1 15 -
2 2 2 
o 
- 1 
- 3 
- 1 - 11 
2 2 2 
1 - 1 1 1 4 
3 2 - 1 - 1 3 
Las operaciones en las fila 3 y 4 son: 
F3 ~ F3 - F; ( ª 31) 
F3 ~F3 - F;(l) 
1 - 3 - 1 1 
2 2 
o - 1 3 - 1 
2 2 
o 1 3 o 
2 2 
3 2 - 1 - 1 
F4 ~ F4 - F; ( ª 41) 
F4 ~F4 - F;(3) 
1 - 3 - 1 1 
2 2 
o - 1 3 - 1 
2 2 
o 1 3 o 
2 2 
o 13 1 - 4 
2 2 
15 
-
2 
- 11 
2 
- 7 
2 
3 
15 
-
2 
- 11 
2 
-7 
2 
-39 
2 
112 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
Ahora en la diagonal principal se convierte a uno el elemento 
ª22: 
1 
1 -3 - 1 1 15 
2 2 2 
o 1 -3 2 11 
o 1 3 o -7 
2 2 2 
o 13 1 -4 -39 
2 2 2 
Ahora se deben 11acer cero los elementos ª si y a4-i 
F3 ~ F3 - 1\ ( ª 32 ) 
1 R~F,-F:1 -~ ~ 2 
1 -3 - 1 1 
2 2 
o 1 -3 2 
o o 3 - 1 
o 13 1 -4 
2 2 
15 
2 
11 
-9 
-39 
2 
113 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
La operación para la fila 4 es: 
F4 ----+ F4 - F¡ ( ª41) 
F4 ----+ F4 -F¡ (3) 
1 -3 - 1 1 
2 2 
o 1 -3 2 
o o 3 - 1 
o o 20 - 17 
15 
2 
11 
-9 
-91 
Ahora se reduce a la unidad el elemento a33 
F3----+ F3 
1 
ª33 
F3 ----+ F3 
1 
3 
1 -3 - 1 1 15 
2 2 2 
o 1 -3 2 11 
o o 1 - 1 -3 
3 
o o 20 - 17 -91 
Fi11almente se debe hacer cero el ele1nento a43 
F4 ----+ F4 - F3 ( ª43) 
F4 ----+ F4 -F3 (20) 
11 4 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
1 -3 - 1 1 15 
2 2 2 
o 1 -3 2 11 
o o 1 - 1 -3 
3 
o o o -31 -3 1 
3 
Ahora la solución se obtiene usando sustitución h acia atrás . 
Debemos resol,;er el sistema: 
1 ~ - 1 1 15 -~ X1 - -2 2 2 
o 1 -3 2 X ,, 11 
-
o o 1 - 1 X~ -3 - ~ ~ ~ 
o o o - 31 X 4 -3 1 - ~ ~ 
En forma de ecuaciones se tiene: 
x2 - 3x3 + 2x4 = 11 
X -1. x =-3 3 3 4 
- Jtx4 = -31 
Al resolver usando sustitución hacia a trás , obtenemos: 
X =3 4 
115 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ahora resolviendo la tercera ecuación: 
X -1.x =-3 3 3 4 
X~ =-2 
~ 
Se resuelve la segunda ecuación usando los valores de x8 y x4 : 
X2 - 3(-2) + 2(3) = 11 
Finalmente resolvemos la primera ecuación: 
2x 3 1 X + 2 _ 15 1 -"IX'.?. -2 3 X4 - 2 
2x1 -f(-1)- t (-2) + 2(3) = 1f 
X =2 1 
Ejemplo: 
Resol,ier el siste1na de ecuaciones: 
X¡ - 2x2 + X 3 = 1 
X1 +X,, -X~=-1 
- ~ 
x1 - 5x2 + 3x3 = 3 
11 6 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
La matriz aumentada es: 
[A 1 b] 
1 -2 
1 1 
1 -5 
1 1 
- 1 - 1 
3 3 
El rango de [A] es 2 )1 el r ango de la matriz au1nentada ta1nbién 
es 2, por tanto no existe una solución única del sistema. Se puede 
obtener la solución para dos de las incógnitas en términos de una 
tercera incógnita. 
Para con,1ertir en cero los elementos a
21 
)' a
31 
las operaciones 
son: 
F2 ---+ F2 - F¡ ( ª 21 ) 
F2 ---+ F2 -F¡ (-1) 
1 -2 1 1 
o 3 -2 -2 
1 -5 3 3 
F3---+ F3 -F¡ ( ª31) 
F3 --..+F3 -F¡(l ) 
1 -2 1 1 
o 3 -2 -2 
o -3 2 2 
117 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
En la diagonal principal se con\1ierte a uno el eleme11to a2:2: 
1 -2 
o 1 
1 
-2 
1 
-2 
3 3 
o -3 2 2 
Ahora se deben hacer cero el elemento a32 : 
F3 ~ F3 - F¡ ( ª 32 ) 
F3 ~ F3 -F¡ (-3) 
1 -2 
o 1 
o o 
1 
-2 
3 
o 
1 
-2 
3 
o 
Una solución para x1 y x2 en térmi11os de x8 se puede obte11er 
como: 
X -2 
2 2 
X~=--
3 ~ 3 
118 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
De las ecuaciones anteriores se obtiene: 
2 2 
X - -
3 3 3 
Sustituyendo la solución para x2 se obtiene x1 
2 2 
X - -
3 3 3 
X = 2 (;)x~ -~ 
1 ~ :> 3 
x= 1 
1 1 
X~- -
3 :> 3 
-X~ + 1 
:> 
En el Cuadro 4.1 se presenta el programa en :rvIATL.A..B para la 
solución de un sistema de ecuaciones por el Método de Eliminación 
de Gauss. 
119 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
% Método de Eliminación de Gauss % 
% 
% Solución del sistema de ecuaciones lineales: 
% 
% [A] {x}={b} 
% 
% Definición de la matriz [A] y vector [b] 
A=[15 -5 0¡-5 15 -5¡0 -5 20] 
b= [2 O O O] I 
% Definición de la matriz aumentada [M]=[A b] 
M = [A b]¡ 
p = size(M,1); 
for i=l:p 
for j=i+l:p 
M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i)/M(i,i) 
end 
end 
for i=p:-1:1 
M(i,:) = M(i,:)/M(i,i) 
for j=i-1:-1:1 
M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i) 
end 
end 
% Solución {x} 
x=M(:,p+l) 
Cuadro 4.1: P rograma en l\IA T LAB del l\Iétodo de E liminación de Gauss. 
120 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
Ejemplo: 
Utilizar el programa anterior de MATLi\B , para resolver el 
sistema 
-4 7 8 X1 1 
10 -6 -8 X,, Ü 
-5 7 6 X~ Ü 
Solución: 
M = 
M -
X = 
-4 
10 
- 5 
1 . 0000 
o 
o 
0 . 2000 
- 0 . 2000 
0 .4 000 
7 
- 6 
7 
.) 
8 
- 8 
6 
o 
1 . 0000 
o 
1 
o 
o 
o 
o 
1 . 0000 
Solución para múltiples vect ores. 
0 . 200 0 
- 0 . 2000 
0 .4 000 
En ocasiones se debe resol,;er ecuaciones de la forma [A][X] = [b] 
para diferentes \;ectores [b]. En general se tienen m \iectores 
definidos por [ b Ji , ... , [ b ],
11 
y sus soluciones definidas por [ x J1 , ... , 
[x ],11 • El conjunto de múltiples ecuaciones se puede escribir como: 
121 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
[A][X ] = [B] 
Donde, 
[X] y [B ] so11 matrices de orden ( nxm) cuyas columnas 
corresponden a los \;ectores solución y los vectores constantes. 
En el Cuadro 4.2 se presenta el programa en MATL.AB para la 
solución de u11 siste1na de ecuaciones con múltiples \;ectores, por 
el Método de Eliminación de Gauss. 
Ejemplo: 
Solucionar el sistema [A][X ] = [B] 
Donde, 
6 - 4 1 
[A] = - 4 6 -4 
1 - 4 
- 14 22 
[B]= 36 - 18 
6 7 
6 
122 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
La matriz aumentada es: 
(A 1 B] 
6 -4 1 - 14 22 
-4 6 -4 36 - 18 
1 -4 6 6 7 
Las primeras operaciones son 
6 -4 1 - 14 22 
o 10 10 80 10 - -
3 3 3 3 
o 10 35 25 10 - -
3 6 3 3 
Para hacer cero el elemento a32 
6 -4 1 - 14 22 
o 10 10 80 10 
3 3 3 3 
o o 5 35 o 
2 
123 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Para obtener el primer , rector solución {x}1, usamos sustitución 
hacia a trás: 
S X~ = 35 2 ~ 
De la segunda ecuación: 
10 
3 
X -2 
10 
3 
80 
X~ =­
~ 3 
X') = 2_ 80 + l O 14 = 22 
- 10 3 3 
Finalmente, 
1 
X1 = -[14 + 4(22)-14]=10 6 
Se repite para el segundo vector solución { x} 2: 
X~ = 0 
~ 
124 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
De la segunda ecuación: 
10 
3 
X -2 
10 10 
X=---
3 3 3 
3 10 
X = - - + O =-1 2 10 3 
Fi11almente, de la pri1nera ecuación: 
1 
X1 = -[22 + 4(- 1)] = 3 6 
% Método de Eliminación de Gauss % 
% 
% Solución del sistema de ecuaciones lineales: 
% Vectores múltiples 
% 
% 
% [A] [X]= [B] 
% 
% 
close all; clear all 
% Definición de [A] , [B] 
A=[-4 7 8; 10 -6 -8;-5 7 6] 
B=[5 O 0;10 O 0;15 O O]' 
125 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
% Definición de la matriz aumentada [M]=[A B] 
M = [A B] ¡ 
[p,k]=size(b); 
for i=l:p 
for j=i+l:p 
end 
end 
M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i)/M(i,i) 
for i=p:-1:1 
M(i,:) = M(i,:)/M(i,i) 
for j=i-1:-1:1 
M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i) 
endend 
% Solución [X] 
X= M(:,p+l:p+k) 
Cuadro 4.2: P rograma del l\Iétoclo de Eliminación de Gauss vectores 
múlt iples. 
126 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
Ejemplo: 
Utilizar el programa anterior de MATLi\B , para resolver el 
sistema 
-4 7 8 
10 -6 -8 
-5 7 
Solución: 
M = 
M -
X -
-4 
10 
- 5 
1 . 000 0 
o 
o 
0 . 200 0 
- 0 . 200 0 
0 . 400 0 
6 
7 
-6 
7 
X 1 1 10 
X2 o o 
X3 o o 
8 
-8 
6 
o 
1. 0 000 
o 
2 . 000 0 
-2 . 000 0 
4 . 000 0 
1 
o 
o 
1 0 
o 
o 
o 0 . 2 00 0 2.00 00 
o -0.2 00 0 -2.00 00 
1 . 00 00 0.4 00 0 4.00 00 
4.5 l\!létodo de Gauss-Jordan 
El Método de Gauss-.Jordan es simila.r al Método de Eliminación 
de Gauss , pero primero hace el pi,;ote igual a 1, y luego hace ceros 
en toda la columna del pi,;ote. En el Ivlétodo de Gauss-.Jordan 
primero se hace el pivote igual a uno, después se hacen cero los 
127 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
elementos arriba y abajo del pivote. En la etapa de eliminación, se 
crea una matriz identidad. De esa forma , la solución del sistema de 
ecuaciones queda en la últi1na columna de la matriz aumentada 
Ejemplo: 
Resol\;er el sistema de ecuaciones 
-4 7 8 X 1 1 
10 -6 -8 X ., 0 
-5 7 6 X3 0 
El primer paso es obtener la m atriz au1nentada: 
-4 7 8 1 
[A b]= 10 -6 -4 o 
-5 7 6 o 
El primer pi,;ote será el elemento a11 =-4 
F; ~F; 1 
ª11 
F; ~F; 1 
-4 
1 -X -2 -~ 
[A 1 b] = 10 -6 -8 O 
-5 7 6 o 
128 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
La siguiente operación fundarnental es: 
F2 ~ F2 - F¡ ( ª 21 ) 
F2 ~ F2 - F¡ ( 1 O) 
1 
[Alb]= O 
-5 
-% -2 
2rz 12 
7 6 
La operación el la fila 3 es: 
F3 ~ F3 - F¡ ( ª31) 
F3 ~ F3 - F¡ (-5) 
-~ 
Yi 
o 
1 -% -2 -~ 
[A I b] = O 2_% 12 Yi 
o -% -4 -% 
23 
Ahora el pi,;ote es el elemento a
22
= -
2 
F2 ~F2 1 
a,.,., 
F2 ~F2 2 23 
129 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
1 -% 
[A l b]= O 1 
o -% 
-2 -~ 
2Yz3 ri3 
-4 -% 
Ahora se debe 11acer cero el elemento a12 
F¡ ~ F¡ - F2 ( ª12) 
-7 
F¡ ~F¡-F2 4 
1 o 
[A b]= O 1 
o -% 
_3/ 
/23 
%3 
-% 
Ahora se debe hacer cero el elemento a32 
F3 ~ F3 - F2 ( ª32) 
-7 R ~F~ -F? 
~ ~ - 4 
1 o _4/ /23 
[A l b]= O 1 
o o 
24/ 
/23 
50/ 
/23 
_3/ 
/23 
%3 
_20/ 
/23 
130 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
50 
Ahora el pi\iOte es el eleme11to a33= -23 
F3 ----) F3 1 
ª33 
F~ ----) F~ 23 
~ ~ 50 
1 
[A lb]= O 
o o 1 
Ahora se debe hacer cero el elemento a13 
F; ----) F; - F3 ( ª1 3) 
-4 F¡ ----) F¡ - F3 
23 
1 o 
(Alb]= O 1 
o o 
o 
Ahora se debe hacer cero el elemento ª u 
F2 ----) F2 - F3 ( ª 23 ) 
24 F7 ----) F7 - F~ 
- - ~ 23 
131 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
1 o o Ys 
[1 1 b *] = o 1 o -Ys 
o o 1 Ys 
La solución por tanto es: 
En el cuadro 4. 3 se presenta el programa en MATLAB para la 
solución de un sistema de ecuaciones por el IVIétodo de Gauss-
J ordan. 
132 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
% Método de Gauss Jordan % 
% 
% Solución del sistema de ecuaciones lineales: 
% 
% [A] {x}={b} 
% 
close all; clear all 
% Def inicion de la matriz [A] y vector [b] 
A= [-4 7 8; 10 
b= [ 1 0 Ü] I ; 
-6 -a·-s I 7 6] ; 
% Matriz aumentada [M]=[A b] 
M = [A b]; 
p = size(M,1); 
for i=l:p 
M ( i I : ) =M ( i I : ) /M ( i I i) 
for j=l:p 
if i-=j 
M(j,:) = M(j,:)-M(i,:)*M(j,i) 
end 
end 
end 
% Solución {x} 
X= M(:,p+l) 
Cuadro 4.3: P rograma en l\.IA TLAB del l\Iétodo G auss-Jordan. 
133 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo: 
La siguiente es la solució11 paso a paso del problema a11terior. 
M -
M -
M -
M -
M -
1 . 0000 
1 0 . 0000 
- 5 . 0000 
1 . 0000 
o 
- 5 . 0000 
1 . 0000 
o 
o 
1 . 0000 
o 
o 
1 . 0000 
o 
o 
- 1 . 750 0 
- 6 . 0000 
7 . 0000 
- 1 . 7500 
11 . 5000 
7 . 0000 
- 1 . 7500 
11 . 5000 
- 1 . 7500 
- 1 . 7500 
1 . 0000 
- 1 . 7500 
o 
1 . 0000 
- 1 . 750 0 
- 2 . 0000 
- 8 . 0000 
6 . 0000 
- 2 . 0000 
12 . 0000 
6 . 0000 
- 2 . 0000 
12 . 0000 
- 4 . 0000 
- 2 . 0000 
1 . 0435 
- 4 . 0000 
- 0 . 173 9 
1 . 0435 
- 4 . 0000 
134 
- 0 . 2500 
o 
o 
- 0 . 2500 
2 . 5000 
o 
- 0 . 2500 
2 . 5000 
- 1 . 2500 
- 0 . 2500 
0 . 2 174 
- 1 . 2500 
0 . 1304 
0 . 2 174 
- 1 . 2500 
M -
M -
M -
M -
X = 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
1 . 0000 
o 
o 
1 . 0000 
o 
o 
1 . 0000 
o 
o 
1 .000 0 
o 
o 
0 . 200 0 
- 0 . 2000 
0 .4 000 
o 
1 .000 0 
o 
o 
1 . 0000 
o 
o 
1 . 0000 
o 
o 
1 . 0000 
o 
- 0 .173 9 
1 .0435 
- 2 . 173 9 
- 0 . 173 9 
1 . 0435 
1 . 0000 
o 
1 . 0435 
1 .000 0 
o 
o 
1 . 0000 
0 .1304 
0 .2174 
- 0 . 8696 
0 . 1304 
0 . 2174 
0 .4 000 
0 . 2000 
0 . 2174 
0 .400 0 
0 .200 0 
- 0 . 2000 
0 . 400 0 
El programa del cuadro 4. 3 (JVIétodo de Gauss-.Jordan) se puede 
extender para solucionar sistemas con múltiples vectores, el cual 
se presenta en el cuadro 4.4. 
135 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
% Metodo de Gauss Jordan % 
% 
% Solucion del sistema de ecuaciones lineales: 
% 
% [A] [X]= [B] 
% 
close all; clear all 
% Definición de las matrices [A], [B] 
A=[-4 7 8; 10 -6 -8;-5 7 6]; 
B=[lO O O¡O 5 O]'; 
% Matriz aumentada [M]=[A B] 
M = [A B] ; 
[p, k] =size (B) ; 
for i=l:p 
M ( i, : ) =M ( i, : ) /M ( i, i) 
f or 
if 
end 
end 
end 
j=l:p 
• • l. - =J 
M(j, :) = 
% Solución [X] 
X= M(:,p+l:p+k) 
M(j, :)-M(i, :)*M(j,i) 
Cuadro 4.4: Programa del l\Iétodo de Gauss-Jordan: vectores múlt iples. 
136 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
Ejemplo: 
Utilizar el programa anterior de MATLi\B , para resol,1er el 
sistema 
-4 7 8 X1 
10 -6 -8 X ,, 
-5 7 6 X~ 
>> 
M = 
M -
-4 
10 
- 5 
7 
- 6 
7 
.) 
8 
- 8 
6 
o 5 
10 10 
o o 
o 
10 
o 
5 
10 
o 
o 1.4 000 1 . 0000 
o 
o 
o 
1 . 0000 
o 
o 1 . 6000 
1. 0000 - 0 . 7000 
X -
1 . 400 0 
1 . 6000 
- 0 . 7000 
2 . 400 0 
0 . 6000 
1 . 3000 
4. 6 l\llétodo de Cholesky 
2 . 40 00 
0 . 6000 
1 . 3000 
En ciertas aplicaciones de ingeniería para la solución de grandes 
sistemas de ecuaciones, se presentan algunas propiedades de 
matrices , que son de gra11 utilidad en la solució11 del problema. 
Es el caso de ecuacio11es encontradas e11 I11geniería Estructural. 
Este tipo especial de matrices son de banda, reales, simétricas y 
definida-positivas. 
137 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Si una matriz [i\]n::n es simétrica, y definida-positiva, se puede 
descomponer de la forma: 
[A]=(G](G]r 
Donde: 
[ G ]nxn: IVIatriz triangular inferior 
[ G]:n : IVIatriz triangular superior 
Por tanto la solución del sistema [A] [X]= [ B] se simplifica 
computacionalmente re-escribiendo: 
La anterior ecuació11 se puede resol,;er por un par de ecuaciones 
expresadas de la forma: 
(G](Y]=(B] 
Ejemplo: 
Resol,;er el sistema 
[A][X]=[B] 
Donde, 
1 -1 -1 2 X¡ 2 
(A)= -1 5 -3 o [X)= X2 [B)= -4 
1 -3 3 o X3 4 
2 o o 7 X4 1 
138 
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
a) El primer paso es obtener la matriz [G] : 
ª ') 1 g - - - -1 21 - 1 -
ª~1 
g31 = { = 1 
0-(2)(1)-(1)(-1) 
g43 = 1 = -1 
139 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
g44=~7-(1 + 1 +4)= 1 
La matriz que se obtiene es: 
(G]= 
1 
- 1 
o 
2 
1 - 1 
o o 
o o 
1 o 
2 1 - 1 1 
b) A continuación se debe resol,;er: 
(G] [Y]=[B] 
La matriz aumentada es: 
1 o o o 2 
- 1 2 o o -4 
1 - 1 1 o 4