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Material de introdução ao estudo do Cálculo I Partes 1, 2 e 3 O objetivo deste material é o de propiciar uma revisão dos conteúdos considerados básicos para o desenvolvimento de um curso de Cálculo Gil Marcos Jess 01/02/2011 2 CONJUNTOS 1. Conceito – pertinência Como o próprio nome sugere, conjunto dá idéia de uma lista ou coleção a qual pode ser de pessoas, animais, objetos, números, etc. Exemplos: a) conjunto dos alunos da PUC; b) conjunto dos signos do zodíaco; c) conjunto dos animais mamíferos; d) conjunto dos números primos. Chama-se de elemento a cada um dos objetos que formam o conjunto. Esses são indicados por letras minúsculas. Os conjuntos, por sua vez são indicados por letras maiúsculas. Um elemento pode ou não pertencer a um determinado conjunto. Quando um elemento pertence utilizamos o símbolo e quando ele não pertence utilizamos o símbolo . Exemplos: x A (lê-se: x pertence a A) x B (lê-se: x não pertence a B) 2. Representação de um conjunto Um conjunto pode ser representado de três maneiras: por extensão, por compreensão e através dos diagramas de Ven. 1ª. Por extensão Nesse caso, os elementos são enumerados, sendo escritos entre chaves e separados por vírgula. Por exemplo: Conjunto dos dias da semana: A = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado} Conjunto dos números ímpares positivos: B = {1; 3; 5; 7; ...} Conjunto dos números inteiros positivos menores que 130: C = {1; 2; 3; ...; 128; 129} 2ª. Por compreensão Nesse caso, o conjunto é representado por uma propriedade que caracteriza seus elementos de modo que se tenha certeza se um dado elemento pertence ou não ao conjunto. Exemplos: a) A = {x | x IN, x < 5} (lê-se: x tal que x pertence ao conjunto dos números naturais e x é menor que cinco) b) B = {b / b é vogal} (lê-se: b tal que b é uma vogal) 3. Conjuntos Especiais Conjunto vazio: Como o próprio nome sugere, conjunto vazio é aquele que não tem elementos. Exemplos: 3 a) A = {a / a é cinema da cidade de Curitiba} b) B = {x IN | x < 0} Indicamos o conjunto vazio por { } ou . Conjunto Unitário: É o conjunto que tem um único elemento. Conjunto finito: É o conjunto que tem um número limitado de elementos. Conjunto Infinito: É o conjunto com número ilimitado de elementos. Conjunto Universo: É um conjunto referencial que contém todos os elementos de uma situação particular, geralmente é representado pela letra U. Exercícios: 1) Sendo IN = {0; 1; 2; 3; ...}, dar, por extensão, os seguintes conjuntos: a) A = {x | x = 2k, k IN} b) B = {x IN / x < 7} 2) Represente os conjuntos abaixo por compreensão: a) A = {0; 4; 8; 12; ...} b) B = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} 4. Subconjuntos Dados dois conjuntos, A e B, dizemos que A é um subconjunto de B se cada elemento de A for também elemento de B. Indicamos essa relação por: A B A está contido em B ou B A B contém A Exemplo: O conjunto A = {0; 2; 3} é um subconjunto de B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, pois cada elemento de A é também elemento de B. Indicamos: {0; 2; 3} {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} ou A B Observações: Adota-se que, para todo conjunto A, A. Se A B e B A, então A = B. Escreve-se A B (A não está contido em B) se A não for subconjunto de B. Os símbolos e são utilizados para relacionar conjunto com conjunto enquanto que e relaciona elemento com conjunto. 4 5. Conjuntos numéricos Conjunto dos números naturais (N) N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}; N* = {1; 2; 3; 4; ...} Conjunto dos números inteiros (Z) Z = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...} Z* = {..., -3; -2; -1; 1; 2; 3; ...} “conjunto dos inteiros excluído o zero” Z+ = {0; 1; 2; 3; ...} “conjunto dos inteiros não negativos” Z - = {...; -3; -2; -1; 0} “conjunto dos inteiros não positivos” Conjunto dos números racionais (Q) Além dos números inteiros, incluem-se nesse conjunto as frações. De um modo geral podemos definir esse conjunto como: Q = 0b,b,a, b a x|x Temos que lembrar como representar números decimais na forma de fração. 1,5 = 10 15 = 2 3 -1,75 = 100 175 - = 4 7 - 2,25 = 100 225 = 4 9 Esses exemplos se referem aos números decimais exatos. 0,666...= 3 2 = 9 6 1,8333...= 6 11 0,857142857142...= 7 6 Esses exemplos se referem às dizimas periódicas ou infinitas. Conjunto dos números irracionais (Ir) São números com infinitas casas decimais que não formam período, isto é, não podem ser escritos na forma b a . São exemplos de números irracionais as raízes não exatas. Exemplos: 2 , 3 , 5 , , ... Conjunto dos números reais (IR) Assim são números reais: Os números naturais; Os números racionais; Os números inteiros; Os números irracionais. Não fazem parte dos números reais: n a , com a < 0 e n sendo par. Exemplos: 4 , 25 , 4 16 , ... IR = Q Ir 5 6. Relação de ordem no conjunto IR Dados dois números quaisquer a e b, somente uma das três opções é possível: a = b ou a > b ou a < b A desigualdade representada por a < b significa que o número real a é menor que o número real b. Geometricamente, se a < b, então a está situado à esquerda de b na reta real. A desigualdade representada por a > b significa que o número real a é maior que o número real b. Geometricamente, se a > b, então a está situado à direita de b na reta real. Podemos escrever também a b (lê-se: a é menor ou igual a b) ou a b (lê- se: a é maior ou igual a b). Um número real c está entre a e b se, e somente se, a < c e c < b. Podemos representar isso com uma dupla desigualdade: a < c < b. 7. Intervalos Denominamos intervalo a qualquer subconjunto dos números reais. Assim, dados dois números reais a e b, com a < b, temos: a) intervalo aberto A bolinha indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo. Esse intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, exclusive. b) intervalo fechado A bolinha indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo. Esse intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, inclusive. a b a b Representação algébrica: ou (a, b) ou ]a, b[ Representação algébrica: ou [a, b] b a c 6 c) intervalo semi-aberto à direita d) intervalo semi-aberto à esquerda Podemos ter ainda intervalos com as seguintes características: ax|Rx ou (a, + ) ax|Rx ou [a, + ) ax|Rx ou (-, a) ax|Rx ou (-, a] Exemplos: 1) Represente na reta real cadaum dos conjuntos abaixo: a) A = {x IN | 5 < x 10} b) B = {x IR / x < 3 e x > 5} c) C = [-2, 3) 2) Escreva os conjuntos representados nas retas abaixo: a) b) c) Representação algébrica: ou [a, b) ou [a, b[ Representação algébrica: ou (a, b] ou ]a, b] 7 Exercícios: (com respostas) 1) Dados os conjuntos A = {2; 3; 4; 5; 6} e B = {2; 4; 6}. Utilizando os símbolos , , e , relacione: a) 2 ___ A b) A ___ N c) 4 ___ B d) A ___ B e) B ___ A f) {2} ___ A g) 1 ___ B h) {3, 4} ___ A 2) Seja D(a) o conjunto dos divisores inteiros e positivos do número real a. Escreva, por extensão, os conjuntos D(18) e D(50). 3) Dê, por extensão, os seguintes conjuntos: a) A = {x / x = 2k, k IN, k < 10} b) B = {x / x Z e 3x + 8 = 0} c) C = {x / x IN e x2 + x – 42 = 0} d) D = {x / x Z e -5 < x 3} e) E = {x / x Z e |x| < 4} f) F = {x / x IN e x é uma potência de 3} g) G = {x / x IR e x2 + 16 = 0} 4) Representar os conjuntos a seguir por compreensão: a) A = {1; 3; 5; 7; ...} b) B = {2; 3; 4; 5} c) C = ,... 4 1 ; 3 1 ; 2 1 ;1 5) Represente na reta real cada um dos conjuntos abaixo: a) A = {x Z / -3 < x 3} b) B={xIN / x < 5} c) C = {x IR / x = 1, > 3} d) D = (-1, 4] e) E = (-, 3) f) F = [0, 4[ 6) Escreva os conjuntos representados abaixo: a) b) 8 c) d) Respostas dos exercícios: 1. a) b) c) d) e) f) g) h) 2. D(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18} D(25) = {1; 2; 5; 10; 25; 50} 3. a) A = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18} a) B = b) C = {6} c) D = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} d) E = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} e) F = {1; 3; 9; 27; ...} g) G = 4. a) A = {x | x = 2k + 1, k N} a) B = {x N | 2 x 5} b) C = *N k , k 1 x | x 5. a) d) b) e) c) f) 6. a) (-1, 4) b) {x R / x = 1, x = 2, 3 x 5} c) {x R / x -1, 2 < x < 4} d) (0, 5] Intervalos com União e Intersecção: Exemplo: 1) Dados os intervalos A = (-2,5] e B = [1.7], determinar : BA e BA . 2) Dados os intervalos A = (-3,5] e B = [1,2), determinar: BA e BA . 9 Par Ordenado: Ao par de números reais a e b, dispostos em uma certa ordem,denomina-se par ordenado e indica-se por (a;b) ou (a,b) , onde: a representa a abscissa x e b representa a ordenada y. Propriedade: Dois pares ordenados (x;y) e (a;b) são iguais se, e somente se, x = a e y = b. byeaxbayx ;; RELAÇÕES E FUNÇÕES 1. Produto cartesiano Dados dois conjuntos, A e B, chamamos de produto cartesiano (A x B) o conjunto de pares ordenados em que a abscissa (x do ponto) pertence a A e a ordenada (y do ponto) pertence a B. Exemplos: 1) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 4}, temos: A x B = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)} B x A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} 2. Relações: Dados dois conjuntos, A e B, chamamos de relação um subconjuto de A x B obtido através de uma lei de associação entre os elementos de A e B.Ou ainda é todo subconjunto de A x B, sendo A e B não-vazios. Exemplos: 1) Dados os conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5} e B = {2; 4; 6; 8}, escreva as relações pedidas: a) R1 = {(x, y) A x B / x + y = 5} b) R2 = {(x, y) B x A / y = x - 1} 3. Domínio (D), imagem (Im) e contra-domínio (CD) Domínio é o conjunto formado por todos os primeiros elementos dos pares de uma relação. Imagem é o conjunto formado por todos os segundos elementos dos pares de uma relação. Contra-domínio é o conjunto de onde se tira a imagem. 10 4. Funções: Dados dois conjuntos, A e B, não vazios, dizemos que a relação de A em B é função se, e somente se, para todo x pertencente ao conjunto A, existe, em correspondência, um único y pertencente a B, tal que o par ordenado (x, y) pertença a . Simbolicamente: Exemplos: 1) Dados os conjuntos A = {-1; 0; 1; 2; 3} e B = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}, escreva as relações pedidas e determine qual(is) delas representa(m) uma função. a) R1 = {(x, y) A X B | y = x + 2} b) R2 = {(x, y) A 2 | y = x2 + 1} c) R3 = {(x, y) B x A | y 2 = x} 2) Nas relações abaixo, verifique quais são funções. Caso não sejam, explique porque não são. Domínio de uma função: Chama-se domínio da função e indica-se por D(f), ao conjunto de todos os elementos pertencentes ao primeiro conjunto da relação. Contra-Domínio: Chama-se contradomínio de uma função e indica-se por CD(f), ao conjunto de todos os elementos pertencentes ao segundo conjunto participante da relação. é função de A em B x A, I y B | (x, y) 11 Imagem da função: Chama-se imagem da função e indica-se por Im(f), ao subconjunto de CD(f) formado por todos os elementos que participam da relação. 5. Tipos de função Função Par ou Ímpar: Função par: Uma função f é par se, para todo )( fDx , tem-se )()( xfxf . Função ímpar: Uma função f é ímpar se, para todo )( fDx , tem-se )()( xfxf Função Crescente e Decrescente: Função crescente: Uma função BAf : é crescente em um conjunto A se, e somente se, Axxxfxfxx 211212 ,),()( . Função decrescente: Uma função BAf : é decrescente em um conjunto A se, e somente se, Axxxfxfxx 211212 ,),()( . Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora. Função injetora:Uma função : A B é dita injetora se para dois elementos distintos de A houver correspondência de dois elementos distintos em B, isto é, x1 x2 f(x1) f(x2). Função sobrejetora:Uma função : A B é dita sobrejetora se a imagem de for igual ao contra-domínio de , isto é, se não sobrar elementos no conjunto de chegada. Função bijetora: Uma função : A B é dita bijetora se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Para exercitar: No exemplo 2, classifique as funções conforme seu tipo. 6. Valor numérico da função: Chamamos de valor numérico da função o valor que f(x) assume a partir de um dado valor atribuído a x. Por exemplo, sendo A = {-1; 0; 1}, B = {0; 1; 2; 3} e f: A B, f(x) = x + 1, temos: f(-1) = f(0) = f(1) = Exemplos: 1) Dado (x) = 2x + 1, calcular: a) f(0) = b) f(3) = c) f(x + 2) = d) f 2 x = 2) Dado (x) = x2 – x, calcular: a) f(-1) = 12 b) f(3) = c) f(x – 1) = d) f(x + 2) = 7. Função Composta: Seja BAf : e CBg : , tem-se que CAfg : de tal forma que ))(()( xfgxfg . Onde CAfg : é chamada de função composta de g com f. Exemplos: Dados 1)( xxf e xxxg 2)( , determinar: a) fg b) gf c) ))1(( gf Exercícios: (estes sem resposta) 1) Sendo 12)( xxf e xxg 3)( , determinar ))(( xff e ))(( xgg . 2) Dadasas funções 4)( xxf e 24))(( xxgf determinar )(xg . 3) Sendo xxf 4)( , xxg 2)( e 1)( xxh determinar )))(((( xhgf . 4) Sendo 184)2( 2 xxxf para todo x real, determinar )(xf . 8. Função Inversa: Existem funções que, sob certas condições, originam outras funções, denominadas funções inversas. Em verdade somente as funções bijetoras apresentam inversa, pois qualquer número do domínio tem um único correspondente no contra-domínio (injetora) e este tem todos os seus valores relacionados uma única vez (sobrejetora). Assim, podemos estabelecer uma relação inversa, transformando o contra-domínio em domínio, e o domínio em contra-domínio de uma função. A expressão que representa essa troca é chamada de função inversa, e é representada por f-1(x). Regra prática para obtenção da inversa: efetuar a troca entre as variáveis dependente e independente isolando ao final a variável dependente. Por exemplo em uma função onde x é a variável independente e y é a variável dependente, deve-se trocar o x pelo y e o y pelo x isolando o y novamente ao final. A função obtida será a inversa da função original. Exemplo: Seja uma função :f definida por 23 xy , determinar sua função inversa. Trocando as variáveis 23 yx Isolando a variável 3 2 x y que é a f-1(x) ou inversa de f. 9. Domínio de uma função em R Considere a função y = 2x – 1. Note que não há restrição quanto aos valores que x pode assumir. Observe agora a função 2x 1 y . Perceba que x não pode ser 2, senão: 22 1 y 0 1 y y não existe 13 Portanto o domínio de 2x 1 y é: D(f) = R – {2} Temos que ter cuidado em alguns casos especiais: 1º) quando a variável aparece no denominador; 2º) quando a variável aparece como radicando de uma raiz índice par. 3º) quando a variável aparece como antilogarítmo. Exercícios (com respostas): 1) Dados os conjuntos A = {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}, B = {1; 2; 3; 4} e C = {0; 2; 4; 6; 8}, escreva as relações pedidas e indique domínio, imagem e contra-domínio: a) R1 = {(x, y) A x C / xy } b) R2 = {(x, y) B x A / x = y} c) R3 = {(x, y) B 2 / x + y = p, p é número primo} d) R4 = {(x, y) B x C / y = 2x - 2} 2) Dada a função 7x3 13x5 y , calcular: a) f(1) = b) f(2) = 3) Dada a função g(x) = x2 – 1, calcular: a) g(x – 1) = b) g x = c) g(0) = d) O valor de x onde g(x) = 3 e) O valor de x onde g(x) = 0 4) Determinar o domínio das funções abaixo: a) 1x 1x )x(f 2 2 b) 2x 6x2 y c) 1x 1 )x(f d) 4x)x(f e) 2x x3 y f) 3 3 2x 13x y 14 5) Seja A = {0; 1; 2} e B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. Represente a relação R1 = {(x, y) A X B | y = x + 3} e verifique se ela é função. Se for, calcule domínio, contra-domínio e imagem, se não for, diga por que não é. 6) Sejam as funções definidas por (x) = 2x + a e g(x) = 5x - b. Calcule o valor de a e b de modo que se tenha (3) = 9 e g(1) = 3. 7) Seja a função definida por (x) = mx + n, com m, n R. Se (2) = 3 e (-1) = -3, calcule m e n. 8) Dada a função : R R definida por (x) = ax2 + b, com a, b R, calcule a e b, sabendo que (1) = 7 e (2) = 22. : 9) Analise os gráficos abaixo. Determine domínio e imagem e a seguir indique para quais valores de x a função é crescente, decrescente, positiva e negativa. Respostas dos exercícios: 1) a) R1 = {(0, 0); (4, 2)} b) R2 = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4)} c) R3 = {(1, 1); (1, 2); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (3, 2); (3, 4); (4, 1); (4, 3)} d) R4 = {(1, 0); (2, 2); (3, 4); (4, 6)} 2) a) f(1) = 2 b) f(2) = 3 15 3) a) g(x - 1) = x2 - 2x b) g x = x - 1 c) g(0) = -1 d) x = 2± e) x = ± 1 4) a) D(f) = IR b) D(f) = IR - {-2} c) D(f) = (1, +) d) D(f) = [4, +) e) D(f) = (-2, 3] f) D(f) = IR - {2} 5) R1 = {(0, 3); (1, 4); (2, 5)} D(f) = {0;1;2} Im(f) = {3; 4; 5} CD(f) = B 6) a = 3; b = 2 7) m=2;n=-1 8) a=5;b=2 9) a) D(f) = [-2, 2] Im(f) = [-1, 1] f. crescente: [-2, -) (, 2] f. decrescente: [-, ] f(x) > 0, x (-2, 0) f(x) < 0, x (0, 2) b) D(f) = (-, 4] Im(f) = {-1} (1, +) f. crescente: não há f. decrescente: (-, 0) f(x) > 0, x (-, 0) f(x) < 0, x [0, 4] c) D(f) [-3, 3] Im(f) = [-1, 1] f. crescente: não há f. decrescente: [-3, 3] f(x) > 0, x (0, 3) 16 f(x) < 0, x (-3, 0] d) D(f) = [-3, +) Im(f) = (-, 2] f. crescente: não há f. decrescente: [1, +) f(x) > 0, x [-3, 2) f(x) < 0, x (2, +) e) D(f) = IR Im(f) = [-2, +) f. crescente: [0, +) f. decrescente: (-, 0] f(x) > 0, x (-, -2) (2, +) f(x) < 0, x (-2, 2) f) D(f) = IR Im(f) = [-2, +) f. crescente: [2, +) f. decrescente: (-, 0] f(x) > 0, x (-, 0] (3, +) f(x) < 0, x (0, 3) 17 FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU: A função do 1º grau ou função afim é toda função definida por: baxxf )( Onde: a e b são números reais, tal que 0a ; a é o coeficiente de x, conhecido como coeficiente angular. b é o coeficiente independente. Gráfico de uma função do primeiro grau: O gráfico de uma função do primeiro grau tem como gráfico uma reta não paralela aos eixos x e y. Para construção do gráfico é necessário que se tenha conhecimento sobre pelo menos dois de seus pontos. Exemplo: Construir o gráfico da função 2 xy x 2 xy (x;y) ( ; ) ( ; ) Função Crescente ou Decrescente: Em uma função do primeiro grau: - Se a>0, a função baxy é crescente. x y 18 - Se a<0, a função baxy é decrescente. Particularidade: Conhecido o gráfico de uma função do primeiro grau, como definir a função correspondente? Exemplo: O processo para a determinação da função consiste basicamente na resolução de um sistema de equações formado a partir da substituição das coordenadas de dois pontos pertencentes à reta na função geral, ou seja: x y 19 Zero ou raiz de uma função do primeiro grau: O valor de x para o qual a função baxy se anula é dito zero ou raiz da função do primeiro grau. Para tal, basta que se faça: f(x)=0, o que no caso da forma geral da função : 0bax bax a b x De tal forma que é o único zero da função baxy . Graficamente: O zero ou raiz da função é o ponto onde a reta corta o eixo x. y x Zero da função 20 FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA: Uma função é dita função do 2º grau ou função quadrática se for uma função :f cujalei de formação é indicada por: cbxaxxf 2)( onde: 0, aeceba Gráfico de uma função do 2º grau: A função do 2º grau é representada graficamente em por uma curva denominada parábola. O sentido da concavidade da parábola depende do sinal do número real a da função cbxaxxf 2)( . De tal maneira que: Zeros ou raízes de uma função do 2º grau. 21 Os zeros ou raízes de uma função do 2º grau são os valores para os quais a 0)( xf . O que significa que determinar os zeros ou raízes da função do 2º grau advém da resolução da equação do segundo grau 02 cbxax , onde o chamado discriminante representado por , onde acb 42 . Em função disso temos os seguintes casos: Vértice da Parábola: 22 O vértice da parábola é o ponto da curva correspondente à ordenada máxima ou mínima, e é indicado por );( VV yxV A obtenção das coordenadas do vértice: Ordenada: ycbxax 2 0)(2 ycbxax Existem valores reais de x quando 0 , isto é: a yayayacbycab 4 040440)(4 22 a yv 4 Abcissa: Na função cbxaxy 2 substituindo y por a yv 4 cbxaxyV 2 a cbxax 4 2 0 4 2 a cbxax 0 4 422 a acb cbxax 04444 22 acbacabxax 044 222 babxxa Como acb 42 222 4.4)4( baab 2222 1616 baba logo: 0 23 e conseqüentemente: a b a ab xv 28 4 2 e portanto a b xv 2 A Imagem da função do 2º grau: É possível determinar o conjunto imagem de uma função do 2º grau, conforme o sinal de a. 1) Se a>o Neste caso a y 4 Neste caso o conjunto imagem é dado por: a yyf 4 /)Im( 2) Se a<0 Neste caso a y 4 24 Neste caso o conjunto imagem é dado por: a yyf 4 /)Im( Construindo o gráfico de uma função do 2º grau A construção do gráfico pode ser feita seguindo um conjunto de passos: 1) Verificar o sinal de a, para identificação do sentido da concavidade. 2) Determinar os zeros da função para conhecimento dos pontos nos quais a parábola corta o eixo x. 3) Determinar o ponto onde a parábola corta o eixo y. 4) Determinar as coordenadas do vértice. Exemplo: construir o gráfico da função 252 2 xxy 25 Estudo do sinal de uma função do primeiro grau: Estudar o sinal de uma função do primeiro grau ( baxy ) é determinar os valores de x para os quais y = 0, y > 0 ou y < 0. Caso 1: Quando a > 0 (função crescente) x y 26 Caso 2: Quando a < 0 (função decrescente) Observando os dois casos podemos criar uma regra geral: Zero da função 27 Exemplos: Estudar o sinal das seguintes funções: a) 5 xy b) 53 xy Estudo do sinal de uma função do segundo grau. Estudar o sinal de uma função do segundo grau ( cbxaxy 2 ) é determinar os valores de x para os quais y = 0, y > 0 ou y < 0. O estudo pode ser dividido em três casos de acordo com o sinal do discriminante: Caso 1) Quando o discriminante é positivo 0 Se a > 0: 28 Se a < 0: Caso 2) Quando o discriminante é nulo 0 Se a > 0: 29 Se a < 0: Caso 3) Quando o discriminante é negativo 0 Se a > 0: 30 Se a < 0: Observando os casos podemos criar uma regra geral: Exemplos: Estudar o sinal das seguintes funções: a) 862 xxy b) 232 xxy c) 243 2 xxy Exercícios Estudar o sinal das seguintes funções: 1) 4 1 xy 2) 12 xy 3) 3 2 2 xy 4) xy 4 5) 13 xy 31 6) 342 xxy 7) 42 xy 8) 962 xxy 9) 12 xxy 10) 232 xxy 11) 222 xxy INEQUAÇÕES Uma expressão algébrica que apresenta o sinal de desigualdade (> , < , , ) é denominada inequação. “Resolver” uma inequação significa encontrar valores numéricos que tornem verdadeira a desigualdade expressa. Podemos ter: I) Inequações do primeiro grau: Uma inequação do 1º grau com uma variável x pode ser escrita de uma das seguintes formas: 0bax 0bax 0bax 0bax )0,( aeba Exemplos: Resolver em R: 1) 0153 x 2) 082 x 3) 2)1(2)32(4 xx II) Inequações Simultâneas: Uma dupla desigualdade, do tipo f(x) < g(x) < h(x), pode ser resolvida decompondo-a em duas inequações simultâneas em x, do tipo: f(x) < g(x) e g(x) < h(x) Exemplos: Resolver a inequação: xx 342 32 III) Inequações do segundo grau: Uma inequação do 2º grau com uma variável x está baseada em uma função do segundo grau )0()( 2 acbxaxxf e pode ser expressa de uma das seguintes formas: 0)( xf 0)( xf 0)( xf 0)( xf Exemplos:Resolver as seguintes inequações: 1) 0342 xx 2) 0222 xx 3) 0122 xx IV) Inequações na forma de produto: Sejam f(x) e g(x) funções na variável x. Podemos formar as seguintes inequações – produtos: 0)().( xgxf 0)().( xgxf 0)().( xgxf 0)().( xgxf Para resolvê-las, devemos estudar a variação de sinais de f(x) e g(x) separadamente. O sinal de f(x). g(x) é obtido através da composição das análises. Exemplos: Resolver as seguintes inequações na forma produto: 1) 0)4).(2( xx 2) 0)4).(1).(2( xxx 3) 0)124).(189( 22 xxxx 33 V) Inequações na forma quociente: Sejam f(x) e f(x) funções na variável x. Podemos formar as seguintes inequações-quocientes : 0 )( )( xg xf 0 )( )( xg xf 0 )( )( xg xf 0 )( )( xg xf Para resolvê-las, deve-se proceder da mesma forma adotada nas inequações-produto, visto que a regra de sinais do quociente é a mesma do produto. Importante lembrar que, na inequação- quociente, o denominador deve ser sempre diferente de zero. Exemplos: Resolver as seguintes inequações: 1)0 12 3 x x 2) 0 65 2 2 2 xx xx Exercícios: 1) Inequações do primeiro e segundo grau e inequações simultâneas: a) 912 x b) 562 xx c) 4)1()22(3 xx d) 10 1 5 31 4 1 xxx e) 4852 xx f) 41223 xxx g) 09102 xx h) 0122 xx i) 822 xx j) 092 xx 2) Inequações produto e inequações quociente: a) 0)2)(12( xx b) 0)1)(3( xx 34 c) 0)7)(23)(15( xxx d) 0)107)(642( 22 xxxx e) 0)6)(1( 2 xxx f) 0 2 )3)(1( x xx g) 1 42 5 x x h) 0 1 )2( x xx i) 0 2 )1)(5( 2 x xx j) 0 2 43 2 2 xx xx MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO Módulo (ou valor absoluto) de um número O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira: Então: se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x. Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15 se x é negativo, | x | é igual a -x. Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20 O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo. 0 se , 0 se , xx xx x 35 Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim: Se | x | < a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre –a e a, ou seja, | x | < a -a < x < a. Se | x | > a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | > a x > a ou x < -a. Função modular Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por: Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças. Determinação do domínio Estudar o domínio de uma função significa determinar o conjunto dos valores de x que tornam possíveis as operações indicadas na lei de formação. Para tal é comum que se faça uso das inequações modulares: 0 se , 0 se , )( xx xx xf 36 Exemplo 1: Determinar o domínio da função Exemplo 2: Determinar o domínio da função Gráfico de funções modulares Para construir o gráfico de uma função modular, basta aplicar a definição do módulo de um número x, |x|: Exemplos: Construir o gráfico das seguintes funções: 1. 2)( xxf 2. 32)( 2 xxxf 3. 4)( xxxf Exercícios: Construa o gráfico de: 1) 22)( xxf 2) 2)( xxf 3) 2)( xxxf 4) 65)( 2 xxxf 3|| 1 )( x xf |1|2)( xxf 37 Equações modulares Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular. Sua resolução está baseada na aplicação da definição de módulo. Exemplos: 1) Resolver as equações a) 652 xx b) xx 236 c) 0152 2 xx Exercícios: 1) Resolver as seguintes equações modulares: a) 482 x b) 4 2 43 x c) 1 12 3 x x d) 243 x e) 0123 2 xx Inequações modulares Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita. Exemplos: 1) Resolver as seguintes inequações: 38 a) 332 x b) 714 x c) 2 13 4 x x d) 4322 xx Exercícios 1) Resolver as seguintes inequações modulares: a) 21 x b) 422 x c) 1 2 3 x d) 2 13 32 x x e) 1 2 2 x x FUNÇÃO EXPONENCIAL A função *: f , definida pela lei xaxf )( sendo 10 a , recebe o nome de função exponencial de base a.Onde o número real a chama-se base da função exponencial. A condição de existência dada à base a é devida aos seguintes casos: - Se a < 0, podemos ter a = -4 e x = ½ temos que 2 1 )4(xa então )(4 xa . - Se a = 0, a = 0 e x = -3 temos que 0 1 0 1 0 3 3 xx aa ( não é definida). - Se a = 1, a = 1 e x qualquer 11 xxa observa-se que 1)( xftemosx , que é uma função constante. 39 Gráfico de uma função exponencial: Feitas as restrições para a base a, a construção do gráfico deve ser feita com base me algumas considerações: 1) Se a > 0 Construir o gráfico da função xxf 2)( x f(x) (x;y) -2 -1 0 1 2 Conclusões importantes sobre o gráfico: - O domínio da função ____________________ a imagem da função ____________________ - A curva corta o eixo y em y = ____. - A função é _________________. - A curva nunca corta o eixo ______ . 40 2) Se 0 < a < 1 Construir o gráfico da função x xf 2 1 )( x f(x) (x;y) -2 -1 0 1 2 Conclusões importantes sobre o gráfico: - O domínio da função __________________ a imagem da função____________________ - A curva corta o eixo y em y = ____. - A função é _________________. - A curva nunca corta o eixo ______ . EQUAÇÕES EXPONENCIAIS: Toda equação cuja incógnita figura como expoente recebe o nome de equação exponencial. Exemplos: 1) 162 2 x 2) 622 1 xx 41 De um modo geral a resolução de equações exponenciais é estabelecida através da obtenção de potências equivalentes nos dois membros da igualdade. Para tal deve-se fazer uso das propriedades das potências e finalmente estabelecer a comparação entre os expoentes. No entanto em alguns casos, a solução é mais difícil do que parece exigindo o uso de alguns artifícios. Exemplos: Resolver as seguintes equações considerando U . 1) 642 x 2) 9 1 32 x 3) 2 3 2 16 81 x 4) 3055 1 xx 5) 020222 xx 42 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS: Inequações exponenciais são desigualdades onde a variável figura como expoente. Exemplo: 273 1 x No procedimento de resolução é importante observar dois casos: Caso 1) Quando a base é maior ou igual a 1. Neste caso desenvolvemos a busca por potências equivalentes nos dois membros da desigualdade e devemos manter o sinal da desigualdade. Caso 2) Quando a base é positiva mas é menor do que 1. Neste caso desenvolvemos a busca por potências equivalentes nos dois membros da desigualdade, mas obrigatoriamente invertemos o sinal da desigualdade. Exemplos: ( considerar U ) 1) 93 2 x 2) 27 1 3 1 2 x 3) xxx )1,0(1,0 2 43 Exercícios: Resolver sendo U as seguintes equações exponenciais: 1) 644 x 2) 125 1 5 x 3) 3416 x 4) 4 25 5 2 3 x 5) 01,0102 x 6) 21633 22 xx 7) 13222 23 xx 8) xx 2.123222 9) 12 127 2 xx Resolver sendo U as seguintes inequações exponenciais: 1) 82 1 x 2) 813 x 3) 1114 5 2 5 2 x 4) 13 42 xx 5) 32 2 1 2 x 44 FUNÇÃO LOGARÍTMICA: Os logaritmos surgiram aproximadamente no século XVI através de John Napier, um escocês que não era matemático e que dedicou 20 anos de sua vida na invenção dos logaritmos até publicar seu trabalho em 1614. A DEFINIÇÃO DE LOGARÍTMO: Ao resolver uma equação exponencial busca-se sempre trabalhar com potências de mesma base. No entanto nem sempre isto é possível, é onde a aplicação dos logaritmos acabam sendo a única forma de solução. Admitindo dois números reais a e b, ambos positivos com 1a . Existe um único número real x tal que: ba x O número real x , que satisfaz a equação acima é considerado, por definição o logaritmo de b na base a e indicado por: bx alog Onde: x é o logaritmo ( x ), b é o logaritmando ( * b ), a é a base do logarítmo ( 10 a ). Generalizando: x a abxb log ou ainda: Exemplos: 1) 162416log 42 2) 24335243log 53 Como conseqüências da definição de logaritmo: O logaritmo de um número real b, numa certa base a é o expoente x que se deve atribuir à base a para se obter o número b. 45 Considerando sempre 10 a : Propriedades: A FUNÇÃO LOGARÍTMICA Seja um número a tal que *a e 1a . É denominada função logarítmica à função *:f dada por: xxf alog)( GRÁFICO DE FUNÇÃO LOGARITMICA: São dois os casos a serem estudados: Caso 1) a>1 lembrando que x>0 devido ao domínio da função *:f . Exemplo: construir o gráfico de xxf 2log)( x Cálculo f(x) 1) , o logaritmo de 1 em qualquer base é sempre 0. 2) . 3) 4) . 5) 46 Caso 2) 0<a<1,ou seja, base positiva e menor que 1. Exemplo: construir o gráfico de xxf 2 1log)( x Cálculo f(x) Analisando o gráfico: D(f) = Im(f) = Função __________________. Não corta o eixo ___. Corta o eixo x no ponto _____. 47 A inversa da função logarítmica: Exemplo : xxf 4log)( a inversa será dada por : Verifique o comportamento dos gráficos visualizando com o auxílio do winplot. DOMÍNIO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA: A determinação do domínio de uma função logarítmica é feita com a imposição das seguintes condições de existência: Exemplos: Determinar o domínio de : 1) 8log 6 xy 2) )2(log2 xy Analisando o gráfico: D(f) = Im(f) = Função __________________. Não corta o eixo ___. Corta o eixo x no ponto _____. O logaritmando deve ser positivo. A base deve ser positiva e diferente de 1. 48 3) )5(log 1 xy x PROPRIEDADES DOS LOGARÍTMOS: )1,,,( neapositivoscba MUDANÇA DE BASE: Devido ao fato das propriedades operatórias dos logaritmos serem válidas somente quando aplicadas a logaritmos de mesma base, em alguns casos é necessário efetuar mudança de base. Tal mudança é feita através da expressão: )11,,,( ceapositivoscba 49 Exemplo: Passe o 64log16 para a base 4. EQUAÇÕES LOGARITMICAS São equações cujos logaritmos apresentam incógnita no logaritmando, na base ou no logaritmo. Exemplos: 1) 2)12(log3 x 2) 13log 2 x 3) 116log 2 x Na resolução dessas equações devem ser observadas: Exemplos: 1) 4)42(log2 x 2) 1)(log 2 2 1 xx 3) 48log)3(log)1(log 222 xx 4) 06log)(log 2 2 2 xx 5) 9loglog 24 xx INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS: São desigualdades que envolvem logaritmos. Exemplos: Condições de existência para: Logaritmando – deve ser positivo, Base – deve ser positiva e diferente de 1. Aplicação das propriedades dos logaritmos. Se o conjunto solução da equação satisfaz as condições de existência. 50 1) 4)42(log2 x 2) )3(log)12(log 55 xx Na resolução de inequações logarítmicas devem ser aplicadas as propriedades dos logaritmos, as condições de existência e as propriedades descritas abaixo: Propriedade 1) Se a>1 (base maior que um) Nesse caso a função é crescente e a resolução é estabelecida com a manutenção da desigualdade. Propriedade 2) Se 0<a<1 (base maior que zero mas menor do que 1) Nesse caso a função é decrescente e a resolução é estabelecida com a inversão da desigualdade. Exemplos: 1) Resolver em R a inequação 8loglog 44 x 2) Resolver em R a inequação xx 2 1 2 1 log)12(log 3) Resolver em R a inequação 1)4(log)5(log 22 xx Exercícios: 1) Construir o gráfico de: a) xy 3log b) xy 3 1log 2) Determinar o domínio das seguintes funções: a) )13(log3 xy b) 2 6 log5 x x y c) 5log 4 xy d) )52(log 23 xxy e) )26(log 32 xy x 51 3) Resolver as seguintes equações logarítmicas em: a) 5)448(log 22 xx b) 2)1(log 21 xx c) 1)(log 23 xxx d) )243(log)12(log 242 xxx e) )1(log)3(log)1(log 442 xxx 4) Resolver as seguintes inequações logarítmicas: a) )12(loglog 22 xx b) )(log)6(log 2 1 2 2 1 xx c) )189(log)78(log 25 2 5 xxxx d) 1log 23 xx
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