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DERIVADAS POR DEFINIÇÃO

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Considerando o gráfico de uma função y=f(x) representado na figura 
Interpretação Geométrica de Derivadas (IGD) 
No gráfico temos: 
 s reta secante à curva 
 t reta tangente à curva 
x 
y s 
t 
  
A 
x +x 
y 
x 
x 
C 
B f (x+x) 
f(x) 
Interpretação Geométrica de Derivadas (IGD) 
Já sabemos que: 
x é o incremento da variável x 
y é o incremento da função y 
 
x
y


é a razão incremental (TMV) 
y 
x 
s 
t 
  
A 
x +x 
y 
x 
x 
C 
B f (x+x) 
 f(x) 
Interpretação Geométrica de Derivadas 
No triângulo retângulo ABC, 
temos tg = 
y s 
b 
t 
x 
  
A 
x +x 
y 
x 
x 
C 
B f (x+x) 
x
y


 
tg = 
x
y


 
Interpretação Geométrica de Derivadas 
y 
S 
T 
x 
  
A 
x +x 
y 
x 
x 
C 
B 
f (x+x) 
 
f(x) 
Interpretação Geométrica de Derivadas 
 
y 
S 
T 
x 
 
x +x 
y 
x 
x 
C 
A 
B 
f (x+x) 
 
f(x) 
Interpretação Geométrica de Derivadas 
y 
S 
T 
x 
  
x +x 
y 
x 
x 
C 
A 
B 
f (x+x) 
 
f(x) 
Interpretação Geométrica de Derivadas 
y 
S 
T 
x 
  
x +x 
y 
x 
x 
C 
A 
B 
f (x+x) 
f(x) 
Interpretação Geométrica de Derivadas 
y 
S 
T 
x 
  
x +x 
y 
x 
x 
C 
A 
B 
f (x+x) 
f(x) 
Interpretação Geométrica de Derivadas 
y 
S T 
x 
  
y 
x +x 
x 
x 
C 
A B f (x+x) 
f(x) 
Interpretação Geométrica de Derivadas 
Usando o conceito de limites, podemos notar que, 
quando x tende a zero (x 0), o ponto B tenderá 
ao ponto A e a reta secante s tenderá à reta tangente 
t, consequentemente, o ângulo  tenderá ao ângulo  
e teremos: 
tg
x
xfxxf
x
y
xx







)()(
limlim
00
Interpretação Geométrica de Derivadas 
Quando x 0, a reta secante tende a uma 
posição limite que é a reta tangente à curva no 
ponto A de abscissa x. 
Então, o coeficiente angular da tangente é o valor do 
limite dos coeficientes angulares das secantes 
quando x 0. 
O valor desse limite chama-se derivada da função 
f(x) no ponto de abscissa x e indica-se por f’(x). 
 
Derivada por definição 
A derivada de f em x é dada por 
f’(x) = desde que o 
limite exista.Uma função é diferencial em x, se 
sua derivada existe em x. 
x
xfxxf
x 


)()(
lim
0
Derivada por Definição 
Notações: 
Além de f’(x), podem ser utilizadas para denotar 
a primeira derivada de y = f(x) outras 
notações.As mais comuns são: 
Etapas para determinar a primeira derivada de 
uma função aplicando a definição: 
1ª) Considerar a função y = f(x) 
2ª) Dar acréscimo a x e a y para se obter 
 
 
3ª) Subtrair f(x) nos dois membros: 
 
 
y + = f(x + ) 
 
y x 
y = f(x + x) - f(x) 
y + y = f(x+ x) , e como y = f(x) - y - y 
Etapas para determinar a primeira derivada de 
uma função aplicando a definição 
4ª) Dividir por x para se obter: 
 
 
5ª) Passar ao limite para se obter: 
 
x
xfxxf
x
y




 )()(
x
xfxxf
x
y
xx 





)()(
limlim
00
x
y
dx
dy
x 


 0
lim
x
xfxxf
dx
dy
y
x 



)()(
lim´
0
Exemplos: 
Determine a primeira derivada das 
funções a seguir, aplicando a 
definição: 
 
xy 
2xy 
3xy 
xy 
143 2  xxy