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Considerando o gráfico de uma função y=f(x) representado na figura Interpretação Geométrica de Derivadas (IGD) No gráfico temos: s reta secante à curva t reta tangente à curva x y s t A x +x y x x C B f (x+x) f(x) Interpretação Geométrica de Derivadas (IGD) Já sabemos que: x é o incremento da variável x y é o incremento da função y x y é a razão incremental (TMV) y x s t A x +x y x x C B f (x+x) f(x) Interpretação Geométrica de Derivadas No triângulo retângulo ABC, temos tg = y s b t x A x +x y x x C B f (x+x) x y tg = x y Interpretação Geométrica de Derivadas y S T x A x +x y x x C B f (x+x) f(x) Interpretação Geométrica de Derivadas y S T x x +x y x x C A B f (x+x) f(x) Interpretação Geométrica de Derivadas y S T x x +x y x x C A B f (x+x) f(x) Interpretação Geométrica de Derivadas y S T x x +x y x x C A B f (x+x) f(x) Interpretação Geométrica de Derivadas y S T x x +x y x x C A B f (x+x) f(x) Interpretação Geométrica de Derivadas y S T x y x +x x x C A B f (x+x) f(x) Interpretação Geométrica de Derivadas Usando o conceito de limites, podemos notar que, quando x tende a zero (x 0), o ponto B tenderá ao ponto A e a reta secante s tenderá à reta tangente t, consequentemente, o ângulo tenderá ao ângulo e teremos: tg x xfxxf x y xx )()( limlim 00 Interpretação Geométrica de Derivadas Quando x 0, a reta secante tende a uma posição limite que é a reta tangente à curva no ponto A de abscissa x. Então, o coeficiente angular da tangente é o valor do limite dos coeficientes angulares das secantes quando x 0. O valor desse limite chama-se derivada da função f(x) no ponto de abscissa x e indica-se por f’(x). Derivada por definição A derivada de f em x é dada por f’(x) = desde que o limite exista.Uma função é diferencial em x, se sua derivada existe em x. x xfxxf x )()( lim 0 Derivada por Definição Notações: Além de f’(x), podem ser utilizadas para denotar a primeira derivada de y = f(x) outras notações.As mais comuns são: Etapas para determinar a primeira derivada de uma função aplicando a definição: 1ª) Considerar a função y = f(x) 2ª) Dar acréscimo a x e a y para se obter 3ª) Subtrair f(x) nos dois membros: y + = f(x + ) y x y = f(x + x) - f(x) y + y = f(x+ x) , e como y = f(x) - y - y Etapas para determinar a primeira derivada de uma função aplicando a definição 4ª) Dividir por x para se obter: 5ª) Passar ao limite para se obter: x xfxxf x y )()( x xfxxf x y xx )()( limlim 00 x y dx dy x 0 lim x xfxxf dx dy y x )()( lim´ 0 Exemplos: Determine a primeira derivada das funções a seguir, aplicando a definição: xy 2xy 3xy xy 143 2 xxy
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