Aula_15_Transformação e matrizes

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14/10/2013
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Professora: Jossana Ferreira
Transformação LinearTransformação Linear
Matrizes
•Matrizes e Transformação linear
•Forma matricial
•Qualquer transformação linear pode ser expressa na 
forma matricial
•Exemplo: Seja uma transformação linear T:ℜn
→ℜm , definida pelas equações da forma:
nmnmmm
nn
nn
xaxaxaw
xaxaxaw
xaxaxaw
+++=
+++=
+++=
...
 
...
...
2211
22221212
12121111
MMMM
•Que ainda pode ser escrita como:
•Onde todas as operações podem ser executadas 
normalmente
























=












nmnmm
n
n
m x
x
x
aaa
aaa
aaa
w
w
w
M
L
MOMM
L
L
M
2
1
21
22221
11211
2
1
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2
•Prova que T(x)=Ax é uma transformação linear
i) F(u + v) = F(u) + F(v)
F(u + v) = A(u + v) = Au + A v
= F(u) + F(v)
ii) F(k. u) = k.F(u)
F(k. u) = A(k. u) = A.k. u = k.A. u
= k(Au) = k.F(u)
•Exemplo: Seja A e T:M22(ℜ)→M22 (ℜ), definida por: 
T(x)=Ax . Encontre o núcleo e a Imagem de T.






=
10
21
A
•Exemplo: 
Núcleo: T(x)=0, Ax = 0
Considerando 






=
dc
ba
x






=











00
00
10
21
dc
ba






=




 ++
00
0022
dc
dbca
•Exemplo:
•Núcleo de T é o subespaço gerado pela base: 



=
=+



=
=+
0
02
 
0
02
d
db
c
ca






=





=
00
00
ac
ba
x












00
00
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•Exemplo:
Imagem: Y=Ax












=





dc
ba
yy
yy
10
21
43
21





 ++
=





dc
dbca
yy
yy 22
43
21






+





+





+





=





10
20
01
02
00
10
00
01
43
21 dcba
yy
yy
•Exemplo:
Como os vetores são LI, a base da Imagem é:






























10
20
,
01
02
,
00
10
,
00
01
•Encontrando a forma matricial
•Primeiro adotamos a base canônica do espaço 
domínio {e1,e2,..., en}
•Aplicamos à transformação os vetores da base 
canônica, obtendo 
{T(e1),T(e2),..., T(en)}
•Montamos a matriz transformação com os vetores 
{T(e1),T(e2),..., T(en)} por coluna
Onde T(x)=Ax
[ ])()()( 21 neTeTeTA L=
•Exemplo: Encontre a forma matricial das transformações:
•T: ℜ4→ ℜ2 , T(x,y,z,w)=(x+y+z,z-w)
•T: ℜ3→ ℜ3 , T(x,y,z)=(x-y+2z , 2x+y-z , 3x+z)
•T: P2→ P1 , 
•T: P3(x)→ P2(x) , dx
dPPT =)(
( ) ( ) ( )20210122 aaxaaaxaxaT −+−=++
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•Exercício 1: Encontre a forma matricial das 
transformações:
•T: ℜ2→ ℜ2 , 
•T: P2→ P4 , )1())(( 2 −= xPxxPT
( )yxyxyxT −+−= ,
3
22),(
IMPORTANTE
•Saber como escrever uma transformação Linear na 
forma matricial 
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