Aula_18_Formas quadricas

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4/11/2013
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Professora: Jossana Ferreira
Formas QuádricasFormas Quádricas
Definição
•Definição
•Representação matricial
•Obtenção da matriz associada
•Formas quádricas positivas
•Definição
•Função linear
•Função bilinear
•Quádricas ou quadráticas (sem deslocamentos)
nnxaxaxa +++ ...2211
213
2
22
2
11
2
 xxaxaxa ++→ℜ
326315214
2
33
2
22
2
11
3
 xxaxxaxxaxaxaxa +++++→ℜ
nnn yxayxayxa +++ ...222111
•Representação matricial
A é a matriz nxn associada à forma quádrica
xxx AQ T=)(












=
nx
x
x
M
2
1
x












=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
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2
•Definição
•Produto misto ou Termo cruzado
213 xxa
•Exemplo 1: Calcule onde:xxx AQ T=)(






=
2
1
x
x
x 





=
30
04
A
•Exemplo 1:
[ ] 











==
2
1
21 30
04)(
x
x
xxAQ T xxx
[ ] 2221
2
1
21 3434)( xx
x
x
xxQ +=





=x
•Exemplo 2: Calcule onde:xxx AQ T=)(










=
3
2
1
x
x
x
x









 −
=
112
100
101
A
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3
•Exemplo 2: Calcule onde:xxx AQ T=)(
[ ]



















 −
==
3
2
1
321
112
100
101
)(
x
x
x
xxxAQ T xxx
( ) ( ) ( )[ ]










++−+=
3
2
1
321331 2)(
x
x
x
xxxxxxQ x
3231
2
3
2
1 2)( xxxxxxQ +++=x
•Partir da função expandida e chegar à forma 
matricial
•Exemplo 3: Seja encontre a 
matriz associada
2
2
2
1 34)( xxQ +=x
•Exemplo 3:
•Elementos da diagonal principal: 4 e 3
•Demais elementos
a12+a21= coeficiente do termo cruzado x1x2
ou (por exemplo)
2
2
2
1 34)( xxQ +=x






=
3
4
A






=
30
04
A 





−
=
32
24
A
•Exemplo 4:
3231
2
3
2
1 2)( xxxxxxQ +++=x
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4
•Exemplo 4:
•Elementos da diagonal principal: 1, 0 e 1










=
1
0
1
A
3231
2
3
2
1 2)( xxxxxxQ +++=x
•Exemplo 4:
•Demais elementos
a12+a21= coeficiente do termo cruzado x1x2 = 0
a13+a31= coeficiente do termo cruzado x1x3 = 1
a23+a32= coeficiente do termo cruzado x2x3 = 2










=
115,0
100
5,001
A
3231
2
3
2
1 2)( xxxxxxQ +++=x









 −
=
112
100
101
A
•Existe uma infinidade de possibilidades de matrizes
•Mais adequado escolher uma matriz simétrica.
•Formas quádricas positivas
é positiva se:
Para qualquer x diferente de zero.
A, simétrica, é uma matriz associada positiva se 
é uma forma quádrica positiva 
xxx AQ T=)(
0>xx AT
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•Formas quádricas positivas
A matriz simétrica A, é uma matriz associada 
positiva se todos os seus autovalores são 
positivos.
•Exercício 1: Identifique que formas são formas 
quádricas no espaço indicado e, em caso afirmativo, 
encontre a forma matricial.
32
2
4
2
1
4
2
3
2
2
2
1
3
3
3
2
2
2
1
3
2
2
2
2
1
2
23)(,)
524)(,)
32)(,)
)(,)
xxxxxQd
xxxxQc
xxxxQb
xxxxQa
−+−=ℜ
−+=ℜ
++=ℜ
++=ℜ
3121
2
5
5
3121
3
321
2
3
2
2
2
1
3
21
2
2
2
1
2
64)(,)
)(,)
23)(,)
3)(,)
xxxxxxQh
xxxxxQg
xxxxxxxQf
xxxxxQe
−+=ℜ
−=ℜ
++−=ℜ
−+=ℜ
IMPORTANTE
•Entender a equação da forma quádrica
•Saber transitar entre a forma por extenso e a forma 
matricial da forma quádrica
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