Aula_19_Diagonalizacao_quadricas

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11/11/2013
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Professora: Jossana Ferreira
Formas QuádricasFormas Quádricas
Diagonalização
•Introdução
•Processo de diagonalização
•Introdução
•Eliminação do termo cruzado fazendo uma 
mudança de variável
•Existem outros métodos
•Processo de diagonalização
•Partindo da forma
[ ]
























==
nnnnn
n
n
n
T
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxxAQ
M
L
MOMM
L
L
2
1
21
22221
11211
21 ...)( xxx
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2
•Processo de diagonalização
•Trabalhando com uma nova variável
P matriz ortogonal
que diagonaliza A
PT=P-1
yx P=












=
nx
x
x
M
2
1
x












=
ny
y
y
M
2
1
y
•Processo de diagonalização
•Aplicando a mudança de variável
)()( yyxx PAPA TT =
yyxx APPA TTT =
( )yyxx APPA TTT =
yx P=
•Processo de diagonalização
•Aplicando a mudança de variável
( )yyxx APPA TTT =
yx P=
yyxx DA TT =
•Processo de diagonalização
D é a matriz diagonal formada pelos autovalores 
de A












=
n
D
λ
λ
λ
L
MOMM
L
L
00
00
00
2
1
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3
•Exemplo 5: Seja , utilize uma 
mudança de variável para obter uma forma quádrica 
sem termos cruzados.
Matriz associada:
autovalores de A: 3 e -7
21
2
2
2
1 85)( xxxxQ −−=x






−−
−
=
54
41
A
•Exemplo 5: Seja , utilize uma 
mudança de variável para obter uma forma quádrica 
sem termos cruzados.
21
2
2
2
1 85)( xxxxQ −−=x
yyxxx DAxxxxQ TT ==−−= 212221 85)(
[ ] 











−
==
2
1
21 70
03)(
y
y
yyDQ T yyy
2
2
2
1 73)( yyQ −=y
•Exemplo 5:
Autovetores de A:
Autovetores ortonormais
21
2
2
2
1 85)( xxxxQ −−=x










−
=
=
5
1
5
2
3λv










=
−=
5
2
5
1
7λv
•Exemplo 5:
Obter a matriz P:
21
2
2
2
1 85)( xxxxQ −−=x










−
=
5
2
5
1
5
1
5
2
P









 −
==
−
5
2
5
1
5
1
5
2
1 TPP
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4
•Exemplo 5:
Para encontrar um determinado valor de Q(x) basta encontrar o 
correspondente em y. Exemplo (x1,x2)=(2,-2)










−
=





−









 −
==
−
5
2
5
6
2
2
5
2
5
1
5
1
5
2
1xy P
5
2y 
5
6
21
−
==y
16
5
27
5
63
22
5
2
5
622
2121
=





−
−





==
−==
−== yyxX yQxQ ,, )()(
•Exercício:Utilize uma mudança de variável para obter 
uma forma quádrica sem termos cruzados. 
21
2
2
2
1 4) xxxxa ++
xyb 2)
IMPORTANTE
•Saber eliminar o termo cruzado da forma quádrica 
utilizando a diagonalização ortogonal
jossana@ect.ufrn.br
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