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11/11/2013
1
Professora: Jossana Ferreira
Formas QuádricasFormas Quádricas
Seções Cônicas
•Definição
•Equações quádricas
•Influência dos termos
•Eliminação do termo cruzado
•Eliminação do termo linear
•Definição
•Interpretação geométrica das formas quádricas 
no ℜ2
•Interpretação geométrica no ℜ2
•Gráficos gerados a partir de:
cAQ T == xxx)(
11/11/2013
2
•Interpretação geométrica no ℜ2 •Interpretação geométrica no ℜ2
•Influência dos termos
062514213
2
22
2
11 =+++++ axaxaxxaxaxa
Termo cruzado Termos lineares
•Influência dos termos
•Apenas termos de segundo grau
(posição canônica)
2
22
2
11 xaxa +
•Casos onde não aparecem o termo cruzado
•Elipse
12
2
2
2
2
1
=+
b
x
a
x
a>b>0 b>a>0 a=b>0
11/11/2013
3
•Casos onde não aparecem o termo cruzado
•Hipérbole
a>b>0 b>a>0
12
2
2
2
2
1
=−
b
x
a
x
•Influência dos termos
•Com termo cruzado
(Rotação)
213 xxa
•Influência dos termos
•Com termo linear
(deslocamento)
xa4
•Cônicas
•Gráficos de quádricas no ℜ2
•Degeneradas
•Não degeneradas
11/11/2013
4
Cônica Não degenerada Degenerada
Circunferência
R > 0 Ponto
Elipse
a > 0 e b > 0 Ponto
Hipérbole
a > 0 e b > 0 Retas concorrentes
Parábola
a > 0 Retas paralelas
Reta
22
2
2
1 Rxx =+ 022
2
1 =+ xx
12
2
2
2
2
1
=+
b
x
a
x
022
2
1 =+ bxax
12
2
2
2
2
1
=−
b
x
a
x
212
2
2
2
2
1 0 x
b
a
x
b
x
a
x ±=⇔=−
02
2
1 =− axx 0
2
1 =− ax
021 =x
•Mudança de eixos
•Eliminação do termo cruzado
•Diagonalização da forma quádrica
•Eliminação dos termos lineares
•Complementação de quadrados
Eliminando o termo cruzado
•Escrevendo na forma:
062514213
2
22
2
11 =+++++ axaxaxxaxaxa
[ ] [ ] 0
2
1
21
2
1
2221
1211
21 =+





+











c
x
x
bb
x
x
aa
aa
xx
onde
0=++ cBAT xxx
[ ] constante B 21
2
1
2221
1211
==





=





= cbb
x
x
aa
aa
A x
11/11/2013
5
•Deve-se encontrar a matriz P que diagonaliza A 
ortogonalmente
x=Py
Substituindo em 
0=++ cBAT xxx
0)()()( =++ cPBPAP T yyy
0=++ cBPAPPTT yyy
0)()( =++ cBPAPPTT yyy
0)( =++ cBPDT yyy
•Exemplo 1: Como encontrar o gráfico da elipse 
?48455 212221 =−+ xxxx
•Exemplo 1:
- Traçar em um novo sistema de coordenadas
-Eliminação do termo cruzado
- Matriz associada:
- Autovalores: 3 e 7
48455 212221 =−+ xxxx






−
−
=
52
25
A
•Exemplo 1:
-Forma quádrica na nova coordenada:
- Colocar na forma clássica de elipse
48455 212221 =−+ xxxx
4873 22
2
1 =+ yy
11/11/2013
6
•Exemplo 1: 48455 212221 =−+ xxxx•Exemplo 1:
- Colocando na forma clássica de elipse:
Logo, 
48455 212221 =−+ xxxx
48
48
48
7
48
3 22
2
1
=+
yy
1
7
48
3
48
2
2
2
1
=+
yy
 6,27
48b e 4 3
48a ====
•Exemplo 1:
- Gráfico no sistema y1y2:
48455 212221 =−+ xxxx
1
624 2
2
2
2
2
1
=+
,
yy
•Exemplo 1:
- Para encontrar o gráfico no sistema x1x2, deve-se 
encontrar a matriz P. X=Py
- Autovetores de P ortonormais
48455 212221 =−+ xxxx










=
=
2
1
2
1
3λv









−
=
=
2
1
2
1
7λv
•Exemplo 1:
x=Py e y=P-1x
48455 212221 =−+ xxxx









 −
=
2
1
2
1
2
1
2
1
P










−
=
−
2
1
2
1
2
1
2
1
1P
11/11/2013
7
•Exemplo 1:
- Novos eixos (escala 1:1)
48455 212221 =−+ xxxx •Exemplo 1:
- Gráfico (escala 1:1)
48455 212221 =−+ xxxx
•Exemplo 1:
- Comparando com o gráfico
48455 212221 =−+ xxxx
x1 x2
0 ±3,09
±3,09 0
•Exemplo 2: Como encontrar o gráfico da hipérbole 
? 1685 212221 =−− xxxx
11/11/2013
8
•Exemplo 2: Como encontrar o gráfico da hipérbole 
?
-Matriz associada:
- Autovalores: -7 e 3
- Forma quádrica na nova coordenada:
1685 212221 =−− xxxx






−−
−
=
54
41
A
1637 2221 =+− yy
•Exemplo 2: 
- Forma da hipérbole:
1685 212221 =−− xxxx
16
16
16
3
16
7 22
2
1
=+−
yy
1
3
16
7
16
2
2
2
1
=+−
yy
 3,23
16b e 5,17
16a ≅=≅=
•Exemplo 2: 
- Gráfico em y1y2: (escala 1:1)
1685 212221 =−− xxxx
 88,56
1,5
2,3
an
a
b
an 1-1- ott =





=





1
3251 2
2
2
2
2
1
=+−
,,
yy
•Exemplo 2: 
-Encontrando a matriz P
- Autovetores de A
-v1 e v2 são ortogonais mas não são ortonormais
1685 212221 =−− xxxx






=
−= 2
1
7λv 




−
=
= 1
2
3λv
11/11/2013
9
•Exemplo 2: 
-Normalização
-Matriz P
1685 212221 =−− xxxx










==
−=
−=
5
2
5
1
7
7
1
λ
λ
v
v
v









−
==
=
=
5
1
5
2
3
3
2
λ
λ
v
v
v









 −
=
5
1
5
2
5
2
5
1
P










−
=
−
5
1
5
2
5
2
5
1
1P
•Exemplo 2: 
-Novo sistema de coordenadas (escala 1:1)
1685 212221 =−− xxxx
Onde o ângulo do 
sistema y1y2 com o 
sistema x1x2 é 63,4º.
•Exemplo 2: 
-Gráfico (escala 1:1)
1685 212221 =−− xxxx •Exemplo 2: 
-Analisando (escala 1:1)
1685 212221 =−− xxxx
x1 x2
0 -
±4 0
11/11/2013
10
Eliminando o termo cruzado
•Complementação de quadrados
052413
2
22
2
11 =++++ axaxaxaxa
[ ] [ ] 0
0
0
5
2
1
43
2
1
2
1
21 =+





+











a
x
x
aa
x
x
a
a
xx
[ ] [ ] 0
2
1
21
2
1
2221
1211
21 =+





+











c
x
x
bb
x
x
aa
aa
xx
•Exemplo 3: Encontre o gráfico da elipse
05282 212221 =++−+ xxxx
•Exemplo 3:
Termos semelhantes:
Somando números:
05282 212221 =++−+ xxxx
5282 222121 −=++− xxxx
( ) ( ) 5242 222121 −=++− xxxx
( ) ( ) 561128842 222121 −=−+++−+− xxxx
( ) ( ) 51128442 222121 −=−+++−+− xxxx
•Exemplo 3:
Fazendo: y1 = x1 -2 e y2 = x2+1 
05282 212221 =++−+ xxxx
( ) ( ) 511822 2221 −=−++−− xx
( ) ( ) 4122 2221 =++− xx
( ) ( ) 42 2221 =+ yy
11/11/2013
11
•Exemplo 3:
Colocando na forma padrão da elipse:
05282 212221 =++−+ xxxx
1
42
2
2
2
1
=+
yy
 24b e 4,12a ==≅=
•Exemplo 3:
Escala: 1:1
05282 212221 =++−+ xxxx
•Exemplo 3:
Analisando no sistema x1x2:
05282 212221 =++−+ xxxx
x1 x2
0 -
3,22 e 0,77 0 
Cônica completa – todos os termos
•Primeiro eliminação do termo cruzado
•Segundo complementação de quadrados
062514213
2
22
2
11 =+++++ axaxaxxaxaxa
11/11/2013
12
•Cônica completa – todos os termos
•Duas mudanças de sistema de coordenadas
(Todos os termos →
+ termo cruzado
+ termos lineares)
(- termo cruzado
+ termos lineares)
(- termo cruzado
- termos lineares)
Sistema X Sistema Y Sistema Y’
Posição
canônica
•Exemplo 4: Encontre o gráfico de
0451654485 2121
2
2
2
1 =+−+−+ xxxxxx
•Exemplo 4:
•Escrever na forma:
0451654485 21212221 =+−+−+ xxxxxx
0=++ cBAT xxx
[ ] 4 51654B 
82
25
2
1
=−=




=





−
−
= c
x
x
A x
•Exemplo 4:
•Autovalores de A: 4 e 9
•Autovetores de A:
são ortogonais mas não ortonormais
0451654485 2121
2
2
2
1 =+−+−+ xxxxxx






=
= 1
2
4λv 




−
=
= 2
1
9λv









−
==
=
=
5
2
5
1
9
9
2
λ
λ
v
v
v










==
=
=
5
1
5
2
4
4
1
λ
λ
v
v
v
11/11/2013
13
•Exemplo 4:
•Matriz P:
•As expressões são equivalentes
0451654485 21212221 =+−+−+ xxxxxx









 −
=
5
2
5
1
5
1
5
2
P










−
=
−
5
2
5
1
5
1
5
2
1P
0=++ cBAT xxx 0)( =++ cBPDT yyy
•Exemplo 4: 0451654485 21212221 =+−+−+ xxxxxx
[ ] [ ] 04
5
2
5
1
5
1
5
2
51654
90
04
2
1
2
1
21 =+














 −
−+











y
y
y
y
yy
[ ] 0436894
2
12
2
2
1 =+





−−++
y
y
yy
0436894 212221 =+−−+ yyyy
•Exemplo 4:
•Manipulando a equação
0451654485 21212221 =+−+−+ xxxxxx
0436984 2
2
21
2
1 =+−+− yyyy
( ) ( ) 044924 222121 =+−+− yyyy
( ) ( ) 43636494424 222121 −=−+−+−+− yyyy
( ) ( ) 4364494124 222121 −=−+−+−+− yyyy
( ) ( ) 362914 2221 =−+− yy
•Exemplo 4:
•Fazendo: y’1=y1-1 e y’2=y2-2
•Colocando na forma padrão da elipse
0451654485 2121
2
2
2
1 =+−+−+ xxxxxx
36'9'4 22
2
1 =+ yy
1
4
'
9
'
2
2
2
1
=+
yy
 24b e 39a ====
11/11/2013
14
•Exemplo 4:
Sistema y’1y’2
Escala: 1:1
0451654485 21212221 =+−+−+ xxxxxx
1
23 2
2
2
2
2
1
=+
'' yy
•Exemplo 4:
Sistema y1y2
Escala: 1:1
y’1=y1-1 
y’2=y2-2
0451654485 21212221 =+−+−+ xxxxxx
•Exemplo 4:
Sistema x1x2
Escala: 1:1
0451654485 21212221 =+−+−+ xxxxxx





 −
=
21
12
5
1P
•Exemplo 4:
Sistema x1x2
Escala: 1:1
0451654485 21212221 =+−+−+ xxxxxx
11/11/2013
15
0451654485 21212221 =+−+−+ xxxxxx•Exemplo 4:
Verificando no sistema x1x2
x1 x2
0 4,358 e 0,11
-0,89 0 
013830626)
08416425)
2121
2
2
2
1
2121
2
2
2
1
=+−+++−
=−−−++
xxxxxxb
xxxxxxa
•Exercício 1: Encontre o gráfico de :
IMPORTANTE
•Conseguir identificar a influência de cada termo na 
cônica
•Saber eliminar o termo cruzado da forma quádrica 
completa utilizando a diagonalização ortogonal
•Saber eliminar os termos lineares
•Conseguir traçar o gráfico de uma quádrica completa
jossana@ect.ufrn.br
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