Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
11/11/2013 1 Professora: Jossana Ferreira Formas QuádricasFormas Quádricas Seções Cônicas •Definição •Equações quádricas •Influência dos termos •Eliminação do termo cruzado •Eliminação do termo linear •Definição •Interpretação geométrica das formas quádricas no ℜ2 •Interpretação geométrica no ℜ2 •Gráficos gerados a partir de: cAQ T == xxx)( 11/11/2013 2 •Interpretação geométrica no ℜ2 •Interpretação geométrica no ℜ2 •Influência dos termos 062514213 2 22 2 11 =+++++ axaxaxxaxaxa Termo cruzado Termos lineares •Influência dos termos •Apenas termos de segundo grau (posição canônica) 2 22 2 11 xaxa + •Casos onde não aparecem o termo cruzado •Elipse 12 2 2 2 2 1 =+ b x a x a>b>0 b>a>0 a=b>0 11/11/2013 3 •Casos onde não aparecem o termo cruzado •Hipérbole a>b>0 b>a>0 12 2 2 2 2 1 =− b x a x •Influência dos termos •Com termo cruzado (Rotação) 213 xxa •Influência dos termos •Com termo linear (deslocamento) xa4 •Cônicas •Gráficos de quádricas no ℜ2 •Degeneradas •Não degeneradas 11/11/2013 4 Cônica Não degenerada Degenerada Circunferência R > 0 Ponto Elipse a > 0 e b > 0 Ponto Hipérbole a > 0 e b > 0 Retas concorrentes Parábola a > 0 Retas paralelas Reta 22 2 2 1 Rxx =+ 022 2 1 =+ xx 12 2 2 2 2 1 =+ b x a x 022 2 1 =+ bxax 12 2 2 2 2 1 =− b x a x 212 2 2 2 2 1 0 x b a x b x a x ±=⇔=− 02 2 1 =− axx 0 2 1 =− ax 021 =x •Mudança de eixos •Eliminação do termo cruzado •Diagonalização da forma quádrica •Eliminação dos termos lineares •Complementação de quadrados Eliminando o termo cruzado •Escrevendo na forma: 062514213 2 22 2 11 =+++++ axaxaxxaxaxa [ ] [ ] 0 2 1 21 2 1 2221 1211 21 =+ + c x x bb x x aa aa xx onde 0=++ cBAT xxx [ ] constante B 21 2 1 2221 1211 == = = cbb x x aa aa A x 11/11/2013 5 •Deve-se encontrar a matriz P que diagonaliza A ortogonalmente x=Py Substituindo em 0=++ cBAT xxx 0)()()( =++ cPBPAP T yyy 0=++ cBPAPPTT yyy 0)()( =++ cBPAPPTT yyy 0)( =++ cBPDT yyy •Exemplo 1: Como encontrar o gráfico da elipse ?48455 212221 =−+ xxxx •Exemplo 1: - Traçar em um novo sistema de coordenadas -Eliminação do termo cruzado - Matriz associada: - Autovalores: 3 e 7 48455 212221 =−+ xxxx − − = 52 25 A •Exemplo 1: -Forma quádrica na nova coordenada: - Colocar na forma clássica de elipse 48455 212221 =−+ xxxx 4873 22 2 1 =+ yy 11/11/2013 6 •Exemplo 1: 48455 212221 =−+ xxxx•Exemplo 1: - Colocando na forma clássica de elipse: Logo, 48455 212221 =−+ xxxx 48 48 48 7 48 3 22 2 1 =+ yy 1 7 48 3 48 2 2 2 1 =+ yy 6,27 48b e 4 3 48a ==== •Exemplo 1: - Gráfico no sistema y1y2: 48455 212221 =−+ xxxx 1 624 2 2 2 2 2 1 =+ , yy •Exemplo 1: - Para encontrar o gráfico no sistema x1x2, deve-se encontrar a matriz P. X=Py - Autovetores de P ortonormais 48455 212221 =−+ xxxx = = 2 1 2 1 3λv − = = 2 1 2 1 7λv •Exemplo 1: x=Py e y=P-1x 48455 212221 =−+ xxxx − = 2 1 2 1 2 1 2 1 P − = − 2 1 2 1 2 1 2 1 1P 11/11/2013 7 •Exemplo 1: - Novos eixos (escala 1:1) 48455 212221 =−+ xxxx •Exemplo 1: - Gráfico (escala 1:1) 48455 212221 =−+ xxxx •Exemplo 1: - Comparando com o gráfico 48455 212221 =−+ xxxx x1 x2 0 ±3,09 ±3,09 0 •Exemplo 2: Como encontrar o gráfico da hipérbole ? 1685 212221 =−− xxxx 11/11/2013 8 •Exemplo 2: Como encontrar o gráfico da hipérbole ? -Matriz associada: - Autovalores: -7 e 3 - Forma quádrica na nova coordenada: 1685 212221 =−− xxxx −− − = 54 41 A 1637 2221 =+− yy •Exemplo 2: - Forma da hipérbole: 1685 212221 =−− xxxx 16 16 16 3 16 7 22 2 1 =+− yy 1 3 16 7 16 2 2 2 1 =+− yy 3,23 16b e 5,17 16a ≅=≅= •Exemplo 2: - Gráfico em y1y2: (escala 1:1) 1685 212221 =−− xxxx 88,56 1,5 2,3 an a b an 1-1- ott = = 1 3251 2 2 2 2 2 1 =+− ,, yy •Exemplo 2: -Encontrando a matriz P - Autovetores de A -v1 e v2 são ortogonais mas não são ortonormais 1685 212221 =−− xxxx = −= 2 1 7λv − = = 1 2 3λv 11/11/2013 9 •Exemplo 2: -Normalização -Matriz P 1685 212221 =−− xxxx == −= −= 5 2 5 1 7 7 1 λ λ v v v − == = = 5 1 5 2 3 3 2 λ λ v v v − = 5 1 5 2 5 2 5 1 P − = − 5 1 5 2 5 2 5 1 1P •Exemplo 2: -Novo sistema de coordenadas (escala 1:1) 1685 212221 =−− xxxx Onde o ângulo do sistema y1y2 com o sistema x1x2 é 63,4º. •Exemplo 2: -Gráfico (escala 1:1) 1685 212221 =−− xxxx •Exemplo 2: -Analisando (escala 1:1) 1685 212221 =−− xxxx x1 x2 0 - ±4 0 11/11/2013 10 Eliminando o termo cruzado •Complementação de quadrados 052413 2 22 2 11 =++++ axaxaxaxa [ ] [ ] 0 0 0 5 2 1 43 2 1 2 1 21 =+ + a x x aa x x a a xx [ ] [ ] 0 2 1 21 2 1 2221 1211 21 =+ + c x x bb x x aa aa xx •Exemplo 3: Encontre o gráfico da elipse 05282 212221 =++−+ xxxx •Exemplo 3: Termos semelhantes: Somando números: 05282 212221 =++−+ xxxx 5282 222121 −=++− xxxx ( ) ( ) 5242 222121 −=++− xxxx ( ) ( ) 561128842 222121 −=−+++−+− xxxx ( ) ( ) 51128442 222121 −=−+++−+− xxxx •Exemplo 3: Fazendo: y1 = x1 -2 e y2 = x2+1 05282 212221 =++−+ xxxx ( ) ( ) 511822 2221 −=−++−− xx ( ) ( ) 4122 2221 =++− xx ( ) ( ) 42 2221 =+ yy 11/11/2013 11 •Exemplo 3: Colocando na forma padrão da elipse: 05282 212221 =++−+ xxxx 1 42 2 2 2 1 =+ yy 24b e 4,12a ==≅= •Exemplo 3: Escala: 1:1 05282 212221 =++−+ xxxx •Exemplo 3: Analisando no sistema x1x2: 05282 212221 =++−+ xxxx x1 x2 0 - 3,22 e 0,77 0 Cônica completa – todos os termos •Primeiro eliminação do termo cruzado •Segundo complementação de quadrados 062514213 2 22 2 11 =+++++ axaxaxxaxaxa 11/11/2013 12 •Cônica completa – todos os termos •Duas mudanças de sistema de coordenadas (Todos os termos → + termo cruzado + termos lineares) (- termo cruzado + termos lineares) (- termo cruzado - termos lineares) Sistema X Sistema Y Sistema Y’ Posição canônica •Exemplo 4: Encontre o gráfico de 0451654485 2121 2 2 2 1 =+−+−+ xxxxxx •Exemplo 4: •Escrever na forma: 0451654485 21212221 =+−+−+ xxxxxx 0=++ cBAT xxx [ ] 4 51654B 82 25 2 1 =−= = − − = c x x A x •Exemplo 4: •Autovalores de A: 4 e 9 •Autovetores de A: são ortogonais mas não ortonormais 0451654485 2121 2 2 2 1 =+−+−+ xxxxxx = = 1 2 4λv − = = 2 1 9λv − == = = 5 2 5 1 9 9 2 λ λ v v v == = = 5 1 5 2 4 4 1 λ λ v v v 11/11/2013 13 •Exemplo 4: •Matriz P: •As expressões são equivalentes 0451654485 21212221 =+−+−+ xxxxxx − = 5 2 5 1 5 1 5 2 P − = − 5 2 5 1 5 1 5 2 1P 0=++ cBAT xxx 0)( =++ cBPDT yyy •Exemplo 4: 0451654485 21212221 =+−+−+ xxxxxx [ ] [ ] 04 5 2 5 1 5 1 5 2 51654 90 04 2 1 2 1 21 =+ − −+ y y y y yy [ ] 0436894 2 12 2 2 1 =+ −−++ y y yy 0436894 212221 =+−−+ yyyy •Exemplo 4: •Manipulando a equação 0451654485 21212221 =+−+−+ xxxxxx 0436984 2 2 21 2 1 =+−+− yyyy ( ) ( ) 044924 222121 =+−+− yyyy ( ) ( ) 43636494424 222121 −=−+−+−+− yyyy ( ) ( ) 4364494124 222121 −=−+−+−+− yyyy ( ) ( ) 362914 2221 =−+− yy •Exemplo 4: •Fazendo: y’1=y1-1 e y’2=y2-2 •Colocando na forma padrão da elipse 0451654485 2121 2 2 2 1 =+−+−+ xxxxxx 36'9'4 22 2 1 =+ yy 1 4 ' 9 ' 2 2 2 1 =+ yy 24b e 39a ==== 11/11/2013 14 •Exemplo 4: Sistema y’1y’2 Escala: 1:1 0451654485 21212221 =+−+−+ xxxxxx 1 23 2 2 2 2 2 1 =+ '' yy •Exemplo 4: Sistema y1y2 Escala: 1:1 y’1=y1-1 y’2=y2-2 0451654485 21212221 =+−+−+ xxxxxx •Exemplo 4: Sistema x1x2 Escala: 1:1 0451654485 21212221 =+−+−+ xxxxxx − = 21 12 5 1P •Exemplo 4: Sistema x1x2 Escala: 1:1 0451654485 21212221 =+−+−+ xxxxxx 11/11/2013 15 0451654485 21212221 =+−+−+ xxxxxx•Exemplo 4: Verificando no sistema x1x2 x1 x2 0 4,358 e 0,11 -0,89 0 013830626) 08416425) 2121 2 2 2 1 2121 2 2 2 1 =+−+++− =−−−++ xxxxxxb xxxxxxa •Exercício 1: Encontre o gráfico de : IMPORTANTE •Conseguir identificar a influência de cada termo na cônica •Saber eliminar o termo cruzado da forma quádrica completa utilizando a diagonalização ortogonal •Saber eliminar os termos lineares •Conseguir traçar o gráfico de uma quádrica completa jossana@ect.ufrn.br www.facebook.com/algebracomjo @AlgebraComJo
Compartilhar