Apostila calculo 2 - EXERCICIOS RESOLVIDOS

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INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
 Seja f uma função e F uma primitiva de f. A integral definida de f de a até b é o número real 
 
 representado por ∫ e calculado por F(b) - F(a). ba f(x)dx
 
 = = F(b) - F(a) ∫ ba f(x)dx ba[F(x)]
 
 
E1) Calcule: 
 
 1) 2) dxx
3
0
2∫ dxx)(1 411∫− −
 
 
1. PROPRIEDADES BÁSICAS 
 
a) = 0 ∫ aa f(x)dx
 
b) ∫ = - ba f(x)dx ∫ ab f(x)dx
 
c) = c. , sendo c uma constante ∫ ba c.f(x)dx ∫ ba f(x)dx
 
d) ∫ = ± ±ba g(x)]dx[f(x) ∫ ba f(x)dx ∫ ba g(x)dx
 
e) = ∫ + , com a < c < b ∫ ba f(x)dx ca f(x)dx ∫ bc f(x)dx
 
f) 0, se f(x) ≥0, [a,b] ∫ ba f(x)dx ≥ ∈∀x
 
 
E2)Calcule: 
 
 1) 2) 3) ∫ +−10 34 dx)1x3x( ∫− −+−01 25 dx)1x2x3x3( ∫ ++52 2 du)u3u22(
 
 4) dt
t
1t
9
1∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ − 5) 6) ∫ 20 2 1)dx -(x x ∫ +12 2t 1t dt 
 
 7) 8) 9) ∫ 21 5 dx4) -(2x ∫ 24 4 dx6) -(2x ∫ +10 32 dx 1) 8x(x
 
10) ∫ +
4
0 16u
1 du 11) ∫ +
2
1 23
2
)1x(
x dx 
 
12) du12uu)uu( 24
1
0
3 +++∫ 
 
13) 14) ∫− −32 dx|1x| ∫ +−
2
0 2 96xx
dx 15) ∫ 01- x-1dx 
 
16) dx
2
|x|x
1
1∫− ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − 17) 18) ∫− −
5
2
dt|42t| ∫ −31
34
x
xx dx 
 
 
 
 
 
2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
 Seja f uma função continua em [a,b] com f(x) ≥ 0, ∈∀x [a,b]. 
 
 Vamos calcular a área da região situada entre o gráfico de f e o eixo das abscissas de a até b. 
 y f 
 
 f(x+ ) ∆x
 A1 A2 
 f(x) 
 A3 
 
 A ∆A
 
 0 a x x +∆ b x x
 
 A é a área da região hachurada, é o acréscimo que sofre a área A quando x recebe um acréscimo 
. 
∆A
∆x
 
 A3 ≤ ( A2 + A3 ) ≤ (A1 + A2 + A3 ) f(x).∆⇔ x ≤ ∆A ≤ f(x + x). ⇒ f(x) ∆x ≤ ∆x
∆A ≤ f(x + ) ∆x
 
 f(x) 
0x
lim
→∆
≤
0
lim→∆x ∆x
∆A ≤ f(x + ) 
0x
lim
→∆
∆x ⇔ f(x) ≤
0
lim→∆x ∆x
∆A ≤ f(x ) ⇒
0
lim→∆x ∆x
∆A = f(x) A’ = 
f(x) 
⇔
 
 Então A é uma primitiva de f(x) , logo A = F(x) + k. 
 
 Para x = a, A = 0 e k = -F(a), logo A = F(x) - F(a) 
 
 Para calcular a área de a até b basta tomar x = b. 
 
 Para x = b, A = F(b) - F(a) = ∫ ba f(x)dx
 
 
 Se f é uma função continua e não negativa em [a,b], o número representa a área da região ∫ ba f(x)dx
 limitada pelo gráfico de f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b. 
 
 
 
 
 y 
 
 f 
 
 
 
 R 
 
 
 0 a b x 
 
 AR = ∫ ba f(x)dx
 
 
 
3. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS 
 
 Sejam f e g funções continuas em [a,b] , com f(x) ≥ g(x) , ∈∀x [a,b]. Se R é a região limitada pelos 
 
 gráficos de f, g, x=a e x=b então AR = 
 
∫ ba g(x)]dx-[f(x)
 y 
 
 f 
 
 R 
 g 
 
 
 0 a b x 
 
 
E3)Calcule a área da região limitada por: 
 
1) y=-x2 + 4 e y=0 
2) y=x2 – 4, y=0, x=-1 e x=2 
3) y=x, y=0, x=-2 e x=1 
4) y=x2 – 1 e y=3 
5) y=x2 + 1, y=2x - 2, x=-1 e x=2 
6) y=x3, y=-x + 2 e y=0 
7) y= x e y=x2 
8) y=x e y=x3 
 
4. RESPOSTAS 
 
E1) 1) 9 2) 
5
32 
E2) 1) 
20
9 2)
2
7− 3) 144 4)
3
40 5) 
3
4 6) 2ln
2
1 −− 7) 
3
16− 8)
5
32− 9) 15 
10) 
3
4 11)
54
7 12)
6
7 13)
2
13 14)
3
2 15) 222 − 16)
2
1− 17) 25 18)
3
34 
 
E3) 1) 
3
32 2) 9 3) 
2
5 4)
3
32 5) 9 6)
4
3 7)
3
1 8)
2
1