Manual Cálculo - Professor Jairo Mengues

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Ca´lculo Diferencial e Integral
(Notas de aula - em construc¸a˜o)
Prof. Jairo Kra´s Mengue
2015
2
Cap´ıtulo 1
Revisa˜o do estudo de func¸o˜es
1.1 conceitos iniciais
Dados nu´meros reais a < b vamos usar as seguintes notac¸o˜es para intervalos:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}, (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}, (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}
[a,+∞) = {x ∈ R : a ≤ x}, (a,+∞) = {x ∈ R : a < x}
(−∞,+∞) = R
Exemplo 1 -
1 - Supondo-se que o prec¸o de uma substaˆncia seja de R$ 5,00 por ml, qual
sera´ o valor total da compra?
2 - Deve-se preparar uma mistura a partir de duas substaˆncias A e B, mantendo-
se a proporc¸a˜o de 20g da substaˆncia B para cada 15g da substaˆncia A. Quantos
gramas da substaˆncia B devem ser usadas na mistura?
Em ambos os problemas a resposta mais natural e´: Depende...
No exemplo 1, o valor total da compra esta´ em func¸a˜o da quantidade da substaˆncia
adquirida e no segundo exemplo a quantidade, em gramas, da substaˆncia B a ser
usada depende da quantidade, em gramas, da substaˆncia A usada na mistura.
Exemplo 1:
Quantidade em ml custo total da compra em R$
1 5
2 10
3 15
3, 5 17, 50
10, 2 51
x 5 · x
3
4 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES
Exemplo 2:
substaˆncia A em gramas substaˆncia B em gramas
15 20
3 4
6 8
1 4/3
x 43 · x
Definic¸a˜o 2 Uma func¸a˜o f : D → R e´ uma regra que para cada nu´mero x do
conjunto D ⊆ R associa um u´nico nu´mero real denotado por f(x).
Exemplo 3 A´rea do quadrado em func¸a˜o da medida de um de seus lados:
x (medida de um dos lados) f(x) (a´rea do quadrado)
1 1
3 9
7 49
1, 32 1, 7424
x x2
Escrevemos: f(1) = 1, f(3) = 9 f(1, 32) = 1, 7424 e em geral f(x) = x2.
Na definic¸a˜o acima o conjunto D e´ chamado domı´nio da func¸a˜o. Este con-
junto pode estar explicitamente informado, ou em alguns casos na˜o ser ex-
plicitamente fornecido, neste caso vamos adotar o padra˜o de considerar como
domı´nio o maior conjunto poss´ıvel, levando-se em considerac¸a˜o:
a. a poss´ıvel fo´rmula da func¸a˜o
b. o problema proposto.
Exemplo 4 (caso a.) No exemplo da a´rea do quadrado acima, na˜o e´ na-
tural considerarmos nu´meros negativos no domı´nio da func¸a˜o. Escrevemos
Dom(f) = [0,+∞).
Exemplo 5 (caso a.) per´ımetro de um quadrado em func¸a˜o da medida de um
de seus lados:
f(x) = 4x, Dom(f) = [0,+∞).
Exemplo 6 (caso b.)
f(x) = 2x−5 , Dom(f) = R− {5}
g(x) =
√
x− 8, Dom(g) = [8,+∞)
h(x) = 1√
x−1 , Dom(h) = (1,+∞)
Para uma compreensa˜o do comportamento global da func¸a˜o uma ferramenta
u´til e´ dada por seu gra´fico.
Definic¸a˜o 7 O gra´fico de f e´ o conjunto dos pontos coordenados da forma
(a, f(a)) onde a ∈ Dom(f).
Exemplo 8 f : [0, 4)→ R, f(x) = 2x.
1.2. FUNC¸A˜O LINEAR 5
(5, 13) na˜o esta´ no gra´fico de f pois 5 /∈ Dom(f)
(4, 6) na˜o esta´ no gra´fico de f pois 4 /∈ Dom(f)
(−1, −2) na˜o esta´ no gra´fico de f pois −1 /∈ Dom(f)
(2, 5) na˜o esta´ no gra´fico de f pois f(2) 6= 5
(3, 7) na˜o esta´ no gra´fico de f pois f(3) 6= 7
(3, 6) esta´ no gra´fico de f pois 3 ∈ Dom(f) e f(3) = 6
Exemplo 9 f : [−2, 2] → R, f(x) = x2 e g : [0, 2] → R, g(x) = x2. Sa˜o
func¸o˜es diferentes. Observe seus gra´ficos
Teste da reta vertical: Qualquer reta vertical corta o gra´fico de uma
func¸a˜o em no ma´ximo um ponto.
Observac¸o˜es:
- Tanto a func¸a˜o quanto a varia´vel podem ser representadas por diversas letras.
Exemplos: f(x) = 2x, g(t) = t2, h(s) = 3s.
- E´ comum denotarmos f(x) pela letra y. Exemplo: y = x2. Neste caso se
escolhemos x = 3 enta˜o obtemos y = 9. Se escolhemos x = 2 obtemos y = 4.
1.2 Func¸a˜o linear
f(x) = m · x, m constante fixada.
Exemplo 10 Em cada gra´fico observe a inclinac¸a˜o da reta e o valor da cons-
tante m na equac¸a˜o y = mx
6 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES
O gra´fico da func¸a˜o linear f(x) = m · x e´ uma reta no plano cartesiano
contendo a origem (0, 0). O nu´mero m e´ chamado coeficiente angular ou
inclinac¸a˜o da reta.
1.3 Func¸a˜o afim
f(x) = m · x+ h com m, h constantes fixadas.
Exemplo 11 -
- O gra´fico da func¸a˜o afim f(x) = m ·x+h e´ uma reta no plano cartesiano,
obtida deslocando-se o gra´fico da func¸a˜o linear g(x) = m · x em h unidade(s)
1.3. FUNC¸A˜O AFIM 7
para cima/baixo se h e´ positivo/negativo.
- O gra´fico da func¸a˜o afim f(x) = m · x+ h e´ uma reta no plano cartesiano
com inclinac¸a˜o m e contendo o ponto (0, h).
Teorema 12 Fixados quaisquer dois pontos distintos (a, f(a)) e (b, f(b)) do
gra´fico da func¸a˜o afim f(x) = m · x+ h temos:
∆y
∆x
=
f(b)− f(a)
b− a = m (coef. angular).
Exemplo 13
f(x) = 5x+ 3.
Escolhendo-se os nu´meros a = 2 e b = 7 para a varia´vel x temos:
(2, 13) e (7, 38) no gra´fico
Para esta escolha
∆y
∆x
=
f(7)− f(2)
7− 2 =
38− 13
7− 2 =
25
5
= 5 coef. angular
Escolhendo-se os nu´meros a = 4 e b = 3 para x temos:
(4, 23) e (3, 18) no gra´fico
Para esta escolha
∆y
∆x
=
f(3)− f(4)
3− 4 =
18− 23
3− 4 =
−5
−1 = 5 coef. angular
Note que para qualquer escolha teremos
∆y
∆x
=
f(b)− f(a)
b− a =
(5 · b+ 3)− (5 · a+ 3)
b− a =
5 · b− 5 · a
b− a =
5(b− a)
(b− a) = 5.
Observac¸a˜o: A letra grega ∆ (delta) e´ comumente usada para representar
uma variac¸a˜o. Quando escrevemos y = f(x), a expressa˜o f(b) − f(a) corres-
ponde a uma variac¸a˜o de y enquanto b − a corresponde a uma variac¸a˜o de x.
A expressa˜o ∆y∆x =
f(b)−f(a)
b−a e´ chamada de uma taxa de variac¸a˜o e compara
a variac¸a˜o de y com a variac¸a˜o de x. O teorema acima afirma que em uma
func¸a˜o afim y = m · x+ h a taxa de variac¸a˜o e´ constante. “Para cada unidade
adicionada a coordenada x de um ponto no gra´fico temos que a coordenada y
sofre um acre´scimo de m unidades”.
Equac¸a˜o da reta dados um ponto e sua inclinac¸a˜o:
Ponto: (x0, y0)
Inclinac¸a˜o: m
Equac¸a˜o: y − y0 = m(x− x0)
Exemplo 14 Equac¸a˜o da reta de inclinac¸a˜o m = 3 e contendo o ponto (2,−7):
y−y0 = m(x−x0) =⇒ y−(−7) = 3(x−2) =⇒ y+7 = 3(x−2) =⇒ y = 3x−13.
8 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES
1.4 Func¸a˜o quadra´tica
f(x) = ax2 + bx+ c com a, b, c constantes e a 6= 0.
O gra´fico sera´ uma para´bola
 coˆncava para cima, se a > 0coˆncava para baixo, se a < 0
Ve´rtice em x0 =
−b
2a
Corte com o eixo y em f(0) = c
Corte(s) com o eixox em x1 =
−b−√b2−4ac
2a e x2 =
−b+√b2−4ac
2a
Exemplo 15
f(x) = 3x2 + 3x− 6
- Coˆncava para cima
- Corte com o eixo y em f(0) = −6
- Cortes com o eixo x em: x1 = −2 e x2 = 1
-ve´rtice:
 x0 = −b2a = −32·3 = −12y0 = f(x0) = f(−1/2) = 3 · 14 + 3 · (−12)− 6 = −274
Exemplo 16
f(x) = −x2 + 6x− 11
- coˆncava para baixo
- corte com o eixo y em: f(0) = −11
- corte(s) com o eixo x: Na˜o ha´.
1.5. FUNC¸A˜O POLINOMIAL E RACIONAL 9
-ve´rtice:
 x0 = −b2a = −62·(−1) = 3y0 = f(x0) = f(3) = −9 + 18− 11 = −2
1.5 Func¸a˜o polinomial e racional
Func¸a˜o polinomial:
f(x) = anx
n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0
Func¸a˜o racional:
f(x) =
p(x)
q(x)
, com p(x), q(x) func¸o˜es polinomiais
Obs: O domı´nio de uma func¸a˜o racional na˜o conte´m os nu´meros que anulam
o polinoˆmio no denominador.
Exemplo 17 f(x) =
x2 − x+ 3
x2 − 4 .
10 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES
Note que os nu´meros −2 e 2 na˜o pertencem ao domı´nio de f pois anulam
a expressa˜o x2 − 4 no denominador da frac¸a˜o. Observe o comportamento do
gra´fico em valores pro´ximos a estes nu´meros.
Observe tambe´m o comportamento do gra´fico para x > 4 e para x < −6.
Exemplo 18 f(x) =
x2 − 1
x+ 1
Note que o nu´mero −1 na˜o pertence ao domı´nio de f pois anula a ex-pressa˜o x + 1 no denominador da frac¸a˜o. Observe no entanto que o gra´fico
acima apresentado por um recurso computacional transmite a impressa˜o de
que f(−1) = −2. Ale´m disso o gra´fico aparenta ser uma linha reta de in-
clinac¸a˜o m = 1 e contendo o ponto (0,−1). Este seria o gra´fico da func¸a˜o afim
g(x) = x− 1. Isso e´ natural se observarmos que
x2 − 1
x+ 1
=
(x− 1)(x+ 1)
x+ 1
= x− 1 se x 6= −1
Como o nu´mero −1 na˜o esta´ no domı´nio de f costumamos fazer a repre-
sentac¸a˜o gra´fica na forma abaixo:
1.6 Func¸o˜es seno e cosseno
Dado qualquer c´ırculo, sua circunfereˆncia e´ um pouco maior que o triplo de seu
diaˆmetro.
1.6. FUNC¸O˜ES SENO E COSSENO 11
O valor para o quociente
circunfereˆncia
diaˆmetro
independe do tamanho do c´ırculo, sendo este nu´mero denotado por pi. Temos
que
pi ≈ 3, 1415926
A partir deste momento vamos considerar fixado um c´ırculo com centro
na origem do plano cartesiano, cujo raio mede 1 unidade. Neste caso, sua
circunfereˆncia ira´ medir 2pi unidades. Fixamos tambe´m o ponto (1, 0) no plano
cartesiano, que pertence ao c´ırculo. Dado um nu´mero real θ vamos associar a
este nu´mero um ponto do c´ırculo denotado por R(θ), da seguinte forma:
1 - Se θ = 0 enta˜o R(θ) = (1, 0)
2 - Se θ > 0, devemos percorrer a partir do ponto (1, 0), no sentido anti-hora´rio,
um arco de c´ırculo de comprimento θ. O extremo final deste arco sera´ dado
por R(θ)
3 - Se θ < 0, devemos percorrer a partir do ponto (1, 0), no sentido hora´rio, um
arco de c´ırculo de comprimento θ. O extremo final deste arco sera´ dado por
R(θ).
Na representac¸a˜o em figuras a letra R sera´ omitida:
Note que para cada nu´mero real θ, o ponto do c´ırculo associado tera´ duas
coordenadas (que sa˜o nu´meros entre zero e um) R(θ) = (c(θ), s(θ)).
- A primeira coordenada, c(θ) e´ conhecida como func¸a˜o cosseno e denotada por
cos(θ).
- A segunda coordenada, s(θ) e´ conhecida como func¸a˜o seno e denotada por
sen(θ).
12 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES
Exemplo 19 Abaixo, para uma estimativa do cosseno de alguns nu´meros,
olhamos para a primeira coordenada do ponto R(θ). Para uma estimativa do
seno olhamos para a segunda coordenada:
θ cos(θ) aproximado
0 1
1 0, 54
pi/2 0
2 −0, 42
3 −0, 99
pi −1
θ sen(θ) aproximado
0 0
1 0, 84
pi/2 1
2 0, 91
3 0, 14
pi 0
As func¸o˜es seno e cosseno sa˜o perio´dicas com per´ıodo 2pi, mais precisamente
sen(θ + 2pi) = sen(θ), cos(θ + 2pi) = cos(θ).
Gra´ficos: Para representac¸a˜o no sistema cartesiano vamos usar a tradici-
onal varia´vel x no lugar de θ. Ao mesmo tempo y representa sen(x) ou cos(x)
respectivamente.
Proposic¸a˜o 20 Para todo θ ∈ R, sen2(θ) + cos2(θ) = 1
Exemplo 21 Para θ = pi/4 temos que sen(θ) = cos(θ). Denotando este valor
por a obtemos:
1.7. FUNC¸A˜O EXPONENCIAL 13
1 = a2 + a2 = 2a2 =⇒ a2 = 1/2 =⇒ a = 1√
2
=
√
2
2
.
Assim
sen(pi/4) =
√
2
2
e cos(pi/4) =
√
2
2
.
Exemplo 22 Para θ = pi/6 temos que sen(θ) = 12 . Denotando cos(θ) por b
obtemos:
1 = (1/2)2 + b2 =⇒ b2 = 1− 1/4 =⇒ b2 = 3
4
=⇒ b =
√
3
2
.
Assim
sen(pi/6) = 1/2 e cos(pi/6) =
√
3
2
Exemplo 23 Para θ = pi/3 temos que cos(θ) = 12 . Denotando sen(θ) por b
obtemos:
1 = b2 + (1/2)2 =⇒ b2 = 3
4
=⇒ b =
√
3
2
.
Assim
sen(pi/6) =
√
3
2
e cos(pi/6) = 1/2
1.7 Func¸a˜o exponencial
Fixado b > 0 e n ∈ N temos:
bn = b · b · ... · b︸ ︷︷ ︸
n vezes
, b−n =
1
bn
, b
1
n =
n
√
b, b0 = 1.
Se r = p/q e´ racional, com p ∈ Z e q ∈ N∗ calculamos (do ponto de vista pra´tico
sera´ por aproximac¸o˜es)
bp/q =
q
√
bp.
Se α e´ irracional calculamos bα por aproximac¸o˜es.
Definic¸a˜o 24 (Func¸a˜o exponencial de base b > 0) -
y = bx.
14 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES
Exemplo 25 Exponencial de base 10.
x −2 −1 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5
y (aproximado) 0, 01 0, 1 1 3, 16 10 31, 6 100 316, 2 1000 3162, 3
Note que para f(x) = 10x,
f(0) = 100 = 1 e f(x+ 1) = 10x+1 = 10 · 10x = 10 · f(x).
“Quando somamos uma unidade ao valor de x o valor de y correspondente e´
multiplicado por 10”.
Exemplo 26 Exponencial de base 2.
x −2 −1 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5
y (aproximado) 0, 25 0, 5 1 1, 4142 2 2, 8284 4 5, 6568 8 11, 3137
Note que para f(x) = 2x,
f(0) = 20 = 1 e f(x+ 1) = 2x+1 = 2 · 2x = 2 · f(x).
“Quando somamos uma unidade ao valor de x o valor de y correspondente e´
multiplicado por 2”.
Exemplo 27 Exponencial de base 12 .
Note que o gra´fico de g(x) =
(
1
2
)x
e´ sime´trico ao gra´fico de f(x) = 2x em
relac¸a˜o ao eixo y. De fato, vale que
f(−x) = 2−x =
(
1
2
)x
= g(x).
Propriedades da func¸a˜o exponencial:
1. f(a+ b) = f(a) · f(b) 2. f(a− b) = f(a)
f(b)
3. f(0) = 1
1.8. OPERAC¸O˜ES ENVOLVENDO FUNC¸O˜ES 15
4. Se f(x) = bx e g(x) = (1/b)x enta˜o os gra´ficos de f e g sa˜o sime´tricos em
relac¸a˜o ao eixo y. Ou seja f(−x) = g(x).
Uma base especial que sera´ estuda ao longo do texto e´ obtida pelo nu´mero
e ≈ 2, 718. O valor exato de e e´ dado por
e = 2 +
1
2
+
1
2 · 3 +
1
2 · 3 · 4 +
1
2 · 3 · 4 · 5 + ...,
uma soma que envolve infinitas parcelas. Podemos obter aproximac¸o˜es do
nu´mero e somando-se uma quantidade finita de parcelas. Por exemplo,
2 +
1
2
+
1
2 · 3 = 2, 6666...
2 +
1
2
+
1
2 · 3 +
1
2 · 3 · 4 = 2, 70833333...
1.8 Operac¸o˜es envolvendo func¸o˜es
Definic¸a˜o 28 Se a e´ um nu´mero no domı´nio das func¸o˜es f e g definimos,
(f + g)(a) = f(a) + g(a)
(f − g)(a) = f(a)− g(a)
(f · g)(a) = f(a) · g(a)
f
g (a) =
f(a)
g(a) , se g(a) 6= 0.
Exemplo 29 Se f(x) = 2/x e g(x) = 5x−2 enta˜o
(f + g)(x) =
2
x
+
5
x− 2 =
2(x− 2) + 5x
x(x− 2) =
7x− 4
x(x− 2) .
Note que Dom(f + g) na˜o conte´m os nu´meros 0 e 2.
(f/g)(x) =
2/x
5/(x− 2) =
2(x− 2)
5x
Embora a expressa˜o esteja definida em x = 2, este nu´mero na˜o pertence ao
domı´nio de (f/g) pois na˜o pertence ao domı´nio de g.
Se f(x) = 2/x e g(x) = x/3 enta˜o
(f/g)(x) =
(2/x)
(x/3)
= 6.
Embora esta expressa˜o esteja definida em x = 0, este nu´mero na˜o pertence
ao domı´nio de f/g pois na˜o pertence ao domı´nio da func¸a˜o f (ale´m disso
g(0) = 0).
Ale´m das 4 operac¸o˜es acima (compat´ıveis com as operac¸o˜es envolvendo
nu´meros) as func¸o˜es admitem a operac¸a˜o de composic¸a˜o.
Definic¸a˜o 30 Dadas func¸o˜es f : A → R e g : B → R, se f(x) ∈ B para todo
x ∈ A podemos definir uma nova func¸a˜o h : A→ R por h(x) = g ◦ f onde
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
e´ a composta de f e g.
Exemplo 31 f(x) = x+ 2 e g(x) = x2
(g ◦ f)(1) =?
f(1) = 3 e g(3) = 9 enta˜o (g ◦ f)(1) = 9.
16 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES
(g ◦ f)(5) =?
f(5) = 7 e g(7) = 49 enta˜o (g ◦ f)(5) = 49.
Outra forma
(g ◦ f)(10) = g(f(10)) = g(10 + 2) = g(12) = 122 = 144.
(g ◦ f)(0) = g(f(0)) = g(2) = 22 = 4.
Em geral, usando a varia´vel auxiliar t:
(g ◦ f)(t) = g(f(t)) = g(t+ 2) = (t+ 2)2 = t2 + 4t+ 4
ou seja (trocando t por x)
(g ◦ f)(x) = x2 + 4x+ 4.
Exemplo 32 As func¸o˜es f ◦ g e g ◦ f sa˜o em geral diferentes.
Dadas f(x) = x/2 e g(x) = 3x2 + 1. Comparando-se o que acontece em x = 4
obtemos
(f ◦ g)(4) = f(g(4)) = f(3 · 42 + 1) = f(49) = 24, 5
(g ◦ f)(4) = g(f(4)) = g(4/2) = g(2) = 3 · 22 + 1 = 13.
Note que em geral
(g ◦ f)(t) = g(f(t)) = g(t/2) = 3t2/4 + 1 =⇒ (g ◦ f)(x) = 3x
2 + 4
4
.
(f ◦ g)(t) = f(g(t)) = f(3t2 + 1) = 3t
2 + 1
2
=⇒ (f ◦ g)(x) = 3x
2 + 1
2
.
Func¸a˜o inversa
Definic¸a˜o 33 Dadas f : A → R e g : B → R, dizemos que f e g sa˜o func¸o˜es
inversas se
(f ◦ g)(x) = x para todox ∈ B e (g ◦ f)(x) = x para todox ∈ A.
Notac¸a˜o: f−1 denota a inversa de f .
Exemplo 34 f(x) = 2x+ 3 e g(x) = x−32 sa˜o func¸o˜es inversas.De fato,
(f ◦ g)(t) = f(g(t)) = f( t− 3
2
) = 2
(
t− 3
2
)
+ 3 = t
(g ◦ f)(t) = g(f(t)) = g(2t+ 3) = (2t+ 3)− 3
2
= t.
Exemplo 35 Determine a func¸a˜o inversa de f(x) = 7x+ 2.
Soluc¸a˜o:
Escrevendo y = 7x+2 temos que os valores de y sa˜o determinados pelas escolhas
dos valores de x. A func¸a˜o inversa busca determinar os valores de x a partir
das escolhas de valores de y. Para isso observamos que
y = 7x+ 2⇐⇒ y − 2 = 7x⇐⇒ y − 2
7
= x.
A func¸a˜o inversa e´ dada por f−1(y) = y−27 . Ou, na tradicional varia´vel x,
f−1(x) = x−27 .
Note que se f(a) = b enta˜o f−1(b) = a.
1.8. OPERAC¸O˜ES ENVOLVENDO FUNC¸O˜ES 17
Exemplo 36 Considere a func¸a˜o f : R→ R, f(x) = x2. Supondo ser poss´ıvel
calcularmos sua inversa, qual seria o valor de f−1(4)?
Como f(2) = 4, devemos ter f−1(4) = 2.
Como f(−2) = 4, devemos ter tambe´m f−1(4) = −2.
Isso contradiz a definic¸a˜o de func¸a˜o.
A func¸a˜o f na˜o possui inversa.
Teste da reta horizontal: Se f e´ invert´ıvel, cada reta horizontal encontra
seu gra´fico em no ma´ximo um ponto.
Note que o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x2 na˜o verifica o teste da reta hori-
zontal. A reta horizontal de altura y = 4 encontra o gra´fico de y = x2 em dois
pontos. Esta func¸a˜o na˜o e´ invert´ıvel.
Exemplo 37 A func¸a˜o f : [0,+∞) → R, f(x) = x2 e´ invert´ıvel. Sua inversa
e´ dada por g : [0,+∞)→ R, g(x) = √x.
Note que os gra´ficos de f e g sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o a reta y = x.
18 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES
Note que para f invert´ıvel sa˜o equivalentes:
(a, b) esta´ no gra´fico de f
f(a) = b
f−1(b) = a
(b, a) esta´ no gra´fico de f−1
Os gra´ficos de f e f−1 sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o a reta y = x.
Exemplo 38 Se restringirmos a func¸a˜o seno ao intervalo [−pi/2, pi/2], o gra´fico
correspondente ira´ satisfazer o teste da reta horizontal. A inversa de
sen(x), x ∈ [−pi/2, pi/2] e´ conhecida como func¸a˜o arco-seno, y = arcsen(x), x ∈
[−1, 1].
1.9 Func¸a˜o logaritmo
Se b > 0, b 6= 1 temos que o gra´fico da func¸a˜o exponencial y = bx verifica o
teste da reta horizontal. A inversa da func¸a˜o exponencial e´ chamada de func¸a˜o
logar´ıtmica e denotada por y = logb(x), x > 0.
Exemplo 39 Para a base b = 2 temos os gra´ficos abaixo:
Colocados em um mesmo sistema de coordenadas e´ poss´ıvel observar-se a
simetria em relac¸a˜o a reta y = x:
1.10. EXERCI´CIOS 19
Temos que log2(a) = b se 2
b = a, assim:
log2(8) = 3, log2(4) = 2, log2(2) = 1, log2(1) = 0, log2(1/2) = −1.
Propriedades:
1. logb(b
x) = x (func¸o˜es inversas)
2. blogb(x) = x, x > 0 (func¸o˜es inversas)
3. logb(1) = 0 (consequeˆncia de 1. com x=0)
4. logb(α · β) = logb(α) + logb(β), α > 0, β > 0
5. logb(α/β) = logb(α)− logb(β), α > 0, β > 0
6. logb(x
α) = α logb(x), x > 0
Vamos trabalhar com uma base especial dada por e ≈ 2, 71828. Neste caso
a func¸a˜o logar´ıtmica e´ chamada de logaritmo natural e denotada por
y = ln(x), x > 0. Abaixo apresentamos os gra´ficos da func¸a˜o exponencial
natural y = ex e da func¸a˜o logaritmo natural y = ln(x) em um mesmo sistema
de eixos.
1.10 Exerc´ıcios
Q1 - Determine quais dos pontos esta˜o no gra´fico da func¸a˜o f(x) = (x− 3)2:
a) (1,−4) b) (2, 1) c)(9, 0) d)(0, 9) e)(5, 4)
Q2 - Determine quais dos pontos esta˜o no gra´fico da func¸a˜o f(x) = x2− 3x , cujo
domı´nio considerado e´ o intervalo (2, 7]:
20 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES
a) (1,−2) b) (2, 52), c) (52 ,−54), d) (10, 99710 ) e) (3, 8) f) (6, 712 )
Q3 - Determine a inclinac¸a˜o e fac¸a um esboc¸o da reta que passa pelos pontos
de coordenadas:
a) (1,3) e (3,7) b) (2,5) e (0,7) c) (0,0) e (3,5) d) (2,4) e (5,4).
Q4 - Determine o valor de a e b na func¸a˜o f(x) = ax + b, sabendo que seu
gra´fico e´ uma reta:
a) com inclinac¸a˜o 5 e contendo o ponto (1, 8)
b) com inclinac¸a˜o -3 e contendo o ponto (2, 4)
c) com inclinac¸a˜o 0 e contendo o ponto (5, 1)
d) com inclinac¸a˜o -2 e contendo o ponto (15 ,
3
7)
Q5 - Determine o domı´nio da func¸a˜o:
a) f(x) =
√
2x+ 3 b) g(t) = 13t+7 , c) h(s) = s
2 − s√
9−2s d) f(x) = 5.
e) g(x) =
√
x− 1 f) h(x) = 2
x2+3
g) f(x) = 5x+1
x2−4 .
Q6 - Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o, destacando o ve´rtice da para´bola e
as poss´ıveis intersec¸o˜es com os eixos:
a)f(x) = 2x2 + 2x− 4
b)f(x) = −3x2 + x
c)f(x) = x2 − 4x+ 14
d)g(x) = 3x2 − 18x+ 15
e)f(x) = −x2 + 4x− 3
f)g(x) = x2 − 9
Q7 - Determine f ◦ g e g ◦ f onde:
a) f(x) = 3x− 5, g(x) = x2 − 1
b) f(x) = 5x+ 2 g(x) = x5 − 2
c) f(x) = 2x , g(x) =
1
2x
d) f(x) = x+ 2 g(x) = 3x− 1
Q8 - Determine func¸o˜es y = y(u) e u = u(x) sabendo que: (obs. ha´ mais de
uma resposta poss´ıvel)
a) y(u(x)) = 3x+ 5
b) y(u(x)) = cos(x2 + 1)
c) y(u(x)) = sen(cos(x)) + 3
d) y(u(x)) = sen(x) + 1sen(x)
e) y(u(x)) = cos(x)−5cos(x)
f) y(u(x)) = (sen(x))2 + sen(x)2
g) y(u(x)) = sen(x
2)
cos(x2)
Q9 - Determine a func¸a˜o f−1 (inversa de f):
a) f(x) = x+ 3
b) f(x) = 8x
1.10. EXERCI´CIOS 21
c) f(x) = 8x+ 3
d) f(x) = x3 + 5
e) f(x) = 7x− 49
f) f(x) = 3x
g)f(x) = 3
√
x+ 1− 3
h)f(x) = (x−2)
3+5
7
i)f(x) = (x− 1)2 + 2, com domı´nio [1,+∞)
j)f(x) = x
Q10 - Determine:
a) log2(64) b) log5(625) c) log10(10
5)
d) ln(e) e) ln(e3) f) eln(5)
Q11 - Determine o valor de x:
a) e2x = e6 b) ln(e3x) = 18 c) e2 ln(x) = 9
d) ln(2e)− ln(2x) = 1 e) ln(x2)− ln(x) = 0 f) ln(ex) + ln(e3) = 5
Q12 - Sabendo que
sen(pi/4) = cos(pi/4) =
√
2
2
sen(pi/6) = 1/2 e cos(pi/6) =
√
3/2,
determine:
a)sen(3pi) b)sen(7pi/2) c)cos(7pi4 ) d)cos(
3pi
4 )
e)sen(9pi4 ) f)sen(−pi/4) g)sen(pi/3), h)cos(pi/3)
i)sen(−pi/6) j)cos(−pi/6) k)sen(5pi/6) l)cos(5pi/6)
Respostas
Q1 - b, d, e. Q2 - e, f
Q3 - inclinac¸o˜es: a) 2 , b) -1, c) 5/3 , d) 0
Q4 - a)5x+3, b) -3x+10, c) 0x+1, d) −2x+ 2935
Q5 - a) Dom(f) = [−32 ,+∞) b) Dom(g) = R− {−7/3}
c) Dom(h) = (−∞, 9/2) d) Dom(f) = R e) Dom(g) = [1,+∞)
f) Dom(h) = R g) Dom(f) = R− {−2, 2}
Q6 -
a) eixo x: 1 e -2, eixo y: -4 ve´rtice (−1/2,−9/2)
b) eixo x: 1/3 e 0, eixo y: 0 ve´rtice (1/6, 1/12)
c) eixo x: na˜o ha´ eixo y: 14 ve´rtice (2, 10)
d) eixo x: 1 e 5, eixo y: 15 ve´rtice (3,−12)
e) eixo x: 1 e 3, eixo y: -3 ve´rtice (2, 1)
f) eixo x: -3 e 3, eixo y: -9 ve´rtice (0,−9)
Q7 - a) (f ◦ g)(x) = 3x2 − 8 (g ◦ f)(x) = 9x2 − 30x+ 24
b) (f ◦ g)(x) = x− 8 (g ◦ f)(x) = x− 8/5
c) (f ◦ g)(x) = 4x (g ◦ f)(x) = x4
22 CAPI´TULO 1. REVISA˜O DO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES
d) (f ◦ g)(x) = 3x+ 1 (g ◦ f)(x) = 3x+ 5
Q9- a) f−1(x) = x− 3 b)f−1(x) = x/8 c)f−1(x) = x−38
d)f−1(x) = (x− 5)1/3 e)f−1(x) = x7 + 7 f)f−1(x) = 3/x
g) f−1(x) = (x+3)3−1, h) f−1(x) = 3√7x− 5+2, i) f−1(x) = √x− 2+1, x ≥
2
j) f−1(x) = x
Q10− a)6 b)4 c)5 d)1 e)3 f)5
Q11− a)3 b)6 c)3 d)1 e)1 f)2
Q12 - a) 0 b)− 1 c)
√
2
2 d)−
√
2
2 e)
√
2
2
f)−
√
2
2 g)
√
3/2 h)1/2 i)− 1/2 j)√3/2 k)1/2 l)−√3/2
Cap´ıtulo 2
Limites
2.1 Definic¸o˜es
Como motivac¸a˜o para os conceitos apresentamos neste cap´ıtulo apresentamos
alguns exemplos e comenta´rios
Exemplo 40 Iniciamos buscando entender a expansa˜o decimal do nu´mero α =
√
2. Para isso vamos supor que a func¸a˜o y =
√
x e´ crescente, ou seja se a < b
enta˜o
√
a <
√
b. Como α =
√
x obtemos que
α2 = 2.
Como
11 = 1 e 22 = 4
conclu´ımos que 1 < α < 2. Em particular a expansa˜o decimal de α sera´ da
forma
α = 1, a1a2a3a4a5...
onde os d´ıgitos a1, a2, etc precisam ser determinados. Para determinarmos o
d´ıgito a1 calculamos (1, 1)
2, ..., (1, 9)2. Como
(1, 4)2 = 1, 96 e (1, 5)2 = 2, 25
conclu´ımos que 1, 4 < α < 1, 5. Em particular α = 1, 4a2a3a4.... Para determi-
narmos o d´ıgito a2 calculamos (1, 41)
2, ..., (1, 49)2. Como
(1, 41)2 = 1, 9881 e (1, 42)2 = 2, 0164
conclu´ımos que α = 1, 41a3a4a5... E´ matematicamente demonstradoque este
processo nunca ira´ acabar. Na˜o e´ poss´ıvel obtermos
√
2 a partir de uma ex-
pansa˜o finita. Assim em cada nova iterac¸a˜o do processo o que conseguimos
obter e´ uma melhor aproximac¸a˜o da expansa˜o de
√
2. Note no entanto que fi-
xado qualquer valor de erro admiss´ıvel � e´ poss´ıvel obtermos uma aproximac¸a˜o
de
√
2 com erro menor que �. Por exemplo,
1,4 e´ uma aproximac¸a˜o de
√
2 com erro menor que 110 .
1,41 e´ uma aproximac¸a˜o de
√
2 com erro menor que 1100 .
23
24 CAPI´TULO 2. LIMITES
Exemplo 41 Qual o valor mais natural para resultado da soma:
S =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ ...?
Temos:
1
2
+
1
4
=
3
4
= 1− 1
4
.
1
2
+
1
4
+
1
8
=
7
8
= 1− 1
8
.
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
=
15
16
= 1− 1
16
.
Note que quanto mais parcelas somamos, mais pro´ximo o resultado fica de
1. Fixado qualquer valor de erro admiss´ıvel �, basta somarmos um nu´mero
suficiente grande de parcelas para que o resultado seja pro´ximo de 1 com erro
menor que �.
Definic¸a˜o 42 Dizemos que f(x) tende a L quando x tende ao nu´mero a se
para qualquer erro � > 0 fixado, temos que f(x) ∈ (L− �, L+ �) para todo x 6= a
suficientemente pro´ximo de a. Notac¸a˜o:
lim
x→a f(x) = L.
Do ponto de vista informal, dizemos que:
“quando x se aproxima de a, f(x) se aproxima de L”.
Na definic¸a˜o acima escrevemos “para todo x 6= a suficientemente pro´ximo
de a”. Ao analisarmos o limite quando x tende ao nu´mero a na˜o consideramos
o valor f(a), mas os valores de f(x) em nu´meros pro´ximos, mas diferentes de
a.
Exemplo 43 A partir do gra´fico abaixo podemos dizer que:
f(2) = 4, mas lim
x→2
f(x) = 2.
f(5) = 3, e lim
x→5
f(x) = 3.
2.1. DEFINIC¸O˜ES 25
Definic¸a˜o 44 (limites laterais) Dizemos que f(x) tende a L quando x tende
ao nu´mero a pela esquerda, se para qualquer erro � > 0 fixado, temos que
f(x) ∈ (L− �, L+ �) para todo x < a suficientemente pro´ximo de a.
Notac¸a˜o: lim
x→a−
f(x) = L.
Dizemos que f(x) tende a L quando x tende ao nu´mero a pela direita, se para
qualquer erro � > 0 fixado, temos que f(x) ∈ (L − �, L + �) para todo x > a
suficientemente pro´ximo de a.
Notac¸a˜o: lim
x→a+
f(x) = L.
Exemplo 45 A partir do gra´fico abaixo podemos dizer que:
f(2) = 4, lim
x→2−
f(x) = 3, lim
x→2+
f(x) = 2
f(5) = 1, lim
x→5−
f(x) = 2, lim
x→5+
f(x) = 1
Limites infinitos:
lim
x→a f(x) = +∞ se para qualquer cota L > 0 fixada temos que f(x) > L para
x 6= a suficientemente pro´ximo de a.
lim
x→a f(x) = −∞ se para qualquer cota L < 0 fixada temos que f(x) < L para
x 6= a suficientemente pro´ximo de a.
Definic¸o˜es ana´logas ocorrem para limites laterais.
Exemplo 46 A func¸a˜o f(x) = 1x−3 satisfaz:
lim
x→3+
f(x) = +∞, lim
x→3−
f(x) = −∞
26 CAPI´TULO 2. LIMITES
Limites no infinito
lim
x→+∞ f(x) = +∞ se para qualquer cota L > 0 fixada temos que f(x) > L para
x suficientemente maior que zero.
lim
x→+∞ f(x) = −∞ se para qualquer cota L < 0 fixada temos que f(x) < L para
x suficientemente maior que zero.
lim
x→+∞ f(x) = L se para qualquer erro � > 0 fixado temos que f(x) ∈ (L−�, L+�)
para todo x suficientemente maior que zero.
lim
x→−∞ f(x) = +∞ se para qualquer cota L > 0 fixada temos que f(x) > L para
x suficientemente menor que zero.
lim
x→−∞ f(x) = −∞ se para qualquer cota L < 0 fixada temos que f(x) < L para
x suficientemente menor que zero.
lim
x→−∞ f(x) = L se para qualquer erro � > 0 fixado temos que f(x) ∈ (L−�, L+�)
para todo x suficientemente menor que zero.
Exemplo 47 As func¸o˜es f(x) = x4 e g(x) = x3 satisfazem:
lim
x→−∞ f(x) = +∞ e limx→+∞ f(x) = +∞
lim
x→−∞ g(x) = −∞ e limx→+∞ g(x) = +∞
Exemplo 48 A func¸a˜o exponencial natural f(x) = ex satisfaz
lim
x→−∞ e
x = 0 e lim
x→+∞ e
x = +∞.
A func¸a˜o logaritmo natural g(x) = ln(x) satisfaz
lim
x→0+
ln(x) = −∞ e lim
x→+∞ ln(x) = +∞.
2.2. PROPRIEDADES BA´SICAS 27
Exemplo 49 A func¸a˜o f(x) = sen(x)x satisfaz: limx→+∞
sen(x)
x
= 0.
2.2 Propriedades ba´sicas
Casos ba´sicos:
28 CAPI´TULO 2. LIMITES
Propriedades: Se lim
x→a f(x) = L e limx→a g(x) = H enta˜o
1. lim
x→a(f(x) + g(x)) = L+H
2. lim
x→a(f(x)− g(x)) = L−H
3. lim
x→a(f(x) · g(x)) = L ·H
4. lim
x→a
f(x)
g(x)
= L/H se H 6= 0.
5. lim
x→a(k · f(x)) = k · L
2.3 Limites envolvendo func¸o˜es polinomiais
Exemplo 50
lim
x→3
x2 = lim
x→3
x · x = (lim
x→3
x)( lim
x→3
x) = 3 · 3 = 9.
e
lim
x→3
x3 = lim
x→3
x · x · x = (lim
x→3
x)( lim
x→3
x)( lim
x→3
x) = 3 · 3 · 3 = 27.
Em geral
lim
x→3
xn = 3n.
Proposic¸a˜o 51
lim
x→ax
n = an.
Exemplo 52
lim
x→5
(3x2 + 8x) = 3 lim
x→5
x2 + 8 lim
x→5
x = 3 · 52 + 8 · 5 = 115.
e
lim
x→−2
(4x3 + 3x2 − x− 2) = 4 lim
x→−2
x3 + 3 lim
x→−2
x2 − lim
x→−2
x− lim
x→−2
2 =
= 4 · (−2)3 + 3(−2)2 − (−2)− 2 = −32 + 12 = −20.
Proposic¸a˜o 53 Se y = p(x) e´ uma func¸a˜o polinomial enta˜o
lim
x→a p(x) = p(a).
2.4. LIMITES ENVOLVENDO FUNC¸O˜ES RACIONAIS 29
Exemplo 54
lim
x→−1
x4 + 3x− 7 = (−1)4 + 3(−1)− 7 = −9.
lim
x→5
x3 − 2x2 + 10 = (5)3 − 2(5)2 + 10 = 85.
Limites no infinito
Exemplo 55 -
lim
x→+∞(3x
5 − 10x2 + 2) = lim
x→+∞x
5(3− 10
x3
+
2
x5
) = lim
x→+∞x
5 · 3 = +∞.
lim
x→+∞(−5x
3 + 7x) = lim
x→+∞x
3(−5 + 7
x2
) = lim
x→+∞x
3 · (−5) = −∞.
lim
x→−∞(−7x
6 + 15x4 − 1) = lim
x→−∞x
6(−7 + 15
x2
− 1
x6
) = lim
x→−∞x
6 · (−7) = −∞.
lim
x→−∞(−5x
7 + 10x2 + x) = lim
x→−∞x
7(−5 + 10
x5
+
1
x6
) = lim
x→−∞x
7 · (−5) = +∞.
Proposic¸a˜o 56 Se an, an−1, ..., a1, a0 sa˜o constantes e an 6= 0:
lim
x→−∞(anx
n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0) = lim
x→−∞ anx
n
lim
x→+∞(anx
n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0) = lim
x→+∞ anx
n
Exemplo 57 -
lim
x→+∞(7x
8 − 3x5 + 2) = lim
x→+∞ 7x
8 = +∞
lim
x→−∞(7x
8 − 3x5 + 2) = lim
x→−∞ 7x
8 = +∞
lim
x→+∞(5x
3 − 2x+ 1) = lim
x→+∞ 5x
3 = +∞
lim
x→−∞(5x
3 − 2x+ 1) = lim
x→−∞ 5x
3 = −∞
lim
x→+∞(−8x
5 + 4x4 + x) = lim
x→+∞−8x
5 = −∞
lim
x→−∞(−8x
5 + 4x4 + x) = lim
x→−∞−8x
5 = +∞
2.4 Limites envolvendo func¸o˜es racionais
Limites no infinito
Exemplo 58 -
lim
x→−∞
3x4 + 2x3 + x
2x4 − x2 + x = limx→−∞
x4(3 + 2 1x +
1
x3
)
x4(2− 1
x2
+ 1
x3
)
= lim
x→−∞
3x4
2x4
=
3
2
lim
x→+∞
7x5 + 4x3 + x2
x4 − x2 + x = limx→+∞
x5(7 + 4 1
x2
+ 1
x3
)
x4(1− 1
x2
+ 1
x3
)
= lim
x→+∞
7x5
x4
= lim
x→+∞ 7x = +∞
lim
x→+∞
7x4 + 4x3 + x2
x7 − x2 + x = limx→+∞
x4(7 + 4 1x +
1
x2
)
x7(1− 1
x5
+ 1
x6
)
= lim
x→+∞
7x4
x7
= lim
x→+∞
7
x3
= 0
Proposic¸a˜o 59 Se an, ..., a1, a0 e bm, ..., b1, b0 sa˜o constantes com an 6= 0 e
bm 6= 0:
lim
x→−∞
anx
n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0
bmxm + bm−1xm−1 + ...+ b2x2 + b1x+ b0
= lim
x→−∞
anx
n
bmxm
lim
x→+∞
anx
n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0
bmxm + bm−1xm−1 + ...+ b2x2 + b1x+ b0
= lim
x→+∞
anx
n
bmxm
Exemplo 60 -
lim
x→−∞
9x6 + 4x5 + x3
2x5 − x4 + x = limx→−∞
9x6
2x5
= lim
x→−∞
9x
2
= −∞
30 CAPI´TULO 2. LIMITES
lim
x→+∞
9x6 + 4x5 + x3
2x5 − x4 + x = limx→+∞
9x6
2x5
= lim
x→+∞
9x
2
= +∞
lim
x→−∞
7x9 + 4x5 + x3
2x5 − x4 + x = limx→−∞
7x9
2x5
= lim
x→−∞
7x4
2
= +∞
lim
x→+∞
7x9 + 4x5 + x3
2x5 − x4 + x = limx→+∞
7x9
2x5
= lim
x→+∞
7x4
2
= +∞
lim
x→+∞
7x9 + 4x5 + x3
2x9 − x4 + x = limx→+∞
7x9
2x9
= lim
x→+∞
7
2
=
7
2
lim
x→−∞
7x6 + 4x5 + x3
2x9 − x4 + x = limx→−∞
7x6
2x9
= lim
x→−∞
7
2x3
= 0.2.4. LIMITES ENVOLVENDO FUNC¸O˜ES RACIONAIS 31
Limites em valores do domı´nio:
lim
x→a
P (x)
Q(x)
=
P (a)
Q(a)
, se Q(a) 6= 0.
Exemplo 61 lim
x→1
7x6 + 4x5 + x3
2x9 − x4 + x =
7(1)6 + 4(1)5 + (1)3
2(1)9 − (1)4 + (1) =
12
2
= 6.
Limites infinitos
lim
x→a−
P (x)
Q(x)
=

+∞
ou
−∞
, se P (a) 6= 0 e Q(a) = 0.
lim
x→a+
P (x)
Q(x)
=

+∞
ou
−∞
, se P (a) 6= 0 e Q(a) = 0.
Dividir o polinoˆmio Q(x) por (x− a).
Exemplo 62 -
lim
x→2−
x2 − 1
x2 − 4 = limx→2−
x2 − 1
(x− 2)(x+ 2) = limx→2−
x2 − 1
x+ 2
1
x− 2 = limx→2−
3
4
1
x− 2 = −∞
lim
x→2+
x2 − 1
x2 − 4 = limx→2+
x2 − 1
(x− 2)(x+ 2) = limx→2+
x2 − 1
x+ 2
1
x− 2 = limx→2+
3
4
1
x− 2 = +∞
Exemplo 63 -
lim
x→3−
x2 + x
x2 − 6x+ 9 = limx→3−
x2 + x
(x− 3)(x− 3) = limx→3−
12
(x− 3)2 = +∞
lim
x→3+
x2 + x
x2 − 6x+ 9 = limx→3+
x2 + x
(x− 3)(x− 3) = limx→3+
12
(x− 3)2 = +∞
32 CAPI´TULO 2. LIMITES
Indeterminac¸o˜es
lim
x→a−
P (x)
Q(x)
com P (a) = Q(a) = 0.
lim
x→a+
P (x)
Q(x)
com P (a) = Q(a) = 0.
Pode ocorrer qualquer tipo de resultado, dependendo das func¸o˜es P e Q.
Dividir P (x) e Q(x) por (x− a).
Exemplo 64 -
lim
x→3
x2 − 2x− 3
x2 − 5x+ 6 = limx→3
(x− 3)(x+ 1)
(x− 3)(x− 2) = limx→3
(x+ 1)
(x− 2) =
4
1
= 4.
lim
x→2
x2 + x− 6
x2 − 4 = limx→2
(x− 2)(x+ 3)
(x− 2)(x+ 2) = limx→2
(x+ 3)
(x+ 2)
=
5
4
lim
x→1
x3 + x2 − 3x+ 1
x2 − 4x+ 3 = limx→1
(x− 1)(x2 + 2x− 1)
(x− 1)(x− 3) = limx→1
(x2 + 2x− 1)
(x− 3) = −1
lim
x→1
x2 − 2x+ 1
x2 − 1 = limx→1
(x− 1)(x− 1)
(x− 1)(x+ 1) = limx→1
(x− 1)
(x+ 1)
= 0
lim
x→1+
x2 − 1
x2 − 2x+ 1 = limx→1+
(x− 1)(x+ 1)
(x− 1)(x− 1) = limx→1+
2
(x− 1) = +∞
2.5 Continuidade
Dizemos que f e´ cont´ınua em x = a se f(a) esta´ definida e limx→a f(x) = f(a).
As func¸o˜es que estudamos no cap´ıtulo 1, bem como as obtidas a partir de
operac¸o˜es de soma, subtrac¸a˜o, produto, quociente e composic¸a˜o sa˜o cont´ınuas
em seus domı´nios.
Uma forte raza˜o para uma func¸a˜o na˜o ser cont´ınua esta´ na mudanc¸a de sua
fo´rmula a partir de um determinado ponto.
Exemplo 65 A func¸a˜o
f(x) =
 3x+ 1 se x ≤ 1x2 + 2 se x > 1
na˜o e´ cont´ınua em x = 1. De fato
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
x2 + 2 = 12 + 2 = 3 enquanto f(1) = 3 · 1 + 1 = 4.
Exerc´ıcios:
Q1 - Determine:
a) lim
x→+∞ 3x
2 + 5x3 − 4x5
2.5. CONTINUIDADE 33
b) lim
x→+∞ 2x
2 + 3x− 1
c) lim
x→−∞ 5x
4 − 2x+ 8
d) lim
x→−∞−8x
6 + 7x3
e) lim
x→−∞−2x
3 + 8x− 1
f) lim
x→−∞ 5x
3 + 4x2
g) lim
x→2
5x3 + 8x− 1
h) lim
x→1
8x7 − 3x5 + 12
Q2 - Determine:
a) lim
x→+∞
−5x2 − 3x
8x2 + 7
b) lim
x→−∞
3x5 − 7x4 + 2x− 1
6x5 + 3x2
c) lim
x→−∞
5x4 − 2x+ 15
50x3 + 28x2
d) lim
x→−∞
−8x7 + 12x3 + 5
2x4 + 8x3 − 1
e) lim
x→+∞
2x3 + 8x− 12
−8x+ 4 f) limx→−∞
−500x3 + 4x2
2x4 − 1
g) lim
x→+∞
1000x7 + 500x3 − 10
−x15 + 30x2 h) limx→+∞
28x9 − 3x5 + 400
7x9 − 80x6
Q3 - Determine:
a) lim
x→2
x2 + 5x− 5
x2 + 3x+ 1
b) lim
x→1
8x− 8
10x− 10 c) limx→3
(x− 2)(x− 3)
6x− 18
d) lim
x→−5
(x+ 3)(x+ 5)
(x− 1)(x− 5) e) limx→0
x2 − 2x
x3 − x f) limx→1
x2 − 3x+ 2
x2 − 5x+ 4
g) lim
x→3
x2 − x− 6
x2 − 9 h) limx→2
3x2 − 4
2x2 − 6 i) limx→4
x2 − x− 12
x2 + 16
j) lim
x→3+
x3 − 2
x− 3 k) limx→2+
x2 − 8
x− 2 l) limx→1
x3 − 2x+ 1
x2 + x− 2
m) lim
x→0
x4 − 2x
x3 + x2 − 2x n) limx→2
x4 − 4x3 + 16
x2 − 4 o) limx→1
x3 − 3x+ 2
x2 + x
Q4 - Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de uma func¸a˜o satisfazendo:
a) f(0) = 3, f(2) = 5, lim
x→2
f(x) = 1, lim
x→+∞ f(x) = 2, limx→−∞ f(x) = 2
b) f(0) = 4, f(1) = 4, lim
x→1
f(x) = 5, lim
x→−∞ f(x) = 5, limx→+∞ f(x) = −1
c) lim
x→−∞ f(x) = −3, limx→+∞ f(x) =∞, f(x) 6= 0 para todo x ∈ R
d) f(0) = −1, f(−1) = 0, lim
x→−∞ f(x) = +∞, limx→+∞ f(x) = −∞
Q5 - Determine se a func¸a˜o e´ cont´ınua e fac¸a o esboc¸o de seu gra´fico:
a) f(x) =
 x2 + x− 1, x ≤ 1x, x > 1
b) f(x) =
 x2, x ≤ 2x+ 1, x > 2
Respostas:
Q1 -
a)−∞ b) +∞ c) +∞ d)−∞ e) +∞ f)−∞ g)55 h)17
Q2 - a)− 5/8 b)1/2 c)−∞ d) +∞ e)−∞ f)0 g)0 h)4
Q3 - a)9/11 b)4/5 c)1/6 d)0 e)2 f)1/3 g)5/6 h)4 i)0 j) +∞ k)−∞
l)1/3 m)1 n)− 4 o)0.
Q5 - a) e´ cont´ınua b) e´ descont´ınua em x = 2
34 CAPI´TULO 2. LIMITES
Cap´ıtulo 3
Derivada
3.1 Taxa de variac¸a˜o me´dia
Se f esta´ definida em [a, b], dizemos que
∆f
∆x
=
f(b)− f(a)
b− a
e´ a taxa de variac¸a˜o me´dia de f em [a, b].
Exemplo 66 Se f(x) = 3x+ 5,
A taxa de variac¸a˜o me´dia de f em [1, 6] e´ dada por
f(6)−f(1)
6−1 =
23−8
5 =
15
5 = 3
A taxa de variac¸a˜o me´dia de f em [2, 4] e´ dada por
f(4)−f(2)
4−2 =
17−11
2 =
6
2 = 3
Observac¸a˜o: A taxa de variac¸a˜o me´dia de uma func¸a˜o afim f(x) = mx+ b e´
igual ao coeficiente angular m (inclinac¸a˜o da reta).
Exemplo 67 Vamos tentar entender a taxa de variac¸a˜o me´dia de f(x) = x2
em intervalos de comprimento 1.
no intervalo [0, 1] a taxa e´ dada por
f(1)−f(0)
1−0 =
1−0
1−0 = 1
no intervalo [1, 2] a taxa e´ dada por
f(2)−f(1)
2−1 =
4−1
2−1 = 3
no intervalo [2, 3] a taxa e´ dada por
f(3)−f(2)
3−2 =
9−4
3−2 = 5
no intervalo [3, 4] a taxa e´ dada por
f(4)−f(3)
4−3 =
16−9
4−3 = 7
Note que aparentemente cada vez que deslocamos o intervalo analisado em uma
unidade para a direita, o valor da taxa de variac¸a˜o me´dia e´ aumentado em duas
unidades.
Em geral, para um intervalo da forma [a, a+ 1] temos a taxa
∆f
∆x
=
f(a+ 1)− f(a)
(a+ 1)− a =
(a+ 1)2 − a2
1
=
a2 + 2a+ 1− a2
1
= 2a+ 1
35
36 CAPI´TULO 3. DERIVADA
Observe a tabela
valor de a 1 2 3 4 5 6 7 8
intervalo [a, a+ 1] [1, 2] [2, 3] [3, 4] [4, 5] [5, 6] [6, 7] [7, 8] [8, 9]
variac¸a˜o me´dia (2a+ 1) 3 5 7 9 11 13 15 17
Exemplo 68 Vamos tentar entender a taxa de variac¸a˜o me´dia de f(x) = x2
em intervalos de comprimento 2.
no intervalo [0, 2] a taxa e´ dada por
f(2)−f(0)
2−0 =
4−0
2 = 2
no intervalo [1, 3] a taxa e´ dada por
f(3)−f(1)
3−1 =
9−1
2 = 4
no intervalo [2, 4] a taxa e´ dada por
f(4)−f(2)
4−2 =
16−4
2 = 6
no intervalo [3, 5] a taxa e´ dada por
f(5)−f(3)
5−3 =
25−9
2 = 8
Novamente, cada vez que deslocamos o intervalo analisado em uma unidade
para a direita, o valor da taxa de variac¸a˜o me´dia e´ aumentado em duas unida-
des.
Em geral, para um intervalo da forma [a, a+ 2] temos a taxa
∆f
∆x
=
f(a+ 2)− f(a)
(a+ 2)− a =
(a+ 2)2 − a2
2
=
a2 + 4a+ 4− a2
2
= 2a+ 2
Observe a tabela
valor de a 1 2 3 4 5 6 7 8
intervalo [a, a+ 2] [1, 3] [2, 4] [3, 5] [4, 6] [5, 7] [6, 8] [7, 9] [8, 10]
variac¸a˜o me´dia (2a+ 2) 4 6 8 10 12 14 16 18
Exemplo 69 Vamos tentar entender a taxa de variac¸a˜o me´dia de f(x) = 2x
em intervalos de comprimento 1.
no intervalo [0, 1] a taxa e´ dada por
f(1)−f(0)
1−0 =
2−1
1−0 = 1
no intervalo [1, 2] a taxa e´ dada por
f(2)−f(1)
2−1 =
4−2
1 = 2
no intervalo [2, 3] a taxa e´ dada por
f(3)−f(2)
3−2 =
8−4
1 = 4
no intervalo [3, 4] a taxa e´ dada por
f(4)−f(3)
4−3 =
16−8
1 = 8
Aparentemente cada vez que deslocamos o intervalo analisado em uma unidade
para a direita, o valor da taxa de variac¸a˜o me´dia e´ multiplicado por 2.
Em geral, para um intervalo da forma [a, a+ 1] temos a taxa
∆f
∆x
=
f(a+ 1)− f(a)
(a+ 1)− a =
2a+1 − 2a
1
=
2 · 2a − 2a
1
= 2a
3.2. TAXA DE VARIAC¸A˜O INSTANTAˆNEA E DERIVADA 37
Observe a tabela
valor de a 1 2 3 4 5 6 7 8
intervalo [a, a+ 1] [1, 2] [2, 3] [3, 4] [4, 5] [5, 6] [6, 7] [7, 8] [8, 9]
variac¸a˜o me´dia (2a) 2 4 8 16 32 64 128 256
Interpretac¸a˜o geome´trica: A taxa de variac¸a˜o me´dia de f em [a,b] e´ a
inclinac¸a˜o da reta secante ao gra´fico de f pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)).
Exemplo 70 A partir do gra´fico abaixo podemos dizer que a taxa de variac¸a˜o
me´dia de f no intervalo [4, 8] e´ dada por
f(8)− f(4)
8− 4 =
4− 6
8− 4 =
−2
4
= −1
2
.
3.2 taxa de variac¸a˜o instantaˆnea e derivada
A taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em a e´ dada por
lim
b→a
f(b)− f(a)
b− a
se o limite existir.
Notac¸o˜es: f ′(a) ou dfdx
∣∣∣
x=a
Observac¸a˜o: Escrevendo h = b− a (e portanto b = a+ h) temos
df
dx
∣∣∣∣
x=a
= lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
Exemplo 71 Vamos tentar entender a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f(x) =
x2 em diferentes valores.
38 CAPI´TULO 3. DERIVADA
f ′(1) = lim
h→0
f(1 + h)− f(1)
h
= lim
h→0
(1 + h)2 − 12
h
= lim
h→0
(1 + 2h+ h2)− 1
h
= lim
h→0
2h+ h2
h
= lim
h→0
2 + h = 2.
f ′(2) = lim
h→0
f(2 + h)− f(2)
h
= lim
h→0
(2 + h)2 − 22
h
= lim
h→0
(4 + 4h+ h2)− 4
h
= lim
h→0
4h+ h2
h
= lim
h→0
4 + h = 4.
f ′(3) = lim
h→0
f(3 + h)− f(3)
h
= lim
h→0
(3 + h)2 − 32
h
= lim
h→0
(9 + 6h+ h2)− 9
h
= lim
h→0
6h+ h2
h
= lim
h→0
6 + h = 6.
Em geral, se queremos a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea em um nu´mero x qualquer
calculamos
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(3)
h
= lim
h→0
(x+ h)2 − 32
h
= lim
h→0
(x2 + 2xh+ h2)− x2
h
= lim
h→0
2xh+ h2
h
= lim
h→0
2x+ h = 2x.
Definic¸a˜o 72 (Derivada) - Fixada uma func¸a˜o f , consideramos a partir desta
uma nova func¸a˜o f ′ dada por
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
.
Chamamos a func¸a˜o f ′ de derivada da func¸a˜o f . O domı´nio da func¸a˜o f ′
e´ formado pelos pontos no domı´nio de f onde existe o limite acima. Dizemos
que f e´ diferencia´vel nestes pontos.
Exemplo 73 -
Se f(x) = k, onde k e´ uma contante temos que
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
k − k
h
= lim
h→0
0 = 0.
Se f(x) = mx+ b e´ uma func¸a˜o afim temos que
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
(m(x+ h) + b)− (mx+ b)
h
= lim
h→0
(mx+mh+ b)− (mx+ b)
h
= lim
h→0
mh
h
= m.
Reta tangente: A reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)) e´ a reta
que conte´m este ponto (x0, y0) = (a, f(a)) e possui inclinac¸a˜o m = f
′(a).
Exemplo 74 Reta tangente ao gra´fico de f(x) = x2 no ponto (3, 9):
inclinac¸a˜o: m = f ′(3) = 2 · 3 = 6
ponto: (x0, y0) = (3, 9)
equac¸a˜o:
y − y0 = m(x− x0) −→ y − 9 = 6(x− 3) −→ y = 6x− 18 + 9 −→ y = 6x− 9
3.3. DERIVADA DA SOMA, DIFERENC¸A, PRODUTO POR CONSTANTE 39
Note na figura acima que, pro´ximo do ponto (3, 9), e´ dif´ıcil perceber a diferenc¸a
entre a reta y = 6x− 9 e o gra´fico de f .
Localmente, em torno do ponto (a, f(a)), a reta tangente e´ a reta
que melhor se ajusta ao gra´fico de f .
Exemplo 75 Derivada de f(x) = x3:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
(x+ h)3 − x3
h
= lim
h→0
(x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3)− x3
h
= lim
h→0
3x2 + 3xh+ h2 = 3x2.
Proposic¸a˜o 76 Para n = 1, 2, 3, 4, ...
d
dx
xn = nxn−1
Exemplo 77 -
d
dx
x = 1,
d
dx
x2 = 2x,
d
dx
x3 = 3x2,
d
dx
x4 = 4x3,
d
dx
x5 = 5x4
3.3 Derivada da soma, diferenc¸a, produto por cons-
tante
Proposic¸a˜o 78 -
d
dx
(f(x) + g(x)) =
d
dx
f(x) +
d
dx
g(x)
d
dx
(f(x)− g(x)) = d
dx
f(x)− d
dx
g(x)
d
dx
((cte) · f(x)) = (cte) · d
dx
f(x)
As fo´rmulas podem ser aplicadas nos pontos onde f e g sa˜o diferencia´veis.
Exemplo 79
d
dx
(3x2 + 5x+ 10) =
d
dx
(3x2) +
d
dx
(5x) +
d
dx
(10)
= 3 · d
dx
(x2) + 5 · d
dx
(x) +
d
dx
(10) = 3 · (2x) + 5 · (1) + 0 = 6x+ 5
d
dx
(5x7 + 4x4 + 8x2 + x) =
d
dx
(5x7) +
d
dx
(4x4) +
d
dx
(8x2) +
d
dx
x
40 CAPI´TULO 3. DERIVADA
= 5 · d
dx
(x7) + 4 · d
dx
(x4) + 8 · d
dx
(x2) +
d
dx
x
= 5 · (7x6) + 4 · (4x3) + 8 · (2x) + 1 = 35x6 + 16x3 + 16x+ 1.
d
dx
(8x6 + 3x5 + 2x3 + 7) =
d
dx
(8x6) +
d
dx
(3x5) +
d
dx
(2x3) +
d
dx
7
= 8 · d
dx
(x6) + 3 · d
dx
(x5) + 2 · d
dx
(x3) +
d
dx
7
= 8 · (6x5) + 3 · (5x4) + 2 · (3x2) + 0 = 48x5 + 15x4 + 6x2.
3.4 Derivadas das func¸o˜es seno e cosseno
Teorema 80
d
dx
sen(x) = cos(x) e
d
dx
cos(x) = −sen(x)
Exemplo 81 -
A reta tangente ao gra´fico de y = sen(x) no ponto de abscissa x = pi/2 tem
inclinac¸a˜o m = 0 (pois cos(pi/2) = 0).
A reta tangente ao gra´fico de y = sen(x) no ponto de abscissa x = pi tem
inclinac¸a˜o m = −1 ( pois cos(pi) = −1).
A reta tangente ao gra´fico de y = cos(x) no ponto de abscissa x = pi tem
inclinac¸a˜o m = 0 (pois sen(pi) = 0).
Exemplo 82 Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = cos(x)+
2x no ponto (0, 1). Obtenha a equac¸a˜o desta reta:
Soluc¸a˜o: dydx =
d
dxcos(x) +
d
dx2x = −sen(x) + 2. Enta˜o
dy
dx
∣∣∣∣
x=0
= −sen(0) + 2 = 2.
Inclinac¸a˜o da reta tangente: m = 2
Ponto:(x0, y0) = (0, 1)
Equac¸a˜o:
y − y0 = m(x− x0) −→ y − 1 = 2(x− 0) −→ y = 2x+ 1.
Equac¸a˜o da reta tangente: y = 2x+ 1.
3.5. REGRA DO PRODUTO 41
3.5 Regra do Produto
Teorema 83 Se f e g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em um nu´mero x enta˜o f · g
e´ diferencia´vel em x. Ale´m disso
(f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)
Em notac¸a˜o compacta escrevemos
(f · g)′ = f ′ · g + f · g′
Outra notac¸a˜o:
d
dx
(f(x) · g(x)) =
(
d
dx
f(x)
)
g(x) + f(x)
(
d
dx
g(x)
)
.
Exemplo 84 -
(x3 · x2)′ = (x3)′(x2) + (x3)(x2)′ = (3x2)(x2) + (x3)(2x) = 3x4 + 2x4 = 5x4.
O resultado e´ coerente ja´ que a func¸a˜o que derivamos era y = x3 · x2 = x5.
Note tambe´m que (x3 · x2)′ 6= (x3)′(x2)′ pois
(x3)′(x2)′ = (3x2)(2x) = 6x3.
Geralmente: (f · g)′ 6= f ′ · g′
Exemplo 85 -
d
dx(sen(x) · x4) =
(
d
dxsen(x)
)
x4 + sen(x)
(
d
dxx
4
)
= cos(x) · x4 + sen(x) · 4x3
(sen(x) · cos(x))′ = (sen(x))′(cos(x)) + (sen(x))(cos(x))′ = (cos(x))(cos(x)) +
(sen(x))(−sen(x)) = cos2(x)− sen2(x).
(sen2(x))′ = (sen(x) · sen(x))′ = (sen(x))′(sen(x)) + (sen(x))(sen(x))′ =
2sen(x)cos(x).
Observac¸a˜o: A regra do produto pode ser deduzida a partir dos ca´lculos
abaixo:
(f · g)′(x) = lim
h→0
f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x)
h
= lim
h→0
f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x+ h) + f(x)g(x+ h)− f(x)g(x)
h
= lim
h→0
[f(x+ h)− f(x)]g(x+ h) + f(x)[g(x+ h)− g(x)]
h
42 CAPI´TULO 3. DERIVADA
= lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
g(x+ h) + lim
h→0
f(x)
g(x+ h)− g(x)
h
= f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).
3.6 Regra do quociente
Teorema 86 Se f e g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em x e g(x) 6= 0 enta˜o fg e´
diferencia´vel em x. Ale´m disso(
f(x)
g(x)
)′
=
f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)
(g(x))2
.
Exemplo 87 Para x 6= 0:
d
dx
(
x5
x2
)
=
(
d
dxx
5
)
(x2)− (x5) ( ddxx2)
(x2)2
=
(
5x4
)
(x2)− (x5) (2x)
(x2)2
=
5x6 − 2x6
x4
= 3x2
O resultado e´ coerente, pois y =
(
x5
x2
)
= x3 para x 6= 0.
Note que
(
x5
x2
)′ 6= (x5)′
(x2)′ pois
(x5)′
(x2)′ =
5x4
2x =
5
2x
3.
Geralmente:
(
f
g
)′
6= f
′
g′
Exemplo 88(
3x2 + 4x− 1
x+ 1
)′
=
(3x2 + 4x− 1)′(x+ 1)− (3x2 + 4x− 1)(x+ 1)′
(x+ 1)2
=
(6x+ 4)(x+ 1)− (3x2 + 4x− 1)(1)
(x+ 1)2
=
(6x2 + 10x+ 4)− (3x2 + 4x− 1)
(x+ 1)2
=
3x2 + 6x+ 5
(x+ 1)2
(
sen(x)
x
)′
=
(sen(x))′ (x)− (sen(x)) (x)′
x2
=
(cos(x)) (x)− (sen(x)) (1)
x2
=
xcos(x)− sen(x)
x2
3.7 Regra da cadeia
Teorema 89 Se g e´ diferencia´vel em x e f e´ diferencia´vel em g(x) enta˜o f ◦ g
e´ diferencia´vel em x e
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x).
Outra notac¸a˜o: Escrevendo u = g(x) e y = f(u) = f(g(x))
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
.
Exemplo 90 ddx(sen(x
2))=?
escrevemos u = x2 e y = sen(u) (assim y = sen(x2)).
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
=
(
d
du
sen(u)
)(
d
dx
x2
)
= (cos(u)) (2x) = cos(x2) · 2x.
Exemplo 91 ddx(sen(x))
3 =?
escrevemos u = sen(x) e y = u3 (assim y = (sen(x))3).
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
=
(
d
du
u3
)(
d
dx
sen(x)
)
=
(
3u2
)
(cos(x)) = 3(sen(x))2 · cos(x).
3.8. DERIVADAS DAS FUNC¸O˜ES EXPONENCIAL E LOGARITMO 43
Exemplo 92 ddx(cos(3x
2 + 5)) =?
escrevemos u = 3x2 + 5 e y = cos(u) (assim y = cos(3x2 + 5)).
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
=
(
d
du
cos(u)
)(
d
dx
(3x2 + 5)
)
= (−sen(u)) (6x) = −(sen(3x2 + 5)) · 6x.
3.8 Derivadas das func¸o˜es exponencial e logaritmo
Toda func¸a˜o exponencial f(x) = bx, b > 0 conte´m o ponto (0, 1) em seu gra´fico.
Temos interesse na reta que conte´m este ponto e possui inclinac¸a˜o m = 1. Neste
caso a reta possui equac¸a˜o
y − y0 = m(x− x0) −→ y − 1 = 1(x− 0) −→ y = x+ 1.
A escolha da base b = e ≈ 2, 71828 esta´ relacionada com esta reta. Mais
precisamente, se quisermos que a reta y = x + 1 seja tangente ao gra´fico da
func¸a˜o exponencial y = bx no ponto de abscissa x = 0 devemos considerar a
base b = e.
Abaixo apresentamos em um mesmo sistema de eixos os gra´ficos de y = 2x,
y = 3x e da reta y = x+ 1. Ao fazermos uma ampliac¸a˜o para ana´lise em torno
do ponto (0, 1) vemos que os gra´ficos de y = 2x e y = 3x localmente parecem
retas com inclinac¸o˜es respectivamente menor e maior que 1.
Abaixo apresentamos o gra´fico de y = ex e da reta y = x+ 1 em um mesmo
sistema de eixos.
Para f(x) = ex temos que f ′(0) = 1 (inclinac¸a˜o da reta tangente no ponto
44 CAPI´TULO 3. DERIVADA
de abscissa x = 0). Lembrando que
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
obtemos que (para x = 0)
1 = lim
h→0
e0+h − e0
h
= lim
h→0
eh − 1
h
. (∗)
Teorema 93 ddxe
x = ex.
justificativa:
d
dx
ex = lim
h→0
ex+h − ex
h
= lim
h→0
ex
(
eh − 1
h
)
= ex lim
h→0
eh − 1
h
(∗)
= ex
Teorema 94 ddx ln(x) =
1
x
justificativa: Escrevendo u(x) = ln(x) temos eu(x) = x. Derivando ambos os
lados em relac¸a˜o a x:
d
dx
eu(x) =
d
dx
(x) = 1. (1)
O lado esquerdo da equac¸a˜o pode ser derivado pela regra da cadeia escrevendo
y = eu = eu(x) temos
d
dx
eu(x) =
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
= eu · du
dx
(2)
Por (1) e (2) obtemos
eu · du
dx
= 1
Assim
du
dx
=
1
eu
=
1
x
.
Exemplo 95 Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = ln(x)
no ponto (1, 0).
Soluc¸a˜o:
dy
dx =
d
dx ln(x) =
1
x .
Inclinac¸a˜o da reta: m = dydx
∣∣∣
x=1
= 1.
Ponto: (1,0)
Equac¸a˜o: y − y0 = m(x− x0) −→ y − 0 = 1(x− 1) −→ y = x− 1.
Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = ex no ponto (2, e2).
Soluc¸a˜o:
dy
dx =
d
dxe
x = ex.
Inclinac¸a˜o da reta: m = dydx
∣∣∣
x=2
= e2 ≈ 7, 389.
Ponto: (2, e2)
Equac¸a˜o: y − y0 = m(x− x0) −→ y − e2 = e2(x− 2) −→ y = e2x− e2.
3.8. DERIVADAS DAS FUNC¸O˜ES EXPONENCIAL E LOGARITMO 45
Exemplo 96 Calcule ddx(e
2x+1) :
Soluc¸a˜o: (Regra da cadeia) escrevemos u = 2x+ 1 e y = eu = e2x+1.
d
dx
(e2x+1) =
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
=
(
d
du
eu
)(
d
dx
(2x+ 1)
)
= (eu)(2) = e2x+1 · 2
Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = e2x+1 no ponto de
abscissa x = 0:
Soluc¸a˜o:
Inclinac¸a˜o: m = dydx
∣∣∣
x=0
= 2e2·0+1 = 2e.
Ponto: (0, e2·0+1) = (0, e).
Equac¸a˜o: y − y0 = m(x− x0) −→ y − e = 2e(x− 0) −→ y = 2ex+ e.
Exemplo 97 Calcule ddx(cos(e
x)):
Soluc¸a˜o: (Regra da cadeia) escrevemos u = ex e y = cos(u).
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
=
(
d
du
cos(u)
)(
d
dx
ex
)
= (−sen(u))(ex) = −sen(ex)ex.
Calcule ddx(cos(x)e
x):
Soluc¸a˜o: (Regra do produto)
(cos(x)ex)′ = (cos(x))′(ex) + (cos(x))(ex)′
= (−sen(x))(ex) + (cos(x))(ex) = ex(cos(x)− sen(x)).
46 CAPI´TULO 3. DERIVADA
Calcule ddx
x3
ex :
Soluc¸a˜o: (Regra do quociente)(
x3
ex
)′
=
(x3)′(ex)− (x3)(ex)′
(ex)2
=
(3x2)(ex)− (x3)(ex)
(ex)2
=
(3x2 − x3)(ex)
(ex)2
=
−x3 + 3x2
ex
Exemplo 98 Calcule ddx(ln(x
3 + x2)):
Soluc¸a˜o: (Regra da cadeia) escrevemos u = x3 + x2 e y = ln(u)
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
=
(
d
du
ln(u)
)(
d
dx
(x3 + x2)
)
=
1
u
(3x2 + 2x) =
3x2 + 2x
x3 + x2
Esta u´ltima expressa˜o pode ser reescrita como
3x+ 2
x(x+ 1)
.
Calcule ddx(cos(x) ln(x)):
Soluc¸a˜o: (Regra do produto)
(cos(x) ln(x))′ = (cos(x))′(ln(x)) + (cos(x))(ln(x))′
= (−sen(x))(ln(x)) + (cos(x))(1/x)
Derivada da func¸a˜o exponencial em outra base
Fixada uma base b > 0 diferente de e existe um nu´mero k (que depende de b)
tal que bx = ekx. O valor de k e´ dado por k = ln(b). De fato,
b = eln(b) ⇒ bx =
(
eln(b)
)x
= eln(b)·x.
Teorema 99 ddxb
x = ln(b) · bx
justificativa: Como bx = ekx temos ddxb
x = ddxe
kx. Para derivar o lado direito
da equac¸a˜o usamos a regra da cadeia com u = kx e y = eu. Assim
d
dx
bx =
d
dx
ekx =
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
=
(
d
du
eu
)(
d
dx
(kx)
)
= eu · k = kekx.
Por fim basta observar que k = ln(b) e ale´m disso ekx = bx.
Exemplo 100 -
d
dx
10x = ln(10) · 10x
d
dx
2x = ln(2) · 2x
d
dx
(x2 · 10x) = (x2)′(10x) + (x2)(10x)′
= 2x · 10x + x2 · ln(10) · 10x = (2x+ ln(10)x2)10x
Derivada da func¸a˜o logaritmo em outra base
Fixada uma base b > 0 diferente de e existe um nu´mero k (que depende de b)
tal que logb(x) =
ln(x)
k . O valor de k e´ dado por k = ln(b). De fato, como para
x > 0
x = blogb(x) = eln(b)·logb(x)
aplicando-se ln em ambos os lados
ln(x) = ln(b) · logb(x) −→ logb(x) =
ln(x)
ln(b)
.
3.9. APLICAC¸A˜O: CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 47
Teorema 101 ddx logb(x) =
1
ln(b)
1
x .
Exemplo 102
d
dx
log10(x) =
1
ln(10)
1
x
d
dx
log2(x) =
1
ln(2)
1
x
d
dx
(x2 · log10(x)) = (x2)′(log10(x)) + (x2)(log10(x))′
= 2x · log10(x) + x2 ·
1
ln(10)
1
x
= 2x · log10(x) +
x
ln(10)
3.9 Aplicac¸a˜o: crescimento e decrescimento
Dizemos que uma func¸a˜o f e´ crescente em um intervalo I se f(x1) < f(x2)
para quaisquer x1 < x2 em I.
Dizemos que uma func¸a˜o f e´ decrescente em um intervalo I se f(x1) > f(x2)
para quaisquer x1 < x2 em I. Exemplo 103 A func¸a˜o f(x) = x
2 e´ crescente em [0,+∞) e decrescente em
(−∞, 0].
48 CAPI´TULO 3. DERIVADA
Teorema 104 Seja f uma func¸a˜o diferencia´vel em todos os pontos de (a, b) e
cont´ınua em [a, b]
- Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b) enta˜o f e´ crescente em [a, b]
- Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b) enta˜o f e´ decrescente em [a, b]
Exemplo 105 Determine os intervalos de [0, 2pi] onde f(x) = sen(x) e´ cres-
cente ou decrescente.
Soluc¸a˜o: ddxsen(x) = cos(x).
Assim
f(x) = sen(x) e´ crescente nos intervalos [0, pi/2] e [3pi/2, 2pi] (1◦ e 4◦ quadran-
tes)
f(x) = sen(x) e´ decrescente no intervalo [pi/2, 3pi/2] (2◦ e 3◦ quadrantes)
3.9. APLICAC¸A˜O: CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 49
Exemplo 106 determine os intervalos onde f(x) = x3 − 3x e´ crescente e os
intervalos onde f e´ decrescente.
Soluc¸a˜o: f ′(x) = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1). A func¸a˜o f ′(x) tem como gra´fico uma
para´bola coˆncava para cima. Para determinarmos os intervalos onde f ′ > 0 e´
u´til determinarmos os pontos onde f ′ e´ nula.
3(x2 − 1) = 0 −→ x2 − 1 = 0 −→ x = −1 ou x = 1.
Assim,
f ′(x) > 0 quando x ∈ (−∞,−1) ou x ∈ (1,+∞)
f ′(x) < 0 quando x ∈ (−1, 1). Portanto:
f e´ crescente nos intervalos (−∞,−1] e [1,+∞)
f e´ decrescente no intervalo [−1, 1]
Exemplo 107 Determine os intervalos onde f(x) = ex(x2 − 3x) e´ crescente.
Soluc¸a˜o: f ′(x) = (ex)′(x2−3x)+(ex)(x2−3x)′ = (ex)(x2−3x)+(ex)(2x−3)=
ex(x2−x−3). Para determinarmos os intervalos onde f ′ e´ positiva, observamos
que no produto ex(x2 − x − 3) o termo ex sera´ sempre positivo. Enta˜o f ′ > 0
nos intervalos onde x2−x−3 > 0. Como y = x2−x−3 tem como gra´fico uma
para´bola coˆncava para cima, devemos entender em quais pontos x2−x−3 = 0.
Pela fo´rmula de Bhaskara temos:
x1 =
1−√13
2
≈ −1, 30 e x2 = 1 +
√
13
2
≈ 2, 30.
Assim,
f ′(x) = ex(x2−x− 3) e´ positiva quando x ∈ (−∞, 1−
√
13
2 ) ou x ∈ (1+
√
13
2 ,+∞)
portanto f e´ crescente nos intervalos (−∞, 1−
√
13
2 ] e [
1+
√
13
2 ,+∞).
50 CAPI´TULO 3. DERIVADA
3.10 Exerc´ıcios
Q1 - Calcule
df
dx
:
a) f(x) = 5x3 + 2x2 − 3x+ 1
b) f(x) = 3x5 − 2x3 + 8
c) f(x) = 15x4 + 8x3 − 12x+ 2
d) f(x) = 5x12 − 12x2 + 4x− 3
Q2 - Determine a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em x = a, onde:
a) f(x) = x2 + 3x− 2, a = 3
b) f(x) = 2x3 + 5x2 − 8, a = −2
c) f(x) = x4 − 3x2 + 12, a = 1
d) f(x) = x5 − 8x2 + x− 5, a = 0
e) f(x) = −4x9 + 7x4 − 2x2 + 8x− 1, a = 0
f) f(x) = 8x4 + 7x3 − 2x, a = −1
Q3 - Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = x2+3x−1
no ponto de abscissa 3.
Q4 - Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = 2x3 +
7x− 1 no ponto de coordenadas (2, f(2)).
Q5 - Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto de
abscissa a onde:
a) f(x) = x2 + 8 e a = 2
b)f(x) = 3x2 + 7x e a = 1
c)f(x) = x3 + 3x− 1 e a = −1
d)f(x) = 2x+ 3 e a = 4
e)f(x) = 7x− 8 e a = pi
f)f(x) = 2x3 − 3 e a = 0
Q6 - Determine dydx :
a) y = (3x2 + 1)(6x2 + x)
b) y = (5x3 + x)(2x4 − 3x2)
c) y = (−3x4 + 2x)(5x− 2)
d) y = (2 + 7)(x2 − x)
e) y = 2x+1x
f) y = x
2−x
x−1
g) y = 1
x2+2x
3.10. EXERCI´CIOS 51
Q7 - Determine a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em x = a, onde:
a) f(x) = x sen(x), e a = 0
b) f(x) = sen(x)cos(x), e a = pi/2
c) f(x) = x2cos(x) e a = pi
d) f(x) = sen(x)x e a = pi/4
e) f(x) = x
2−3x+1
x e a = −2
f) f(x) = 1sen(x) e a = pi/2
Q8 - Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = sen(x)
no ponto de coordenadas (pi2 , 1).
Q9 - Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto de
abscissa a onde:
a)f(x) = sen(x) e a = 3pi2
b)f(x) = xcos(x) e a = 0
c)f(x) = x2sen(x) e a = pi
d)f(x) = (cos(x))2 e a = pi/2.
Q10 - Calcule dfdt onde:
a) f(t) = t sen(t) + t cos(t)
b) f(t) = (sen(t))2
c) f(t) = t
2
sen(t)
d) f(t) = 1cos(t)
e) f(t) = (t3 + 2)(t2 − 3t+ 1)
f) f(t) = 1
tk
, k ∈ {1, 2, 3, ...}
Q11 - Calcule f ′(x) onde:
a) f(x) = sen(x3)
b) f(x) = cos(x2 + 3x+ 1)
c) f(x) = cos2(x)
d) f(x) = (x3 + 4x2 − 2x+ 1)4
e) f(x) = (sen(x))3 + 3(sen(x))2 + 5
f) f(x) = sen(cos(x))
g) f(x) = sen( 1
x3
)
h) f(x) = sen(x2) + (cos(x))3
i) f(x) = (3x+ 2)5 + (2x− 8)4
j) f(x) = sen(x2)cos(x2)
k) f(x) = (sen(x))2 + (cos(x))2
l) f(x) = (sen(x))5 + (cos(x))4 + sen(x)x − 2
Q12 - Calcule f ′(x) onde
a) f(x) = x2ex
b) f(x) = (x+ 1)ex
c) f(x) = x.ln(x)
d) f(x) = exln(x)
e) f(x) = sen(x)ex
f) f(x) = ln(x).sen(x)
g) f(x) = xex
h) f(x) = ln(x)x
i) f(x) = e
x
ln(x)
52 CAPI´TULO 3. DERIVADA
Q13 - Calcule f ′(x) onde
a) f(x) = e5x
b) f(x) = ln(5x)
c) f(x) = ln(3)ex
d) f(x) = ln(2)
e) f(x) = sen(ex)
f) f(x) = ln(ex)
g) f(x) = cos(ln(x))
h) f(x) = esen(x)
i) f(x) = ln(x3)
Q14 - Determine os intervalos onde f e´ crescente e os intervalos onde f e´
decrescente, sendo:
a) f(x) = x3 − 27x+ 2 b) f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 1
c) f(x) = −2x3 + 15x2 − 36x+ 1 d) f(x) = (sen(x))2 para x ∈ [0, 2pi]
e) f(x) = (sen(x))3 para x ∈ [0, 2pi]
f) f(x) = (x2 + x)ex
g) f(x) = x ln(x), x > 0
Respostas:
Q1) - a)15x2 + 4x− 3 b)15x4 − 6x2 c)60x3 + 24x2 − 12 d)60x11 − 24x+ 4
Q2) - a)9 b)4 c)− 2 d)1 e)8 f)− 13
Q3) 9
Q4) 31
Q5) -a) y = 4x+4 b) y = 13x−3 c) y = 6x+1 d) y = 2x+3 e) y = 7x−8 f)y =
−3.
Q6) a) dydx = (6x)(6x
2 + x) + (3x2 + 1)(12x+ 1)
b) dydx = (15x
2 + 1)(2x4 − 3x2) + (5x3 + x)(8x3 − 6x)
c) dydx = (−12x3 + 2)(5x− 2) + (−3x4 + 2x)(5) d) dydx = 9(2x− 1)
e) dydx =
−1
x2
f) dydx = 1 se x 6= 1 g) dydx = − 2x+2(x2+2x)2
Q7 - a) 0 b) − 1 c) − 2pi d) (
√
2/2)(pi/4)−√2/2
(pi/4)2
= 2
√
2(pi−4)
pi2
e) 3/4 f) 0
Q8 - 0
Q9 - a) y = −1 b) y = x c) y = −pi2x+ pi3 d) y = 0
Q10 - a) sen(t)+cos(t)+ t(cos(t)−sen(t)) b) 2sen(t)cos(t) c) 2tsen(t)−t2cos(t)
(sen(t))2
d) sen(t)
cos2(t)
e)5t4 − 12t3 + 3t2 + 4t− 6 f) −k
tk+1
Q11 - a) cos(x3)3x2 b) − sen(x2 + 3x+ 1)(2x+ 3) c) − 2sen(x)cos(x)
d) 4(x3 + 4x2 − 2x+ 1)3(3x2 + 8x− 2) e) 3sen2(x)cos(x) + 6sen(x)cos(x)
f) − cos(cos(x))sen(x) g) − 3cos(x−3)x−4 h) cos(x2)2x− 3cos2(x)sen(x)
i)15(3x+ 2)4 + 8(2x− 8)3 j) 2x(cos2(x2)− sen2(x2)) k) 0
l) 5(sen(x))4cos(x)− 4(cos(x))3sen(x) + cos(x)x−sen(x)
x2
Q12 -a) f ′(x) = (x2 + 2x)ex b) f ′(x) = (x+ 2)ex c) f ′(x) = ln(x) + 1
d) f ′(x) = (ln(x) + 1/x)ex e) f ′(x) = (sen(x) + cos(x))ex
f) f ′(x) = sen(x)x + ln(x)cos(x) g) f
′(x) = 1−xex h) f
′(x) = 1−ln(x)
x2
i) f ′(x) = e
x(ln(x)−1/x)
(ln(x))2
Q13 - a) f ′(x) = 5e5x b) f ′(x) = 1/x c) f ′(x) = ln(3)ex d) f ′(x) =
0 e) f ′(x) = cos(ex)ex f) f ′(x) = 1 g) f ′(x) = − sen(ln(x))x h) f ′(x) =
esen(x)cos(x) i) f ′(x) = 3/x.
Q14 - a) cres: (−∞,−3] e [3,+∞) dec: [−3, 3] b) cres: (−∞,−2] e [1,+∞)
dec: [−2, 1] c) cres: [2, 3] dec: (−∞, 2] e [3,+∞) d) cres: [0, pi/2] e [pi, 3pi/2]
3.10. EXERCI´CIOS 53
dec: [pi/2, pi] e [3pi/2, 2pi] e) cres: [0, pi/2] e [3pi/2, 2pi] dec: [pi/2, 3pi/2]
f) cres: (−∞, −3−
√
5
2 ] e [
−3+√5
2 ,+∞) dec: [−3−
√
5
2 ,
−3+√5
2 ]
g) cres: (1e ,+∞) dec: (0, 1e ).
54 CAPI´TULO 3. DERIVADA
Cap´ıtulo 4
Aplicac¸o˜es
4.1 Ma´ximos e mı´nimos locais
Dizemos que um nu´mero real a ∈ Dom(f) e´ um ponto de ma´ximo local (ou
relativo) de f se existe um intervalo aberto I contendo a tal que f(a) ≥ f(x)
para todo x ∈ Dom(f)∩ I. Neste caso dizemos que f(a) e´ um valor de ma´ximo
local (ou relativo).
Analogamente, a ∈ Dom(f) e´ um ponto de mı´nimo local (ou relativo) de f se
existe um intervalo I contendo a tal que f(a) ≤ f(x) para todo x ∈ Dom(f)∩I.
Neste caso dizemos que f(a) e´ um valor de ma´ximo local (ou relativo).
Exemplo 108 A partir do gra´fico abaixo podemos dizer que:
x = 1 e´ um ponto de mı´nimo local de f (considere por exemplo o intervalo
I = (0, 2))
x = 1, 5 e´ um ponto de ma´ximo local de f (considere por exemplo o intervalo
I = (1, 2))
x = 2, 5 e´ um ponto de mı´nimo local de f (considere por exemplo o intervalo
I = (2, 3))
f tambe´m possui um ma´ximo relativo nos pontos x = 4 e x = 7 e um mı´nimo
relativo nos pontos x = 5 e x = 8. Note que f(7) = 2 e´ um valor de ma´ximo
local enquanto f(2, 5) = 3 e´ um valor de mı´nimo local.
Definic¸a˜o 109 Um nu´mero a ∈ Dom(f) e´ chamado de ponto cr´ıtico de f se
f ′(a) = 0 ou se f na˜o e´ diferencia´vel em a.
Teorema 110 Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto contendo
55
56 CAPI´TULO 4. APLICAC¸O˜ES
a. Se a e´ um ponto de ma´ximo ou mı´nimo local de f enta˜o a e´ um ponto cr´ıtico
de f .
Exemplo 111 Determinar os pontos de ma´ximo e mı´nimo relativos e os va-
lores de ma´ximo e mı´nimo relativos da func¸a˜o f(x) = x3 − 3x− 4.
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 3x2 − 3 −→ Pontos cr´ıticos: 3x2 − 3 = 0 −→ x = −1 e x = 1.
Como f ′(x) tem como gra´fico uma para´bola coˆncava para cima, obtemos a
seguinte representac¸a˜o informal:
Conclu´ımos que x = −1 e´ um ponto de ma´ximo local e que f(−1) = −2 e´
um valor de ma´ximo local.
Ale´m disso, x = 1 e´ um ponto de mı´nimo local e f(1) = −6 e´ um valor de
mı´nimo local.
Teorema 112 (Teste da Derivada Primeira) Seja f uma func¸a˜o cont´ınua
em x = a e I = (a− �, a+ �) um intervalo aberto contendo a.
- Se
 f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a− �, a)f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, a+ �) enta˜o x =a e´ um ponto de ma´ximo
local.
- Se
 f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a− �, a)f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, a+ �) enta˜o x = a e´ um ponto de mı´nimo
local.
- Se f ′(x) tem o mesmo sinal em (a− �, a) e (a, a+ �) enta˜o x = a na˜o e´ ponto
de ma´ximo ou mı´nimo local.
4.2. MA´XIMOS E MI´NIMOS ABSOLUTOS 57
Exemplo 113 Determinar os pontos cr´ıticos de f(x) = (x− 2)ex e classifica´-
los:
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = (x− 1)ex −→ Pontos cr´ıticos: (x− 1)ex = 0 −→ x = 1.
Como ex > 0 para todo x temos que os sinais de f ′ sa˜o determinados pelo fator
(x− 1).
Conclu´ımos que x = 1 e´ um ponto de mı´nimo local.
4.2 Ma´ximos e mı´nimos absolutos
Definic¸a˜o 114 Dizemos que x0 ∈ I e´ um ponto de ma´ximo absoluto de f no
intervalo I se f(x0) ≥ f(x) para todo x ∈ I. Analogamente, x0 ∈ I e´ um ponto
de mı´nimo absoluto de f no intervalo I se f(x0) ≤ f(x) para todo x ∈ I.
Teorema 115 Se f e´ cont´ınua sobre um intervalo fechado I = [a, b] enta˜o f
tem pelo menos um ponto de ma´ximo absoluto e um ponto de mı´nimo absoluto
em I. Ale´m disso, se x0 e´ um ponto de ma´ximo ou mı´nimo absoluto enta˜o x0
e´ um ponto cr´ıtico ou x0 = a ou x0 = b.
Exemplo 116 Determine o maior e o menor valor que f(x) = x
3
3 +
x2
2 −2x− 56
assume restrita ao intervalo I = [−3, 2].
Soluc¸a˜o: Como f e´ cont´ınua e o intervalo I e´ fechado, o maior (analogamente
58 CAPI´TULO 4. APLICAC¸O˜ES
menor) valor sera´ atingido em a = −3, b = 2 ou em um ponto cr´ıtico.
f ′(x) = x2 +x−2 −→ Pontos cr´ıticos: x2 +x−2 = 0 −→ x = −2 ou x = 1.
Candidatos: -3, 2, -2, 1 (extremos do intervalo e pontos cr´ıticos)
f(−3) = 2
3
, f(2) = −1
6
, f(−2) = 5
2
, f(1) = −2.
Menor valor atingido: f(1) = −2 (em um ponto cr´ıtico)
Maior valor atingido: f(−2) = 52 (em um ponto cr´ıtico).
Exemplo 117 Determine o maior e o menor valor que f(x) = x
3
3 +
x2
2 −2x− 56
assume restrita ao intervalo I = [−3, 3].
Temos a mesma func¸a˜o, mas agora analisada em um intervalo diferente.
Candidatos: -3, 3, -2, 1 (extremos do intervalo e pontos cr´ıticos)
f(−3) = 2
3
, f(3) =
20
3
, f(−2) = 5
2
, f(1) = −2.
Menor valor atingido: f(1) = −2 (em um ponto cr´ıtico)
Maior valor atingido: f(3) = 203 (em um dos extremos do intervalo).
Exemplo 118 Determine o maior e o menor valor que f(x) = 3x2ex assume
restrita ao intervalo I = [−3, 3].
Soluc¸a˜o: Como f e´ cont´ınua e o intervalo I e´ fechado, o maior (analogamente
menor) valor sera´ atingido em a = −3, b = 3 ou em um ponto cr´ıtico.
f ′(x) = 3(x2+2x)ex −→ Pontos cr´ıticos: 3(x2+2x)ex = 0 −→ x = −2 ou x = 0.
Candidatos: -3, 3, -2, 0 (extremos do intervalo e pontos cr´ıticos)
f(−3) = 27e−3, f(3) = 27e3, f(−2) = 12e−2, f(0) = 0.
Menor valor atingido: f(0) = 0 (em um ponto cr´ıtico)
Maior valor atingido: f(3) = 27e3 ≈ 542, 31 (em um dos extremos do inter-
valo).
Exemplo 119 Determine o maior e o menor valor que f(x) = 3x2ex assume
restrita ao intervalo I = [−3,−1].
4.3. PROBLEMAS 59
Soluc¸a˜o: Temos a mesma func¸a˜o agora analisada em um intervalo diferente.
Note que x = 0 na˜o pertence ao intervalo.
Candidatos: -3, -1, -2 (extremos do intervalo e o ponto cr´ıtico que pertence ao
intervalo)
f(−3) = 27e−3 ≈ 1, 34, f(−1) = 3e−1 ≈ 1, 10, f(−2) = 12e−2 ≈ 1, 62.
Menor valor atingido: f(−1) = 3e−1 (em um ponto cr´ıtico)
Maior valor atingido: f(−2) = 12e−2 (em um dos extremos do intervalo).
4.3 Problemas
Exemplo 120 Determine as dimenso˜es do campo retangular de maior a´rea
que pode ser cercado com 844 metros de tela.
Soluc¸a˜o:
A´rea: A = x · y
Vı´nculo: (per´ımetro) 2x+ 2y = 844 −→ y = 422− x
A´rea em func¸a˜o de x:
A(x) = x · (422− x) = −x2 + 422x, Dom(A) = [0, 422].
Os extremos do intervalo representam casos degenerados e sera˜o inclu´ıdos no
domı´nio (para termos um intervalo fechado) quando a func¸a˜o puder ser calcu-
lada nestes nu´meros.
Queremos maximizar A(x) = −x2 + 422x sobre o intervalo I = [0, 422].
O ma´ximo ira´ ocorrer em um dos extremos do intervalo ou em um ponto
cr´ıtico da func¸a˜o.
A′(x) = −2x+ 422 −→ Pontos cr´ıticos: − 2x+ 422 = 0 −→ x = 211.
Candidatos: 0, 422, 211 (extremos do intervalo e ponto cr´ıtico)
A(0) = 0 · (422− 0) = 0,
A(422) = 422 · (422− 422) = 0,
A(211) = 211 · (422− 211) = 211 · 211 = 44521
Conclusa˜o: A maior a´rea poss´ıvel e´ de 44521m2 quando as dimenso˜es sa˜o
60 CAPI´TULO 4. APLICAC¸O˜ES
x = 211m e y = 422 − x = 211m. Neste caso o terreno tera´ a forma de um
quadrado.
Exemplo 121 Determinar a caixa de base quadrada com maior volume que
pode ser produzida com 96 cm2 de material.
Soluc¸a˜o:
Volume: V = x2y
Vı´nculo: (a´rea lateral) 2x2 + 4xy = 96 → y = 24x − x2 .
Volume em func¸a˜o de x:
V (x) = x2(
24
x
− x
2
) = 24x− x
3
2
, Dom(V ) = [0,
√
48].
Novamente os extremos do intervalo representam casos degenerados. Note que
se x = 0 e´ imposs´ıvel obtermos 2x2 + 4xy = 96 (v´ınculo).
Queremos maximizar V (x) = 24x− x32 restrita ao intervalo [0,
√
48].
V ′(x) = 24− 3x
2
2
−→ Pontos cr´ıticos: 3x
2
2
= 24 −→ x = −4 ou x = 4.
Candidatos: 0,
√
48, 4 (extremos do intervalo e ponto cr´ıtico dentro do inter-
valo)
V (0) = 0,
V (
√
48) = 0,
V (4) = 42(244 − 42) = 16(6− 2) = 64
Conclusa˜o: O maior volume poss´ıvel e´ de 64 cm3 quando as dimenso˜es sa˜o
x = 4 cm e y = 24x − x2 = 4 cm. Neste caso a caixa tera´ a forma de um cubo.
4.4 Derivada Segunda
A derivada de f e´ uma func¸a˜o denotada por f ′. A derivada de f ′ e´ uma func¸a˜o
denotada por f ′′ e chamada de derivada segunda de f .
Exemplo 122
f(x) = 5x4 + 3x2 − 2x+ 4
f ′(x) = 20x3 + 6x− 2
f ′′(x) = 60x2 + 6
g(x) = x · sen(x)
g′(x) = (1)(sen(x)) + (x)(cos(x))
g′′(x) = [cos(x)] + [(1)(cos(x)) + (x)(−sen(x))] = 2 · cos(x)− x · sen(x)
h(x) = 1x
h′(x) = − 1
x2
h′′(x) = 2
x3
4.4. DERIVADA SEGUNDA 61
Definic¸a˜o 123 Dada uma func¸a˜o f , diferencia´vel em um intervalo aberto I,
dizemos que
- f e´ coˆncava para cima em I se f ′ e´ crescente em I.
- f e´ coˆncava para baixo em I se f ′ e´ decrescente em I.
Teorema 124 Supondo que f ′′ esta´ definida em um intervalo aberto I temos:
- Se f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I enta˜o f e´ coˆncava para cima em I.
- Se f ′′(x) < 0 para todo x ∈ I enta˜o f e´ coˆncava para baixo em I.
Definic¸a˜o 125 Se f e´ cont´ınua em a e troca de concavidade em x = a enta˜o
dizemos que (a, f(a)) e´ um ponto de inflexa˜o do gra´fico de f .
Exemplo 126 Gra´fico de f(x) = x3 − 3x2.
Soluc¸a˜o:
Corte com eixo y: f(0) = 0
Corte com eixo x:
x3 − 3x2 = 0 → x2(x− 3) = 0 → x = 0 ou x = 3.
Pontos cr´ıticos:
f ′(x) = 3x2 − 6x → 3x(x− 2) = 0 → x = 0 ou x = 2.
Para o esboc¸o do gra´fico e´ u´til calcularmos o valor de f nestes pontos cr´ıticos.
f(0) = 0 e f(2) = 23 − 3 · 22 = −4.
Crescimento/decrescimento:
- f e´ crescente nos intervalos (−∞, 0] e [2,+∞)
- f e´ decrescente no intervalo [0, 2].
x = 0 e´ um ponto de ma´ximo local
x = 2 e´ um ponto de mı´nimo local
Concavidades: f ′′(x) = 6x− 6
- f e´ coˆncava para cima em (1,+∞)
- f e´ coˆncava para baixo em (−∞, 1)
- o ponto (1, f(1)) = (1,−2) e´ um ponto de inflexa˜o.
62 CAPI´TULO 4. APLICAC¸O˜ES
Teste da Derivada segunda:
Suponha que f seja duas vezes diferencia´vel em a.
- Se f ′(a) = 0 e f ′′(a) > 0, enta˜o f tem um mı´nimo relativo em a
- Se f ′(a) = 0 e f ′′(a) < 0, enta˜o f tem um ma´ximo relativo em a
- Se f ′(a) = 0 e f ′′(a) = 0, enta˜o na˜o e´ poss´ıvel obtermos conclusa˜o por este
teste.
Exemplo 127 Para f(x) = ex
2−6x temos
f ′(x) = ex
2−6x(2x− 6) → ponto cr´ıtico: 2x− 6 = 0 → x = 3.
f ′′(x) = ex
2−6x(2x− 6)2 + ex2−6x · 2 → f ′′(3) = 2e−9 > 0
Portanto o ponto cr´ıtico x = 3 e´ um ponto de mı´nimo local.
Exemplo 128 Para constantes a, b e c, com a 6= 0 e f(x) = ax2 +bx+c temos
f ′(x) = 2ax+ b → ponto cr´ıtico:2ax+ b = 0 → x = −b
2a
(ve´rtice)
Como f ′′(x) = 2a temos que se a > 0 enta˜o o ponto cr´ıtico x = −b2a e´ um ponto
de mı´nimo local. Se a < 0 enta˜o o ponto cr´ıtico x = −b2a e´ um ponto de ma´ximo
local.
Exemplo 129 Analise a func¸a˜o f(x) = sen(x) nos pontos a = pi2 e a = pi.
Soluc¸a˜o: f ′(x) = cos(x) e f ′′(x) = −sen(x).
Para a = pi/2 temos f ′(pi/2) = cos(pi/2) = 0 (pi/2 e´ ponto cr´ıtico). Como
f ′′(pi/2) = −sen(pi/2) = −1 temos que o ponto cr´ıtico a = pi/2 e´ um ponto de
ma´ximo local.
Para a = pi temos f ′(pi) = cos(pi) = −1. Portanto pi na˜o e´ ponto cr´ıtico. Note
no entanto que f ′′(x) = −sen(x) troca de sinal em pi, portanto (pi, f(pi)) = (pi, 0)
e´ um ponto de inflexa˜o do gra´fico de f .
4.5 Exerc´ıcios
Q1 - Determine o(s) ponto(s) cr´ıticos e os pontos de ma´ximo ou mı´nimo rela-
tivo(s) das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) = x2 + 5x− 14
4.5. EXERCI´CIOS 63
b) f(x) = 3x2 + 6x− 5
c) f(x) = x3 − x2 − x+ 8
d) f(x) = x3 + 2
e) f(x) = (sen(x))3 para x em (0, pi)
Q2 - Determine os pontos cr´ıticos das func¸o˜es abaixo e analise se estes sa˜o
pontos de ma´ximo ou mı´nimo relativos:
a) f(x) = e(x
2) b) f(x) = xex
c) f(x) = e(x
2−x) d) f(x) = x2ex
e) (ln(x))2, x > 0 f) (ln(x))3, x > 0
Q3 - Determine o maior e o menor valor que a func¸a˜o f assume, restrita ao
intervalo I, onde
a)f(x) = x2 + 4x− 12 e I = [1, 5] b)f(x) = x2 − 4x− 12 e I = [1, 4]
c)f(x) = x2 − x+ 3 e I = [0, 4] d)f(x) = x2 + x− 4 e I = [−1, 1]
e)f(x) = sen2(x) e I = [0, pi] f)f(x) = sen(x) + cos(x) e I = [0, pi/2]
g)f(x) = 2x3 +3x2 e I = [−1, 1] h)f(x) = 2x3−9x2 +12x+1 e I = [0, 2]
Q4 - Deseja-se construir dois cercados retangulares de medidas iguais e com
um lado em comum. Sabendo que a tela custa R$10, 00 por metro linear e que
deseja-se gastar no ma´ximo R$240, 00 na compra de tela, determine a maior
a´rea que cada cercado pode conter.
Q5 - Deseja-se construir uma caixa de base quadrada e sem tampa. O
custo do material para confecc¸a˜o da base e´ de R$20, 00 por dm2 e o custo de
material para confecc¸a˜o das faces laterais e´ de R$5, 00 por dm2. Determine o
maior volume que a caixa pode ter sendo constru´ıda com um custo total de
R$300, 00.
Q6 - Deseja-se construir uma calc¸ada retangular e um cercado de tela em
volta desta. A calc¸ada tem um custo de R$100, 00 por m2 e a tela um custo de
R$10, 00 por metro. Determine as dimenso˜es da calc¸ada com a´rea de 25m2 que
resulta no menor custo total poss´ıvel (custo da calc¸ada mais custo da tela).
Q7 - Calcule f ′′(x) onde:
a) f(x) = 3x5 + 2x4 − 8x2 + 1 b) f(x) = sen(x) + cos(x)
c) f(x) = x.cos(x) d) f(x) = 8x3 − 12x+ 1
e) f(x) = sen(x) + x3 f) f(x) = 1
x3
g) f(x) = e5x h) f(x) = ln(3x), x > 0
i) f(x) = ln(3)ex j) f(x) = ln(ex)
Q8 - Determine os intervalos onde f e´ coˆncava para cima, os intervalos onde
f e´ coˆncava para baixo e a abscissa dos pontos de inflexa˜o do gra´fico de f , onde:
a) f(x) = 2x3 + 5x2 − 8x+ 1 b) f(x) = 4x3 − 8x2 + 7x− 15
c) f(x) = 7x3 − 15x2 + 8x d) f(x) = sen(x), x ∈ (−pi/2, pi/2)
e) f(x) = x2 − 2x+ 5 f) f(x) = xex
g) f(x) = (x− 1)ex h) f(x) = sen(x)ex, x ∈ (0, pi)
Respostas:
Q1 -
a)− 5/2 (ponto cr´ıtico e ponto de mı´nimo relativo)
64 CAPI´TULO 4. APLICAC¸O˜ES
b) -1 (ponto cr´ıtico e ponto de mı´nimo relativo)
c) 1 (ponto cr´ıtico e ponto de mı´nimo relativo) -1/3 (ponto cr´ıtico e ponto de
ma´ximo relativo)
d) 0 (ponto cr´ıtico)
e) pi/2 (ponto cr´ıtico e ponto de ma´ximo relativo)
Q2 -
a) x0 = 0 e´ ponto de mı´nimo relativo
b) x0 = −1 e´ ponto de mı´nimo relativo
c) x0 = 1/2 e´ ponto de mı´nimo relativo
d) x0 = 0 e´ ponto de mı´nimo relativo e x0 = −2 e´ ponto de ma´ximo relativo
e) x0 = 1 e´ ponto de mı´nimo relativo
f) x0 = 1 e´ ponto cr´ıtico, mas na˜o e´ um extremo relativo.
Q3 -
a) menor: -7 em x=1, maior: 33 em x=5
b) menor: -16 em x=2, maior: -12 em x=4
c) menor: 11/4 em x=1/2 maior: 15 em x=4
d) menor: -17/4 em x=-1/2 , maior: -2 em x=1
e) menor: 0 em x= 0 e x=pi, maior: 1 em x=pi/2
f) menor: 1 em x=0 e x=pi/2, maior:
√
2 em x=pi/4
g) menor: 0 em x=0, maior: 5 em x=1,
h) menor: 1 em x=0, maior: 6 em x=1.
Q4 - 12m2
Q5 - 10
√
5dm3
Q6 - 5m× 5m
Q7 - a) 60x3+24x2−16 b)−sen(x)−cos(x) c)−2sen(x)−x.cos(x) d) 48x
e)− sen(x) + 6x f) 12
x5
g)25e5x h) −1/x2 i) ln(3)ex j) 0.
Q8 -
a) coˆncava para cima: (−56 ,+∞) coˆncava para baixo: (−∞,−56) inflexa˜o: x− 56 ,
b) coˆncava para cima: (2/3,+∞) coˆncava para baixo: (−∞, 2/3) inflexa˜o:
x = 2/3
c) coˆncava para cima: (5/7,+∞) coˆncava para baixo: (−∞, 5/7) inflexa˜o:
x = 5/7
d) coˆncava para cima: (−pi/2, 0) coˆncava para baixo: (0, pi/2) inflexa˜o: x = 0
e) coˆncava para cima: (−∞,+∞).
f) coˆncava para cima: (−2,+∞) coˆncava para baixo: (−∞,−2) inflexa˜o: x =
−2
g) coˆncava para cima: (−1,+∞) coˆncava para baixo: (−∞,−1) inflexa˜o:
x = −1
h) coˆncava para cima: (0, pi/2) coˆncava para baixo: (pi/2, pi) inflexa˜o: x = pi/2
Cap´ıtulo 5
Integrais
5.1 Primitiva ou antiderivada
Dizemos que F (x) e´ uma primitiva de f(x) em um intervalo I se F ′(x) = f(x)
para todo x ∈ I.
Exemplo 130 -
I-
F (x) = x2 e´ uma primitiva de f(x) = 2x
F (x) = sen(x) e´ uma primitiva de f(x) = cos(x)
F (x) = −cos(x) e´ uma primitiva de f(x) = sen(x)
F (x) = ln(x) e´ uma primitiva de f(x) = 1/x em I = (0,+∞)
F (x) = ln(−x) e´ uma primitiva de f(x) = 1/x em I = (−∞, 0).
II - Mostre que F (x) = x ln(x)−x e´ uma primitiva de f(x) = ln(x) no intervalo
I = (0,+∞).
Soluc¸a˜o: Como F ′(x) = [ln(x) + x( 1x)]− 1 = ln(x), conclu´ımos o desejado.
III-
Determine 3 primitivas de f(x) = 3x2
Soluc¸a˜o:
F (x) = x3 H(x) = x3 + 7 G(x) = x3 − pi.
Teorema 131 Se F (x) e´ uma primitiva de f em um intervalo I enta˜o:
- Para qualquer constante C, F (x) + C e´ uma primitiva de f(x) em I.
- Qualquer primitiva de f(x) em I pode ser expressa na forma F (x) + C para
alguma constante C.
5.2 A integral indefinida
Se F ′(x) = f(x), escrevemos∫
f(x) dx = F (x) + C.
O lado esquerdo e´ lido como a integral indefinida de f e o lado direito representa
todas as poss´ıveis primitivas de f , considerando que a letra C representa uma
65
66 CAPI´TULO 5. INTEGRAIS
constante indefinida.
Exemplo 132 -∫
x dx = x
2
2 + C∫
x2 dx = x
3
3 + C∫
x3 dx = x
4
4 + C∫
ex dx = ex + C∫
sen(x) dx = −cos(x) + C
Exemplo 133 Tabela de integrais∫
xn dx = x
n+1
n+1 + C, n 6= −1
∫
1
x dx = ln(x) + C, x > 0
∫
cos(x) dx = sen(x) + C
∫
sen(x) dx = −cos(x) + C
∫
ex dx = ex + C
∫
ln(x) dx = x ln(x)− x+ C
Proposic¸a˜o 134∫
f(x) + g(x) dx =
∫
f(x) dx+
∫
g(x) dx.
Se k e´ uma constante ∫
k · f(x) dx = k
∫
f(x) dx.
Exemplo 135
a :
∫
x2 − 5ex dx =
∫
x2 dx− 5
∫
ex dx =
x3
3
− 5ex + C
b :
∫
2sen(x)− 3cos(x) dx = 2
∫
sen(x) dx− 3
∫
cos(x) dx
= 2(−cos(x))− 3(sen(x)) + C = −2cos(x)− 3sen(x) + C
c :
∫
ln(x)− ex dx =
∫
ln(x) dx−
∫
ex dx = x ln(x)− x− ex + C.
5.3 Integrac¸a˜o via substituic¸a˜o
Note que pela regra da cadeia,
d
dx
f(u(x)) = f ′(u(x)) · u′(x)
portanto f(u(x)) e´ uma primitiva de f ′(u(x)) · u′(x). Assim escrevemos∫
f ′(u(x)) · u′(x) dx = f(u(x)) + C.
Acima, se denotarmos u′(x) dx simplesmente por du (note que u′(x) = dudx) e
omitirmos a varia´vel x temos a expressa˜o.∫
f ′(u) du = f(u) + C.
Exemplo 136 ∫
cos(x2 + 5) · 2x dx =?
Escrevendo u = x2 + 5 temos du = u′(x) dx = 2x dx. Como∫
cos(u) du = sen(u) + C e u = x2 + 5
obtemos ∫
cos(x2 + 5) · 2x dx = sen(x2 + 5) + C.
5.4. A INTEGRAL DEFINIDA 67
Exemplo 137 Calcule
∫
esen(x)cos(x) dx:
Escrevendo u = sen(x) temos du = cos(x) dx.∫
eu du = eu + C
Portanto ∫
esen(x)cos(x) dx = esen(x) + C.
Calcule
∫
(ex − 3)5ex dx:
Escrevendo u = ex − 3 temos du = ex dx.∫
u5 du =
u6
6
+ C
enta˜o ∫
(ex − 3)5ex dx