Conjuntos e Funções

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Luís Caldas de Oliveira
Sistemas e Sinais
Conjuntos e Funções
Luís Caldas de Oliveira
lco@ist.utl.pt
Instituto Superior Técnico
Sistemas e Sinais – p.1/23 Luís Caldas de Oliveira
Resumo
Conjuntos.
Atribuição e asserção.
Operadores, variáveis e predicados.
Quantificadores.
Produto cartesiano.
Funções.
Espaço de funções.
Cardinalidade.
Sistemas e Sinais – p.2/23
Luís Caldas de Oliveira
Aula de Hoje
Como representar um intervalo de números de reais?
O que é uma asserção?
Qual é a diferença entre uma asserção e um
predicado?
O que é o conjunto potência de um conjunto?
Qual é a diferenças entre o quantificador universal e o
existencial?
Qual é a diferença entre um conjunto e um tuplo?
O que é uma função unívoca?
Dê exemplo de um conjunto com cardinalidade aleph
zero.
Sistemas e Sinais – p.3/23 Luís Caldas de Oliveira
Conjuntos
Um conjunto é uma colecção de elementos.
Exemplos de conjuntos:
Naturais = {1, 2, 3, . . .}
Cidades = {Lisboa, Porto, Amadora, Faro, . . .}
Booleano = {Verdadeiro, Falso}
BolaTotoloto = {1, 2, 3, . . . , 49}
Sistemas e Sinais – p.4/23
Luís Caldas de Oliveira
Intervalos
Para conjuntos de elevada cardinalidade podemos recorrer
ao conceito de intervalo na sua definição:
[0, 1[ conjunto de números reais entre 0 e 1 incluindo
o 0 mas excluindo o 1;
]0,∞[ conjunto dos números reais maiores do que
zero;
Sistemas e Sinais – p.5/23 Luís Caldas de Oliveira
Atribuição e Asserção
O sinal de igual (=) numa expressão pode ter duas
interpretações:
Atribuição: ao conjunto do lado direito do sinal de
igual dá-se o nome do lado esquerdo:
MeusNumeros = {2, 6, 14, 23, 34, 39}
Asserção: uma expressão que pode ser verdadeira
ou falsa:
MeusNumeros = ChaveTotoloto
Sistemas e Sinais – p.6/23
Luís Caldas de Oliveira
Conjuntos de Conjuntos
Um elemento de um conjunto pode ser ele mesmo
um conjunto:
PartidaTenis = {{Pedro, Joana}, {Paulo, Ana}}
Ao conjunto de todos os subconjuntos do conjunto X
dá-se o nome de conjunto potência de X e
representa-se por P(X).
Notar que ∅ ∈ P(X).
Sistemas e Sinais – p.7/23 Luís Caldas de Oliveira
Problema
Se o conjunto X tiver n elementos, indique o número de
elementos de P(X), o conjunto potência de X.
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Luís Caldas de Oliveira
Variáveis
Utilizamos uma variável para nos referirmos a um
elemento genérico de um conjunto:
n ∈ Ž
Neste caso n será um número natural.
Sistemas e Sinais – p.9/23 Luís Caldas de Oliveira
Predicados
Um predicado é uma expressão dependente de uma
variável e que pode ser avaliada como verdadeira ou
falsa.
Os predicados podem ser usados para definir novos
conjuntos:
NovoCon junto = {x ∈ Con junto|Pred(x)}
Exemplo:
NaturaisAte´Cem = {n ∈ Ž|n < 100}
Sistemas e Sinais – p.10/23
Luís Caldas de Oliveira
Quantificadores
Quantificador universal:
∀x ∈ A, Pred(x)
A asserção é verdadeira se Pred(x) for verdade para
todos os elementos do conjunto A.
Quantificador existencial:
∃x ∈ A, Pred(x)
A asserção é verdadeira se Pred(x) for verdade para
pelo menos um elemento do conjunto A.
Sistemas e Sinais – p.11/23 Luís Caldas de Oliveira
Conjuntos Famosos
Números naturais: Ž = {1, 2, . . .}
Números inteiros: š = {. . . ,−1, 0, 1, . . .}
Números inteiros não-negativos: š+ = {0, 1, 2, . . .}
Números reais: ’ =] −∞,+∞[
Números complexos: ƒ = {x + jy|x, y ∈ ’}
Valores binários: Bina´rios = {0, 1}
Cadeia binária: Bina´rios∗ = {0, 1}∗
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Luís Caldas de Oliveira
Símbolos Famosos
Inclusão: ∈ (pertence a), < (não pertence a).
Contém: ⊂ (está contido em), ⊃ (contém).
União: ∪ (união com), ∩ (intersecção com).
Lógicos: ∧ (e), ∨ (ou), ¬ (negação).
Relações: =⇒ (implica),⇐⇒ (equivalente).
Sistemas e Sinais – p.13/23 Luís Caldas de Oliveira
Problema
Usar a notação matemática para representar os conjuntos:
A ∩ B.
Os números racionais ‘.
Os números inteiros representáveis com 16 bits:
Sistemas e Sinais – p.14/23
Luís Caldas de Oliveira
Complemento
Se A e X forem conjuntos:
X\A = {x|x ∈ X ∧ x < A}
X\A pode ser visto como a subtração de conjuntos
(X − A).
Se A ⊂ X, X\A é o complemento de A em X ou AC.
Sistemas e Sinais – p.15/23 Luís Caldas de Oliveira
Conjunção e Dijunção de Predicados
A conjunção e dijunção de predicados correspondem à
intersecção e união dos conjuntos:
{x ∈ X|P(x) ∧ Q(x)} = {x ∈ X|P(x)} ∩ {x ∈ X|Q(x)}
{x ∈ X|P(x) ∨ Q(x)} = {x ∈ X|P(x)} ∪ {x ∈ X|Q(x)}
Sistemas e Sinais – p.16/23
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Negação do Predicado
Pode-se relacionar a negação de um predicado com o
complemento de um conjunto:
{x ∈ X|¬Pred(x)} = X\{x ∈ X|Pred(x)}
Sistemas e Sinais – p.17/23 Luís Caldas de Oliveira
Produto Cartesiano
O produto cartesiano X × Y de dois conjuntos X e Y
consiste em todos os pares de elementos (x, y) com x ∈ X
e y ∈ Y, ou seja:
X × Y = {(x, y)|x ∈ X ∧ y ∈ Y}
O conceito pode-se estender ao produto de mais conjuntos
Sistemas e Sinais – p.18/23
Luís Caldas de Oliveira
Tuplos
(2, 7) é um par ordenado (2-tuplo)
(i, s, t) é um trio ordenado (3-tuplo)
(t, a, g, u, s) é um 5-tuplo
Notar que {2, 7} = {7, 2} mas (2, 7) , (7, 2)
Sistemas e Sinais – p.19/23 Luís Caldas de Oliveira
Funções
Uma função caracteriza-se por ter:
um conjunto domínio
um conjunto contra-domínio
um gráfico (para elemento do domínio há um
elemento do contra-domínio)
f : X → Y
∀x ∈ X, f (x) = . . .
Sistemas e Sinais – p.20/23
Luís Caldas de Oliveira
Espaço de Funções
O espaço de funções [X → Y] inclui todas as funções f
que têm como domínio X e contra-domínio Y, ou seja:
[X → Y] = { f |domı´nio( f ) = X ∧ contradomı´nio( f ) = Y}
Sistemas e Sinais – p.21/23 Luís Caldas de Oliveira
Função Unívoca
Uma função f : X → Y é unívoca se:
∀x1 ∈ X ∧ x2 ∈ X, x1 , x2 =⇒ f (x1) , f (x2)
Sistemas e Sinais – p.22/23
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Cardinalidade
A cardinalidade de um conjunto finito é o número de
elementos do conjunto.
A cardinalidade de um conjunto infinito poderá ser ℵ0
(aleph zero), ℵ1, ℵ2, etc.
A cardinalidade de Ž vale |Ž| = ℵ0.
Dados dois conjuntos A e B, |A| ≤ |B| se existir uma
função unívoca de A para B.
A e B têm a mesma cardinalidade (|A| = |B|) se
|A| ≤ |B| e se |B| ≤ |A|.
Sistemas e Sinais – p.23/23
	Resumo
	Aula de Hoje
	Conjuntos
	Intervalos
	Atribuição e Asserção
	Conjuntos de Conjuntos
	Problema
	Variáveis
	Predicados
	Quantificadores
	Conjuntos Famosos
	Símbolos Famosos
	Problema
	Complemento
	Conjunção e Dijunção de Predicados
	Negação do Predicado
	Produto Cartesiano
	Tuplos
	Funções
	Espaço de Funções
	Função Unívoca
	Cardinalidade