5- Transformada de Helmert - apresentação

Prévia do material em texto

As diferentes versões da 
Transformada de Helmert 
e suas aplicações na Transformação 
entre Sistemas 
de Referência 
Prof. Dra. Daniele Barroca Marra Alves 
 
 
Material baseado no artigo: As Diferentes Versões da Transformada de Helmert e 
suas Aplicações na Transformação entre Sistemas de Referência 
Autores: Souza, E. M.; Alves, D. B. M.; Monico, J. F. G. M. 
Revista Tema, 2008, v.9, n.3. 
INTRODUÇÃO 
A transformada de Helmert tem sido amplamente utilizada 
para realizar transformações entre sistemas de referência 
Permite que um conjunto de pontos em um 
sistema seja transformado para outro, utilizando 
translações, rotações e escalas 
A utilização de sistemas de referência é muito importante 
para qualquer tipo de posicionamento 
Entretanto, devido ao fato da crosta terrestre estar em 
constante movimento, as coordenadas das estações 
utilizadas na determinação do sistema de referência devem 
ser periodicamente recalculadas 
INTRODUÇÃO 
CAUTELA na utilização e comparação de coordenadas 
das estações terrestres, consideradas 
conhecidas, para que estejam no mesmo referencial, 
também compatíveis em termos da época da realização 
do mesmo 
Objetivo: mostrar os conceitos fundamentais da 
transformação entre os referenciais, sua dedução 
analítica e as diferentes versões que pode assumir, além 
de apresentar como utilizá-la 
ITRF 
Sempre na busca de se definir sistemas de referência de 
alta precisão, a comunidade científica concebeu, na década 
de 80, a primeira versão de um referencial que seria o 
produto da combinação das técnicas de posicionamento 
mais precisas e disponíveis naquele momento: 
 
VLBI (Very Long Baseline Interferometry) 
SLR (Satellite Laser Range) 
 LLR (Lunar Laser Range) 
Diversas realizações –ITRFyy 
Primeira: ITRF 0, em 1988 
Atual: ITRF 2008 
ITRF 
O ITRF é a materialização do ITRS (International Terrestrial 
Reference System) através do ajustamento de várias séries de 
coordenadas SSC (Set of Station Coordinates), e as respectivas 
matrizes variância-covariância 
As SSC são disponibilizadas por diversos centros de 
análise que contribuem com o IERS (International Earth 
Rotation and Reference Systems Service) e estão 
espalhados por todo o globo 
O resultado desse processo é uma lista de coordenadas e 
velocidades das estações que fazem parte de cada um 
dos ITRFyy, bem como os parâmetros de transformação 
entre as diversas SSC 
ITRF 
 Uma estação ITRF é caracterizada pelas coordenadas X, Y, Z 
(geocêntricas) com as respectivas velocidades, isto é, Vx, Vy, Vz, 
numa determinada época t de referência t0. 
 
 Utilizando a representação: = [X, Y, Z]T e = [Vx, Vy, Vz]T, a 
posição de um ponto sobre a superfície terrestre deve ser expressa na 
forma: 
 
 
 onde são as correções devido aos vários efeitos que alteram 
com o tempo e e são os vetores posição e velocidade na 
época de referência t0. 
 
i
i
X)tt(VX)t(X

 000
i
X


0
X

0
V

X

V

ITRF 
Para compatibilizar diferentes referenciais – evolução 
temporal das coordenadas - necessita-se de uma 
transformação que aplica simultaneamente as translações, 
rotações, fator de escala e respectivas taxas de variação 
com relação ao tempo, além da velocidade da estação 
Transformação de Helmert 
Generalizada (THG) 
Necessária em aplicações de alta precisão 
Transformada de Helmert Generalizada 
 
 
 
 
 Transformação entre dois conjuntos 
 
).())))()(())(1(((
))((.)()1(
0)(
0)()()(
0
00
ttXIssT
ttVXIsTX
tITRFyy
tITRFFyytITRFyytITRFzz








Tomando as coordenadas de um ponto P qualquer, 
associadas a um sistema de referência ITRFyy em uma 
época de referência (t0) 
THG de 14 parâmetros - Gregorius (1996) 
Coordenadas de P no sistema de referência ITRFzz em 
uma outra época (t) 














0
0
0
xy
xz
yz
TRANSFORMADA DE HELMERT 
 
 
 
 
 Para os casos em que as taxas de variação dos 
parâmetros não estão disponíveis, a equação da THG 
se torna a equação referente a TH com 7 parâmetros; 
 
 
 Aplica-se: 
 3 translações 
 um fator diferencial de escala 
 3 rotações 
 
 Além destes, também faz parte deste tipo de 
transformação as componentes do vetor velocidade 
(Vx, Vy, Vz) 
))(()()1( 0)()()( 00 ttVXIsTX tITRFFyytITRFyytITRFzz 
 
Fórmula utilizada pelo IERS 
 
 
 
 
 Depende das coordenadas iniciais, das translações 
entre os dois sistemas, do fator de escala, da matriz de 
rotação e suas respectivas variações; 
 
 1º: atualização dos parâmetros e coordenadas da 
estação da época inicial t0 para uma certa época t: 
 
 
 2º: transformação entre os sistemas de referência: 
 
 
 
 
 
 
ITRFyy
xy
xz
yz
ITRFyyITRFzz X
s
s
s
TXX


















   00 ttPPtP t 

Parâmetros de Transformação 
http://itrf.ensg.ign.fr/trans_para.php 
Parâmetros de Transformação 
 
EXEMPLO 
Referenciando uma estação pertencente ao 
 ITRF05 no ITRF00 
 
 Problema: Atividade realizada em 2003 - pesquisador determinou a 
posição de uma estação com alta precisão; 
 
 GPS - Coordenadas finais associadas ao ITRF00 - época 1997. 
 
 
 Posteriormente essa coordenada foi determinada no ITRF05 - época 
2000. 
 
 Para que seja possível comparar os resultados de forma adequada, é 
necessário realizar uma transformação entre os referenciais. 
EXEMPLO 
 Solução: Utilizar a THG, TH e a fórmula do IERS; 
 
 Transformar do ITRF05 para ITRF00 
 
 Usaremos as coordenadas da estação BRAZ de Brasília 
– para podermos comparar; 
 
 Unidade metros 
 
 
Exemplo 
 Parâmetros de Transformação do ITRF 2005 para o 
ITRF 2000: 
 
Exemplo 
http://itrf.ensg.ign.fr/ITRF_solutions/2005/tp_05-00.php 
EXEMPLO 
 Comparar no final com as coordenadas oficiais no 
ITRF2000 
 
 
 
 
 
 
 
 THG 
(7 parâmetros) 
 
APLICAÇÕES 
 
 
 
 THG 
(14 parâmetros) 
 
     


























 
21741444,02-
14550641,54-
34115014,08
104,01
0,0058-
0,0008-
0,0001
9
199700
IX ITRF
  .
51741444,06-
94550641,52-
44115014,08 
20001997
0,0124 
0,0046-
0,0002 



























     


























 
21741444,02-
14550641,54-
34115014,08
104,01
0,0058-
0,0008-
0,0001
9
199700
IX ITRF
  
































0,0018-
0,0001 
0,0002-
20001997
0,0124 
0,0046-
0,0002 
    I99 1008,00104,01  
  .
91741444,05-
94550641,52-
34115014,08
2000-1997
21741444,02-
14550641,54-
34115014,08


























APLICAÇÕES 
 Fórmula do IERS: 
 1o: atualizar os parâmetros (T,  e s) e as coordenadas 
obtidas na época 2000 para a época 1997 
 
 
 
 
 
 
 2o: realizar a transformação; 
 
     ÉPOCAtPÉPOCAPtP  
  .
91741444,05- 
74550641,52-24115014,08
2000-1997
0,0124
0,0046-
0,0002
21741444,02-
14550641,54-
34115014,08
199705
05
05











































ITRF
ITRF
ITRF
Z
Y
X
  ,
0,0004-
0,0011-
0,0007 
2000-1997
0,0018-
0,0001 
0,0002-
0,0058-
0,0008-
0,0001 
1997











































z
y
x
T
T
T
Coordenadas: 
Translação: 
Escala: 
    .1016,02000-19971008,0104,0 9991997
 s
.
91741444,05-
94550641,52-
34115014,08 
91741444,05-
74550641,52-
24115014,08 
1016,0
0,0004
0,0011-
0,0007
 
91741444,05-
74550641,52-
24115014,08 
9
199700
00
00






















































 I
Z
Y
X
ITRF
ITRF
ITRF
APLICAÇÕES 
 Comparando as diferenças entre as coordenadas 
utilizando as diferentes versões da TH 
 
 
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
X Y Z
Coordenadas Cartesianas
Di
sc
re
pâ
nc
ia
s 
(c
m
)
Helmert_7
Helmert_14
IERS
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Re
su
lta
nt
e (
cm
) Helmert_7
Helmert_14
IERS
CONCLUSÕES 
Os parâmetros utilizados ao aplicar a THG, apesar de ser de 
pequena dimensão, são importantes para preservar a 
qualidade dos resultados; 
Isto ocorre devido à melhoria considerável da acurácia dos 
resultados obtidos no posicionamento por satélites, que 
evoluíram nas últimas décadas e se tornaram sensíveis a 
pequenas variações 
Importância do cálculo das discrepâncias entre as coordenadas 
em dois referenciais diferentes - fornece subsídios para prever 
a dimensão dos erros que podem ser cometidos nos trabalhos 
que os envolvem