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Apostila - Calculo Numérico

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Edson Luiz França Senne
(elfsenne@feg.unesp.br)
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Universidade Estadual Paulista - Unesp
Campus de Guaratinguetá
Faculdade de Engenharia
2000
ii
C Á L C U L O N U M É R I C O
S U M Á R I O
Apresentação
Referências Bibliográficas
1. Aritmética Computacional
1.1 - Números de Ponto Flutuante ........................................................................................ 1
1.2 - Sistemas de Ponto Flutuante ........................................................................................ 2
1.3 - Aritmética de Ponto Flutuante....................................................................................... 5
1.4 - Dígitos Significativos Exatos ......................................................................................... 7
1.5 - Mal-Condicionamento e Instabilidade Numérica ........................................................... 9
Exercícios Resolvidos ......................................................................................................... 11
Exercícios Propostos........................................................................................................... 13
Exercícios de Programação ................................................................................................ 14
2. Solução de Equações
2.1 - Introdução ................................................................................................................... 17
2.2 - Estimativa de Raízes de Equações Polinomiais ......................................................... 18
Enumeração das Raízes............................................................................................. 19
Localização das Raízes Reais .................................................................................... 21
Localização das Raízes Complexas............................................................................ 22
2.3 - Separação das Raízes................................................................................................ 23
2.4 - Métodos Iterativos de Solução de Equações .............................................................. 25
Ordem de Convergência de um Método Iterativo........................................................ 26
Métodos de Quebra .................................................................................................... 26
Métodos de Ponto Fixo ............................................................................................... 29
Método de Aitken ........................................................................................................ 31
Método de Newton-Raphson....................................................................................... 32
Método das Secantes (ou das Cordas)....................................................................... 35
Método de Müller......................................................................................................... 36
2.5 - Resolução de Sistemas de Equações Não-Lineares .................................................. 37
Exercícios Resolvidos ......................................................................................................... 40
Exercícios Propostos........................................................................................................... 43
Exercícios de Programação ................................................................................................ 44
3. Solução de Sistemas de Equações Lineares
3.1 - Introdução ................................................................................................................... 45
Matrizes Especiais ...................................................................................................... 46
3.2 - Métodos Diretos .......................................................................................................... 47
Método da Eliminação de Gauss ................................................................................ 48
Determinação de Inversa de Matriz............................................................................. 53
Método de Gauss-Jordan............................................................................................ 54
Refinamento Iterativo da Solução ............................................................................... 56
3.3 - Métodos Iterativos....................................................................................................... 58
iii
Método de Gauss-Jacobi ............................................................................................ 61
Método de Gauss-Seidel............................................................................................. 61
Estudo da Convergência dos Métodos Iterativos ........................................................ 64
3.4 - Métodos de Fatoração ................................................................................................ 67
Exercícios Resolvidos ......................................................................................................... 74
Exercícios Propostos........................................................................................................... 78
Exercícios de Programação ................................................................................................ 80
4. Interpolação
4.1 - Introdução ................................................................................................................... 81
4.2 - Interpolação Polinomial ............................................................................................... 82
4.3 - Polinômios de Lagrange ............................................................................................. 87
4.4 - O Erro na Interpolação................................................................................................ 89
4.5 - Diferenças Divididas ................................................................................................... 89
4.6 - Diferenças Simples ..................................................................................................... 92
4.7 - Interpolação de Hermite .............................................................................................. 93
4.8 - Interpolação por "Spline"............................................................................................. 97
Exercícios Resolvidos ....................................................................................................... 102
Exercícios Propostos......................................................................................................... 104
Exercícios de Programação .............................................................................................. 105
5. Aproximação de Funções
5.1 - Introdução ................................................................................................................. 107
5.2 - Método dos Quadrados Mínimos .............................................................................. 107
5.3 - Aproximação de Funções Contínuas ........................................................................ 112
5.4 - Polinômios Ortogonais .............................................................................................. 117
5.5 - Método dos Quadrados Mínimos Generalizado ........................................................ 124
Exercícios Resolvidos ....................................................................................................... 130
Exercícios Propostos......................................................................................................... 131
Exercícios de Programação .............................................................................................. 132
6. Integração Numérica
6.1 - Introdução .................................................................................................................135
6.2 - Métodos de Newton-Cotes........................................................................................ 137
Regra dos Retângulos .............................................................................................. 137
Regra dos Trapézios................................................................................................. 139
Regra de Simpson .................................................................................................... 140
Fórmula Geral das Quadraturas Newtonianas .......................................................... 142
6.3 - Métodos de Extrapolação ......................................................................................... 146
6.4 - Quadratura de Gauss................................................................................................ 149
6.5 - Quadraturas Adaptativas .......................................................................................... 153
Exercícios Resolvidos ....................................................................................................... 158
Exercícios Propostos......................................................................................................... 160
Exercícios de Programação .............................................................................................. 162
iv
7. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias
7.1 - Introdução ................................................................................................................. 165
7.2 - Método de Euler........................................................................................................ 167
7.3 - Métodos Baseados na Série de Taylor ..................................................................... 169
7.4 - Métodos Baseados em Regras de Quadratura......................................................... 171
7.5 - Métodos de Runge-Kutta .......................................................................................... 173
7.6 - Métodos de Passo Múltiplo ....................................................................................... 178
Métodos Explícitos de Passo Múltiplo ....................................................................... 179
Métodos Implícitos de Passo Múltiplo ....................................................................... 180
7.7 - Métodos de Previsão e Correção.............................................................................. 181
7.8 - Método das Diferenças Finitas.................................................................................. 182
Exercícios Resolvidos ....................................................................................................... 185
Exercícios Propostos......................................................................................................... 187
Exercícios de Programação .............................................................................................. 188
v
C Á L C U L O N U M É R I C O
A P R E S E N T A Ç Ã O
Cálculo Numérico foi escrito para servir como material de apoio para a segunda
parte da disciplina Computação e Cálculo Numérico, oferecida aos alunos da Faculdade de
Engenharia do Campus de Guaratinguetá, da Unesp - Universidade Estadual Paulista. Seu
objetivo é apresentar os fundamentos do cálculo numérico, ilustrando a aplicação dos
métodos e algoritmos discutidos com programas de computador escritos na linguagem de
programação apresentada na primeira parte da disciplina.
O Capítulo 1 discute a aritmética dos computadores, chamando a atenção para o
fato de que, como os números representados em um computador não obedecem à mesma
estrutura algébrica dos números reais (dada a finitude da máquina), a ocorrência de erros
é, por vezes, inevitável. No Capítulo 2 discute-se a busca de raízes de equações não-
lineares, dando especial atenção aos polinômios, para os quais muitos resultados teóricos
são conhecidos. No Capítulo 3 discute-se a solução de sistemas de equações lineares, um
assunto importante porque a solução de várias classes de problemas (como é visto nos
capítulos seguintes) recaem em sistemas lineares. O Capítulo 4 discute como aproximar
uma função, conhecida apenas em alguns pontos discretos, a um polinômio, através da
técnica de interpolação. O assunto do Capítulo 5 também é a aproximação de funções,
mas com o emprego da técnica dos mínimos quadrados. Neste caso, não se restringe a
discussão ao caso discreto e tampouco às aproximações polinomiais, podendo a função de
aproximação ser definida como uma combinação linear qualquer de funções conhecidas.
No Capítulo 6 estuda-se o problema de como calcular o valor de integrais definidas, para
funções conhecidas discretamente ou para as quais não é possível, ou não é desejável, a
aplicação de uma forma analítica de resolver o problema. Finalmente, o Capítulo 7 discute
a resolução numérica de equações diferenciais ordinárias, apresentando diversos métodos
para a solução de problemas de valor inicial e de problemas de valor de contorno.
Este volume apresenta ainda, ao final de cada capítulo, vários exercícios resolvidos
e exercícios propostos. Propõe também exercícios de programação e, neste particular,
recomenda-se a leitura do volume Introdução à Programação de Computadores para
rever os conceitos e construções relativas à linguagem de programação discutida na
primeira parte dessa disciplina.
ELFS
vi
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Cláudio, D.M.; Marins, J.M. Cálculo Numérico Computacional - Teoria e Prática. São Paulo,
SP, Atlas, 1994.
Dahlquist, G.; Björck, A. Numerical Methods. Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall, 1974.
Phillips, C.; Cornelius, B. Computational Numerical Methods. New York, NY, John Wiley &
Sons, 1986.
Ralston, A.; Rabinowitz, P. A First Course in Numerical Analysis. Tokyo, Japan, McGraw-
Hill, 1978.
Ruggiero, M.A.G.; Lopes, V.L.R. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais.
São Paulo, SP, Makron Books, 1998.
Vandergraft, J.S. Introduction to Numerical Computations. New York, NY, Academic Press,
1978.
 Cálculo Numérico 
1. ARITMÉTICA COMPUTACIONAL 
 
 
1.1 – Números de Ponto Flutuante 
 
Os números representados em um computador não obedecem à mesma estrutura algébrica 
dos números reais, isto porque a máquina tem recursos finitos. Os números reais 
representáveis em um computador são denominados números de ponto flutuante. 
 
Um número de ponto flutuante é representado como: x m be= . , onde: 
 
· x - número de ponto flutuante 
· m - mantissa 
· b - base de numeração 
· e - expoente 
 
Se b m- £ <1 1, então tem-se um número de ponto flutuante normalizado. 
 
Exemplo: 
 
a) b = 10 x = 721.5438 
 
Existem várias formas não normalizadas para representar x como um valor de ponto 
flutuante. Por exemplo: 
 
x = 721.5438 x 100 ou x = 72.15438 x 101. 
 
Existe, entretanto, apenas uma forma normalizada: x = 0.7215438 x 103. 
 
 
b) b = 2 x = 1101.01 
 
Neste caso x corresponde ao valor decimal: 
 
25.13212021202121 210123 ==´´++´´++´´++´´++´´++´´ ---- 
 
Forma normalizada: x = 0.110101 x 24 
 
No computador os valores de ponto flutuante são representados (na base binária) sempre na 
forma normalizada. 
 
Representação de Números de Ponto Flutuante 
 
sinal mantissa
expoente
espaço de armazenamento (palavra)
 
 
 
 
Cálculo Numérico 1 – Aritmética Computacional 
 
 
2 
 
Exemplo: 
 
Considere um computador com o seguinte espaço de armazenamento: 
 
palavra = 8 bits 
espaço para mantissa = 4 bits 
espaço para expoente = 3 bits 
 
ou seja: 
 
 
s m e 
 
Neste caso, tem-se: 
 
Valores Possíveis da 
Mantissa 
Valores Possíveis do 
Expoente 
Binário Decimal Binário Decimal0.1111 0.9375 000 -4 
0.1110 0.8750 001 -3 
0.1101 0.8125 010 -2 
0.1100 0.7500 011 -1 
0.1011 0.6875 100 0 
0.1010 0.6250 101 1 
0.1001 0.5625 110 2 
0.1000 0.5000 111 3 
 
Notar que a representação do expoente corresponde à representação binária de: e + 2 1n - , 
onde n é o espaço disponível para o expoente. Por exemplo: expoente = -2. Neste caso, a 
representação do expoente -2 será a representação binária de: 
 
-2 + 23 1- = -2 + 4 = 2 ou seja: 010 
 
Observe que neste caso: 
 
· o maior número representável (em notação decimal) será: x = 0.9375 x 23 = 7.5 
· o total de números representáveis é dado por: 
 
 2 (+,-) x 8 (mantissas) x 8 (expoentes) + 1 (zero) = 129 
 
 
1.2 – Sistemas de Ponto Flutuante 
 
Um sistema de ponto flutuante corresponde à união de todos os números de ponto flutuante 
representáveis e é escrito como F(b,m,n), onde: 
 
· b - base de numeração 
· m - número de dígitos na mantissa 
· n - número de dígitos para a representação do expoente (incluindo o sinal) 
 
Cálculo Numérico 1 – Aritmética Computacional 
 
 
3 
No exemplo anterior, o sistema de ponto flutuante pode ser representado por: F(2,4,3). 
 
Dado um sistema de ponto flutuante F(b,m,n) tem-se: 
 
1. Para qualquer mantissa a, b a- £ <1 1 
2. " Î Þ - Îx F b m n x F b m n( , , ) ( , , ) 
3. A cardinalidade de F (total de números representáveis) é dado por: 
 
2 ´ (b-1).( )bm-1 ´ ( )bn + 1 
onde: 
 
· 2 vezes corresponde a positivo e negativo; 
· (b-1) são os dígitos possíveis na primeira posição da mantissa; 
· ( )bm-1 são os dígitos restantes da mantissa; 
· ( )bn é o total de expoentes possíveis; 
· mais 1 corresponde ao valor zero. 
 
Seja, por exemplo, F(2,3,2). 
 
Logo, as mantissas possíveis são: 0.100, 0.101, 0.110, 0.111 e os expoentes representáveis 
são: -2, -1, 0, 1. Neste caso, os números positivos representáveis são: 
 
( . ) ( . )
( . ) ( . )
( . ) ( . )
( . ) ( . )
0100 2 0 00100 0 2 0 2 0 2 1 2 0 2 0 2
1
8
0101 2 0 00101 0 2 0 2 0 2 1 2 0 2 1 2
5
32
0110 2 0 00110 0 2 0 2 0 2 1 2 1 2 0 2
3
16
0111 2 0 00111
2
2
0 1 2 3 4 5
2
2
0 1 2 3 4 5
2
2
0 1 2 3 4 5
2
2
´ = = ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ =
´ = = ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ =
´ = = ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ =
´ = =
- - - - - -
- - - - - -
- - - - - -
- 0 2 0 2 0 2 1 2 1 2 1 2
7
32
0 1 2 3 4 5´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ =- - - - -
 
 
e assim por diante, até: 
 
( . ) ( . )0111 2 111 1 2 1 2 1 2
7
4
1
2
0 1 2´ = = ´ + ´ + ´ =- - 
 
A tabela a seguir resume os números positivos representáveis neste sistema de ponto 
flutuante: 
 
 mantissa 
expoente 0.100 0.101 0.110 0.111 
-2 1/8 5/32 3/16 7/32 
-1 1/4 5/16 3/8 7/16 
0 1/2 5/8 3/4 7/8 
1 1 5/4 3/2 7/4 
 
Esquematicamente: 
 
Cálculo Numérico 1 – Aritmética Computacional 
 
 
4 
 
0 1/41/8
5/32
3/16 5/16 3/8
7/32
7/16 1/2 3/45/8 7/8 1 5/4 3/2
região de
overflow
7/4 
 
 
Da figura acima pode-se ver que os números de ponto flutuante representáveis não estão 
uniformemente distribuídos no intervalo [-7/4, 7/4]. Nota-se também que entre potências 
sucessivas da base, o número de valores representáveis é uma constante, dada por: 
 
c = (b-1)( )bm-1 (cardinalidade da mantissa) 
 
No exemplo acima: 
 
· entre 2 2- e 2 1- existem 4 valores: 1/8, 5/32, 3/16 e 7/32 
· entre 2 1- e 20 existem 4 valores: 1/4, 5/16, 3/8 e 7/16 
· entre 20 e 21 existem 4 valores: 1/2, 5/8, 3/4 e 7/8 
 
Portanto, pode-se definir a densidade de números representáveis entre potências sucessivas 
da base como: 
 
densidade = 
( )( )b b
b b
m
k k
-
-
-
-
1 1
1
, com k = ..., -1, 0, 1, ... 
 
 
Para o exemplo acima tem-se: 
 
k densidade 
 
-1 
4
1 2 1 4
16
/ /-
= 
 
0 
4
1 1 2
8
-
=
/
 
 
1 
4
2 1
4
-
= 
 
ou seja, a distância entre dois números de ponto flutuante representáveis consecutivos vai 
aumentanto. Portanto, ao se comparar números de ponto flutuante próximos (por exemplo, 
para verificar a convergência de um processo iterativo) é conveniente comparar a diferença 
em relação ao tamanho dos números. 
 
Para ilustrar, considere os seguintes conceitos: 
 
Erro Absoluto: 
E x xA = -
* , onde: x é o valor verdadeiro e x* é o valor aproximado. 
 
Erro Relativo: 
 
E
x x
x
E
x
R
A=
-
=
*
* *
 
Cálculo Numérico 1 – Aritmética Computacional 
 
 
5 
No caso de números de ponto flutuante, o erro relativo é mais significativo do que o erro 
absoluto porque, como comentado acima, a comparação de valores de ponto flutuante deve 
ser feita em relação ao tamanho dos números. Por exemplo: 
 
a) Um erro absoluto 6A 10E == em um valor 
1510*x == é significativo? 
 
Neste caso, ER = =
-10
10
10
6
15
9, ou seja, um erro de 106 numa quantidade de 1015 não é 
significativo (pois 10 9- é um valor pequeno). 
 
 
b) Um erro absoluto 00001.0EA == em um valor x* = 0.00005 é significativo? 
 
Neste caso, 2.0
00005.0
00001.0
ER ==== , ou seja, o erro da aproximação é de 20% e portanto, 
significativo. 
 
 
1.3 – Aritmética de Ponto Flutuante 
 
Algumas leis da aritmética que valem em R (conjunto dos números reais) não valem para a 
aritmética em F (conjunto dos números de ponto flutuante). Seja, por exemplo, F(2,3,2). 
 
a) x = 5/4 y = 3/8 
 
· x + y = 5/4 + 3/8 = 13/8 Ï F (notar que a representação normalizada de 13/8 = 
( . )01101 21 2x Ï F, porque requer 4 dígitos na mantissa). 
 
b) x = 5/8 y = 3/8 z = 3/4 
 
· (x + y) + z = (( . ) ( . )) ( . )0101 2 0 110 2 0110 20 1 0x x x+ +- = (0.101 + 0.011) + 0.110 = 1.00 
+ 0.110 = ( . )111 2 
 
· x + (y + z) = ( . ) (( . ) ( . ))0101 2 0 110 2 0 110 20 1 0x x x+ +- = 0.101 + (0.011 + 0.110) = 
0.101 + 1.001 = 1.101 = ( . )110 2 
 
(observe que os dígitos assinalados acima precisam ser descartados pois não podem ser 
representados em F) 
 
Logo: (x + y) + z ¹ x + (y + z) 
 
Estes exemplos mostram que na aritmética de ponto flutuante, quando um número, para ser 
representado, precisa de mais dígitos na mantissa do que o máximo permitido, é preciso fazer 
uma aproximação, o que irá resultar em um erro de arredondamento. 
 
 
Exemplo: 
 
 Seja F(2,3,2) 
Cálculo Numérico 1 – Aritmética Computacional 
 
 
6 
 
x = 9/8 Ï F pois 9/8 = ( . )01001 21 2x e portanto possui um dígito a mais na mantissa do que o 
máximo permitido. Assim, ( . )01001 21 2x precisa ser arredondado para: ( . )0100 2 1
1x = . ou 
para: ( . )0101 2
5
4
1x = 
 
valor aproximação erro de arredondamento 
 
9/8 = 1.125 
1 = 1.00 
 
5/4 = 1.25 
1.00 - 1.125 = -0.125 (erro por falta) 
 
1.25 - 1.125 = 0.125 (erro por excesso) 
 
 
Sejam: 
 
v1, v2 - valores verdadeiros de dois números positivos. 
a1, a2 - valores aproximados de v1 e v2, respectivamente. 
Ei = | vi – ai | - erro absoluto (i = 1,2) 
Ri = Ei/ai - erro relativo (i = 1,2) 
 
Então, tem-se que: 
ai - Ei £ vi £ ai + Ei (i = 1,2) 
 
a) SOMA 
 
(a1 - E1) + (a2 - E2) £ v1 + v2 £ (a1 + E1) + (a2 + E2) 
(a1 + a2) - (E1 + E2) £ v1 + v2 £ (a1 + a2) + (E1 + E2) 
e portanto: 
| (v1 + v2) - (a1 + a2) | £ (E1 + E2) 
 
ou seja: o erro absoluto da soma é menor ou igual à soma dos erros absolutos das parcelas. 
 
Para o erro relativo tem-se: 
 
r
v v a a
a a
E E
a a
E
a a
E
a a
a
a a
E
a
a
a a
E
a
=
+ - +
+
£
+
+
=
+
+
+
=
+
´ +
+
´
( ) ( )1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
1
1 2
2
1 2
1
1 2
1
1
2
1 2
2
2
 
 
Seja a =
+
a
a a
1
1 2
. Então: ( )
( )
1 1
1
1 2
1 2 1
1 2
2
1 2
- = -
+
=
+ -
+
=
+
a
a
a a
a a a
a a
aa a
. 
 
Logo: r r r£ + -a a. ( ).1 21 
 
ou seja: o erro relativo da soma é menor ou igual a um valor intermediário entre os erros 
relativos das parcelas. 
 
 
b) SUBTRAÇÃO 
 
O maior valor de (v1 - v2) ocorre quando: v1 = a1 + E1 e v2 = a2 - E2. Analogamente, o menor 
valor de (v1 - v2) ocorre quando: v1 = a1 - E1 e v2 = a2 + E2. Portanto, pode-se afirmar que: 
 
(a1 - E1) - (a2 + E2) £ v1 - v2 £ (a1 + E1) - (a2 - E2) 
Cálculo Numérico 1 – Aritmética Computacional 
 
 
7 
(a1 - a2) - (E1 + E2) £ v1 - v2 £ (a1 - a2) + (E1 + E2) 
 
e portanto: 
| (v1 - v2) - (a1 - a2) | £ (E1 + E2) 
 
ou seja: o erro absoluto da subtração é menor ou igual à soma dos erros absolutos das 
parcelas. 
 
Para o erro relativo tem-se: 
 
r
v v a a
a a
E E
a a
E
a a
E
a a
a
a a
E
a
a
a a
E
a
=
- - -
-
£
+
-
=
-
+
-
=
-
´ +
-
´
( ) ( )1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
1
1 2
2
1 2
1
1 2
1
1
2
1 2
2
2
 
 
Logo: r
a
a a
r
a
a a
r
a a
a a
a
a a
r
a
a a
r
erro relativo da soma
£
-
´ +
-
´ =
+
-
´
+
´ +
+
´
é
ëê
ù
ûú
1
1 2
2
1 2
1 2
1 2
1
1 2
2
1 21 2 1 21 244444 344444
 
 
ou seja: o erro relativo da subtração é igual ao produto de um fator = 
a a
a a
1 2
1 2
+
-
 > 1 pelo erro 
relativo da soma (que é um valor intermediário entre os erros relativos das parcelas). Além 
disso, quando a1 » a2, o fator 
a a
a a
1 2
1 2
+
-
 pode ser muito grande. Ou seja, a subtração de 
números muito próximos resulta em um erro relativo muito maior do que os erros relativos das 
parcelas. Este fenômeno é conhecido como cancelamento subtrativo. 
 
 
Exercício: Mostre que as relações a seguir, são válidas para as operações de multiplicação e 
divisão. 
 
2. MULTIPLICAÇÃO 
 
E a E a E
r r1 r
£ +
£ +
1 2 2 1
2
 
 
d) DIVISÃO 
 
E
a
a
E
a
E
a
r r1 r
£ +
£ +
1
2
1
1
2
2
2
( )
 
 
 
1.4 – Dígitos Significativos Exatos 
 
Os resultados numéricos obtidos através do computador são, em geral, valores aproximados. 
A questão é: Qual é o valor exato? Esta questão, geralmente, não pode ser respondida, e 
dessa forma fica impossível calcular o valor do erro absoluto e, consequentemente, o valor do 
erro relativo. Entretanto, é possível avaliar o resultado, ou seja, saber o quão exato é o valor 
aproximado. 
 
Seja x um número de ponto flutuante normalizado. Define-se o número de dígitos significativos 
de x como sendo o número de dígitos após o ponto decimal. 
Cálculo Numérico 1 – Aritmética Computacional 
 
 
8 
 
Exemplos: 
 
a) 0.00000014 Þ forma normalizada = 0.14 x 10 6- Þ 2 dígitos significativos 
b) 30457 Þ forma normalizada = 0.30457 x 105 Þ 5 dígitos significativos 
c) 231000 Þ forma normalizada = 0.231 x 106 Þ 3 dígitos significativos 
 
A questão agora é saber: Todos os dígitos significativos são exatos? Para responder a esta 
questão tem-se o seguinte teorema: 
 
Teorema. Se o erro relativo de um número for menor ou igual a 0 5 10. ´ -k , então este número 
possui k dígitos significativos exatos. 
 
Exemplos: 
 
a) v = 2/3 a = 0.6667 
 
ER =
-
= < = ´ -
2
3
0 6667
0 6667
0 0000499 0 00005 0 5 10 4
.
.
. . . 
 
Logo: a = 0.6667 tem os 4 dígitos significativos exatos. 
 
b) v = 2/3 a = 0.66998 
 
ER =
-
= < = ´ -
2
3
0 66988
0 66998
0 00494 0 005 0 5 10 2
.
.
. . . 
 
Logo: a = 0.66998 tem apenas os 2 primeiros dígitos significativos como exatos. 
 
Na prática, com a impossibilidade de calcular o erro relativo exatamente, o teorema é utilizado 
para determinar o número de dígitos significativos exatos de um valor aproximado obtido 
iterativamente, em relação ao valor aproximado disponível na iteração anterior. Ou seja, o 
número m de dígitos significativos exatos é calculado aproximadamente como: 
 
x x
x
i i
i
m+ -
-
£ ´
1
0 5 10. 
ou seja: 
log log( . )
log( . ) log
x x
x
m
m
x x
x
i i
i
i i
i
+
+
-æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ £ -
£ -
-æ
è
ç
ö
ø
÷
1
1
0 5
0 5
 
 
1.5 - Mal-Condicionamento e Instabilidade Numérica 
Cálculo Numérico 1 – Aritmética Computacional 
 
 
9 
 
Um problema é mal-condicionado se, pequenas alterações nos seus dados (ou parâmetros), 
resultam em grandes modificações em sua solução. 
 
Exemplo. O sistema de equações 
 
10 7 8 7 32
7 5 6 5 23
8 6 10 9 33
7 5 9 10 31
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =
ì
í
ïï
î
ï
ï
 
 
tem como solução: x1 = x2 = x3 = x4 = 1. Entretanto, se os valores do lado direito das 
equações forem modificados para: 32.1, 22.9, 32.9, 31.1, a solução do sistema irá se alterar 
para: 
 
x1 = 6, x2 = -7.2, x3 = 2.9, x4 = -0.1 
 
Neste caso, pode-se notar que pequenas alterações no sistema modificaram radicalmente sua 
solução. Este é, portanto, um problema mal-condicionado. É importante ressaltar que o mal-
condicionamento é uma propriedade do problema em si, e não do método numérico usado 
para resolvê-lo. 
 
Uma outra situação, é quando o método numérico usado para resolver o problema leva a 
resultados não confiáveis. Neste caso diz-se que existe um fenômeno de instabilidade 
numérica. Portanto: 
 
· método estável - o erro final de arredondamento é pequeno; 
· método instável - os erros de arredondamento individuais se propagam com efeito 
crescente, comprometendo o resultado final. 
 
Exemplo. Um método iterativo para calcular os valores de: 
 
I
x
x
dx nn
n
=
+
> =ò
a
a0
1 0 0 1 2( ; , , ,...) 
 
é dado por: 
 
I
I
n
I nn n
0
1
1
1
1 2
=
+æ
è
ç
ö
ø
÷
= - =-
ln
( , ,...)
a
a
a
 
 
Considere que existe um erro (de arredondamento) e no valor I0. Neste caso, as próximas 
aproximações serão: 
 
Cálculo Numérico 1 – Aritmética Computacional 
 
 
10 
I I I
I I I
I
n
In n
n
1 0 0
2 1 1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
= - + = - -
= - - = - +
= - + --
a e a ae
a ae a a e
a a e
( ) [ ]
( ) [ ]
...
[ ] ( )
 
 
Nota-se, portanto, que se a > 1, o erro vai crescendo a cada iteração, levando a resultados 
absurdos. O método iterativo acima é portanto instável. 
 
Por vezes é possível reformular o método de maneira a evitar a instabilidade numérica. Para o 
problema acima, por exemplo, pode-se escrever: 
 
I
n
I nn n- = -
æ
è
ç
ö
ø
÷ =1
1 1
2 1
a
( ..., , ) 
 
Como à medida que n aumenta, In diminui, para n suficientemente grande (por exemplo: n = 
20) pode-se fazer In @ 0. Assim, se existir um erro e no valor I20 , tem-se: 
 
I I I
I I I
19 20 20
18 19 19 2
1 1
20
1 1
20
1
1 1
19
1 1 1
19
1
= - +
æ
è
ç
ö
ø
÷ = -
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
= - +
æ
è
ç ö
ø
÷ = -
æ
è
ç ö
ø
÷ +
a
e
a a
e
a a
e
a a
e
( )
( )
 
 
e assim por diante. 
 
Portanto, com este outro método, o erro vai diminuindo a cada iteração. Logo, este método 
iterativo é estável. 
 
Cálculo Numérico 1 – Aritmética Computacional 
 
 
11 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1. Um cilindro tem base com raio R = 1.0 ± 0.05 e altura H = 2.0 ± EH , onde EH é o erro 
absoluto em H. Com que erro absoluto deve-se determinar H para que o volume do cilindro 
V R H= p 2 seja calculado com erro absoluto menor ou igual a 0.5? Considere p = 3.1416 
como valor exato. 
 
Solução: 
 
R = 1.0 ± 0.05 Þ E R = 0.05 
H = 1.2 ± EH 
 
VR H= p( )2 Þ E E R H EV R H£ +p p2
2( ) . Mas como Ep = 0, E EV R H£ p 2
. 
Por outro lado, E R E HE
R H H R2 2
2£ + . Mas: E RE RE RE
R R R R2
2£ + = 
Logo: E R E H REV H R£ +p( ( ))
2 2 . Portanto, se p( ( )) .R E H REH R
2 2 0 5+ = então 
EV £ 0 5. 
 
Assim, deve-se ter: 
 
0 5 2 31416 10 12 2 10 0 052 2. ( ( )) . (( . ) ( . )( . . ))= + = ´ + ´ ´p R E H RE EH R H . Portanto: 
 
EH =
- ´
@
0 5 31416 0 12
31416
0 04
. . .
.
. 
 
 
2. Pelo teorema de Taylor pode-se escrever: 
 
f b f a
b a
f a
b a
f a
b a
n
f a
b a
n
f
n
n
n
n( ) ( )
( )
!
( )
( )
!
( ) ...
( )
!
( )
( )
( )!
( )( ) ( ) ( ) ( )= +
-
+
-
+ +
-
+
-
+
+
+
1 2 1
1
2
2
1
1 x 
 
onde: 
 
f(x) é uma função definida no intervalo [a, b] 
f(i)(x) é a i-ésima derivada de f(x) 
x Î (a, b) 
 
Fazendo f(x) = ex e considerando o intervalo [a, b] como [0, 1], é possível usar o teorema 
de Taylor para estimar o valor de e (base do logaritmo natural). Obtenha esta estimativa 
para n = 4, trabalhando com 3 casas decimais. Quais os erros cometidos neste processo? 
O resultado obtido é confiável com quantas casas decimais? 
 
Solução: 
 
Fazendo f(x) = ex e considerando a = 0 e b = 1 tem-se: 
 
e e e e e e1 0 0
2
0
3
0
4
01 0
1
1 0
2
1 0
3
1 0
4
= +
-
+
-
+
-
+
-
!
( )
!
( )
!
( )
!
 
 
Cálculo Numérico 1 – Aritmética Computacional 
 
 
12 
ou seja: e = + + + + = + + + + =1 1
1
2
1
6
1
24
1000 1000 0 500 0 167 0 042 2 709. . . . . . 
 
Os erros cometidos no processo são: 
 
· erro de truncamento, por não considerar o termo 
( )
!
1 0
5
5-
ex, para 0 1< <x . 
· erro de arredondamento, por trabalhar com 3 casas decimais. 
 
Para determinar quantas casas decimais são confiáveis é necessário calcular um limitante o 
erro relativo correspondente. Para isto, em primeiro lugar deve-se calcular um limitante para o 
erro absoluto, ou seja: 
 
E e ET T<
-
Þ <
( )
!
.
1 0
5
0 023
5
1 
 
Logo: E
E
R
T= < = < ´ -
2 709
0 023
2 709
0 008 0 5 10 1
.
.
.
. . . Portanto, como o erro relativo é menor do que 
0 5 10 1. ´ - pode-se confiar no resultado até a 1a. casa decimal. 
 
 
3. Considere um sistema de ponto flutuante com base b = 10, espaço de armazenamento de 
dígitos da mantissa m = 1, e apenas os expoentes -1, 0 e 1. Quantos números de ponto 
flutuante podem ser representados neste sistema? Apresente todos os números positivos 
representáveis neste sistema. Calcule a densidade de números representáveis entre 
potências sucessivas da base para este sistema de ponto flutuante. Quais são os 
resultados, neste sistema, das seguintes operações: 
 
a) 7/4 + 3/8 
b) 1/60 - 3/5 
 
Solução: 
 
Os números positivos representáveis neste sistema de ponto flutuante podem ser 
mostrados na tabela a seguir: 
 
 
 mantissa 
expoente 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 
-1 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
Portanto, podem ser representados neste sistema: 
 
(zero) + (27 números positivos) + (27 números negativos) = 55 números representáveis 
 
As densidades de números positivos representáveis entre potências sucessivas da base 
são dadas por: 
 
Cálculo Numérico 1 – Aritmética Computacional 
 
 
13 
Entre 10 1- e 100 existem 9 números representáveis Þ 
d =
-
=
-
= =
9
10 10
9
1 01
9
0 9
10
0 1 . .
 
Entre 100 e 101 existem 9 números representáveis Þ d =
-
=
-
= =
9
10 10
9
10 1
9
9
1
1 0
 
 
Para as operações tem-se: 
 
a) { {
7
4
3
8
1 666 0 375 2 4
7
4
3
8
2
2 0 4 2
+ = + = Þ + =. . .
.
123 
 
b) 
1
60
3
5
0 0166 0 6 0 58
1
60
3
5
0 6
0 02 0 6
- = - = - Þ - = -
-
. . . .
. .
123 123 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Uma corrente flui através de uma resistência de 10 ohms que tem exatidão de 10% (erro 
relativo). A corrente é medida como 2.0 A com tolerância de ± 0.1 A. Pela lei de Ohm, a 
queda de tensão através da resistência é o produto da resistência pela corrente. Quais 
são os erros absoluto e relativo na tensão computada? 
 
2. Considere um sistema de ponto flutuante com base b = 10, espaço de armazenamento de 
dígitos da mantissa m = 4, e com apenas os expoentes -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. Quantos 
números de ponto flutuante podem ser representados neste sistema? Considerando x = 
0.7237 ´ 104, y = 0.2145 ´ 10 3- , z = 0.2585 ´ 101, quais são os resultados, neste sistema, 
das seguintes operações: 
 
a) x + y - z 
 
b) 
x y
z
´
 
 
3. Considere o sistema de ponto flutuante F(2,4,3). Quais são os números positivos 
representáveis neste sistema? Quais são os resultados, neste sistema, das operações: 
 
a) 5.4 + 3.8 
b) 3.4 + 5.8 
 
4. Seja xn n= -
1
3 1
 Mostre que: x x xn n n= -- -( ) /3001 1000 31 2 . Trabalhando com 6 casas 
decimais, gere os valores de x2, x3, x4 e x5 usando esta relação de recorrência e os 
valores iniciais x0 = 3 e x1 = 1. Comente sobre os resultados obtidos. 
 
5. A equação polinomial x x3 3 2 0- + = tem raízes x = 1 (raiz dupla) e x = -2. Começando 
com x0 = 0.9, encontre x1, x2, ..., x7 usando a equação de recorrência: 
( )( )
( )x x
x x
x
n n
n n
n
= -
- +
+
æ
è
ç
ö
ø
÷-
- -
-
1
1 1
1
1
3
1 2
1
. Compare os resultados obtidos com os resultados 
Cálculo Numérico 1 – Aritmética Computacional 
 
 
14 
que se obtêm quando se usa a equação de recorrência 
( )( )
( )x x
x x
x
n n
n n
n
= -
- +
+
æ
è
ç
ö
ø
÷-
- -
-
1
1 1
1
2
3
1 2
1
 . 
 
Cálculo Numérico 1 – Aritmética Computacional 
 
 
15 
EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 
 
1. Para demonstrar o efeito de erros de arredondamento considere os seguintes cálculos: 
 
H = 1/2 
X = 2/3 - H 
Y = 3/5 - H 
A = (X+X+X) - H 
B = (Y+Y+Y+Y+Y) - H 
C = B/A 
 
Procure prever o valor de C. Em seguida implemente estes cálculos num programa e 
verifique o resultado. 
 
2. Para determinar a precisão de um computador em representar números "reais", pode-se 
calcular o valor conhecido como Epsilon da Máquina, definido como sendo o maior número 
E tal que 1 + E = 1. Para o cálculo do Epsilon da Máquina pode-se começar com E igual a 
1 e dividir o valor de E ao meio até que 1 + E = 1. Implemente um programa para isto. 
 
3. A equação f(x) = x + ln(x) = 0 possui uma raiz x* próxima a x = 0.55. Considere a seguinte 
equação de recorrência: 
 
x
kx e
kn
n
x n
=
+
+
-
- -1 1
1
 
 
Implemente um programa para encontrar o valor da raiz usando este método iterativo. 
Considere como critério de parada o seguinte: 
 
x xn n- <-1 e 
 
para e = 10-5. Sugira um valor (real) de k de forma a alcançar uma convergência rápida. 
Mostre o valor de k, o número de iterações, o valor de x* obtido e o valor de f(x*). 
 
 
4. Implementar o método iterativo: 
 
I
I
n
I nn n
0
1
1
1
1 2
=
+æ
è
ç
ö
ø
÷
= - =-
ln
( , ,...)
a
a
a
 
 
para calcular os valores de: dx
x
x
I
1
0
n
n ò a+=
 com a > 0 e n = 0, 1, 2, ..., e verificar que 
para a > 1, o método é instável. Em seguida, implementar o método na forma: 
 
I
n
I nn n- = -
æ
è
ç
ö
ø
÷ =1
1 1
2 1
a
( ..., , ) 
 
e, considerando 30I = 0, verificar que este método iterativo é estável. 
 
17 
 Cálculo Numérico 
2. SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES 
 
 
2.1 - Introdução 
 
Neste capítulo estuda-se como encontrar uma ou mais raízes da equação f(x) = 0,ou, em 
outras palavras, como encontrar os zeros da função f(x). 
 
Exemplo: 
 
0.5 1 1.5
x
-0.4
-0.2
0.2
0.4
y
raiz isolada
y = f(x)
 
 
 
-0.4
-0.2
1
y
2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y = f(x) múltiplas raizes
 
 
A solução de equações por um método iterativo requer: 
 
· uma estimativa inicial para o valor da raiz; 
· uma equação de recorrência para a geração de uma sequência de valores que, espera-se, 
convirja para a raiz. 
 
São ainda importantes para um método iterativo de solução de equações: 
 
a) estabelecer sob que condições a sequência de iterações converge para a raiz; 
b) sabendo-se que a iteração é convergente, estabelecer um critério de parada para o 
processo iterativo, o que irá depender da precisão que se deseja alcançar. 
 
Além disto, no caso de haver vários esquemas iterativos, é preciso ter uma medida da 
eficiência computacional para escolher o melhor. 
 
Neste capítulo serão estudados alguns métodos iterativos de solução de equações. Para a 
determinação da estimativa inicial para o valor da raiz, pode-se empregar um método gráfico. 
Exemplo. Estimar o valor de uma raiz positiva de sin x
x
( ) -
2
 = 0. 
 
Através do gráfico da função (ver página seguinte) pode-se concluir que a raiz Î [1.5, 2.0]. 
 
 
Este método para estimativa da raiz é muito conveniente, principalmente quando se dispõe de 
ferramentas computacionais para a construção do gráfico da função (como, por exemplo, o 
programa Mathematica). Entretanto, para uma classe especial de funções - os polinômios - 
muitos resultados são conhecidos e através destes resultados pode-se chegar também a uma 
estimativa para o intervalo que contém uma raiz. 
 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
18 
 
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
y
 
 
 
 
2.2 – Estimativa de Raízes de Equações Polinomiais 
 
Uma equação polinomial é da forma: 
 
f x a x a x a x a a xn
n
n
n
i
i
i
n
( ) ...= + + + + = =-
-
=
å1 1 1 0
0
0 
 
onde n é o grau e ai (i = 0,1,...,n) são os coeficientes (reais) do polinômio. Uma equação 
polinomial do grau n tem n raízes (reais ou complexas). 
Um polinômio f(x) = a xi
i
i
n
=
å
0
 pode ser escrito na forma: 
 
((...(( ) ) . ..) )a x a x a x x a x an n n+ + + + +- -1 2 1 0 
 
e esta maneira de escrever o polinômio facilita sua avaliação e a de sua derivada f'(x), pois 
minimiza o número de operações aritméticas necessárias. 
 
Escrito desta forma, a avaliação de f(a) pode ser escrita como: 
 
b a
b a b i n n
f a b
n n
i i i
-
+ +
=
= + = - -
= +
1
1 1
0 0
2 3 0a
a a
( , ,..., )
( )
 
 
Exemplo. Avaliar f(x) = x x x x5 3 26 7 4- + + - no ponto a = 2. Neste caso, pode-se escrever: 
 
 x5 x4 x3 x2 x1 x0 
 1 0 -6 1 7 -4 
a = 2 2 4 -4 -6 2 
 1 2 -2 -3 1 -2 
 b4 b3 b2 b1 b0 f(2) 
 
Teorema. f x x b x fi
i
i
n
( ) ( ) ( )= - +
=
åa a
0
 
 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
19 
Exemplo. Seja f x x x x x( ) = - + + -5 3 26 7 4 e a = 2. Neste caso, pode-se escrever: 
 
f x x x x x x( ) ( )( ) ( )= - + - - + + -2 2 2 3 1 24 3 2 
 
 
Se a é uma raiz de f(x) = 0, então f(a) = 0. Neste caso, pelo teorema anterior, pode-se 
escrever: 
 
f x x b xi
i
i
n
( ) ( )= - =
=
-
åa 0
0
1
 
e portanto, g x b xi
i
i
n
( ) =
=
-
å
0
1
 corresponde a um polinômio de grau n-1 (polinômio reduzido). 
Assim, pode-se ter o seguinte esquema para resolver f(x) = 0, equação polinomial de grau n: 
 
· determinar x = a, uma raiz de f(x) = 0; 
· determinar coeficientes bi (i = n-1, n-2, ..., 0); 
· repetir o processo para g(x) = 0. 
 
Este processo pode ser muito insatisfatório devido ao efeito acumulativo dos erros introduzidos 
a cada vez que f(x) é reduzida para g(x). 
 
Avaliação de f'(x): 
 
f x x b x f x g x fi
i
i
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= - + = - +
=
åa a a a
0
 
Logo: 
f x x g x g x f g' ( ) ( ) ' ( ) ( ) ' ( ) ( )= - + Þ =a a a 
 
Exemplo. Seja f x x x x x( ) = - + + -5 3 26 7 4 e a = 2. Neste caso, pode-se escrever: 
 
 x4 x3 x2 x 1 
 1 2 -2 -3 1 
a = 2 2 8 12 18 
 1 4 6 9 19 
 b3 b2 b1 b0 g(2) = f'(2) 
 
 
ENUMERAÇÃO DAS RAÍZES 
 
a) Enumeração das Raizes Reais 
 
Teorema (Descartes). O número de raízes reais positivas de uma equação polinomial p(x)=0 
não é maior que o número de trocas de sinal na sequência de seus coeficientes não nulos, e 
se for menor, então é sempre por um número par. 
 
Exemplo. Seja p x x x x( ) = + - -3 22 3 5 
Sequência de sinais: + + - - Þ 1 troca. Logo: p(x) tem 1 raiz real positiva. 
 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
20 
O Teorema de Descartes pode ser usado para enumerar também as raízes reais negativas, 
calculando-se p(-x) 
p x x x x( )- = - + + -3 22 3 5 
 
Sequência de sinais: - + + - Þ 2 trocas. Logo: p(x) tem 2 ou 0 raizes reais negativas (se 
tiver 0 raízes reais negativas, terá 2 raízes complexas). 
 
 
b) Enumeração das Raizes Complexas 
 
Teorema (Huat). Dada uma equação polinomial p(x)=0 de grau n, se para algum k (1 £ k £ n) 
tem-se: 
a a ak k k
2
1 1£ + -. 
 
então p(x) = 0 terá raízes complexas. 
 
Exemplos: 
 
a) p x x x x x x( ) = + + + - +2 3 2 5 35 4 3 2 
 
Descartes: 
p(x) + + + + - + 2 trocas 
p(-x) - + - + + + 3 trocas 
 
Portanto, os seguintes casos são possíveis: 
 
Raizes 
Reais 
Positivas 
Reais 
Negativas 
 
Complexas 
 
Total 
0 1 4 5 
0 3 2 5 
2 1 2 5 
2 3 0 5 
 
Mas, pelo teorema de Huat: 
 
a
a a a a
a
2
3 3
2
2 4
4
2
1 1 6
3
=
= Þ = £ ´ =
=
 
 
ou seja, p(x) possui raizes complexas, o que descarta a última linha da tabela acima. 
 
 
b) p x x x x x x( ) = - - + - +2 3 2 16 5 3 2 
 
Descartes: 
p(x) + - - + - + 4 trocas 
p(-x) + + + + + + 0 trocas 
 
Huat: 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
21 
a
a a a a
a
3
4 4
2
3 5
5
2
0 0 6
3
= -
= Þ = £ ´ =
= -
 
 
ou seja, p(x) possui raizes complexas. Portanto, as possibilidades são as seguintes: 
 
Raizes 
Reais 
Positivas 
 
Complexas 
 
Total 
0 6 6 
2 4 6 
4 2 6 
 
 
LOCALIZAÇÃO DAS RAÍZES REAIS 
 
Para dar início a um processo iterativo é preciso uma estimativa para a raiz. Para isto é 
necessário conhecer onde as raízes estão localizadas. 
 
·· localização das raízes reais: determinação dos limites a (inferior) e b (superior) de um 
intervalo que contenha todas as raízes. 
·· localização das raízes complexas: determinação dos raios a (interno) e b (externo) de um 
anel que contenha as raízes complexas. 
 
Região das Raízes Reais 
 
a b
 
 
Região das Raízes Complexas 
 
b
a
 
 
 
Teorema (Laguerre). Dado um polinômio p(x) e um número a, seja: 
 
p(x) = (x - a)q(x) + R 
 
Se os coeficientes de q(x) e R forem todos positivos ou nulos, então as raízes reais positivas 
xi de p(x) são tais que xi < a. 
 
Exemplo: p x x x x x x( ) = + - - + -5 4 3 29 20 12 
 
Localização das raízes reais positivas de p(x) = 0 
 
 1 1 -9 -1 20 -12 
a = 1 1 2 
 1 2 -7 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
22 
 
 1 1 -9 -1 20 -12 
a = 2 2 6 
 1 3 -3 
 
 1 1 -9 -1 20 -12 
a = 3 3 12 9 24 132 
 1 4 3 8 44 120 
 
Logo, pelo teorema de Laguerre, todas as raízes reais positivas de p(x) = 0 são menores que 
3, ou seja, 3 é um limite superior do intervalo das raizes. 
 
 
Localização das raízes reais negativas 
 
Basta considerar o polinômio p x x x x x x( )- = - + + - - -5 4 3 29 20 12 . Multiplicando-se por –
1 (para que o coeficiente do termo de maior grau seja positivo), tem-se:1 -1 -9 1 20 12 
a = 1 1 0 
 1 0 -9 
 1 -1 -9 1 20 12 
a = 2 2 2 
 1 1 -7 
 
 1 -1 -9 1 20 12 
a = 3 3 6 
 1 2 -3 
 
 1 -1 -9 1 20 12 
a = 4 4 12 12 52 288 
 1 3 3 13 72 300 
 
Logo: todas as raízes reais negativas de p(x) = 0 são maiores que -4, ou seja, -4 é um limite 
inferior para as raizes reais. 
 
Portanto, as raízes reais de p(x) = 0 pertencem ao intervalo [-4, 3]. 
 
 
LOCALIZAÇÃO DAS RAÍZES COMPLEXAS 
 
Teorema (Kojima). Dado o polinômio p x a x a x a x an
n
n
n( ) ...= + + + +-
-
1
1
1 0 , toda raiz a, real 
ou complexa, de p(x) = 0 é tal que: 
| a | £ q1 + q2, onde q1 e q2 são os dois maiores valores de: 
a
a
i
n
n i
1
-
ì
í
ï
î
ï
ü
ý
ï
þ
ï
 (i = n-1, ..., 0) 
 
Exemplo: p x x x x x x( ) = + - - + -5 4 3 29 20 12 
 
Neste caso tem-se: 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
23 
1
1
9
1
1
1
20
1
12
1
1 9 1 20 12
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
2
1
4
1
5, , , , , , , ,
- -
ì
í
ï
î
ï
ü
ý
ï
þ
ï
=
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
={1, 3, 1, 2.1147, 1.6437} 
 
Logo: q1 = 3 e q2 = 2.1147. Portanto, toda raiz a de p(x) é tal que: | a | £ 5.1147. Desta forma, 
b = 5.1147 corresponde à cota superior da região que contém as raízes. Para determinar a 
cota inferior basta considerar o polinômio: 
 
p
x x x x x x
1 1 1 9 1 20
125 4 3 2
æ
è
ç
ö
ø
÷ = + - - + - 
 
Multiplicando por x5 tem-se: 
 
p
x
x x x x x x x x x x
1
1 9 20 12 12 20 9 12 3 4 5 5 4 3 2
æ
è
ç
ö
ø
÷ = + - - + - = - + - - + + 
Assim, tem-se: 
 
20
12
1
12
9
12
1
12
1
12
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
-
-
-
-
- - -
ì
í
ï
î
ï
ü
ý
ï
þ
ï
, , , , = {1.6667, 0.2886, 0.9085, 0.5372, 0.6083} 
ou seja: q1 = 1.6667 e q2 = 0.9085. Portanto a = 1/(1.6667 + 0.9085) = 0.3883. Então, as 
raízes a (reais ou complexas) de p x x x x x x( ) = + - - + -5 4 3 29 20 12 são tais que: 
 
0.3883 £ | a | £ 5.1147 
 
 
2.3 – Separação das Raízes 
 
A separação das raízes de uma equação corresponde a encontrar uma sequência de 
subintervalos tais que: 
 
- cada subintervalo contém exatamente uma raiz real; 
- cada raiz real está contida em um subintervalo. 
 
Teorema (Bolzano). Se f(x) é uma função contínua num intervalo [a, b] e trocar de sinal nos 
extremos deste intervalo, então existe pelo menos uma raiz real de f(x) = 0 no intervalo [a, b]. 
 
Exemplos: 
 
x
y = f(x)f(a)
a
b
f(b)
 
 
 
x
y = f(x)
a
b
f(a)
f(b)
 
 
 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
24 
Teorema de Bolzano não se aplica: função descontínua 
 
x
y
a
b
 
 
 
Teorema (Budan). Seja p(x) um polinômio de grau n e p k( ) ( )a , o valor da derivada de ordem 
k de p(x), calculada para x = a. Seja Va o número de variações de sinal da sequência: 
 
p(a), p'(a), p"(a), ..., p n( ) ( )a 
 
Então, o número de raízes de p(x) = 0 no intervalo (a, b) é igual ou menor que V Va b- por 
um múltiplo de 2. 
 
Exemplo: p x x x x( ) = - - +3 22 2 
 
Descartes: + - - + Þ 2 ou 0 raízes reais positivas. 
Laguerre: 
 1 -2 -1 2 
1 1 
 1 -1 
 
 1 -2 -1 2 
2 1 
 1 0 -1 
 
 1 -2 -1 2 
3 3 3 6 
 1 1 2 8 
 
Portanto: cota superior = 3. Seja o intervalo (0,3). 
 
Derivadas de p(x): 
p x x x
p x x
p x
' ( )
"( )
'"( )
= - -
= -
=
3 4 1
6 4
6
2
 
Então: 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
25 
p(0) = 2 
p'(0) = -1 
p"(0) = -4 
p'"(0) = 6 
p(3) = 8 
p'(3) = 14 
p"(3) = 14 
p'"(3) = 6 
 
Portanto: V V V V0 3 0 32 0 2= = Þ - = . Logo tem-se 2 ou 0 raízes reais em (0, 3). 
 
Bisseccionando o intervalo (0, 3) nos intervalos (0, 1.5) e (1.5, 3) e calculando V15. tem-se que 
V15. = 1. Pode-se concluir, então, que os intervalos (0, 1.5) e (1.5, 3) contém, cada um, uma 
raiz real. 
 
Assim, para separar as raízes pelo teorema de Budan, deve-se conseguir um intervalo (a, b) tal 
que V Va b- = 1. 
 
Exercício: Separar as raizes de p x x x x( ) = - + +3 29 20 1 
 
É importante ressaltar que nesta seção os resultados apresentados se aplicam apenas a 
equações polinomiais. Para funções transcendentes, como comentado anteriormente, é 
necessário uma avaliação gráfica da função. 
 
Exemplo: f x e xx( ) = - =- 0 
 
Avaliação Gráfica: 
1 2
x
y
y = exp(x)
y = x
1
0 
 
Þ Raiz Î [0, 1] 
 
 
 
2.4 – Métodos Iterativos de Solução de Equações 
 
Um método iterativo de solução de equações requer: 
 
- uma estimativa inicial para a raiz (o que pode ser obtida pelo estudo de separação de 
raízes); 
- uma fórmula de recorrência, que calcula uma estimativa melhor com base em estimativas 
conhecidas; 
- um critério de parada; 
- uma estimativa do erro cometido (precisão do resultado). 
 
Existem quatro maneiras básicas para estabelecer o critério de parada de um método iterativo: 
 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
26 
x x
x
f x
m x x k
i L
i i
i
i
i i
+
+
-
<
<
³
>
1
1
e
e( )
( , )
 
onde: 
e 
k 
L 
tolerância de erro 
número de dígitos significativos exatos requeridos 
número máximo de iterações 
 
Em geral, o critério de parada combina um ou mais destes critérios básicos. 
 
 
ORDEM DE CONVERGÊNCIA DE UM MÉTODO ITERATIVO 
 
Definição. Uma sequência x x x0 1 2, , ,... converge para x*, se dado e > 0, existe um inteiro I 
tal que, qualquer que seja i > I, x xi - <* e . Neste caso, tem-se que: 
 
lim *
i
ix x
® ¥
= 
 
Definição. Seja uma sequência x x x0 1 2, , , ... que converge para x*. Seja e x xi i= - * . Se 
existe um número r > 1 e uma constante a ¹ 0 tais que: lim
i
i
i
e
e® ¥
+ =1r a
, então rr é 
denominado ordem de convergência e a é conhecida como constante assintótica de erro. 
Quanto maior for o número rr , mais rápida será a convergência do método iterativo. Quanto 
menor for a constante a, mais preciso será o resultado obtido pelo método. 
 
 
MÉTODOS DE QUEBRA 
 
Os métodos de quebra para solução de equações partem de um intervalo [a, b] que contenha 
uma raiz e reduz este intervalo a intervalos cada vez menores. Estes tipos de métodos são 
intuitivos geometricamente, mas convergem lentamente. Os principais métodos de quebra são: 
o método da bissecção e o método da falsa-posição. 
 
a) MÉTODO DA BISSECÇÃO 
 
Seja a equação f(x) = 0 e o intervalo [a, b], que contém uma raiz de f(x). 
 
Algoritmo: 
 
1. m = (a + b)/2 
2. se f(m) ¹ 0 então: 
se f(a)´f(m) < 0 então fazer b = m 
caso contrário, fazer a = m 
3. repetir os passos 1 e 2 até satisfazer o critério de parada. 
 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
27 
Ilustração Gráfica: 
x
y
a
b
m1
m2
 
 
 
Problemas do Método da Bissecção: 
 
· pode ser difícil encontrar um intervalo [a, b] tal que f(a) ´ f(b) < 0; 
· erros de arredondamento podem levar a um intervalo que efetivamente não contém uma 
raiz. 
 
 
Pode-se determinar a ordem de convergência e a constante assintótica de erro do método da 
bissecção. Seja x* uma raiz de f(x) = 0 e seja e x xi i= - * . Como x
x x
i
i i
+
-=
+
1
1
2
, onde 
f x f xi i( ). ( )- <1 0 tem-se: 
 
e x x
x x
x
x x x
x x x x ei i
i i i i
i i i+ +
- -
-= - =
+
- =
+ -
= - + - £1 1
1 1
12
2
2
1
2
1
2
* *
*
( *) ( *) 
Logo: 
e
e
i
i
+ £1
1
2
 e, consequentemente: lim
i
i
i
e
e® ¥
+ =11
1
2
 
 
Portanto, para o método da bissecção tem-se: 
 
rr = 1, ou seja, o método possui convergência linear; 
aa= 1/2, ou seja, a cada iteração o erro reduz-se à metade. 
 
Pode-se também determinar o número de dígitos significativos exatos obtidos por iteração de 
um método. Por exemplo, para o método da bissecção tem-se: 
 
m x x m x x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
i i i i
i i
i
i i
i
i i
i
i i
i
( , ) ( , )
log( . ) log log( . ) log
log log
+ -
+
+
-
- +
+
- =
= -
-æ
è
ç
ö
ø
÷ - +
-æ
è
ç
ö
ø
÷ =
=
-æ
è
ç
ö
ø
÷ -
-æ
è
ç
ö
ø
÷
1 1
1
1
1
1 1
1
0 5 05 
 
Fazendo: r x
x x
x
i
i i
i
( ) =
- -1
, tem-se: m x x m x x
r x
r xi i i i
i
i
( , ) ( , ) log
( )
( )+ - +
- =
æ
è
ç
ö
ø
÷1 1
1
 
 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
28 
Como: 
e
e
i
i
+ £1
1
2
 tem-se que: m x x m x xi i i i( , ) ( , ) log( ) .+ -- £ =1 1 2 0 33 
 
Portanto, no método da bissecção, consegue-se cerca de um dígito significativo exato a cada 3 
iterações. 
 
 
b) MÉTODO DA FALSA-POSIÇÃO 
 
A idéia do método da falsa-posição é, ao invés de particionar o intervalo [a, b] ao meio a cada 
iteração, particionar na interseção da reta que une os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)) com o eixo x. 
 
Graficamente: 
x
y
a
bm
f(a)
f(b)
 
 
 
Neste caso, o ponto de quebra (por congruência de triângulos) pode ser escrito como: 
 
b a
f b f a
b m
f b
m b
f b b a
f b f a
-
-
=
-
-
Þ = -
-
-( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )0
 
 
Assim, dada uma equação f(x) = 0 e um intervalo [a, b] que contém uma raiz de f(x), pode-se 
escrever o algoritmo do método da falsa-posição como: 
 
Algoritmo: 
 
1. m b
f b b a
f b f a
= -
-
-
( )( )
( ) ( )
 
2. se f(m) ¹ 0 então: 
se f(a)´f(m) < 0 então fazer b = m 
caso contrário, fazer a = m 
3. repetir os passos 1 e 2 até satisfazer o critério de parada. 
 
 
É fácil perceber (como mostram as figuras a seguir) que no método da falsa-posição pode 
ocorrer que um dos extremos do intervalo mantenha-se sempre fixo. Isto irá ocorrer sempre 
que a função f(x) for côncava ou convexa no intervalo [a, b]. 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
29 
 
x
y
raiz
a=x0 x1 x2
b
y = f(x)
 
 
 
x
y
raiz
b=x0x1x2
a
y = f(x) 
 
 
Exemplo: p x x x x( ) = - + + =3 25 17 21 0 tem uma raiz no intervalo [-1, 0]. A tabela a seguir 
ilustra os resultados obtidos pelos métodos da bissecção e da falsa-posição para este caso. 
 
 Método da Bissecção Método da Falsa-Posição 
i xi f(xi) xi f(xi) 
0 -0.5000 11.125 -0.9130 0.549 
1 -0.7500 5.015 -0.9318 0.010 
2 -0.8750 1.627 -0.9321 0.000 
3 -0.9375 -0.156 
4 -0.9063 0.743 
5 -0.9219 0.295 
6 -0.9297 0.070 
7 -0.9336 -0.043 
8 -0.9316 0.014 
9 -0.9326 -0.014 
10 -0.9321 0.000 
 
 
MÉTODOS DE PONTO FIXO 
 
Nos métodos de ponto fixo (ou métodos de iteração funcional), para determinar a raiz 
pertencente ao intervalo [a, b] da equação f(x) = 0, procura-se determinar uma função g(x) tal 
que: 
 
g(x) = x + c(x).f(x) 
 
onde c(x) ¹ 0, " x Î [a, b]. Desta maneira, procurar os valores x* para os quais f(x*) = 0, 
corresponde a procurar os valores x* tais que: 
 
x* = g(x*) (ponto fixo) 
 
Dependendo da escolha de g(x) tem-se diferentes métodos de ponto fixo. 
 
 
Exemplo. f x x x( ) = - + =3 3 1 0 
 
Neste caso g(x) pode ser escrita como: 
 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
30 
g x
x
ou g x
x
( ) ( )=
+
=
-
3
2
1
3
1
3
 
 
O teorema a seguir, estabelece condições para que exista um ponto fixo para uma função g(x). 
 
Teorema. Seja I = [a, b] e g(x) uma função tal que: 
 
· g é contínua em I 
· g(I) = { g(a) | a Î I } Í I 
 
Então existe pelo menos um x* Î I tal que x* = g(x*). 
 
O problema é saber, no caso de haver várias funções g(x) possíveis, qual é a melhor escolha. 
Isto é importante porque, dependendo desta escolha, podem acontecer os seguintes casos: 
 
Convergência Monotônica 
 
x0
y = x
y = g(x)
x
y
raiz
 
 
Convergência Oscilante 
 
x0
y = x
y = g(x)
x
y
raiz
 
 
Divergência Monotônica 
 
y 
x 
y = g(x) 
y = x 
raiz x0 
 
Divergência Oscilante 
 
raiz 
y 
y = x 
y = g(x) 
x0 
 
 
 
Os teoremas a seguir ajudam na escolha da função g(x). 
 
Teorema. Seja g(x) uma função definida em I = [a, b], tal que: 
 
· g(i) Í I 
· x Î I, | g'(x) | £ L < 1 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
31 
 
Então existe exatamente um x* Î I tal que g(x*) = x*. 
 
Teorema. Seja g(x) uma função satisfazendo as condições do teorema anterior. Para x0 Î I, 
a sequência xn+1 = g(xn ), n = 0,1,2, ... converge para x* e o erro de truncamento cometido 
na n-ésima iteração é tal que: 
 
e x x
L
L
x xt n n n= - < -
- -* 1 1
 
 
Exemplo. f x x x( ) = - -2 2 I = [0, 2] 
 
Escolha de g(x): 
 
a) g x x( ) = -2 2 
 
g'(x) = 2x Þ ½ g'(x) ½ > 1 para x > 
1
2
 
 
b) g x x( ) = + 2 
 
g'(x) = 
1
2 2x +
 Þ ½ g'(x) ½ < 1 para x > 0 
 
Portanto, o método iterativo mais conveniente é: x xi i+ = +1 2 (i = 0, 1, 2, ...) 
 
 
Outro exemplo: 03x3x)x(f 3 =+-= 
 
raízes positivas em: [1, 2] e [2, 3] 
raiz negativa em: [-1, 0] 
 
Neste caso, podemos ter: 
 
)3x(
3
x3)3x(x2
-
-±=Þ-=- 
 
Portanto, se quizermos a raiz negativa podemos considerar 
)3x(
3
)x(g
-
--= e se quizermos 
a raiz positiva em [1, 2] podemos considerar 
)3x(
3
)x(g
-
-
+= . 
Observe que 
2)3x(
)3x(
3
2
3
)x('g
-
-
-
= < 1 para x Î[-1,0] ou para x Î [1,2]. 
 
 
 
MÉTODO DE AITKEN 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
32 
 
Teorema (Aitken). Sejam os métodos iterativos x xi i
( ) ( )
( )
1
1 1
1= -f e x xi i
( ) ( )
( )
2
2 1
2= -f , i = 1, 2, 
..., de ordem p, os quais convergem para x = a. Com as funções f1 e f2 é possível construir a 
função F dada por: 
 
F( )
( ( )) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ))
x
x x x x
x x x x
=
-
- - +
f f f f
f f f f
1 2 1 2
1 2 1 2
 
 
Então, o método iterativo xi = F(xi-1), i = 1, 2, ... tem ordem de convergência superior a p, 
desde que seja satisfeita a condição: 
 
(f1(a) - 1)(f2(a) - 1) ¹ 0 
 
A aplicação mais simples do Teorema de Aitken é quando f1 = f2 = f. Neste caso tem-se: 
 
F( )
( ( )) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ))
( ) ( )
( )
( )
x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x xi
i i i i
i i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
=
-
- - +
=
-
- +
=
-
- +
+ +
+ +
+ +
+ +
f f f f
f f f f
f
f
1 1
2
1 1
2 1
2
1 22 2
 
 
 
Exemplo. Seja f(x) = x - e x- = 0 e I = [0, 1] 
 
Método Iterativo: 
 
x = e x- (ou seja, f(x) = e x- ). Neste caso f'(x) = - e x- . Portanto | f'(x) | < 1 para x > 0, ou 
seja, o método converge. 
 
A tabela a seguir mostra os valores obtidos diretamente por este método iterativo com x0 = 0.5 
e também os valores obtidos através do método de Aitken. 
 
i ff (xi) Método de Aitken 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
0.50000 
0.60653 
0.54524 
0.57970 
0.56006 
0.57117 
0.56486 
0.56844 
0.56641 
0.56756 
0.56691 
0.56728 
0.56707 
0.56719 
0.56712 
0.56716 
0.56714 
0.50000 
0.60653 
0.54524 
0.56762 
0.56687 
0.56730 
0.56714 
 
 
 
 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
33 
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 
 
Teorema (Taylor). Seja f(x) uma função tal que f(x) e suas n derivadas f(n)(x) (n > 0) são 
contínuas no intervalo [a, b]. Seja f(n+1)(x) definida no intervalo (a, b). Então existe, pelo 
menos,um valor x Î (a, b) tal que: 
 
f b f a
b a
f a
b a
f a
b a
n
f a
b a
n
f
n
n
n
n( ) ( )
!
'( )
( )
!
" ( ) ...
( )
!
( )
( )
( )!
( )( ) ( )= +
-
+
-
+ +
-
+
-
+
+
+
1 2 1
2 1
1 x 
 
 
Seja xi uma aproximação para a raiz a de f(x) = 0 e seja a = xi + h. Então, como f(a) = 0, para o 
intervalo [xi, xi + h], pelo Teorema de Taylor, pode-se escrever: 
 
0 = f(a) = f(xi + h) = f(xi) + hf'(xi) + ... 
 
Ignorando os próximos termos da expansão de Taylor, tem-se: 
 
f(xi) + hf'(xi) = 0 ou seja: h
f x
f x
i
i
=
- ( )
'( )
 
 
Portanto, como xi + h deve ser uma nova aproximação para a raiz de f(x), tem-se o método de 
Newton-Raphson: 
 
x x
f x
f x
ii i
i
i
+ = - =1 0 1 2
( )
'( )
, , , ... 
 
Exemplo. Sejam f x xe x( ) .= -- 0 2 e x0 0= . Neste caso, f x e x
x' ( ) ( )= -- 1 . Portanto, pelo 
método de Newton-Raphson, tem-se: 
 
x
f
f1
0 00000
0 00000
0 00000
0 20000= - =.
( . )
'( . )
. 
x
f
f2
0 20000
0 20000
0 20000
0 25535= - =.
( . )
' ( . )
. 
x
f
f3
0 25535
0 25535
0 25535
0 25915= - =.
( . )
'( . )
. 
x
f
f4
0 25915
0 25915
0 25915
0 25917= - =.
( . )
'( . )
. 
x
f
f5
0 25917
0 25917
0 25917
0 25917= - =.
( . )
' ( . )
. 
 
Nota-se, deste exemplo, que a convergência no método de Newton-Raphson é rápida. 
 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
34 
Interpretação Geométrica 
 
xi
y = f(x)
x
y
raiz xi+1
f(xi)
f(xi+1)
a
 
 
tg a f x
f x
x x
x x
f x
f xi
i
i i
i i
i
i
( ) '( )
( )
( )
( )
'( )
= =
-
Þ = -
+
+
1
1 
 
 
Uma questão importante é: O método converge sempre? As figuras a seguir ilustram algumas 
situações possíveis. 
 
 
x
y
y = f(x)
x0 = x2
x1 = x3
 
 
 
x
y
raiz
y = f(x)
x0 x1
 
 
Destas figuras percebe-se claramente que, dependendo da escolha do ponto inicial x0, o 
método de Newton-Raphson pode não convergir. O teorema a seguir estabelece as condições 
necessárias para que ocorra a convergência do método de Newton-Raphson. 
 
Teorema. Seja f(x) uma função definida em I = [a, b], tal que: 
 
· f(a).f(b) < 0 
· f'(x) ¹ 0, x Î [a, b] 
· f"(x) ³ 0 ou f"(x) £ 0, " x Î [a, b] 
· 
f a
f a
b a e
f b
f b
b a
( )
' ( )
( )
' ( )
< - < - 
 
Então, para qualquer x0 Î [a, b] o método de Newton-Raphson irá convergir para a raiz de f(x) 
= 0 pertencente ao intervalo [a, b]. 
 
Exemplo. f(x) = x x x3 22 3 1+ + - I = [0, 1] 
 
Verificando as condições do teorema acima, tem-se: 
 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
35 
f(0) = -1; f(1) = 5 Þ f(0).f(1) < 0 
f'(x) = 3 4 32x x+ + Þ f'(x) > 0 para x Î [0, 1] 
f"(x) = 6x + 4 Þ f"(x) > 0 para x Î [0, 1] 
f
f
( )
' ( )
0
0
1
3
1
3
1 0=
-
= < - 
f
f
( )
' ( )
1
1
5
10
1
2
1 0= = < - 
 
Logo, para qualquer x0 Î [0, 1] o método irá convergir. 
 
 
Ordem de Convergência do Método de Newton-Raphson 
 
0
2
2
= = + - +
-
f x f x x x f x
x x
fi i i
i( *) ( ) ( * ) '( )
( * )
"( )x 
 
com x Î (xi, x*). 
 
Dividindo-se por f'(xi) tem-se: 
 
f x
f x
x x
x x f
f x
i
i
i
i
i
( )
'( )
( * )
( * ) " ( )
'( )
+ - +
-
=
2
2
0
x
 
 
Por outro lado: x x
f x
f xi i
i
i
+ = -1
( )
' ( )
. Portanto: 
f x
f x
x xi
i
i i
( )
'( )
= - +11. Logo: 
 
( ) ( * )
( * ) " ( )
'( )
( * )
( * ) "( )
' ( )
x x x x
x x f
f x
x x
x x f
f x
i i i
i
i
i
i
i
- + - +
-
=
- +
-
=
+
+
1
2
1
2
2
0
2
0
x
x
 
 
Portanto, como ei = x* - xi, tem-se: 
 
e e k
e
e
k
e
e
ctei i
i
i i
i
i
+
+
® ¥
+= - Þ = - Þ =1
2 1
2
1
2
1
2
1
2
lim 
 
ou seja: o método de Newton-Raphson tem ordem de convergência quadrática. 
 
 
MÉTODO DAS SECANTES (OU DAS CORDAS) 
 
Um problema com o método de Newton-Raphson é o cálculo de derivadas, um problema mal-
condicionado. A idéia do método das secantes é, partindo-se de duas aproximações x0 e x1 , 
substituir a derivada por uma reta que passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)), como no 
método da falsa-posição. 
 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
36 
 
x
y
raizx0 x1
x2
y = f(x)
f(x1)
f(x0)
 
 
 
Da figura acima (por congruência de triângulos) pode-se escrever: 
 
x x
f x
x x
f x f x
i i
i
i i
i i
+ -
-
-
-
=
-
-
1 1
10( ) ( ) ( )
 
 
Portanto, o método das secantes pode ser escrito iterativamente como: 
 
x x
x x f x
f x f x
ii i
i i i
i i
+
-
-
= -
-
-
=1
1
1
1 2
( ) ( )
( ) ( )
, , ... 
 
Deve-se observar que o método das secantes não exige que haja troca de sinal da função f(x) 
no intervalo [xi-1, xi] como no método da falsa-posição. 
 
À medida que se aproxima da raiz, f(xi) e f(xi-1) devem ser valores muito próximos e 
consequentemente, poderá ocorrer o fenômeno do cancelamento subtrativo. Para evitar isto, 
pode-se escrever o método das secantes como: 
 
x x
x x
f x
f x
f x
f x
i i
i i
i
i
i
i
+
-
-
-
= -
-
-
1
1
1
1
1
( )
( )
( )
(
( )
( )
)
 
com | f(xi) | < | f(xi-1) | (do contrário, inverter xi e xi-1). 
 
Pode-se mostrar que a ordem de convergência do método das secantes é dada por: 
r = + @
1
2
5 1 1618( ) . , ou seja, converge um pouco mais lentamente que o método de Newton-
Raphson (para o qual r = 2). 
 
 
MÉTODO DE MÜLLER 
 
No método das secantes, consideram-se dois pontos xi-1 e xi e por eles traça-se uma reta para 
determinar o próximo ponto xi+1 (interpolação linear). O método de Müller considera três 
pontos: xi-2, xi-1 e xi, e por eles passa uma equação do segundo grau (parábola) a fim de 
determinar o próximo ponto xi+1. 
 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
37 
Ilustração Gráfica: 
 
x
y
y = f(x)
x0 x1
x2
x3
 
 
 
Da figura pode-se ver que g x x x( ) = + +a a a0
2
1 2 é tal que: 
 
a a a
a a a
a a a
0 0
2
1 0 2 0
0 1
2
1 1 2 1
0 2
2
1 2 2 2
x x f x
x x f x
x x f x
+ + =
+ + =
+ + =
ì
í
ï
î
ï
( )
( )
( )
 
 
Resolvendo-se o sistema tem-se: x3
2
1 1
2
0 2
2
4
=
- ± -
a
a a a a
, onde o sinal à frente do radical 
deve ser escolhido de modo que o denominador tenha o maior valor absoluto possível. 
 
 
2.5 – Resolução de Sistemas de Equações Não-Lineares 
 
Considere o seguinte sistema de equações: 
 
x y
x y
+ - =
+ - =
ì
í
î
2 3 0
3 7 02 2
 
 
Neste caso, deseja-se saber os valores de x e de y que satisfazem, simultaneamente, as duas 
equações. Estes valores podem ser vistos no gráfico a seguir, onde as funções y = f1(x) e y = 
f2(x) são definidas como: f x x1 3 2( ) ( ) /= - e f x x2
27 3( ) = - . 
 
-2 -1 1 2
0.5
1
1.5
2
2.5
f1(x)
f2(x)
y
x
raiz
raiz
 
 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
38 
Os métodos de quebra (bissecção e falsa-posição) não podem ser generalizados para 
sistemas pois as trocas de sinal não caracterizam as raízes de funções de várias variáveis. 
Entretanto os métodos de ponto fixo e de Newton-Raphson podem ser generalizados 
facilmente. 
 
Seja, por exemplo, o método de ponto fixo: 
 
x = f1(x,y) = 3 - 2y 
y = f2(x,y) = 7 3
2- x 
 
Pelas tabelas abaixo pode-se observar que, partindo-se de uma estimativa inicial (x0,y0) = 
(1.00,1.00) o método converge para a raiz (-1.00, 2.00) (mostrada à esquerda, no gráfico 
acima). Entretanto, partindo-se da estimativa inicial (x0,y0) = (0.00, 1.00), após 3 iterações, o 
método diverge. 
 
i xi yi i xi yi 
0 1.00 1.00 0 0.000 1.000 
1 1.00 2.00 1 1.000 2.646 
2 -1.00 2.00 2 -2.292 2.000 
3 -1.00 2.00 3 -1.000 -8 753. 
 
A convergência do método de ponto fixo pode ser estabelecida pela generalização do teorema 
de convergência para função de uma variável, onde o intervalo I é substituído por uma região 
circular que contenha a raiz. Para o caso acima, por exemplo, deve-se ter: 
 
¶f
¶
¶f
¶
¶f
¶
¶f
¶
1 1 2 2
1
2 2 2 2
x y x y
L
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
æ
è
ç
ö
ø
÷ £ £ 
 
para o método convergir. 
 
 
A generalização do método de Newton-Raphson pode ser obtida através da generalização 
do Teorema de Taylor para funções de várias variáveis. Seja, por exemplo, o caso de funções 
de duas variáveis. Considere ( )ii y,x a i-ésima aproximação para uma raiz do sistema: 
( )
( )î
í
ì
=
=
0y,xf
0y,xf
2
1 
 
Uma nova aproximação para a raiz do sistema pode ser estabelecida como: 
 
ii1i
ii1i
kyy
hxx
+=
+=
+
+ 
 
onde ih e ik são os valores dos passos a serem determinados. Como 1ix + e 1iy + são 
aproximações para uma raiz do sistema, pode-se escrever: 
 
0)ky,hx(f)y,x(f
0)ky,hx(f)y,x(f
iiii21i1i2
iiii11i1i1
@++=
@++=
++
++ 
 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
39 
Pelo Teorema de Taylor pode-se escrever: 
 
0...)y,x(
y
f
k)y,x(
x
f
h)y,x(f)ky,hx(f
0...)y,x(
y
f
k)y,x(
x
f
h)y,x(f)ky,hx(f
ii
2
iii
2
iii2iiii2
ii
1
iii
1
iii1iiii1
@+
¶
¶
+
¶
¶
+=++
@+
¶
¶
+
¶
¶
+=++
 
 
Ou seja: 
 
)y,x(f
y
)y,x(f
k
x
)y,x(f
h
)y,x(f
y
)y,x(f
k
x
)y,x(f
h
ii2
ii2
i
ii2
i
ii1
ii1
i
ii1
i
-=
¶
¶+
¶
¶
-=
¶
¶
+
¶
¶
 
 
ou então, em notação vetorial: 
 
)y,x(f
)y,x(f
k
h
y
)y,x(f
x
)y,x(f
y
)y,x(f
x
)y,x(f
ii2
ii1
i
i
Jacobiano
ii2ii2
ii1ii1
-
-
=´
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
4444 34444 21
 
 
Portanto, resolvendo o sistema tem-se os valores de ih e ik e portanto, as novas 
aproximações 1ix + e 1iy + para a solução do sistema de equações. 
 
Exemplo. 
 
 Seja o sistema de equações: 
 
f x y e y
f x y x y x
x y
1
2
4 0
4 0
( , )
( , ) cos( )
= - =
= + + =
ì
í
î
-
 
 
Para este caso, tem-se: 
 
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
f
x
e
f
y
e
f
x
x y
f
y
x y
x y x y1 1
2 2
4
4
= = - -
= - + + = - +
- -
sen( ) sen( )
 
 
Considerando como estimativa inicial para a solução o ponto ( )00 y,x = (0.0, 0.0), tem-se: 
 
1
1
k
h
04
51
0
0
-
-
=´
-
 
 
Resolvendo o sistema de equações lineares acima, tem-se os valores de 0h e 0k . Neste 
caso: 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
40 
 
20
3
ke
4
1
h 00 =
-
= 
 
Portanto, a nova aproximação para a solução será: 
 
15.015.000.0kyy
25.0)25.0(00.0hxx
001
001
=+=+=
-=-+=+=
 
 
Continuando desta forma, a cada iteração do método de Newton-Raphson, determina-se os 
novos valores de passo e portanto, novas aproximações para a solução do sistema. 
 
Deve-se observar que cada iteração do método de Newton-Raphson aplicado a sistemas de 
equações não-lineares requer a solução de um sistema de equações lineares (para determinar 
os passos). A resolução de sistemas de equações lineares é o assunto do capítulo seguinte. 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1. Enumere, localize e separe as raízes reais da equação 2 5 2 03 2x x+ - = . Em seguida 
utilize o método do ponto fixo para encontrar uma raiz positiva e o método de Newton-
Raphson para encontrar uma raiz negativa, caso exista, desta equação. Nos métodos 
iterativos trabalhe com 3 casas decimais e utilize o critério de parada: x xn n- <-1 0 01. , 
onde xi corresponde à i-ésima aproximação para o valor da raiz. 
 
Solução: 
 
p(x) = 2 5 23 2x x+ - Þ p(-x) = - + -2 5 23 2x x = 2 5 23 2x x- + 
 
Enumeração: 
 
p(x) + + - 1 troca Þ 1 raiz real positiva 
p(-x) + - + 2 trocas Þ 0 ou 2 raízes reais negativas 
 
Localização: 
 
- Raiz positiva: 
 
 2 5 0 -2 
1 ¯ 2 7 7 raiz Î [0, 1] 
 2 7 7 5 
 
- Raízes negativas: 
 
 2 -5 0 2 
1 ¯ 2 
 2 -3 
 
 2 -5 0 2 
2 ¯ 4 
 2 -1 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
41 
 
 2 -5 0 2 
3 ¯ 6 3 9 raízes Î [-3, 0] 
 2 1 3 11 
 
Separação das raízes negativas: 
 
p x x x( ) = + -2 5 23 2 
p x x x
p x x
p x
' ( )
"( )
"'( )
= +
= +
=
6 10
12 10
12
2
 
 
Seja o intervalo [-3, -2]: 
 
p(-3) = -11 p(-2) = 2 
p'(-3) = 24 V-3 = 3 trocas de sinal p'(-2) = 4 V-2 = 2 trocas de sinal 
p"(-3) = -26 p"(-2) = -14 
p'"(-3) = 12 p'"(-2) = 12 
 
Logo, como V V- -- =3 2 1, existe uma raiz no intervalo [-3, -2]. Portanto a outra raiz 
negativa está no intervalo [-2, 0]. 
 
Cálculo da raiz positiva - Método do ponto fixo: 
 
5x2
2
x2)5x2(x02x5x2 223
+
=Þ=+Þ=-+ 
Assim: 
ÞÎ<Þ
+
+
-=Þ
+
= ]1,0[x1)x('g
)5x2(
5x2
1
2
)x('g
5x2
2
)x(g
2
método 
converge. 
 
Seja 000.0x0 = 
 
632.0
502
2
x1 =+´
= 571.0
5565.02
2
x3 =+´
= 
 
565.0
5632.02
2
x2 =+´
= 571.0
5571.02
2
x4 =+´
= 
 
 
 
Cálculo de raiz negativa - Método de Newton-Raphson: 
 
p x x x p x x x( ) '( )= + - = +2 5 2 6 103 2 2 
 
x x
p x
p xi i
i
i
+ = -1
( )
'( )
. Seja x0 3= - 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
42 
 
x
p
p1
3
3
3
2 542= - -
-
-
= -
( )
'( )
. 
 
x
p
p2
2 542
2 542
2 542
2 352= - -
-
-
= -.
( . )
'( . )
. 
 
x
p
p3
2 352
2 352
2 352
2 315= - -
-
-
= -.
( . )
'( . )
. 
 
x
p
p4
2 315
2 315
2 315
2 313= - -
-
-
= -.
( . )
'( . )
. 
 
2. Enumere, localize e separe as raízes reais da equação x x3 3 1 0- + = . Em seguida utilize 
o método do ponto fixo para encontrar uma raiz positiva, caso exista, e o método de 
Newton-Raphson para encontrar uma raiz negativa desta equação. Nos métodos iterativos 
trabalhe com 4 casas decimais e utilize o critério de parada: x xn n- <-1 0 01. , onde xi 
corresponde à i-ésima aproximação para o valor da raiz. 
 
Solução: 
 
p(x) = x x3 3 1- + Þ p(-x) = - + +x x3 3 1 = x x3 3 1- - 
 
Enumeração: p(x) + - + 2 trocas Þ 0 ou 2 raízes reais positivas 
 p(-x) - + + 1 troca Þ 1 raiz real negativa 
 
Localização: 
 
- Raízes positivas: 
 
 1 0 -3 1 
1 ¯ 1 1 
 1 1 -2 
 
 1 0 -3 1 
2 ¯ 2 4 2 raiz Î [0, 2] 
 1 2 1 3 
 
- Raiz negativa: 
 
 1 0 -3 -1 
2 ¯ 2 4 2 raiz Î [-2, 0] 
 1 2 1 1 
 
Separação das raízes positivas: 
p x x x
p x x
p x x
p x
( )
' ( )
"( )
"'( )
= - +
= -
=
=
3
2
3 1
3 3
6
6
 
Cálculo Numérico 2 – Solução de Equações 
 
43 
Seja o intervalo [0, 1]: 
 
p(0) = 1 
p'(0) = -3 Þ V0 = 2 trocas de sinal 
p"(0) = 0 
p'"(0) = 6 
 
p(1) = -1 
p'(1) = 0 Þ V1 = 1 troca de sinal 
p"(1) = 6 
p'"(1) = 6 
 
Logo, como V V0 1 1- = , existe uma raiz no intervalo [0, 1]. Portanto, o intervalo [0, 2] 
deve conter duas raízes (e não zero raízes). Conclui-se então que a outra raiz positiva está 
no intervalo [1, 2]. 
Cálculo da raiz positiva - Método do ponto fixo: 
x x x
x3
3
3 1

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