Transformadores-WalterRies

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TRANSFORMADORES 
 
 
ÍNDICE 
 
1 – INTRODUÇÃO 1 
2 – TEORIA ELEMENTAR DO TRANSFORMADOR 1 
2.1 – O transformador em vazio 4 
2.2 – O transformador sob carga 4 
3 – TRANSFORMADOR COM NÚCLEO DE FERRO 8 
3.1 – Circuito equivalente e diagrama fasorial 8 
3.2 – Formas construtivas de núcleos e bobinas 13 
4 – CARACTERÍSTICAS DE DESEMPENHO 17 
4.1 – Corrente de excitação 17 
4.1.1 – Corrente magnetizante 17 
4.1.2 - Corrente de perdas magnéticas 21 
4.2 – Perdas de excitação ou perdas magnéticas 22 
4.2.1 – Perdas por histerese 22 
4.2.2 – Perdas por correntes de Foucault ou perdas parasitas 23 
4.3 – Medição das perdas e corrente de excitação 23 
4.4 – Impedância 25 
4.4.1 – Impedância percentual 25 
4.4.2 – Resistência percentual 26 
4.4.3 – Ensaio de curto-circuito do transformador 26 
4.4.4 – Relação entre resistências de perdas e reatância de dispersão 28 
4..5 – Regulação da tensão 29 
4. 6 – Rendimento do transformador 32 
5 – CÁLCULO DA CORRENTE DE EXCITAÇÃO E DAS PERDAS EM VAZIO 34 
6 – CÁLCULO DAS PERDAS DEVIDAS ÀS CORRENTES DE CARGA 40 
6.1 – Perdas ôhmicas nos enrolamentos (Wo) 42 
6.2 – Perdas parasitas nos condutores 46 
6.3 – Perdas adicionais devidas ao fluxo de dispersão 55 
6.4 – Perdas por circulação de corrente 55 
7 - CÁLCULO DA REATÂNCIA DE DISPERSÃO 57 
7.1 – Método do fluxo concatenado 57 
7.2 – Método da energia armazenada no campo magnético de dispersão do fluxo 59 
7.3 – Reatância de dispersão transversal 63 
8 – CONSTRUÇÃO 69 
8.1 = Núcleo e elementos de montagem 69 
8.1.1 - Dimensionamento das chapas do núcleo 69 
8.1.2 - Pressão de empacotamento e fator de empilhamento 75 
8.1.3 – Planilha para cálculo de núcleos 75 
8.1.4 – Etapas de construção do núcleo 76 
8.1.5 – Núcleos para transformadores pequenos 81 
8.2 – BOBINAS 82 
8.2.1 – Tipos de bobonas 82 
8.2.2 – O Condutor 83 
8.2.3 – Construção das bobinas 86 
8.2.4 – Tratamento das bobinas, encolunamento e montagem 91 
9 – O ISOLAMENTO DO TRANSFORMADOR 93 
9.1 – Introdução 93 
9.2 – Características dos dielétricos 94 
9.2.1 – Rigidez dielétrica 93 
9.2.2 – Constante dielétrica 96 
9.2.3 – Perdas dielétricas 101 
9.2.4 – Variação da rigidez dielétrica do ar com a espessura, pressão e temperatura 103 
9.2.5 – Variação da rigidez dielétrica com a espessura em materiais sólidos e líquidos 105 
9.2.5.1 – Óleo para transformador 106 
9.2.5.2 – Dielétricos sólidos 106 
 1 
9.2.6 – Variação da rigidez dielétrica com a temperatura nos materiais sólidos 107 
9.2.7 – Variação da tensão disruptiva e da rigidez dielétrica com o tempo 107 
9.2.7.1 – Rigidez dielétrica com tensões alternativas senoidais 107 
9.3 – Transitórios nos sistemas elétricos 112 
9.3.1 – Sobre tensão de chaveamento de um curto-circuito 112 
9.3.2 – Disjuntor desligando um transformador sem carga 114 
9.3.3 – Transformador atingido por uma onda de impulso 116 
9.3.4 – Onda de impulso normalizada 118 
9.3.5 – Distribuição da tensão de impulso ao longo dos enrolamentos 120 
9.3.5.1 – Distribuição inicial das tensões para uma excitação salto unitário u-1(t) 122 
9.3.5.2 – Distribuição final da tensão de impulso no enrolamento 126 
9.3.5.3 – Distribuição transitória da tensão de impulso no enrolamento 126 
ANEXO A: Calculo das capacitâncias distribuídas de um enrolamento 131 
9.4 – Critérios de dimensionamento e formas construtivas 135 
9.4.1 – Isolamento entre espiras, entre camadas e entre discos 136 
9.4.2 – Isolamento entre bobinas e entre bobinas e massa 138 
9.4.3 – Isolamento entre fases 141 
9.4.4 – Isolamento entre enrolamento externo e a caixa do transformador 142 
10 – DIMENSIONAMENO DOS TRANSFORMADORES DE POTÊNCIA 144 
10.1 – Relações econômicas 144 
10.2 – Cálculo da seção do núcleo 145 
10.3 – Dimensionamento dos enrolamentos 148 
11 – CÁCULO TÉRMICO DOS TRANSFORMADORES 150 
11.1 – Generalidades 150 
11.2 – Distribuição da temperatura num transformador 153 
11.3 – Transmissão de calor por condução 155 
11.3.1 – Entre paredes planas 155 
11.3.2 – Placas paralelas que são fontes de calor 156 
11.4 – Transmissão de calor por convecção 159 
11.5 – Transmissão de calor radiação 161 
11.6 – Salto de temperatura entre os enrolamentos e o óleo (Δθco1) 164 
11.6.1 – Enrolamentos helicoidais em camadas refrigeradas em ambas as faces laterais 164 
11.6.2 – Enrolamentos em disco 166 
12 – DISSIPAÇÃO DE CALOR NOS TRANSFORMADORES 168 
12.1 – Refrigeração natural 168 
12.1.1 – Dissipação de calor por tubos 170 
12.1.2 – Dissipação de calor em tanques ondulado 171 
12.1.3 – Dissipação de calor por radiadores de chapa 172 
12.2 – Refrigeração forçada 176 
12.3 – Comportamento térmico do transformador às sobrecargas 178 
13 – ESFORÇOS ELETROMECÂNICOS NOS ENROLAMENTOS 183 
13.1 – Forças produzidas pela interação de correntes e de campos magnéticos 183 
13.2 – Esforços mecânicos nos enrolamentos 187 
13.3 – Cálculo dos esforços mecânicos 190 
13.3.1 – Esforços em bobinas concêntricas com alturas iguais e simétricas 190 
13.3.2 – Esforços em bobinas concêntricas assimétricas ou com exclusões 194 
13.4 – Projeto mecânico para suportar os esforços eletromagnéticos 199 
13.4.1 – Esforços radiais nas bobinas externas 199 
13.4.2 – Esforços radiais nas bobinas internas 200 
13.4.3 – Esforços axiais nas bobinas 201 
13.4.4 – Bobinas concêntricas com alturas iguais e deslocamento axial 202 
13.5 – Efeitos dinâmicos dos esforços eletromagnéticos 206 
 
 2 
 TRANSFORMADORES 
1– INTRODUÇÃO 
 
 
O transformador foi o grande impulsionador da transmissão de energia elétrica a longas distâncias, 
pois, foi através dele que se conseguiu elevar as tensões das linhas para uma transmissão econômica desta 
energia. No Brasil já se utilizam linhas de transmissão de 750 kV que, junto com outras de 550, 440, 345, 
220 kV constituem o sistema básico de transmissão de energia elétrica. Para o consumo desta energia as 
tensões devem ser abaixadas de acordo com as necessidades. 
O uso generalizado do transformador tem um reflexo econômico acentuado na sociedade exigindo, 
constantemente, critérios sempre mais avançados de dimensionamento e construção, tendo em mira 
conciliar custos e segurança operacional. 
Para cada MVA de potência gerada por uma usina, são necessários de 6 a 10 MVA de potência em 
transformadores para que esta energia chegue ao consumidor final. Estes transformadores estão 
localizados: 
• Nas subestações das usinas geradoras, elevando a tensão de geração a valores que permitem a 
transmissão econômica da energia elétrica; 
• Nas subestações de interligação de sistemas elétricos; 
• Nas subestações abaixadoras de tensão para alimentação de grandes centros urbanos e industriais; 
• Nas subestações de distribuição em baixa tensão industrial, comercial e domiciliar e pública. 
 É grande a diversidade de tipos de transformadores e de possibilidades de ligações para atender às 
mais diversas aplicações. Além dos transformadores utilizados para transmitir e distribuir a energia 
elétrica, que são normalmente denominados de ”transformadores de potencia”, existe uma gama muito 
grande de outros transformadores especiais, tais como: transformadores de medição, tanto de corrente 
(TC) como de tensão ou potencial (TP), pequenos transformadores para uso em aparelhos 
eletrodomésticos e industriais ou de laboratório, etc. 
Considerando-se que o Brasil tem, atualmente, cerca de 70 GVA de energia elétricagerada e 
admitindo que o consumo cresça a taxa de 5% ao ano, um acréscimo anual de energia elétrica gerada de 
3,5 GVA deveria ser instalado. Levando ainda em consideração uma reposição necessária de 3% ao ano 
dos transformadores instalados, resultaria na necessidade média anual de construir cerca de 30 a 56 GVA 
ou 33.000 a 56.000 MVA em novos transformadores para o Brasil. 
O projeto de um transformador é um processo essencialmente iterativo que procura obter o 
equipamento de menor custo total e que atenda às especificações do usuário dentro das prescrições 
estabelecidas pelas normas de construção, métodos de ensaio e utilização. 
 
2 – TEORIA ELEMENTAR DO TRANSFORMADOR 
O funcionamento do transformador se baseia no acoplamento eletromagnético entre duas bobinas. 
Ele é constituído, fundamentalmente, por uma bobina primária que recebe a energia elétrica numa 
determinada tensão e corrente e uma bobina secundária pela qual esta energia, com tensão e corrente 
diferentes, é transferida a uma carga. O circuito magnético que acopla as bobinas primária e secundária 
pode ser o ar ou um material ferro-magnético para aumentar o acoplamento. Transformadores destinados 
a transferir energia elétrica com potências elevadas têm o circuito magnético construído com material 
ferro-magnético. Transformadores usados em equipamentos que operam com freqüências elevadas, 
radiofreqüências, têm o circuito magnético com ar ou outro material isolante. 
Sob o ponto de vista de Circuitos Elétricos o transformador é um quadripólo, fig. 2.1, com tensão e 
corrente de entrada e, tensão e corrente de saída, formando o laço de entrada alimentado por uma fonte de 
tensão e o laço de saída que é ligado à carga. No interior do quadripólo encontram-se os parâmetros 
elétricos, resistências e capacitâncias definidas no estudo do campo elétrico e indutâncias definidas no 
estudo do campo magnético. O quadripólo fica definido pelas duas equações: 
• Tensão aplicada na entrada em função das correntes de entrada e saída; 
• Tensão da saída em função das correntes de entrada e saída. 
 
Walter Ries 1 
 TRANSFORMADORES 
 
 
v 1 i 1
-
+
Parâmetros
R L C i 2 v 2
+
-
 
 
 
 Fig. 2.1: O quadripólo 
 
Para definir as equações fundamentais de tensões que explicam o funcionamento do transformador 
desprezam-se, inicialmente, as resistências ôhmicas e capacitâncias distribuídas das bobinas e considera-
se que o circuito magnético e constituído por ar. 
Na fig. 2.2 a bobina 1 é alimentada por uma fonte de tensão v1 variável com o tempo e a bobina 2 
está com seus terminais abertos. Na fig. 2.3 é a bobina 2 que está sendo alimentada por uma fonte de 
tensão v2 variável com o tempo e a bobina 1 está com seus terminais abertos. As correntes que circulam 
pelas bobinas produzem fluxos magnéticos cujo sentido pode ser dado pela regra do saca-rolha. O campo 
magnético pode ser representado, graficamente, por linhas de fluxo. Cada linha de fluxo representa uma 
mesma parcela do fluxo total como, por exemplo, 1 Wb. O fluxo total produzido pela corrente i1 não 
atravessa todas as N1 espiras da bobina 1 nem todas as N2 espiras da bobina 2. Também o fluxo total 
produzido pela corrente i2 não atravessa todas as N2 espiras da bobina 2 nem todas as N1 espiras da bobina 
1. Chama-se de fluxo concatenado ao fluxo que atravessa ou concatena uma espira. Se uma espira é 
atravessada por um fluxo de 10 webers, o fluxo concatenado nesta espira é de 10 weber-espiras. Nem 
todas as espiras são atravessadas pela mesma quantidade de fluxo. Portanto, cada espira tem o seu valor 
de fluxo concatenado. A soma do fluxo concatenado de todas as espiras é o que se chama de fluxo 
concatenado na bobina. 
 
 Têm-se, assim, as seguintes definições para os fluxos concatenados nas bobinas das figuras 2.2 e 2.3: 
 
λ11 é o fluxo concatenado na bobina 1 produzido pela corrente i1; 
λ21 é o fluxo concatenado na bobina 2 produzido pela corrente i1. 
λ22 é o fluxo concatenado na bobina 2 produzido pela corrente i2; 
λ12 é o fluxo concatenado na bobina 1 produzido pela corrente i2 
. 
Segundo a lei de Faraday a força eletromotriz (fem) induzida numa espira é proporcional à 
variação do fluxo que atravessa a mesma. Assim, cada um dos fluxos concatenados, acima definidos, 
induz uma determinada fem ou tensão nas bobinas. 
 
 
N1 e1
i2
e2 N2v 2
Fig. 2.3: Auto-indução e indução mútua
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 2.2: Auto-indução e indução mútua
i1
e2
N1 e1
N2
v 1
 
Walter Ries 2 
 TRANSFORMADORES 
A relação entre um fluxo concatenado e a corrente que o produz é uma constante e se denomina de 
Indutância sendo medida em Henry (H). O valor da indutância depende somente das dimensões físicas da 
bobina e da permeabilidade magnética do meio. Se o fluxo concatenado na bobina for produzido pela 
corrente que nela circula, então, a indutância se denomina de Auto-indutância, ou simplesmente 
Indutância, com símbolo (L). Se o fluxo concatenado na bobina é produzido por uma corrente que circula 
em outra bobina, então a relação entre este fluxo concatenado e a corrente que o produz recebe o nome de 
Indutância mútua com símbolo (M) e também é medida em henry (H). 
A expressão 2.1 dá a indutância da bobina 1 na forma diferencial e a expressão 2.2 dá a tensão 
induzida nesta bobina quando a corrente que por ela circula e o fluxo gerado varia com o tempo. O 
sentido dos fluxos é determinado pela regra do saca-rolha e a polaridade das tensões induzidas é 
determinada pela Lei de Lenz. Segundo esta lei a tensão induzida tem uma polaridade que se opõe à 
causa que a produz. A causa que produz a tensão induzida e1 na bobina 1 é a tensão aplicada v1 que faz 
circular a corrente i1. Se o valor da resistência ôhmica da bobina é desprezível, então o único efeito que se 
opõe á tensão aplicada v1 é a tensão induzida e1. Portanto, tem-se e1 = v1. Combinando as expressões 2.1 
e 2.2 resulta a expressão 2.3 que é uma outra forma de apresentar a tensão induzida na bobina 1 pela ação 
da corrente variável. 
A expressão 2.4 dá a indutância mútua na bobina 2 produzida pela corrente que circula na bobina 1. 
A expressão 2.5 dá a tensão induzida na bobina 2 pelo fluxo, produzido pela corrente na bobina 1, e 
concatenado com as espiras da bobina 2. Combinando as expressões 2.4 e 2.5 resulta a expressão 2.6 que 
é uma outra forma de apresentar a tensão induzida na bobina 2 pelo fluxo produzido pela bobina 1. A 
polaridade da tensão induzida e2 pode ser determinada pelo sentido que a corrente na bobina 2 deveria ter 
para contrariar o fluxo indutor da bobina 1. 
 
 11 11 1
11 1 1 11
1
21 21 1
21 2 2 21
1
dλ dλ diL = [2.1] e = [2.2] e = L [2.3]
di dt dt
dλ dλ diM = [2.4] e = [2.5] e = M [2.6]
di dt dt
 
 
 
 
De modo idêntico pode-se escrever as expressões 2.7 a 2.12 para o caso em que a bobina 2 é 
alimentada por uma fonte de tensão v2 que faz circular por ela uma corrente i2 . Aparece, assim, a tensão 
induzida e2 na bobina 2 e a tensão e1 induzida pelo fluxo concatenado mútuo λ12. 
 
 
22 22 2
22 2 2 22
2
12 12 2
12 1 1 12
2
dλ dλ diL = [2.7] e = [2.8] e = L [2.9]
di dt dt
dλ dλ diM = [2.10] e = [2.11] e = M [2.12]
di dt dt
 
 
 
 
 
O fluxo concatenado pode ser definido com maior clareza através do conceito de fluxo médio 
equivalente por espira que atravessa todas as espiras da bobina. Assim, os fluxos concatenados 
λ11, λ22, λ12 e λ21 podem ser dados pelas expressões 2.13 a 2.16 em que ϕ11, ϕ22 ϕ12 e ϕ21 são os fluxos 
médios equivalentes por espira correspondentes. 
 
 11 1 11 22 2 22
21 2 21 12 1 12
[2.13] [2.14]
[2.15] [2.16]
N N
N N
λ ϕ λ ϕ
λ ϕ λϕ
= =
= = 
 
 
A fig. 2.4 é igual à fig. 2.2, porém representada com os fluxos concatenados interpretados pelos 
fluxos médios equivalentes por espira. 
 
 
Walter Ries 3 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode-se verificar na fig. 2.4, a simplificação da representação dos fluxos por meio do fluxo médio 
equivalente por espira. O fluxo total gerado pela corrente i1 na bobina 1 pode ser dividido em dois: o fluxo 
ϕd1 que fica restrito à bobina 1 e o fluxo ϕ21 que atravessa as duas bobinas. O fluxo ϕd1 toma a 
denominação de fluxo disperso da bobina 1, pois não participa no acoplamento entre as duas bobinas. O 
fluxo ϕ21 é o fluxo mútuo gerado pela bobina 1 e que atravessa a bobina 2. O fluxo total gerado pela 
bobina 1 é dado pela expressão 2.17. A expressão 2.18 dá a mesma equação em termos de fluxos 
concatenados e número de espiras 
 
2.1 – O transformador em vazio 
As figuras 2.2 e 2.3 mostram o princípio elementar de funcionamento do transformador em vazio 
ou sem carga. Na figura 2.2 a fonte de tensão está aplicada à bobina 1 que na terminologia usada em 
transformadores é denominada bobina primária ou simplesmente primário, e, a bobina 2 é denominada 
bobina secundária ou simplesmente secundário. Na figura 2.3 a bobina primária é a bobina 2 e a 
secundária a bobina 1. Em ambas as figuras não tem corrente circulando pela bobina secundária onde 
somente é induzida uma fem.. 
As expressões 2.1 a 2.6 são as equações que definem a operação em vazio do transformador 
representado pela fig. 2.2. Com a definição do fluxo médio equivalente por espira às expressões 2.2 e 2.5, 
para a fig. 2.2 ou 2.4, podem ser também dadas pelas expressões 2.19 e 2.20. 
Especificamente para o caso da fig. 2.2 as equações que definem a operação em vazio do 
transformador são dadas pelas expressões 2.21 e 2.22. 
 
 
 
 
 
 
2.2 - O transformador sob carga 
 
 Na fig. 2.5 a bobina 2 alimenta uma carga pela qual circula a corrente i2. A fonte de tensão desta 
corrente é a tensão induzida e2. A fig. 2.6 é uma representação da figura 2.5 usando fluxos médios 
equivalentes por espira. 
Ao circular uma corrente de carga no secundário ela também vai gerar fluxos como representados 
na fig. 2.5. O sentido desta corrente de carga na bobina secundária deve ser o de produzir um fluxo com 
sentido contrário ao do fluxo que a gera (Lei de Lenz), sem anulá-lo, pois isto significaria eliminar a fonte 
de sua geração. Para manter a causa da geração da tensão e corrente secundarias a corrente primária deve 
aumentar de modo a contrabalançar o fluxo produzido pela bobina secundária. Deste modo, a energia 
entregue à carga pela bobina secundária é realmente suprida pela fonte que alimenta a bobina primária. 
Esta é a explicação qualitativa do fenômeno. A explicação quantitativa diz que a força magnetomotriz 
produzida pela corrente secundária é contrabalançada por uma força magnetomotriz produzida por uma 
11 1 21
111 21
1 1 2
11
1 1
21
2 2
[2.17]
[2.18]
[2.19]
[2.20]
d
d
N N N
de N
dt
de N
dt
ϕ ϕ ϕ
λλ λ
ϕ
ϕ
= +
= +
=
=
11 1
1 1 1 11
21 1
2 2 2 21
[2.21]
[2.22]
d div e N L
dt dt
d div e N M
dt dt
ϕ
ϕ
= = =
= = =
e 2
N 1
i 1
 e 1
N 2
ϕ d1
ϕ 2 1
v 1
ig. 2.4: Igual à fig. 2.2, mas com fluxos médios equivalentes por espiraF
Walter Ries 4 
 TRANSFORMADORES 
corrente de carga ic1 na bobina primária conforme mostra a expressão 2.23. A expressão 2.24 mostra as 
componentes da corrente primária. A corrente im produz o fluxo mútuo ϕ , comum às duas bobinas e se 
denomina corrente magnetizante. A corrente de carga no primário faz aumentar o fluxo de dispersão ϕd1 
na bobina primário. A corrente de carga no secundário gera o fluxo disperso ϕd2 na bobina secundária. 
 
2 2 1 1 1 1[2.23] [2.24]c m cm N i N i i i i= = = + 
 
 
ϕ12
ϕ21
ϕ
ϕd2
i 2
v 2
ϕd1
i 1
v 1
Fig. 2.6: Transformador sob carga
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
i
2
N1 e1
e2 v 2N2
v 1
Fig. 2.5: Transformador sob carga 
 
 
A distribuição dos fluxos no transformador sob carga é determinada aplicando o princípio da 
superposição de causas e efeitos que é válido somente para sistemas com elementos lineares. Assim, a 
corrente primária i1 produz os fluxos ϕd1 e ϕ21 , cuja soma é o fluxo total por ela produzido na bobina 
primária. A corrente secundária i2 produz os fluxos ϕd2 e ϕ12, cuja soma é o fluxo total por ela produzido 
na bobina secundária. As expressões 2.25 e 2.26 mostram a composição destes fluxos. 
 
 
11 1 21 22 2 12[2.25] [2.26]d dϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + = + 
 
O fluxo total que atravessa cada uma das bobinas é dado pela soma dos efeitos das correntes 
primária e secundária. Para se realizar esta soma deve-se levar em consideração o sentido dos diferentes 
fluxos. Isto é, deve-se fixar um sentido como positivo, como por exemplo, o sentido do fluxo produzido 
pela corrente primária. Nestas condições, as expressões 2.27 e 2.28 mostram o fluxo total que atravessa, 
respectivamente, a bobina primária e secundária.. A soma vetorial dos fluxos mútuos ϕ21 e ϕ12 resulta em 
um fluxo ϕ comum às duas bobinas. 
 
1 11 12 1 21 12 1
2 21 22 21 12 2 2
[2.27]
[2.28]
d d
d d
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= − = + − = +
= − = − − = −
 
 
 
As expressões 2.27 e 2.28 permitem analisar o transformador sob dois aspectos diferentes, 
mostrados nos conjuntos de expressões 2.29 e 2.30. 
 
 1 11 11 12
2 21 22 2 2
[2.29] [2.30]d
d
ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= += − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥= − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
Walter Ries 5 
 TRANSFORMADORES 
 A tensão induzida resultante em cada bobina corresponde à tensão gerada pelo fluxo equivalente 
total que concatena todas as espiras desta bobina. Esta tensão induzida resultante é igual em modulo e 
polaridade à tensão nos terminais da bobina. Resultam, assim, as expressões 2.31 e 2.32 para as tensões v1 
e v2. 
 
 
1 2
1 1 2 2[2.31] [2.32]
d dv N v N
dt dt
ϕ ϕ= =
 
Cada um dos fluxos médios equivalentes por espira, que aparece nas equações 2.29, gera uma 
tensão induzida como mostram as equações 2.33. 
Os fluxos que aparecem nas equações 2.28 geram, por vez, as tensões induzidas dadas nas 
equações 2.34. 
 
 
1 2 1
1 11 12 1 1 1
1 2 2
2 21 22 2 2 2
[2.33] [2.34]
d
d
di di di dv L M v L N
dt dt dt dt
di di didv M L v N L
dt dt dt dt
ϕ
ϕ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
 
Tanto o conjunto de equações 2.33 como o conjunto 2.34 define o princípio de funcionamento do 
transformador sob carga. O conjunto de equações 2.33 dá as tensões de entrada e saída em função das 
correntes de entrada e saída do transformador tais quais como definidas para um quadripolo na análise 
dos circuitos elétricos. No conjunto de equações 2.34 as tensões de entrada e saída são definidas em 
função das correntes de entrada e saído e do fluxo mútuo. Isto conduz a dois caminhos de análise 
diferentes da operação de transformadores. 
 Observando o transformador como um quadripólo linear passivo demonstra-se, pelo teorema da 
reciprocidade, que as induções mútuas M12 e M21 são iguais e o transformador passa a ser representadopelo quadripólo da fig. 2.7. As indutâncias L1 e L2 são as indutâncias de dispersão do primário e do 
secundário e M é a indutância mútua entre os dois laços de entrada e de saída do transformador. L1 + M 
= L11 é a indutância própria do primário e L2 + M = L22 é a indutância própria do secundário. 
Aplicando-se ao quadripólo da fig. 2.6 as equações dos laços de entrada e saída, reproduzem-se as 
equações 2.33. 
 
i 1 i 2
+
v 1 v 2
+
L1 L2
M
Fig. 2.7: representação do transformador como um quadripólo
 
 
 
 
O maior grau de acoplamento eletromagnético entre duas bobinas é definido pelo Coeficiente de 
Acoplamento. Assim, pode-se definir o coeficiente de acoplamento da bobina 2 com a bobina 1 pela 
relação dada na expressão 2.35 e o coeficiente de acoplamento da bobina 1 com a bobina 2 pela relação 
dada na expressão 2.36. Por definição, o coeficiente de acoplamento das bobinas é a média geométrica 
dos coeficientes acima definidos, conforme mostra a expressão 2.37. 
 
21 1
21
11 11 1 11
12 2
12
22 22 2 22
21 12
11 22
[2.35]
[2.36]
[2.37]
Mi Mk
L i L
Mi Mk
L i L
Mk k k
L L
λ
λ
λ
λ
= = =
= = =
= =
 
 
 
 
 
As expressões 2.35 e 2.36 também podem ser dadas pelas expressões 2.38 e 2.39 que mostram que 
o coeficiente de acoplamento é tanto maior quanto menor forem os fluxos de dispersão ou as indutâncias 
de dispersão das bobinas. 
 
Walter Ries 6 
 TRANSFORMADORES 
 
11 1 1 1
21
11 11 11
22 2 2 2
12
22 22 22
1 1 [2.3
1 1 [2.39]
Lk
L
Lk
L
λ λ λ
λ λ
λ λ λ
λ λ
−= = − = −
−= = − = −
8] 
 
 
Enquanto as expressões 2.33 dão uma interpretação mais matemática da operação do 
transformador, as expressões 3.34 permitem uma interpretação mais física. 
 
 11 1 1
2
2 2 2
[2.40]
d
d
div L e
dt
div e L
dt
⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
As expressões 2.33 podem ser apresentadas como mostram as expressões 2.40 onde se observam 
as tensões induzidas no primário e no secundário pelo fluxo mútuo ϕ. Para este conjunto de expressões 
pode-se, portanto construir o circuito equivalente que mostra a fig. 2.8 onde os sinais (+) indicam a 
polaridade instantânea das tensões. 
a N2+
e1 e2
+
i 1 i 2i c1
i m
L2L1
Lmv 1
+
v 2
+N1
 
 
 
 
 
 
 Fig. 2.8: Circuito equivalente do transformador sem perdas
Para separar as componentes da corrente do primário, cria-se uma indutância de magnetização pela 
qual circula a corrente de magnetização que gera o fluxo mútuo ϕ e as tensões induzidas do primário e do 
secundário de um transformador ideal com N1 espiras no primário e N2 espiras no secundário onde 
circulam as correntes de carga (do primário e do secundário). Este transformador ideal está em paralelo 
com a indutância de magnetização. A indutância de dispersão do primário é colocada em série com a 
fonte de alimentação do primário circulando por ela, portanto, toda a corrente da bobina primária. A 
indutância de dispersão do secundário é ligada em série com o secundário do transformador ideal. O 
transformador ideal tem um coeficiente de acoplamento das bobinas igual a 1 e é definido pelas 
expressões 2.41 e 2.42. A relação entre o número de espiras do primário e o número de espiras do 
secundário é representada pela letra “a” e se denomina de relação de transformação do transformador 
ideal. 
 
 1 1 2 2
1 1 2
2 2 1
[2.41]
[2.42]
c
c
N i N i
e N ia
e N i
=
 = = =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Walter Ries 7 
 TRANSFORMADORES 
3 – O TRANSFORMADOR COM NÚCLEO DE FERRO 
3.1 – Circuito equivalente e diagrama fasorial 
 Os transformadores utilizados na transmissão de energia elétrica são construídos com núcleo de 
ferro como mostra a fig. 3.1. O material utilizado para construir o núcleo é uma liga de ferro-silício com 
cerca de 3 a 5% de Si. Com a passagem do fluxo magnético ocorrem duas espécies de perdas no núcleo: 
perdas por histerese e perdas por correntes parasitas ou de Foucault que serão analisadas mais adiante. 
Para reduzir as perdas por correntes de Foucault o núcleo é construído com chapas finas laminadas a frio 
cobertas com uma camada muito fina de um isolante elétrico. Como a permeabilidade magnética destes 
materiais é muito elevada, a força magnetomotriz de magnetização é muito pequena para fazer circular 
um fluxo mútuo elevado através do circuito magnético. As forças magnetomotriz produzidas pelas 
correntes de carga do primário e do secundário, embora sejam muito maiores do que a fmm de 
magnetização, não conseguem fazer circular fluxos de dispersão elevados, pois uma boa parte do seu 
circuito magnético se fecha pelo ar ou outro isolante, tal como o óleo mineral, e que tem uma 
permeabilidade magnética muito baixa. Alto fluxo mútuo e baixos fluxos de dispersão dão como 
resultado um alto grau de acoplamento entre o primário e o secundário. Deste modo é possível conseguir 
coeficientes de acoplamento que podem atingir valores da ordem de 0,998. 
 
φ1 / 2φ1 / 2φ / 2
φ2 / 2 φ2 / 2
φ / 2
+
V1
V2
+
I1
I2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 3.1: Transformador com núcleo de ferro 
 
Na fig. 3.1 os valores das tensões e correntes correspondem aos valores eficazes do domínio 
freqüência senoidal e os fluxos correspondem aos valores máximos. Assim, o valor máximo do fluxo 
mútuo φ que atravessa os duas bobinas ou enrolamentos se bifurca em duas partes iguais retornando pelas 
colunas laterais, mas sempre percorrendo um caminho com alta permeabilidade magnética (ou com baixa 
relutância magnética). Os fluxos de dispersão do primário e do secundário (φ1 e φ2) atravessam as suas 
respectivas bobinas, mas retornam pelo ar (ou óleo) que tem uma baixa permeância P ou alta relutância 
R magnética. 
A disposição das bobinas na fig. 3.1 ainda é didática, pois com esta montagem as bobinas estariam 
se repelindo violentamente devido à oposição dos fluxos de dispersão do primário e secundário. As 
bobinas deverão ser montadas de modo a anular ou minimizar esta repulsão. Uma montagem muito 
utilizada é a concêntrica, isto é, uma bobina dentro da outra, ambas com a mesma altura. Com esta 
montagem existe um equilíbrio instável entre as bobinas. Qualquer deslocamento axial relativo entre elas 
produzirá esforços axiais de repulsão que aumentam à medida que o deslocamento axial aumenta. Estas 
são as conseqüências da Lei de Lenz. 
Com o aparecimento de perdas no núcleo de ferro o circuito equivalente da fig. 2.7 deverá ter 
também um elemento resistivo, em paralelo com a indutância de magnetização, pelo qual circulará uma 
corrente de perdas magnéticas. A soma desta corrente de perdas magnéticas e a corrente de magnetização 
é a corrente de excitação I0 do transformador. Para levar em conta as perdas ôhmicas nas resistências dos 
condutores utilizados para construir as bobinas do primário e do secundário, adicionam-se resistências em 
serie com as indutâncias (ou reatâncias no domínio freqüência) de dispersão. Resulta, então, o circuito 
equivalente da fig. 3.2. Nesta figura pode-se observar a representação do transformador ideal com núcleo 
de ferro. 
Walter Ries 8 
 TRANSFORMADORES 
 I1
Rp ImIp Xm
Io
R1 X1
+
V1
+
E1 E2
+ +
V2
I2R2 X2Ic1
N1 N2
CZ θ∠
 
 
 
 
 
 Fig. 3.2: Circuito equivalente de um transformador com núcleo de ferro. 
 
 As tensões e correntes são fasores (ou vetores girantes) e, portanto suas composições sãofasoriais 
(ou vetoriais). Na fig.3.2 as correntes e tensões estão representadas pelos valores eficazes 
correspondentes. 
 
Adota-se a seguinte simbologia: 
V1 - tensão aplicada ao primário 
 V2 - tensão aplicada à carga no secundário 
 E1 e E2 - FEM induzida no primário e no secundário pelo fluxo mútuo 
 I1 e I2 - corrente no primário e corrente no secundário 
 Im - corrente de magnetização que gera o fluxo mútuo φ 
 Ip - corrente de perdas no núcleo 
 Io = Im + Ip - corrente de excitação (a soma é vetorial) 
 Ic1 = I1 - Io - corrente de carga no primário (a soma é vetorial) 
 N1 e N2 - número de espiras do primário e do secundário 
 a = N1/N2 - relação de transformação 
 R1 e R2 - resistência ôhmica do primário e do secundário 
 X1 e X2 - reatância de dispersão do primário e do secundário 
 Rp - resistência equivalente das perdas no núcleo 
 Xm - reatância de magnetização do núcleo 
 
 
 No domínio freqüência senoidal o fluxo mútuo ϕ que induz as tensões e1 e e2 tem seu valor 
instantâneo dado pela função senoidal 3.1 em que φ é o valor máximo instantâneo. 
 
1 1 1 1max
2 2 2 2max
1max
1 1 1 1
2max
2 2 1 2
( ) (2 ) [3.1]
2 cos( ) cos( ) [3.2]
2 cos( ) cos( ) [3.3]
2 4, 44 4, 44 [3.4]
2 2
2 4, 44 4, 44 [3.5]
2 2
fe
fe
sen t sen ft
de N N f t E t
dt
de N N f t E t
dt
EE N f N f N fBA
EE N f N f N fBA
ϕ φ ω φ π
ϕ φ π ω ω
ϕ φ π ω ω
π φ φ
π φ φ
= =
= = =
= = =
= = = =
= = = =
 
 
 
 
 
 
 
Como as tensões induzidas no primário e no secundário são as derivadas do fluxo concatenado 
mútuo, elas serão, pois, funções co-senoidais dadas pelas expressões 3.2 e 3.3 em que E1max e E2max são 
Walter Ries 9 
 TRANSFORMADORES 
os valores máximos instantâneos das tensões. Os valores eficazes das tensões são os valores máximos 
instantâneos divididos pela raiz de 2, o que resultam as expressões 3.4 e 3.5. Na representação vetorial o 
fluxo máximo instantâneo e os valores máximos e eficazes das tensões induzidas são vetores girantes ou 
fasores. Como as tensões são co-senoidais positivas quando o fluxo é senoidal positivo, os fasores 
representativos das tensões estão adiantados de 90 º em relação ao fasor fluxo indutor. 
Nas expressões 3.4 e 3.5 o fluxo mútuo é dado pelo produto da indução (ou densidade de fluxo) B, 
em Wb/m2, e da área da secção do núcleo de ferro Afe, em m2. A unidade “Weber por metro quadrado” è 
também denominada por “Tesla” com símbolo T, isto é, 1 Wb/m2 = 1 T. No sistema CGS 
eletromagnético a unidade da indução é o “Gauss” (G) e, 1 T = 104 G. Estas duas expressões são 
fundamentais no dimensionamento dos transformadores, pois permitem determinar o número de espiras 
do primário e secundário, sendo conhecidos os demais valores. A indução B é arbitrada em função do 
material utilizado na construção do núcleo, a secção do núcleo de ferro é obtida por considerações 
geométricas e econômicas, conforme será visto no Capitulo 6 (6.2), e f é a freqüência da rede elétrica. 
Das relações conhecidas dadas pelas expressões 3.6 e 3.7 pode-se obter a expressão 3.8 que 
representa a potência de conversão do transformador e mostra como a energia elétrica é transferida do 
primário ao secundário. 
 
1 1 2
2 2 1
1 2 1 1 2 2
1 1 2 2
[3.6]
[3.7]
[3.8]
c
c
c c
E N I a
E N I
FMM FMM ou N I N I
E I E I S
= = =
= =
= =
 
 
 
 
A fig. 3.3 mostra o diagrama vetorial do transformador da fig. 3.2. Para traçar este diagrama inicia-se 
com a tensão e corrente secundária defasando a corrente em relação a tensão de um ângulo θ 
correspondente ao ângulo de fase da impedância de carga. Se a carga é indutiva a corrente está em atraso 
de θ graus em relação a tensão. O sentido de giro dos fasores é positivo quando é contrario ao dos 
ponteiros de um relógio. A seguir, soma-se, à tensão V2, a queda de tensão na resistência da bobina 
secundária I2R2, em fase com a corrente I2, e a queda de tensão na reatância de dispersão do secundário 
I2X2 que está avançada de 90º em relação à corrente I2. Esta soma corresponde à tensão induzida E2 do 
secundário (fasor E2 do diagrama). 
 
E2
φ Io
IpIm
I2
I1
IC1
V2
V1
E1
I1 R1 I1 X1 I2 R2 I2 X2θ θ1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 3.3: Diagrama fasorial ou vetorial do transformador para a<1. 
 
A tensão induzida no primário do transformador é dada pela relação de transformação da expressão 
3.6. Esta tensão está em fase com a tensão induzida no secundário (fasor E1). Pela expressão 3.7 vê-se 
que a relação das correntes de carga do primário e do secundário também depende somente da relação de 
transformação e, portanto, também estão em fase (fasores I2 e IC1). Considerando que a corrente de 
magnetização Im provém da tensão induzida no primário aplicada à reatância de magnetização, então esta 
Walter Ries 10 
 TRANSFORMADORES 
corrente e o fluxo mútuo φ que ela produz devem estar atrasados de 90º em relação as tensões E1 e E2. A 
corrente de perdas Ip do núcleo deve estar em fase com a tensão E1. A soma da corrente de magnetização 
e da corrente de perdas do núcleo é a corrente de excitação I0 que somada à corrente de carga IC1 vai dar a 
corrente de entrada I1. As quedas de tensão na resistência da bobina primária I1R1, e na reatância de 
dispersão da mesma I1X1 devem ser somadas â tensão induzida no primário para se obter a tensão 
aplicada V1. A queda de tensão na resistência do primário está em fase com a corrente primária e a queda 
de tensão na reatância de dispersão está em avanço de 90º. θ1 é o ângulo de defasagem entre a tensão e a 
corrente aplicada ao primário do transformador. 
Um transformador deve ter alto rendimento, isto é, as perdas internas devem ser baixas em relação à 
potência de conversão. Isto significa que as perdas no núcleo, representadas pela passagem da corrente Ip 
através da resistência Rp, e as perdas nas resistências das bobinas pela passagem das correntes do 
primário e do secundário, devem ser baixas. Rendimentos da ordem de 99,5% ou mais são normais em 
transformadores com elevada potência de conversão. Também as reatâncias de dispersão do primário e do 
secundário devem ter valores limitados a fim de não proporcionarem quedas de tensão muito elevadas, 
incompatíveis com os limites especificados para os sistemas de transmissão e distribuição da energia 
elétrica. Levando estes fatos em consideração, pode-se simplificar, sem maiores conseqüências, o circuito 
equivalente conforme mostra a fig. 3.4 em que o circuito de excitação foi deslocado para a esquerda, 
antes da impedância Z1 = R1 + jX1 do primário. 
 I1
Rp ImIp Xm
Io
R1 X1
+
V1
+
E1 E2
+ +
V2
I2R2 X2Ic1
+
V1
Circuito equivalenete 
em vazio
Circuito equivalenete sob carga
N1 N2
CZ θ∠
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 3.4: Circuito equivalente simplificado do transformador. 
 
Com esta disposição, o circuito de excitação, portanto o circuito equivalente em vazio, fica 
independente do circuito sob carga do transformador, pois a tensão que se aplica aos dois é a mesma V1. 
Em vazio, a tensão aplicada ao primário e a tensão primária induzida passam a serem iguais. Como 
conseqüência, as tensões especificadas para os transformadores são as próprias tensões induzidas em 
vazio. 
O diagrama fasorial também fica simplificado e dividido em dois, conforme mostram as figuras 3.5 e 
3.6. 
Na fig. (3.5) a corrente magnetizante está em fase com o fluxo mútuo e defasado em atraso de 90º em 
relação à tensão aplicada V1. A corrente de perdas no núcleo esta em fase com V1. A corrente total de 
excitação está atrasada, em relação à tensão aplicada,de um ângulo θo. 
Na fig. 3.6, inicia-se a construção do diagrama pela tensão e corrente do secundário. Adicionando á 
tensão secundária a queda na impedância do secundário obtém-se a tensão induzida no secundário. Pela 
relação de transformação obtém-se a tensão induzida no primário. Adicionando a queda de tensão no 
primário, sabendo que a corrente no primário e no secundário estão em fase, obtém-se a tensão aplicada 
ao primário. A relação de transformação também é usada para determinar a corrente no primário em 
função da corrente de carga do secundário. Como se observa, o fator de potência do primário, dado por 
cosθ1 é menor do que o fator de potência da carga ligada ao secundário, cosθ. São as reatâncias de 
dispersão do primário e do secundário que contribuem para a diminuição do fator de potência. 
 
 
Walter Ries 11 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v1
Io
φ
Ip
Im
θο
E2
V2
V1
E1
I2 R2
I2 X2
I2
IC1
θ
I1 R1
I1 X1
θ1
Fig. 3.5: Diagrama fasorial em vazio Fig. 3.6: Diagrama fasorial sob carga para a>1 
 
O transformador também pode ser representado sem o transformador ideal desde que se transfiram as 
impedâncias do secundário para o primário ou vice-versa e modo a se ter as mesmas potências 
individuais. Assim, ao transferir a impedância do secundário para o primário, deve-se ter a mesma 
potência ativa de perdas na resistência da bobina secundária e a mesma potência reativa na reatância de 
dispersão secundária. Também a impedância de carga é transferida ao primário com o mesmo critério de 
igualdade de potências ativa e reativa. As expressões 3.9, 3.11 e 3.13 dão as condições de igualdade de 
potências ao transferir os parâmetros do secundário para o primário do transformador com a eliminação 
do transformador ideal. As expressões 3.10, 3.12 e 3.14 dão os valores que os parâmetros devem ter ao 
serem transferidos do secundário para o primário. 
 2
2 2 22
1 21 2 2 21 2 22
1
2
2 2 22
1 21 2 2 21 2 22
1
2 2 2
1 1 2 1
[3.09] [3.10]
[3.11] [3.12]
[3.13] [3.14]c c c c
II R I R R R R a
I
II X I X X X X a
I
I Z I Z Z Z a
= = =
= = =
= =
 
 
 
 
 
 I1
Rp ImIp Xm
Io
R1 X1
+
V1
+
E1 E21
+ +
V21
I21R21 X2 1IC1
+
V1
Circuito equivalenete 
em vazio
Circuito equivalenete sob carga
1CZ θ∠
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 3.7: Circuito equivalente transferindo os parâmetros do secundário para o primário 
A fig. 3.7 mostra como se apresenta o circuito equivalente transferindo os parâmetros do secundário 
para o primário. A tensão E2 , da fig. 3.4, ao ser transferida para o primário, deve ser multiplicada pela 
relação de transformação a, isto é: E21 = aE2 = E1. Da mesma forma, a tensão V2 também deve ser 
multiplicada pela relação de transformação, isto é: V21 = aV2 . 
As resistências e as reatâncias das bobinas primária e secundária, na fig.3.7, podem ser somadas 
resultando no circuito equivalente da fig. 3.8. 
 
 
Walter Ries 12 
 TRANSFORMADORES 
+
V1
1CZ θ∠
I1 R X
+
V1
+
V21
IC1
Rp ImIp Xm
Io
Circuito equivalenete em vazio Circuito equivalenete sob carga
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 3.8: Circuito equivalente simplificado refletido ao primário do transformador. 
 
Nestas condições, o transformador sob carga pode ser representado por uma única impedância interna 
formada pela resistência equivalente às perdas sob carga e por uma reatância equivalente a produzida 
pelos fluxos de dispersão do primário e secundário. O diagrama fasorial fica reduzido ao diagrama 
apresentado na fig. 3.9. 
Em resumo, o transformador pode ser representado, em vazio pelo circuito de excitação e, sob carga, 
pela impedância interna. 
 
V21
V1
IC1
θ I R I Xθ1
 
 
 
 
 
 
 Fig. 3.9: Diagrama fasorial simplificado do transformador sob carga. 
 
 
3.2 – Formas construtivas de núcleos e bobinas 
A fig. 3.1 é uma representação didática do transformador e que é utilizada para mostrar o princípio de 
funcionamento. Um transformador com as bobinas montadas como mostra esta figura não suportaria, 
mecanicamente, os esforços de repulsão produzidos pelos fluxos de dispersão das bobinas. Por outro lado, 
esta disposição das bobinas não favorece a obtenção de um máximo valor para o coeficiente de 
acoplamento eletromagnético entre elas. 
Como já dito, o núcleo é construído com chapas muito finas de uma liga de ferro-silício, isoladas 
entre si, para diminuir as perdas. Ele é constituído pelas Colunas, sobre as quais são montadas as bobinas, 
e pelas Culatras que completam o circuito magnético do fluxo mútuo. 
Na Fig. 3.10 a bobina primária e a secundária são helicoidais e concêntricas, e estão montadas sobre 
a coluna central do núcleo. As duas colunas laterais e as duas culatras, superior e inferior, têm a 
metade da secção da coluna central, pois, por elas circula somente a metade do fluxo mútuo. Este tipo de 
transformador é denominado de “núcleo envolvente”, pois o núcleo envolve as bobinas. O sentido da 
corrente nas bobinas é identificado por “cruz” e “ponto” para determinar, pela regra do saca-rolha os 
sentidos dos fluxos. O fluxo de dispersão do primário circula pela coluna central e retorna, pelo espaço 
entre as bobinas. O fluxo de dispersão do secundário circula pelas colunas laterais e retorna também pelo 
espaço entre as bobinas. Pelos sentidos dos fluxos de dispersão, vê-se que a bobina primária forma um 
pólo N na parte inferior e um pólo S na parte superior e, a bobina secundaria forma um pólo S na parte 
inferior e um pólo norte na parte superior. Se as bobinas têm a mesma altura e forem montadas na mesma 
altura, a força de repulsão entre elas é nula, porém, qualquer deslocamento relativo no sentido vertical 
produz um esforço de repulso que aumenta com a amplitude deste deslocamento. Examinando, no 
entanto, os esforços entre dois condutores pelos quais circulam correntes, podem-se ver que entre as 
bobinas primaria e secundário se geram agora esforços radiais (ver, no estudo do Campo Magnético, a 
Walter Ries 13 
 TRANSFORMADORES 
origem destas forças). Deste modo a bobina interna tende a ser amassada contra a coluna central e a 
bobina externa tende a ser expandida. O cálculo destes esforços e como evitar que venham deformar 
mecanicamente as bobinas, constitui um capítulo importante do projeto de transformadores. 
 
×
P P SS
×
φ2 /2φ1 / 2φ2 /2 φ1 / 2
φ/2 φ/2
φ
Fig. 3.10: Transformadador monofásico tipo núcleo envolvente (shell type)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na fig. 3.10 a bobina primária está colocada em baixo da bobina secundária, mas pode-se ter também 
o caso inverso em que a bobina primária envolve a bobina secundária. Normalmente a bobina, com tensão 
mais baixa, é montada sobre a coluna central do núcleo. 
Na fig. 3.11 tem-se um transformador monofásico em que as bobinas estão montadas nas duas 
colunas do núcleo, isto é, em cada coluna está montada uma metade do primário e uma metade do 
secundário. Tanto o primário como o secundário é formado por duas bobinas, cada uma com a metade do 
número de espiras correspondente. As duas metades do primário, assim como as duas metades do 
secundário são ligadas em série obedecendo a polaridade destas metades. As bobinas também são 
concêntricas como no caso da fig. 3.10. Este é o transformador monofásico tipo núcleo envolvido, pois o 
núcleo está envolvido pelas bobinas. Neste caso a secção do núcleo é igual em todo o seu comprimento 
pois é atravessada pelo mesmo fluxo mútuo φ. Os fluxos de dispersão circulam pelas colunas e pelo 
espaço não magnético (ar ou óleo) entre as bobinas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1/ 2(φ1 + φ2) 1 / 2(φ1 + φ2)
N1 / 2
×××
P P SSSS P P
φ
N1 / 2
N2 / 2N2 / 2
×
Fig. 3.11: Transformador monofásico tipo núcleo envolvido (core type) 
 
Na figura 3.12 tem-se um transformador monofásico com núcleo envolvente mas com bobinas 
intercaladas, alternativamente, do primário e do secundário. Estas bobinas individuais têm pequena altura 
em forma de disco ou panqueca. Quanto maior for o número de discos intercalados (primário – 
secundário) maior será o acoplamento entre os enrolamentos, menores os fluxos de dispersão e, 
conseqüentemente, menores as reatâncias de dispersão e menor, portanto, a impedância total como vista 
na fig. 3.8. 
 
 
 
Walter Ries 14 
 TRANSFORMADORES 
 
 
φP
S
+
φ/2 φ/2
+ P
+
Fig. 3.12: Transformador monofásico tipo "núcleo envolvente"
com bobinas intercaldas ou em sandwich.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
φ Α φ Β φ C
×× ××××
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 3.13 Transformador trifásico tipo “núcleo envolvido” com bobinas concêntricas por fase 
 
Na fig. 3.13 tem-se um transformador trifásico com núcleo envolvido e bobinas concêntricas. Em 
cada coluna são montadas as bobinas do primário e secundário de uma fase do transformador. Tanto as 
bobinas do primário como as do secundário das três fases podem estar ligadas em “estrela” ou em 
“triângulo”. As tensões de fase das três bobinas primárias estão defasadas de 120 º e geram fluxos mútuos 
também defasados de 120º. A soma vetorial destes 3 fluxos é nula, do que se conclui não existir 
necessidade de caminho magnético de retorno para a soma. Com outras palavras, os valores instantâneos 
dos fluxos das 3 fases se compensam sem necessidade de uma coluna de retorno da soma. O fluxo 
máximo que passa pelas colunas e culatras é o fluxo mútuo de uma fase. Assim, colunas e culatras têm a 
mesma secção. Os fluxos dispersos por fase circulam pela coluna e pelo espaço não magnético (ar ou 
óleo) entre bobinas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
××
×
××
××
×
×
B
2
ΦA
2
Φ
C
2
Φ
Fig. 3.14: Transformador trifásico tipo "núcleo envolvente" com bobinas intercaladas 
 
Na Fig. 3.14 tem-se um transformador trifásico tipo “núcleo envolvente”. Os fluxos mútuos das três 
fases possuem circuitos magnéticos independentes. Como na Fig. 3.12, as colunas laterais e as culatras 
Walter Ries 15 
 TRANSFORMADORES 
têm a metade da secção da coluna central. As culatras comuns entre as fases “A” e “B” e entre as fases 
“B” e “C” também têm a metade da secção da coluna central, pois, por elas passa somente a metade do 
fluxo mútuo de uma fase conforme mostra a soma vetorial da Fig. 3.15. 
 φA/2
φC/2 φB/2
φB/2φA/2 +
 
 
 
 
 
 
 Fig. 3.15: Soma vetorial dos fluxos φΑ/2 e φB/2 B
 
Normalmente os transformadores monofásicos são construídos com “núcleo envolvente”, como 
mostra a Fig. 3.10, e, os transformadores trifásicos com “núcleo envolvido”, como mostra a Fig. 3.13 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia: 
[1] R. Küchler – Die Transformatoren – Springer – Verlag – 1966 
[2] Members of the Staff of The Department of Electrical Engineering – MIT. John Wiley – 1952 
[3] Westinghouse Electric Corporation. Electrical Transmission and Distribuition Reference Book – 
1950 
[4] R.G. Fowler. Introduction to Electric Theory. Addison-Wesley - 1953 
 
Walter Ries 16 
 TRANSFORMADORES 
4 – CARACTERÍSTICAS DE DESEMPENHO 
 As características de desempenho são aquelas as quais o transformador deve responder de acordo 
com as especificações básicas e de conformidade com as normas técnicas estabelecidas. Ao mesmo tempo 
em que são estudadas estas características, são também apresentados os métodos de cálculo das grandezas 
responsáveis por este desempenho. 
4.1 – Corrente de excitação 
 A corrente de excitação pode ser decomposta em suas componentes conforme mostra o diagrama 
fasorial da fig. 3.13: 
• Corrente magnetizante “Im” 
• Corrente de perdas “Ip” 
 A corrente magnetizante é a que gera o fluxo mútuo ou útil que acopla os enrolamentos primário e 
secundário. É sempre desejável que esta corrente seja a menor possível, utilizando materiais magnéticos 
especiais, mas sempre tendo em vista o aspecto econômico do projeto. 
 A corrente de perdas tem duas origens: energia despendida na orientação cíclica dos domínios 
magnéticos dos materiais e que se denominam de perdas por histerese; energia perdida pelas correntes 
parasitas nas chapas do núcleo, correntes estas também denominadas por correntes de Foucault. 
 4.1.1 – Corrente magnetizante. 
 O objetivo básico no projeto de um circuito magnético é determinar a força magnetomotriz “fmm” 
“NIm” necessária para se obter um fluxo “φ ” na secção desejada do circuito. Determinada a “fmm” e 
conhecido o número de espiras da bobina, determina-se a corrente magnetizante “Im”. 
 A lei fundamental dos circuitos magnéticos é a Lei de Ampère que diz: a integral de linha da 
intensidade de campo “H” ao longo de um caminho fechado que atravessa “N” espiras de uma bobina 
percorrida por uma corrente de “i” ampères é igual ao produto “Ni”. A expressão 4.1 define a Lei de 
Ampère e as figuras 4.1 e 4.2 são exemplos de circuitos magnéticos. 
 
 
 
 
 
 
0
[4.1]
[4.2]
[4.3]
[4.4]
r
Hdl Ni
Bfmm m Hdl dl Ni
dlNi m d
A
μ
μ μ μ
ϕ ϕ ϕμ
=
= = = =
=
= = = ℜ = ℜ
∫
∫ ∫
∫ ∫
v
v v
v v
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.1: Solenoide
1
i
1
N
2
3
l f
l a i
i
B=μΟΗ
B=μ ΗNS
Fig. 4.2: Solenoide com núcleo de ferro e ar
 
Na fig. 4.1 mostra uma bobina com “N” espiras percorridas por uma corrente “i”. Se o núcleo é de ar 
as linhas de fluxo se apresentam, aproximadamente como as desenhadas. Para qualquer uma das linhas, 
tais como a linha de fluxo 1 ou 2 é aplicável a lei de Ampère, devendo ser “N” o número de espiras 
Walter Ries 17 
 TRANSFORMADORES 
atravessadas pela linha de fluxo que pode ser, por exemplo, uma linha de fluxo (ou tubo de fluxo) de 1 
Wb. Assim, a linha 2 atravessa todas as espiras, e a linha 1, somente 5 espiras. A integral de linha da 
expressão 4.1 pode ser escrita para qualquer linha como, por exemplo, a linha 3 que atravessa todas as 
espiras e não é uma linha se fluxo. Para as linhas de fluxo 1 e 2 o vetor intensidade de campo “H” é 
sempre tangencial à linha e os vetores “H” e “dl” estão alinhados. Para a linha 3, de um modo geral, os 
vetores “H” e “d”l não estão alinhados e a integração é do produto escalar destes vetores. A forma e o 
comprimento da linha escolhida não influem no resultado, pois, quanto mais longa for a linha escolhida, 
maior o número de elementos “dl” e menores as intensidades de campo “H” tomadas ao longo deste 
caminho, de modo que o resultado final é sempre o produto Ni dos ampere-espiras concatenados por 
qualquer caminho fechado. Já o circuito magnético da fig. 4.2 é mais simples, pois o núcleo de ferro 
concentra mais as linhas de fluxo. Até mesmo no “gap” de ar as linhas de fluxo ficam mais paralelas 
devido à proximidade do material ferro magnético. 
O produto “Ni” é a força magnetomotriz que produz o fluxo total “ϕ”. A intensidade de campo “H” 
multiplicada pela permeabilidade magnética “μ” do meio dá a indução ou densidade de campo “B”. 
Assim, a expressão 4.1 pode ser dada também pela expressão 4.2 onde a permeabilidade magnética “μ” 
do meio é o produto da permeabilidade magnética relativa “μr” multiplicada pela permeabilidade 
magnética absoluta do vácuo (ou ar), cujo valor é igual a 
 μo = 4π 10-7 H/m. 
Expressando a indução “B” pelo quociente do fluxo total “ϕ” que atravessauma secção de área “A” 
do circuito magnético, pode-se escrever a expressão 4.4 em que “dR” é a relutância magnética do tronco 
do tubo de fluxo com comprimento elementar “dl”, permeabilidade magnética “μ” e secção “A”. A 
somatória de todas as relutâncias elementares é a relutância total “R” do circuito magnético. A relutância 
magnética “R” do circuito é, portanto igual à fmm “Ni” dividida pelo fluxo total “ϕ”. A simplicidade da 
expressão 4.4 contrasta com a dificuldade enorme que se tem em determinar uma expressão matemática 
que relacione a variável “l” (comprimento do circuito magnético) com a secção “A” a fim de resolver a 
integral. Já para a figura 4.2 esta dificuldade é menor, considerando-se que a secção “A” permanece 
constante ao longo de todo o caminho fechado “L=lf + la”. Isto implica em dizer que todo o fluxo circula 
pelo núcleo de ferro e que no pequeno intervalo de ar ele não sofre dispersão. Neste caso a expressão 4.4 
apresenta a forma da expressão 4.5 onde se identificam dois troncos com relutâncias diferentes, mas 
perfeitamente definidas em função das respectivas permeabilidades dos meios. A permeabilidade 
magnética μf é a permeabilidade magnética relativa do ferro, para uma determinada indução B. No caso 
do circuito magnético da fig. 4.2 a secção do núcleo de ferro é constante e, como não existe dispersão no 
entreferro de ar a secção neste trecho também permanece constante. Por conseguinte, a indução 
magnética B é igual em todo o circuito. Neste caso, a expressão 4.2 pode-se ser também expressa pela 
expressão 4.5a. Portanto, conhecidas as dimensões do circuito magnético e o número de espiras da 
bobina, pode-se determinar a corrente magnetizante para um determinado valor de indução determinada 
em função do fluxo ϕ desejado e da secção A do circuito magnético, conforme mostra a expressão 4.6. A 
permeabilidade magnética para os materiais ferromagnéticos não permanece constante quando a 
indução varia, mas a correspondência entre a indução e a permeabilidade pode ser obtida nas curvas de 
magnetização do material utilizado. Estas curvas podem ser levantadas em laboratório ou são fornecidas 
pelos fabricantes destes materiais. 
 
( )
0 0
0 0
0
[4.5]
[4.5 ]
[4.6]
f a
f a
f f a
f fa
a
f o f
f f
a a
f f
l ldlNi
A A A
Bl lBlB BNi dl l a
l lB Hi l l
N N
⎛ ⎞= = + = ℜ + ℜ = ℜ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ℘⎝ ⎠
⎛ ⎞= = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫
∫
v
v
ϕϕ ϕ ϕ ϕμ μ μ μ
μ μ μ μ μ μ
μ μ μ
 
 
 
 
 
 
A fig. 4.3 mostra a característica de magnetização que relaciona a indução magnética B com a 
intensidade de campo magnético H de uma chapa de ferro-silício de grão orientado, com 0,5mm de 
espessura. A indução B é dada em Tesla (T), em função da intensidade de campo H, dada em A/m. A 
relação entre B e H dá a permeabilidade magnética absoluta do ferro. A permeabilidade relativa é dada 
pela permeabilidade absoluta dividida pela permeabilidade absoluta do ar. A particularidade desta curva é 
Walter Ries 18 
 TRANSFORMADORES 
que a intensidade de campo H é dada já em ampère-espiras de excitação eficazes por metro. Isto significa 
que com ela pode-se determinar, através da expressão 4.6, diretamente a corrente eficaz de excitação do 
circuito magnético no qual se está aplicando uma tensão alternativa senoidal. A corrente de excitação 
eficaz incorpora a corrente eficaz de magnetização e a corrente eficaz de perdas no circuito magnético. 
 
Pode-se verificar na fig.4.3 que, para uma indução de B = 1,6 T tem-se H = 40 A/ m, o que 
corresponde uma permeabilidade magnética relativa de: 
 7
0 0
1,6 10 31.831
40 4f
B
H
μμ μ μ π= = = =i 
o que permite ver porque, muitas vezes, a relutância magnética das partes do circuito magnético formadas 
por material ferromagnético, é desprezada em presença das relutância das partes formadas por materiais 
amagnéticos. 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
10 100 1000
Instensidade de campo magnético H em A/m eficazes de 
excitação (Io)
In
du
çã
o 
m
ag
né
tic
a 
B 
(v
al
or
 d
e 
pi
co
) 
em
 T
es
la
 (T
)
 
 
 
 
 
 
 
 4.3: Curva de magnetização de chapa de ferro-silício de grão orientado M 5. 
Como a corrente de excitação nos transformadores deve ser tão baixa quanto economicamente 
possível, os núcleos são construídos com materiais com alta permeabilidade magnética e sem intervalos 
ou “gaps” de ar ou outro material amagnético. Com a introdução de materiais ferromagnéticos, aparecem 
perdas por correntes parasitas e por histerese que também devem ser mantidas tão baixas quanto possíveis 
através do uso de ligas especiais e formas construtivas especiais dos núcleos. 
A fig.4.4 mostra o núcleo e as bobinas concêntricas de um transformador monofásico em vazio, isto 
é, o primário está sendo percorrido pela corrente de excitação. A componente magnetizante da corrente de 
excitação produz a fmm = N1 im. O circuito magnético tem dois ramos iguais em paralelo, cada um com 
uma secção igual a metade da secção da coluna central. A relutância total do circuito magnético é dada 
pela expressão 4.7 em que lc é o comprimento médio da coluna e l2 o comprimento médio de cada um dos 
ramos paralelos. A relutância dos ramos paralelos é a metade da relutância de cada ramo, pois, trata-se de 
duas relutâncias iguais em paralelo. Por definição a indutância de magnetização da bobina primária é o 
fluxo concatenado dividido pela corrente que o produziu, conforme dado pela expressão 4.9. Como a 
relutância R ou a permeância P não é mais constante, pois a permeabilidade varia com a corrente de 
magnetização ou com a intensidade de campo, a indutância, bem como a reatância de magnetização Xm = 
2πfLm,, não são mais elementos lineares do circuito. Como conseqüência, a corrente de magnetização terá 
componentes harmônicos. 
 
 
Walter Ries 19 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.4: Transformador monofásico em vazio. 
Se a tensão v1 aplicada ao primário do transformador é uma função co-senoidal então a tensão 
induzida e1 também deverá ser co-senoidal e o fluxo ou a indução será senoidal, conforme mostram as 
expressões 4.10 a 4.12. 
 
 
 
 
 
Na expressão 4.8, se o fluxo ϕ é senoidal e a relutância magnética não é constante, então a corrente 
magnetizante Im e a intensidade de campo H por ela produzida não irão variar segundo uma senoide. 
Como conseqüência aparecerá na corrente de magnetização, harmônicos de ordem impar, de acordo com 
a análise de Fourier para funções periódicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na fig. 4.5 representa-se o fluxo ou a indução como uma senoide e a corrente de magnetização ou a 
intensidade de campo como formada pela soma de uma componente senoidal fundamental e uma 
componente harmônica de terceira ordem. Além da componente harmônica de terceira ordem aparece, 
com amplitudes decrescentes, uma série de componentes harmônicas, todas de ordem impar. Para 
simplificar a exposição considera-se somente a componente harmônica de terceira ordem que é a mais 
importante. 
 Tendo-se em abscissas os valores de H, em A/m ou Im em A, e, em ordenadas as induções ou o 
fluxo, resulta a curva denominada de magnetização representada na fig. 4.6. 
Os valores de fluxo e de indução correspondem aos valores máximos instantâneos (valores de pico) e 
os valores da corrente e da intensidade de campo são os valores eficazes.Observa-se que com o aumento 
da indução, ou do fluxo, a corrente de magnetização cresce exponencialmente. Quando a indução 
aumenta diminui a permeabilidade e o valor da relutância aumenta, de modo que, para o mesmo fluxo, a 
corrente de magnetização deve aumentar. Em laboratório pode-se medir o fluxo ou a indução para cada 
SS P P
×
φ/ φ/2 2
φ
N1 Im
2
1
21 1
1
[4.7]
2
[4.8]
[4.9]
c
m
m
m m
l l
A A
N i
NL N
i i
ℜ = +
= ℜ = ℘
= = = ℘
μ μ
ϕϕ
λ ϕ
1 1 1 1
1 1
1
1
1 1
cos cos [4.10]
[4.11]
1 [4.12]
v V t e E t
de N
dt
Ee dt sen t
N N
= = =
=
= =∫
ω ω
ϕ
ϕ ωω
-2,25
-2
-1,75
-1,5
-1,25
-1
-0,75
-0,5
-0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
2,25
-1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6
Fig. 4.6: Curva de magnetização B=f(H)
B ou φ
H ou Im
-2,25
-2
-1,75
-1,5
-1,25
-1
-0,75
-0,5
-0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
2,25
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390
Fig. 4.5: Componentes da corrente Im
B;φ
H;Im
H1 ; Im1
H3 ; Im3
Walter Ries 20 
 TRANSFORMADORES 
valor de corrente que circula por uma bobina. À medida que a corrente aumenta os acréscimos de indução 
são sempre menores e diz-se que o núcleo esta chegando à saturação. 
Muitas vezes esta curva recebe o nome de Curva de Saturação do material ferro-magnético. Os 
harmônicos da corrente magnetizante podem, percentualmente, ser grandes, porém, como a corrente de 
magnetização normalmente é muito pequena, da ordem de 0,2 a 0,3% da corrente de carga de um 
transformador, estes harmônicos de corrente têm pouco significado na distorção harmônica total das 
correntes de carga. 
Para uma mesma tensão aplicada ao primário do transformador, a expressão 3.4 mostra que quanto 
maior for a indução B menor pode ser o número de espiras. Portanto, para o projeto de núcleos de 
transformadores utilizam-se materiais que podem operar com valores elevados de indução e com 
correntes de magnetização pequenas. 
A corrente de magnetização é, pois, representada pela fundamental e suas harmônicas de ordem 
impar, conforme mostra a expressão 4.13. As amplitudes dos harmônicos decrescem com a ordem dos 
mesmos. 
 
1 3 5sen sen 3 sen 5 ......... [4.13]mi I t I t I t= + + +ω ω ω
 
4.1.2 - Corrente de perdas magnéticas 
Como foi dito, as perdas magnéticas são de duas naturezas: perdas por histerese ph e perdas por 
correntes parasitas ou de Foucault pF. Estas perdas são representadas, no circuito equivalente do 
transformador da fig. 3.8, pela resistência Rp que está em paralelo com a reatância de magnetização Xm. 
Por esta resistência circula a corrente de perdas ip que tem duas componentes: a corrente de perdas por 
histerese ih e a corrente de perdas por correntes de Foucault iF. A corrente de perdas está em fase com a 
tensão aplicada ao primário e portanto deve estar em avanço de 90º em relação ao fluxo φ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 4.7: Componentes da corrente de excitação io. 
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
Na fig. 4.7pode-se ver a corrente de magnetização im deformada somente pela terceira harmônica, a 
corrente de perdas ip em avanço de 90º em relação ao fluxo ϕ e a corrente de excitação io que é a soma da 
corrente de magnetização e a corrente de perdas conforme mostra a expressão 4.14.. 
 
 
 
O valor eficaz da corrente de magnetização é dado pela expressão 4.15 em função dos valores 
máximos das correntes componentes. O valor eficaz da corrente de perdas é dado pela expressão 4.16 em 
função do seu valor de pico, e, o valor eficaz da corrente de excitação é dado pela expressão 4.17. 
0 1 3 5sen sen 3 sen 5 ........ cos . [4.14]m p poi i i I t I t I t I t= + = + + + +ω ω ω ω
1
1,5
2
2,5
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
φ ; B
i m i p = i h + i F 
i o 
Walter Ries 21 
 TRANSFORMADORES 
 
 
A fig. 4.8 mostra o diagrama fasorial da fig. 4.7 que é o diagrama fasorial do transformador em 
vazio. 
 
 
 
 
 
 
 
v1
Io
φ
Ip
Im
θο
Fig.4.8: Diagrama fasorial 
do transformador em vazio
2 2 2 2
1 3 5
2 2
0
......... [4.15]
2
[4.16]
2
[4.17]
n
m
po
p
m p
I I I II
I
I
I I I
+ + + +=
=
= +
 
4.2 – Perdas de excitação ou perdas magnéticas 
 4.2.1 – Perdas por histerese 
Ao se magnetizar um material ferro-magnético com valores crescentes da intensidade de campo H 
até um valor máximo Hmax., obtém-se uma curva semelhante à da fig. 4.6 no primeiro quadrante. Ao se 
reduzir paulatinamente a intensidade de campo H os valores das induções não coincidem com os valores 
obtidos para valores crescentes de H, isto é, para os mesmos valores de H as induções são maiores e, para 
H=0, a indução é maior do que zero, o que indica que o material ficou com uma magnetização remanente. 
Completando o ciclo de variação da intensidade de campo desde um valor máximo positivo até o mesmo 
valor máximo, porém negativo, obtém-se o que se denomina o laço de histerese do material como mostra 
a fig. 4.9. Este laço de histerese é decorrente da energia necessária para orientar os domínios magnéticos 
do material. As perdas por histerese são, portanto, proporcionais à área do laço de histerese. A área do 
laço de histerese e, portanto, as perdas por ciclo e por unidade de volume do material são dadas pela 
expressão 4.18. em que: 
• ph são as perdas por histerese por kg do material (W/kg); 
• γ = M/V é o peso específico do material (kg/m3); 
• f é a freqüência da rede de alimentação (Hz); 
• M é a massa do material (kg); 
• V é o volume do material (m3) 
 
max
max
( / ) [4.18]
B
H B
fp HdB W kg
=
−= ∫γ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dB
Hmax
Bmax
-Bmax
-Hmax
Fig. 4.9: Laço de histerese do material
Correntes parasitas
t
B
Fig. 4.10: Correntes parasitas no material
 
Walter Ries 22 
 TRANSFORMADORES 
A área do laço de histerese cresce também com a freqüência, isto é, o valor da integral da expressão 
4.18 cresce com a freqüência. A medida que a indução tende à saturação as perdas por histerese tendem 
também à saturação, pois pouco cresce a área do laço após um elevado valor de Bmax. Tudo isto é válido 
para as perdas por histerese produzidas por um fluxo pulsante como ocorre nos núcleos de 
transformadores. Nas máquinas rotativas, em algumas partes do circuito magnético, as induções nos 
materiais variam sob a ação de um campo girante. As perdas por histerese neste caso são diferentes 
daquelas produzidas por campos pulsantes para os mesmos valores máximos de indução. Sob a ação de 
campos girantes muito intensos, que levam o material à saturação, as perdas tendem a ser nulas. 
Levando em conta todas estas particularidades procura-se, muitas vezes, expressar as perdas por 
histerese através de uma equação mais simples e válida para uma pequena faixa de variação da 
freqüência. Resulta, assim, a expressão 4.19 em que: 
• kH é uma constante que depende do sistema de unidades, das características do material e 
do comportamento do fluxo (pulsante ou rotativo); 
• f é a freqüência da variação do fluxo (Hz); 
• Bmax é a indução máxima, valor de pico (T); 
• x é um expoente que varia de 0,5 a 2,3 dependendo do material e da indução máxima B Bmax. 
Normalmente o valor de x varia de 1,5 a 2,00. 
 
max ( / ) [4.19]
x
H Hp k f B W kg= ⋅ ⋅ 
 
4.2.2 – Perdas por correntes de Foucault ou perdas parasitas 
As perdas parasitas ou por correntes de FoucaultpF são originadas pelas correntes que circulam no 
material devido às tensões induzidas pela variação do fluxo, conforme mostra a fig. 4.10. 
Estas perdas dependem da resistividade do material, da indução, da freqüência e da espessura das 
chapas de ferro silício que formam o núcleo do transformador. Elas são dadas pela expressão 4.20 em 
que: 
• kF é um fator numérico que depende do sistema de unidades utilizado; 
• t é a espessura da chapa (m): 
• B é o valor eficaz da indução, portanto, é o valor máximo dividido pela raiz de 2; 
• ρ é a resistividade do material (ohms-metro). 
 2
2 2 ( / ) [4.20]efF F
B
p k f t W kg= ⋅ ⋅ ⋅ ρ 
 
Como se observa pela expressão 4.20, quanto menor a espessura da chapa e maior a resistividade do 
material, menores são as perdas por correntes parasitas. Portanto, os núcleos das máquinas elétricas em 
que o fluxo é variável são construídos com material laminado com pequena espessura e com composição 
química que resulte num material com elevada resistividade. 
 
4.3 - Medição das perdas e corrente de excitação 
No ensaio em vazio de um transformador, segundo esquema de ligações da fig. 4.11, as perdas por 
histerese e por correntes parasitas são medidas em conjunto e não existe a necessidade em separá-las. 
A corrente de excitação medida Io é o valor eficaz dada pela expressão 4.17. Esta corrente 
normalmente é dada em percentagem da corrente nominal In conforme expressão 4.21. 
 
0
0 % 100 [4.21]
n
II
I
= 00 % 100 [4.21]
n
II
I
= 
Walter Ries 23 
 TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
I0
E2
po
BT AT
W
W
W
A
A
A
V
V
VG
3~
E1
 Fig.4.11: Esquema de ligações para o ensaio em vazio de um transformador trifásico 
 
Tanto a corrente de excitação como as perdas em vazio são valores especificados e garantidos pelo 
fabricante do transformador. 
Os transformadores de transmissão e distribuição de energia elétrica normalmente ficam energizado, 
com ou sem carga, durante as 24 horas do dia ou 8.760 horas do ano. A perda em vazio do transformador 
é constante, independente da corrente de carga que normalmente é bastante variável durante o dia. Sob 
este ponto de vista, um kW nominal de perda em vazio tem um valor maior do que 1 kW nominal de 
perda sob carga. Este é um fator que deve ser levado em consideração na compra de um transformador. 
O desenvolvimento de chapas magnéticas para uso na construção de máquinas elétricas reduziu 
muito as perdas e a corrente de excitação destes equipamentos. 
Basicamente as chapas utilizadas na construção de circuitos magnéticos em máquinas elétricas 
podem ser classificadas em: 
• Chapas de grão não orientado: 
• Chapas de grão orientado. 
As chapas de grão não orientado são normalmente laminadas a quente e possuem propriedades 
magnéticas iguais em todas as direções no plano da chapa. 
As chapas de grão orientado possuem propriedades magnéticas superiores no sentido de laminação. 
Estas chapas são laminadas a frio que, por um processo especial de laminação e recozimentos associado a 
uma composição química adequada, adquirem propriedades magnéticas acentuadamente superiores no 
sentido da laminação em detrimento de suas propriedades no sentido perpendicular. 
A composição química das chapas de ferro usadas na construção do circuito magnético das máquinas 
elétricas é muito importante. Assim, elas não devem possuir mais do que 0,005% a 0,01% de carbono, 0,1 
a 0,3% de manganês, 0,01 a 0,05% de fósforo e 0,005 a 0,02% de enxofre. A fim de aumentar a 
permeabilidade magnética e diminuir as perdas, as chapas magnéticas possuem 0,5 a 4,0% de silício e se 
classificam em: 
• Chapas com baixo silício (0,5 a 1,5% de Si); 
• Chapas com médio silício (2,0 a 3,0% de Si); 
• Chapas com alto silício (> 3,0% de Si) 
Segundo a AISI (American Iron and Steel Institute) as chapas de aço para emprego em circuitos 
magnéticos são designadas pela letra M associada a um número. Assim, as chapas de grão orientado são 
designadas por M-3 a M-10 e as de grão não orientado por M-15 a M-45. As espessuras das chapas 
variam de 0,2 a 0,8 mm. 
Para núcleos de transformadores de distribuição e de transmissão são usadas chapas de grão 
orientado, M-3, M-4, M-5, M-6 e M-7 com espessuras de 0,3 a 0,5 mm e cobertas com uma finíssima 
camada isolante de material inorgânico (2 a 3 mícron), material este que pode suportar temperaturas de 
recozimento da chapa de, aproximadamente, 800º C. 
Os fabricantes destas chapas fornecem todas as curvas de características magnéticas necessárias para 
o cálculo das perdas e correntes de excitação. As curvas das figuras 5.6 e 5.7 dão as características 
magnéticas para a chapa de grão orientado, M-5 com espessura de 0,5 mm. Nestas curvas o valor da 
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 TRANSFORMADORES 
indução corresponde ao valor máximo (de pico). A intensidade de campo corresponde ao valor da 
corrente de excitação Io em valor eficaz por metro. 
 
4.4 – Impedância 
 4.4.1 – Impedância percentual 
 Quando se faz a representação do circuito equivalente do transformador sob carga, conforme fig. 
4.12, a impedância interna é expressa pelo seu módulo Z, dado pela expressão 4.22, em percentagem da 
impedância básica ZB que é dada pela expressão 4.23. 
 
+
V1
1CZ θ∠
I1 R X
+
V1
+
V21
IC1
Rp ImIp Xm
Io
Circuito equivalenete em vazio Circuito equivalenete sob carga
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 4.12: Circuito equivalente do transformador. 
 
2 2
2 2
[4.22]
[4.23]B B BB
B B B B
Z R X
V V VZ
I I V S
= +
= = =
 
 
 
 
Esta impedância básica do transformador ou de um “sistema” é a relação entre a tensão e a corrente 
nominais (do transformador ou do sistema). Nos sistemas monofásicos VB, IB BB e SB são, respectivamente, a 
tensão básica, a corrente básica e a potência básica do sistema. Nos sistemas trifásicos é convencional se 
chamar de básico os valores da tensão de linha, corrente de linha e potência trifásica nominais. 
 Qualquer que seja a ligação dos enrolamentos primário e secundário (delta ou estrela) de um 
transformador trifásico, a representação do circuito equivalente sempre será o de uma só fase como na fig. 
4.12 em que tensão, corrente e impedância são grandezas de “fase”. Não existe a necessidade de 
representar o circuito equivalente em sua forma trifásica, pois é o mesmo que representar três circuitos 
monofásicos iguais ligados em estrela equivalente, como mostra a fig. 4.13. 
 
1CZ θ∠
1CZ θ∠
1CZ θ∠
F2
Z = R + jX
N
Z = R + jX
F1
I n= I B
V n =V B
3
BV
Z = R + jX
F3
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 4.13: Circuito equivalente trifásico do transformador sob carga. 
No circuito trifásico chama-se de tensão básica a tensão de linha. Neste caso a tensão básica de fase 
será a tensão básica de linha dividida por raiz de três. A impedância básica da expressão 4.23, que 
corresponde à impedância de uma fase do transformador, pode ser também dada em função da tensão 
básica de linha VB, conforme mostra a expressão 4.23 em que a potência básica SB BB é a potência básica 
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 TRANSFORMADORES 
trifásica. Como se vê, a expressão 4.24 é igual a expressa 4.23 se a tensão básica for a tensão de linha e a 
potência básica for a potência das três fases. 
 
2 2
[4.24]
33
% 100 [4.25]
B B B
B
B B BB
B
V V VZ
I V SI
ZZ
Z
= = =
=
 
 
 
 
A impedância percentual do transformador é o valor da impedância interna por fase do transformador