Equações Diferenciais Ordinárias

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INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
A U L A 2 1 
1 1 A G O S T O 2 0 0 8
 
PROBLEMAS 
(Revisão Geral da Segunda Parte do Curso)
Prof. André
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Solução
Homogênea com Coeficientes Constantes + Método dos Coeficientes Indeterminados 
 cujas raízes são: – 1 e 2.
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As duas raízes da equação característica são diferentes, portanto, a forma da solução da equação homogênea é:
 A solução particular a ser determinada tem a forma do
 termo não-homogêneo, ou seja:
 A forma escolhida para yp não repete nenhuma forma
 encontrada para yc.
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Solução
Homogênea com Coeficientes Constantes + Método da Variação de Parâmetros
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Substituindo (10), (13) e (14) em (5) e agrupando termos semelhantes, resulta:
Substituindo (17) na terceira das Equações (16), resulta:
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Resolvendo a integral (18) primeiro por substituição de variável considerando w = ex + 1 e depois por frações parciais, obtém-se: 
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Resolvendo a integral (22) por substituição de variável considerando w = ex + 1, obtém-se: 
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Solução
Soluções da Homogênea Conhecidas + Método da Variação de Parâmetros
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Resolvendo a integral (36) por partes, resulta:
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Solução
Redução de Ordem
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Solução
Obtenção e Classificação de Soluções de Equilíbrio
os pontos fixos são obtidos fazendo, na Equação (46), as 
 derivadas iguais a zero e resolvendo o sistema algébrico 
 resultante. Assim,
Da primeira das Equações (47) tem-se: x = 0 e y = 1 
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Substituindo x = 0 na segunda das Equações (47) resulta: 
y = 0. Portanto, o primeiro ponto fixo é (0,0). 
Substituindo y = 1 na segunda das Equações (47) resulta: 
x = -1/2. Portanto, o segundo ponto fixo é (-1/2,1). 
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Este ponto fixo é hiperbólico (os dois autovalores possuem a parte real diferente de zero) e do tipo fonte (a parte real 
de ambos os autovalores são maiores que zero). 
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Este ponto fixo é hiperbólico (os dois autovalores possuem a parte real diferente de zero) e do tipo ponto de sela (a parte real de pelo menos um autovalor é positiva, enquanto a outra é negativa). 
(c) o ponto fixo (0, 0) é instável pois a parte real de ambos os
 autovalores é positiva.
 o ponto fixo (-1/2, 1) é instável pois pelo menos um dos
 autovalores tem a parte real positiva.
OBSERVAÇÃO: o ponto fixo será estável apenas se todos os autovalores possuírem parte real negativa. 
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Solução
Homogênea com Coeficientes Constantes + Método dos Coeficientes Indeterminados 
 ao investigar a equação algébrica (51), fica claro que 
 uma das raízes é 1.
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Dividindo a Equação (51) por (r – 1) resulta r2 – 5r + 6, portanto, as duas outras raízes são 2 e 3. 
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 A forma escolhida para yp não repete nenhuma forma encontrada para yc.
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Solução
Homogênea com Coeficientes Constantes + Método da Variação de Parâmetros
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Solução
Soluções da Homogênea Conhecidas + Método da Variação de Parâmetros
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Solução
Redução de Ordem
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Utilizando o método de frações parciais para simplificar o lado esquerdo da Equação (92), esta mesma equação pode ser reescrita como: 
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Solução
Obtenção e Classificação de Soluções de Equilíbrio
Assim, a equação governante na forma de 
estado é escrita como:
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Se 4g/L for maior que c2/m2L2, tem-se raízes complexas conjugadas; se 4g/L for menor que c2/m2L2, tem-se raízes reais. De qualquer forma, a parte real será sempre < 0.
Se 4g/L for maior ou menor que c2/m2L2 tem-se sempre raízes reais. No entanto, a parte real de pelo menos uma das raízes será sempre > 0.
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Os pontos fixos são hiperbólicos (os dois autovalores possuem a parte real diferente de zero, independente do valor de n) e do tipo ponto de sela para n ímpar (a parte real de pelo menos um autovalor é sempre positiva) e do tipo sorvedouro para n par (a parte real dos dois autovalores será sempre negativa) 
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Solução
Homogênea com Coeficientes Constantes + Método dos Coeficientes Indeterminados 
 a solução particular será da forma do termo não-
 homogêneo, ou seja:
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Solução
Homogênea com Coeficientes Constantes + Método da Variação de Parâmetros
 a equação característica (relacionada à equação 
 homogênea associada à Equação (102)) é:
r2 – 2r + 1 = 0
 cujas raízes são: r1 = 1 e r2 = 1.
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As duas primeiras soluções de (114) já é solução da
homogênea, portanto: 
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Solução
Homogênea com Coeficientes Constantes + Método dos Coeficientes Indeterminados 
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 A Equação (116) é linear, portanto, será resolvida por
 superposição. Assim, os dois novos problemas a serem
 resolvidos são:
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No entanto, a forma proposta em (121) já aparece na solução
da homogênea apresentada em (118).
As formas xex e x2ex também aparecem em (118).
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Resolvendo o problema (119)
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Resolvendo o problema (120)
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OBSERVAÇÃO: Tentar resolver este problema utilizando a técnica de variação de parâmetros e verificar se a solução geral é obtida de maneira mais fácil ou não.
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Solução
Homogênea com Coeficientes Constantes + Método da Variação de Parâmetros
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As outras três equações a serem resolvidas são as Equações (135), (138) e (141). Substituindo (144) nestas equações resulta:
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Substituindo (151) na Equação (150) resulta:
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Assim, utilizando (145), (149), (152) e (154), a solução particular (133) pode ser finalmente escrita como:
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OBSERVAÇÃO: Tentar resolver este problema utilizando a técnica de coeficientes indeterminados e verificar se a solução geral é obtida de maneira mais fácil ou não.
Como as quatro primeiras soluções de (155) já são soluções da homogênea, a solução particular de (130) será dada por:
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Cena do filme 
“O Senhor dos Anéis – O Retorno do Rei”
(2003) 
dirigido pelo neo-zelandês 
Peter Jackson
crédito da figura de fundo
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