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pore´m onde f ′(x) na˜o e´
sequer cont´ınua em x.
CAP´ıTULO 10
Sinal da derivada e crescimento
1. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy
Tudo que precisamos sobre zeros, crescimento e decrescimento de func¸o˜es sai de
dois Teoremas: de Rolle e de Lagrange (que de fato sa˜o equivalentes entre si).
Teorema 1.1. (Teorema de Rolle) Seja f : [a, b] → R cont´ınua em [a, b] e deriva´vel
em (a, b). Se f(a) = f(b) enta˜o existe algum ponto x ∈ (a, b) tal que f ′(x) = 0.
Demonstrac¸a˜o.
Considere o mı´nimo global mf e o ma´ximo global Mf de f em [a, b].
Se mf = Mf isso quer dizer que f e´ constante: enta˜o para qualquer ponto de
(a, b) temos f ′(x) = 0 e acabou.
Supomos enta˜o que mf < Mf .
Vamos nos convencer agora que na˜o e´ poss´ıvel que ambos os valoresmf eMf sejam
valores de f nos pontos extremo a, b de [a, b]. De fato, se por exemplo f(a) = mf ,
como por hipo´tese f(a) = f(b), enta˜o f(b) = mf ; como Mf > mf enta˜o Mf sera´
atingido por x ∈ (a, b). Vice versa se supomos que f(a) = Mf , concluimos que mf e´
atingido em x ∈ (a, b).
Agora vamos mostrar que num x ∈ (a, b) onde f(x) = mf ou onde f(x) = Mf
temos que ter f ′(x) = 0.
Por exemplo, suponha x ∈ (a, b) onde f(x) = mf e por absurdo, suponha que
f ′(x) 6= 0:
Ha´ dois Casos a considerar:
Caso 1): f ′(x) < 0.
Ja´ que x vive num intervalo aberto (a, b) existe pela Afirmac¸a˜o 4.2 um intervalo
centrado em x,
(−δ0 + x, x+ δ0) ⊂ (a, b)
e por isso podemos tomar 0 < h < δ0 suficientemente pequeno para que x+h ∈ (a, b).
Enta˜o pela definic¸a˜o de derivada, temos:
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
< 0
e nesse limite h pode ser tomado positivo ou negativo: tomando h positivo e pequeno
temos:
lim
h↘0
f(x+ h)− f(x)
h
< 0,
o que implica que os quocientes incrementais f(x+h)−f(x)
h
sa˜o negativos para h positivo
suficientemente pequeno.
127
1. TEOREMAS DE ROLLE, LAGRANGE E CAUCHY 128
Mas o denominador e´ h > 0: logo os numeradores sa˜o negativos:
f(x+ h)− f(x) < 0,
para 0 < h suficientemente pequeno. Portanto, f(x+ h) < f(x) para 0 < h suficien-
temente pequeno. Ora, isso contradiz a hipo´tese de que f(x) = mf e´ mı´nimo global.
Essa contradic¸a˜o veio de supor f ′(x) < 0 nesse x.
A Figura a seguir apenas serve para ilustrar a situac¸a˜o absurda obtida, onde a reta
em vermelho simboliza a tangente ao gra´fico em (x, f(x)) = (x,mf) (em vermelho).
m_f
x + hx ( h >0 )
Figura: Chegamos num absurdo deste tipo supondo f ′(x) < 0 em x.
Caso 2): f ′(x) > 0:
Novamente, ja´ que existe um intervalo centrado em x,
(−δ0 + x, x+ δ0) ⊂ (a, b),
podemos tomar h < 0 de mo´dulo suficientemente pequeno (|h| < δ0) para que x+h ∈
(a, b). Enta˜o pela definic¸a˜o de derivada, temos:
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
> 0
e tomando h < 0 temos
lim
h↗0
f(x+ h)− f(x)
h
> 0,
o que implica que os quocientes incrementais f(x+h)−f(x)
h
sa˜o positivos para h < 0 de
mo´dulo suficientemente pequeno.
Mas o denominador e´ h < 0: logo os numeradores sa˜o negativos, ou seja,
f(x+ h) < f(x)
para h < 0 de mo´dulo suficientemente pequeno. Contradizendo a hipo´tese de que
f(x) = mf e´ mı´nimo global. Essa contradic¸a˜o veio de supor f
′(x) > 0 nesse x. Como
antes, ilustramos a situac¸a˜o na Figura que segue1:
1A f na˜o precisa ser crescente nessa regia˜o, como parece sugerir a Figura; f precisa apenas valer
menos que f(x). Voltaremos nisso na Sec¸a˜o 4 deste Cap´ıtulo
CAPI´TULO 10. SINAL DA DERIVADA E CRESCIMENTO 129
m_f
xx + h ( h<0 )
Figura: Chegamos nesse tipo de absurdo supondo f ′(x) > 0 em x.
Logo concluimos que f ′(x) = 0.
A prova ana´loga se f(x) = Mf .
�
O uso que Rolle fazia desse fato era para localizar zeros (ra´ızes) de polinoˆmios
apenas.
Ele pensava assim, sempre que houver duas ra´ızes a e b sucessivas de um polinoˆmio
p(x) de grau n tem que haver uma ra´ız do polinoˆmio p′(x) situada no intervalo [a, b]
(veremos na Parte 2 que sempre a func¸a˜o Derivada de um polinoˆmio e´ tambe´m um
polinoˆmio). Mais ainda, como vimos ja´ em alguns exemplos simples, o grau de p′(x)
e´ n−1. Logo pode ser mais fa´cil achar as ra´ızes de p′(x) que as do polinoˆmio original
p(x). E a´ı teremos alguma informac¸a˜o sobre a poss´ıvel localizac¸a˜o das ra´ızes a e b de
p(x).
(obs.: Na Figura a seguir os eixos horizontal e vertical na˜o esta˜o na mesma escala)
5
0
10
-5
-10
x
1 20-1-2
Figura: Polinoˆmio p(x) com 5 ra´ızes Reais e p′(x) com 4 ra´ızes Reais.
Um aplicac¸a˜o interessante do Teorema de Rolle e do T.V.I. sera´ dada na Sec¸a˜o 5
do Cap´ıtulo 13, para provar a Regra de sinais de Descartes, que da´ uma estimativa
do nu´mero de ra´ızes Reais de um polinoˆmio.
1. TEOREMAS DE ROLLE, LAGRANGE E CAUCHY 130
O Teorema de Rolle pode ser generalizado:
Teorema 1.2. (Teorema do Valor Me´dio de Lagrange)2
Seja f : [a, b] → R cont´ınua e deriva´vel em (a, b). Enta˜o existe algum x ∈ (a, b)
tal que
f ′(x) =
f(b)− f(a)
b− a
0
-0,5
-1
x
10,50-0,5-1
1
0,5
Figura: O gra´fico em vermelho ilustra o Teo. de Lagrange em dois pontos.
Demonstrac¸a˜o.
Seja p(x) a equac¸a˜o da reta passando por (a, f(a)) e (b, f(b)). Considere uma
nova func¸a˜o, a func¸a˜o diferenc¸a f − p dada por (f − p)(x) := f(x)− p(x).
Enta˜o f − p e´ cont´ınua, pelo item 1) do Teorema 1.1. Pela derivada da soma
(Afirmac¸a˜o 3.1 Cap´ıtulo 9):
(f − p)′(x) = f ′(x)− p′(x).
Agora noto que
(f − p)(a) = f(a)− p(a) = 0, e (f − p)(b) = f(b)− p(b) = 0,
e portanto estamos em condic¸o˜es de aplicar em (f − p) o Teorema de Rolle: portanto
existe algum x ∈ (a, b) onde
(f − p)′(x) = 0,
ou seja onde
f ′(x) = p′(x).
2Atenc¸a˜o: muitos estudantes confundem o que diz o Teorema de Lagrange com o que diz a
definic¸a˜o da Derivada.
CAPI´TULO 10. SINAL DA DERIVADA E CRESCIMENTO 131
Por outro lado p(x) = a1 · x+ a0 ja´ que e´ um polinoˆmio de grau ≤ 1 e sua derivada e´
o coeficiente angular da reta: p′(x) ≡ a1 e sabemos que
a1 =
f(b)− f(a)
b− a .
Portanto f ′(x) = f(b)−f(a)
b−a como quer´ıamos.
�
Mais geral ainda que o T.V. Me´dio de Lagrange e´ o seguinte:
Teorema 1.3. (Teorema do Valor Me´dio de Cauchy)3
Sejam f : [a, b]→ R e g : [a, b]→ R cont´ınuas e deriva´veis em (a, b). Enta˜o existe
algum x ∈ (a, b) tal que
f ′(x) · (g(b)− g(a)) = g′(x) · (f(b)− f(a)).
Demonstrac¸a˜o.
Se definimos:
φ(x) := f(x) · (g(b)− g(a))− g(x) · (f(b)− f(a)),
enta˜o φ(x) e´ cont´ınua em [a, b], deriva´vel em (a, b) e tem
φ(a) = f(a) · g(b)− g(a) · f(b) = φ(b).
Por Rolle existe x ∈ (a, b) com:
φ′(x) = 0,
ou seja,
f ′(x) · (g(b)− g(a))− g′(x) · (f(b)− f(a)) = 0,
como quer´ıamos. �
2. O Teorema 0 das Equac¸o˜es Diferenciais
Para motivar o importante Teorema 2.1, comec¸o descrevendo um exemplo.
Imagine um motorista que esta´ dirigindo seu carro do Sul para o Norte numa
rodovia e que veˆ uma placa indicando que dali a alguns kiloˆmetros ha´ um posto da
pol´ıcia rodovia´ria. Como e´ usual, ele comec¸a a freiar o carro mas o faz assim: comec¸a
pisando no freio assim que veˆ a placa e vai gradualmente tirando o pe´ do freio de
modo bem cuidadoso, para que bem em frente do posto da pol´ıcia esteja acabando
de tirar o pe´ do freio e passe enta˜o para o acelerador, comec¸ando a acelerar bem
suavemente e depois aumentando a acelerac¸a˜o.
Freiar e acelerar sa˜o tipos de acelerac¸o˜es. Acelerac¸a˜o negativa ao freiar e positiva
quando pisamos no acelerador. Como explicamos na Sec¸a˜o 4 do Cap´ıtulo 8, podemos
representar matematicamente o que o motorista fez com as acelerac¸o˜es atrave´s da
func¸a˜o segunda derivada f ′′(x) (Sec¸a˜o 5 do Cap´ıtulo 9), onde f ′(x) e´ a func¸a˜o que
da´ a velocidade a cada instante e f(x) a posic¸a˜o do carro a cada instante. A func¸a˜o
3Note que se g(x) := x, reca´ımos no Teorema de Lagrange
2. O TEOREMA 0 DAS EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS 132
posic¸a˜o sera´ f(x) < 0 ao Sul do