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posto policial e f(x) > 0 ao Norte do posto e seu
aumento significa ir mais para o Norte.
Quando ele estava pisando no freio, f ′′(x) < 0, quando pisa no acelerador, f ′′(x) >
0. Onde f ′′(x) < 0, a velocidade f ′(x) estava decrescendo, e quando f ′′(x) > 0 a
func¸a˜o velocidade f ′(x) deve voltar a crescer.
Um exemplo disso seria:
f(x) = x3, f ′(x) = 3x2, f ′′(x) = 6x.
10
0
5
-5
-10
x
-1 20-2 1
Figura: f vermelho, f ′ verde, f ′′ amarelo, escalas diferentes nos eixos.
O que e´ interessante neste exemplo e´ que em frente ao posto da pol´ıcia, quando
x = 0, a velocidade que aparece no veloc´ımetro e´ f ′(0) = 0 e mesmo assim, em
nenhum instante o carro parou, ja´ que f(x) = x3 e´ estritamente crecente.
Mas isso contradiz o nosso senso-comum, ja´ que algo que se move a 0 km/h deveria
estar parado, pelo menos por algum tempo !
Para fazermos as pazes com o senso-comum, temos o seguinte Teorema, onde
a condic¸a˜o f ′(x) = 0 se supo˜e que vale para x em todo um intervalo, mesmo que
pequeno:
Teorema 2.1. Seja f : I → R definida em um intervalo I na˜o-degenerado.4
Suponha f ′(x) ≡ 0. Enta˜o f(x) ≡ C (ou seja, f e´ constante).
Demonstrac¸a˜o.
Na˜o temos a capacidade de predizer qual a constante que iremos encontrar. O
que podemos apenas e´ raciocinar por absurdo: suponha que f na˜o e´ constante.
Enta˜o existem x1, x2 ∈ I tais que f(x1) 6= f(x2). Restrinja f ao domı´nio [x1, x2].
Enta˜o pelo Teorema do Valor Me´dio de Lagrange aplicado a` restric¸a˜o f : [x1, x2]→ R
tem que haver um x ∈ (x1, x2) tal que:
f ′(x) =
f(x1)− f(x2)
x1 − x2
.
4Na˜o-degenerado significa na˜o se reduzindo a um ponto. Claro que I pode ser todo R. Mas
atenc¸a˜o que pode a conclusa˜o pode ser falsa, se a f tem o domı´nio composto de mais de um intervalo
(disjuntos).
CAPI´TULO 10. SINAL DA DERIVADA E CRESCIMENTO 133
Mas
f(x1)−f(x2)
x1−x2 6= 0 e isso contradiz a hipo´tese de que f
′(x) ≡ 0.
�
E dele decorre o Teorema a seguir (que chamo de 0 por um dos mais ba´sicos):
Teorema 2.2. (O Teorema 0 das Equac¸o˜es Diferenciais) Sejam f : I → R e g :
I → R deriva´veis, com f ′(x) = g′(x), ∀x ∈ I, onde I e´ um intervalo. Enta˜o f(x) ≡
g(x) + C.
Ilustro esse Teorema atrave´s da seguinte Figura:
12
4
8
0,5
0
x
10-1 -0,5
Figura: Translac¸o˜es verticais de um gra´fico e o gra´fico da func¸a˜o derivada.
Demonstrac¸a˜o.
Como ja´ observamos, ∀x ∈ I, (f − g)′ = f ′(x) − g′(x). A hipo´tese da´ enta˜o
que (f − g)′(x) ≡ 0. Logo pelo Teorema 2.1, (f − g)(x) ≡ C (e´ constante) ; logo
f(x) ≡ g(x) + C.
�
3. Crite´rios de crescimento e de decrescimento
Decorrem facilmente de Rolle e Lagrange os desejados crite´rios:
Teorema 3.1. (Crite´rios de crescimento e de decrescimento)
Seja f : I = (a, b)→ R deriva´vel.
• i) se ∀x ∈ I, f ′(x) ≥ 0 enta˜o f e´ crescente em I;
• ii) se ∀x ∈ I, f ′(x) > 0 enta˜o5 f e´ estritamente crescente em I.
• iii) se ∀x ∈ I, f ′(x) ≤ 0 enta˜o f e´ decrescente em I;
• iv) se ∀x ∈ I, f ′(x) < 0 enta˜o f e´ estritamente decrescente em I.
5A rec´ıproca e´ falsa, como mostra f(x) = x3
4. UMA CONFUSA˜O FREQUENTE SOBRE O SIGNIFICADO DO SINAL DA
DERIVADA 134
Demonstrac¸a˜o.
De i): por absurdo suponha que f na˜o e´ crescente. Significa que existem x1, x2 ∈ I
com x1 < x2 para os quais:
f(x1) > f(x2).
Mas enta˜o o Teorema do Valor Me´dio de Lagrange aplicado a` restric¸a˜o f : [x1, x2]→ R
da´ que existe algum x ∈ (x1, x2) com:
f ′(x) =
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
< 0,
contradizendo a hipo´tese de que f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ I.
De ii): Se supomos por absurdo que f na˜o e´ estritamente crescente, significa que
existem x1, x2 ∈ I com x1 < x2 para os quais:
f(x1) ≥ f(x2).
Novamente o Teorema do Valor Me´dio de Lagrange aplicado a f : [x1, x2] → R da´
que existe algum x ∈ (x1, x2) com:
f ′(x) =
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
≤ 0,
contradizendo a hipo´tese de que f ′(x) > 0 ∀x ∈ I.
De iii) e iv): sa˜o completamente ana´logas, mutatis mutandis6
�
4. Uma confusa˜o frequente sobre o significado do sinal da derivada
Pec¸o atenc¸a˜o agora, para que se evite uma confusa˜o que aparece em algumas
exposic¸o˜es.
As hipo´teses dos itens ii) e iv) do Teorema 3.1 pedem que o sinal da func¸a˜o
derivada seja positivo (ou negativo) em todo um intervalo aberto I.
Seria falso um enunciado assim:
(falso !) Seja f : (a, b) → R deriva´vel com algum x ∈ (a, b) onde f ′(x) > 0
(f ′(x) < 0). Enta˜o existe um intervalo centrado em x onde a restric¸a˜o da f e´ cres-
cente (decrescente).
Claro que isso pode ate´ funcionar em alguns exemplos, mas um teorema tem que
funcionar sempre !
A Figura a seguir ilustra uma func¸a˜o f que existe, que e´ deriva´vel com f ′(0) > 0,
e que no entanto na˜o e´ nem crescente nem decrescente em nenhum intervalo centrado
em x (a Figura na˜o mostra isso muito bem, mas as oscilac¸o˜es continuam a existir ate´
a origem).
6Essa expressa˜o latina quer dizer, desde que adaptando, mudando, o que for conveniente; no
nosso caso, sinais, desigualdades.
CAPI´TULO 10. SINAL DA DERIVADA E CRESCIMENTO 135
Deduzimos enta˜o, apo´s o Teorema 3.1, que a derivada f ′(x) muda de sinal ta˜o
perto de x = 0 quanto quisermos.
0,08
0
0,04
-0,04
x
0,20,1-0,1-0,2 0
-0,08
Figura: A func¸a˜o f oscila a` esquerda e a` direita de x = 0, embora f ′(0) > 0.
A u´nica propriedade que a f da Figura tem e´ que:
f vale mais que f(0) em pontos x um pouco maiores que x = 0 e f vale menos
que f(0) em pontos x um pouco menores que x = 0
(e´ isso no´s aprendemos na prova do Teorema de Rolle 1.1). Vamos destacar isso
como uma afirmac¸a˜o:
Afirmac¸a˜o 4.1. Seja uma f deriva´vel e x um ponto do intervalo aberto I onde f
esta´ definida.
Se f ′(x) > 0 enta˜o existe um intervalo J centrado em x, onde f(x) < f(x) se
x < x, x ∈ J e f(x) < f(x) se x < x, x ∈ J .
Se f ′(x) < 0 enta˜o existe um intervalo J centrado em x, onde f(x) > f(x) se
x < x, x ∈ J e f(x) > f(x) se x < x, x ∈ J .
Demonstrac¸a˜o.
Contida na demonstrac¸a˜o do Teorema de Rolle.
�
5. Descontinuidade da func¸a˜o derivada
Voltando a` f da Sec¸a˜o anterior 4, cuja derivada f muda de sinal ta˜o perto de
x = 0 quanto quisermos, somos obrigados a concluir que sua func¸a˜o derivada f ′(x)
na˜o e´ uma func¸a˜o cont´ınua em x = 0.
6. EXERCI´CIOS 136
De fato, se f ′(x) fosse uma func¸a˜o cont´ınua em x, enta˜o o princ´ıpio de ine´rcia das
func¸o˜es cont´ınuas (Afirm. 1.1 do Cap´ıtulo 6) diria que f ′(x) teria que ser positiva em
todo um intervalo centrado em x = 0.7
Conclusa˜o: nem sempre vale f ′(x) = limx→x f ′(x). De fato nesse exemplo tratado
se pode mostrar que a igualdade f ′(x) = limx→x f ′(x) na˜o vale porque o lado direito
limx→x f ′(x) simplesmente na˜o existe.
Mas temos:
Afirmac¸a˜o 5.1. Seja f : I → R onde I = (−δ+x, x+ δ) e´ intervalo aberto centrado
em x.
Suponha que existe f ′(x) ∀x ∈ I \ {x} e que existe:
lim
x→x
f ′(x) = L ∈ R.
Enta˜o f ′(x) existe tambe´m e seu valor e´ f ′(x) = L
Demonstrac¸a˜o.
Considere a restric¸a˜o de f(x) a [x, x + h] para h > 0 e aplique o T.V. Me´dio de
Lagrange:
f(x+ h)− f(x)
h
= f ′(ξh), onde ξh ∈ (x, x+ h).
Quando dizemos na hipo´tese:
lim
x→x
f ′(x) = L
dizemos que na˜o importa como x tenda a x, necessariamente f ′(x) tende a L. Ou
seja, na˜o depende da cara do x que tende a x.
Ora, quando h↘ 0 temos que ξh ∈ (x, x+ h) tende a x e portanto
L = lim
h↘0
f ′(ξh) = lim
h↘0
f(x+ h)− f(x)
h
=: f ′+(x),
a derivada a` direita. Analogamente se obte´m:
L = lim
h↗0
f ′(ξh) = lim
h↗0
f(x+ h)− f(x)
h
=: f ′−(x)
para a derivada a` esquerda e, portanto, f ′(x) = L.
�
6. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 6.1. A figura que exemplifica o T.V.M de Lagrange no texto e´ o gra´fico de
y = x3. Quando x ∈ [−1, 1] em quais pontos do gra´fico a inclinac¸a˜o da reta tangente
e´ 1 ?
7Se costuma chamar uma func¸a˜o f de classe C1 se f e´