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descobrir qual o menor segmento de reta de
P ate´ uma reta de equac¸a˜o y = ax + 1 (com algum a 6= 0 fixado) que na˜o passe por
P .
Vamos fazeˆ-o de dois modos distintos, que esperamos que deˆem os mesmos resul-
tados.
Primeiro vamos usar nossa intuic¸a˜o, que diz que deve se tratar do segmento saindo
de P que e´ ortogonal a` reta y = ax+1. Ou seja, pelo que aprendemos na Sec¸a˜o 2 do
Cap´ıtulo 8, deve ser um ponto (x, ax+ 1) tal que:
(ax+ 1)− 1
x− 2 =
−1
a
,
pois o lado esquerdo e´ o ceoeficiente angular da reta contendo o segmento que sai de
(2, 1). Enta˜o disso obtemos:
x =
2
a2 + 1
e da´ı facilmente descobrimos o tamanho do segmento.
Por outro lado podemos, via as te´cnicas de Ca´lculo, tentar descobrir o mı´nimo da
func¸a˜o que mede a distaˆncia de P aos pontos da reta dada.
Para na˜o cairmos numa derivada mais complicada, vamos modificar um pouco o
problema, tentando minimizar a func¸a˜o que e´ o quadrado da distaˆncia de P a` reta,
dara´ tambe´m o ponto que minimiza a pro´pria distaˆncia4
Essa func¸a˜o quadrado da distaˆncia e´ dada por:
(x− 2)2 + (y − 1)2 = (x− 2)2 + (ax+ 1− 1)2 =
= (a2 + 1)x2 − 4x+ 5.
Enta˜o essa f(x) = (a2+1)x2−4x+5 tem derivada f ′(x) = 2(a2+1)x−4 e f ′(x) = 0
exatamente em x = 2
a2+1
, o mesmo ponto encontrado acima.
E´ claro que f ′(x) < 0 para x < x = 2
a2+1
e f ′(x) > 0 para x > x = 2
a2+1
. Portanto
pelo item i) da Afirmac¸a˜o 1.2 f tem mı´nimo local, que de fato e´ o global nesse ponto
x.
Agora vejamos um Exemplo mais interessante. Quero minimizar a distaˆncia entre
P = (0, 7) e os pontos da para´bola y = x
2
2
.
Usando a intuic¸a˜o geome´trica vou buscar esse ponto Q de mı´nima distaˆncia entre
aqueles em que o segmento desde P e´ ortogonal a` tangente da para´bola em Q.
Enta˜o, ja´ que conhec¸o as inclinac¸o˜es das tangentes a` parabola em (x, ax2) como
sendo 2(x
2
) = x, a ortogonalidade que busco e´ dada por:
x2
2
− 7
x− 0 =
−1
x
,
4A Afirmac¸a˜o 2.1 do Cap´ıtulo 16 justificara´ rigorosamente o uso do quadrado da distaˆncia, ao
inve´s da pro´pria distaˆncia, nos problemas de ma´ximos/mı´nimos.
CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 143
ou seja,
x · (x
2
2
− 6) = 0.
A soluc¸a˜o x = 0, onde claramente ha´ ortogonalidade, e´ nitidamente um ponto de
ma´ximo local da distaˆncia entre P = (0, 7) e a para´bola.
Mas as soluc¸o˜es x =
√
12 e x = −√12 correspondera˜o, como veremos a seguir, a
dois pontos de mı´nimos. A Figura a seguir mostra esses pontos de ortogonalidade.
5
-5
0
-10
-20
x
2 4-4 -2
-15
0
Figura: No gra´fico aparecem dois pontos onde ha´ ortogonalidade.
Visto de outro modo, via a te´cnica do Ca´lculo, considero a func¸a˜o que e´ o quadrado
da distaˆncia entre P = (0, 7) e a para´bola:
(x− 0)2 + (y − 7)2 = x2 + (x
2
2
− 7)2 =
=
x4
4
− 6x2 + 49.
A derivada de f(x) = x
4
4
− 6x2 + 49 e´
f ′(x) = x3 − 12x = x(x2 − 12).
O zero da derivada em x = 0 corresponde a um ma´ximo local.
Verificamos agora que os pontos x =
√
12 e x = −√12 sa˜o mı´nimos locais (e
globais).
Observe que se 0 < x <
√
12 temos x(x2 − 12) < 0, enquanto que se x > √12
temos x(x2− 12) > 0. Logo o item i) da Afirmac¸a˜o 1.2 diz que x = √12 e´ mı´nimo de
f .
Agora se x < −√12 temos x(x2− 12) > 0, enquanto que se −√12 < x < 0 temos
x(x2 − 12) > 0. Logo o item i) da Afirmac¸a˜o 1.2 diz que x = −√12 e´ mı´nimo de f .
A Afirmac¸a˜o 4.1 a seguir justifica o uso da noc¸a˜o de ortogonalidade nos problemas
de ma´ximos/mı´nimos:
4. MI´NIMOS DE DISTAˆNCIAS E ORTOGONALIDADE 144
Afirmac¸a˜o 4.1.
i) Se a distaˆncia entre um ponto P e o gra´fico de y = f(x) tem valor mı´nimo
ou ma´ximo local PF > 0, onde F = (x, f(x)), enta˜o a reta tangente ao gra´fico de
y = f(x) em F e´ ortogonal a` reta PF .
ii) Sejam um gra´fico y = f(x) de uma f deriva´vel e uma reta r que na˜o intersecta
esse gra´fico.
Seja F ponto do gra´fico de y = f(x) tal que PF > 0 realiza um valor mı´nimo ou
ma´ximo local da distaˆncia entre pontos do gra´fico e a reta r. Enta˜o a reta tangente
ao gra´fico de y = f(x) em F e´ paralela a` reta r.
Demonstrac¸a˜o.
De i):
Considere F = (x, f(x)) ponto que realiza valor minimo local ou valor ma´ximo
local da distaˆncia ate´ um certo P = (x0, y0) que foi dado.
Considere o c´ırculo C de raio PF centrado em P (lembro que PF > 0):
C = { (x, y); (x− x0)2 + (y − y0)2 = PF 2 }.
Vou fazer aqui a suposic¸a˜o5 de que, perto de F , tambe´m C seja gra´fico de uma func¸a˜o
y = g(x); que de fato e´:
y = g(x) = y0 +
√
PF
2 − (x− x0)2, ∀x ∈ (−δ + x, x+ δ).
Veja a Figura:
P
F
x
y
Considere a func¸a˜o
φ(x) := f(x)− g(x), ∀x ∈ (−δ + x, x+ δ).
Suponha por absurdo que a reta tangente ao gra´fico de y = f(x) em F na˜o seja
igual a` reta tangente a C em F (esta sim sabemos que e´ ortogonal a` reta PF ).
Por exemplo, suponha por absurdo que f ′(x) > g′(x) (o caso < e´ completamente
ana´logo).
Enta˜o φ′(x) = f ′(x)− g′(x) > 0.
5que exigiria mais justificac¸a˜o
CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 145
Como φ(x) = 0, a Afirmac¸a˜o 4.1 do Cap´ıtulo 10 da´ que, para um certo � > 0:
φ(x) > 0, ∀x ∈ (x, x+ �) e φ(x) < 0, ∀x ∈ (x− �, x).
Ora, mas enta˜o
f(x) > g(x) ∀x ∈ (x, x+ �) e f(x) < g(x), ∀x ∈ (x− �, x).
Enta˜o
f(x)− y0 > g(x)− y0, ∀x ∈ (x, x+ �),
e portanto ∀x ∈ (x, x+ �):
√
(f(x)− y0)2 + (x− x0)2 >
√
(g(x)− y0)2 + (x− x0)2 = PF 2,
o que diz que F na˜o e´ ponto de ma´ximo local da distaˆncia de P = (x0, y0) ate´ o
gra´fico de y = f(x).
E do mesmo modo, obteremos ∀x ∈ (x− �, x):
√
(f(x)− y0)2 + (x− x0)2 <
√
(g(x)− y0)2 + (x− x0)2 = PF 2,
o que diz que F na˜o e´ ponto de mı´nimo local da distaˆncia ate´ P = (xo, y0).
Essa contradic¸a˜o com a escolha de F termina a prova do item i).
Item ii):
Sejam R ∈ r e F = (x, f(x)) tais que RF realizam valor mı´nimo local ou valor
ma´ximo local da distaˆncia ate´ o gra´fico de y = f(x) e r.
O racioc´ınio da prova do item i) aplicado a um c´ırculo centrado em R de raio
RF > 0 dira´ que a reta tangente ao gra´fico de y = f(x) em F e´ ortogonal a` reta RF .
Veja a Figura:
R
F
Mas, por outro lado, o mesmo racioc´ınio agora aplicado a um c´ırculo agora cen-
trado em F de raio RF > 0 dira´ que a reta r (que e´ sua pro´pria reta tangente) e´
ortogonal a` reta RF . Veja a Ffigura:
5. CONCAVIDADES DOS GRA´FICOS 146
R
F
Um fato ba´sico da geometria euclidiana diz que, se uma reta r1 e´ ortogonal a uma
reta r2 e r2 e´ ortogonal a uma reta r3, enta˜o r1 e r3 sa˜o paralelas.
Portanto a reta tangente ao gra´fico de y = f(x) em F e´ paralela a r. �
Para concluir esta Sec¸a˜o, pensemos no caso da reta horizontal y = 0 e no gra´fico
de y = 1
x
, ∀x > 0.
Como poder´ıamos definir a distaˆncia entre essas duas curvas ?
Note que se dermos qualquer tamanho � > 0 existem pontos x� ∈ (y = 0) e
z� ∈ (y = 1x) tais que
x�z� = �.
Basta tomarmos por exemplo x� := (
1
�
, 0) e z� := (
1
�
, �).
Enta˜o seria natural dizer que a distaˆncia entre a reta horizontal y = 0 e o gra´fico
de y = 1
x
e´ zero !
Mas note que essa distaˆncia zero entre curvas nunca e´ realizada por pontos de
y = 0 e de y = 1
x
, ja´ que distaˆncia zero entre dois pontos significa que sa˜o o mesmo
ponto e no entanto
(y = 0) ∩ (y = 1
x
) = ∅.
Outra maneira de ver que a distaˆncia zero entre essas curvas nunca e´ realizada por
pontos de y = 0 e de y = 1
x
e´ o item ii) da Afirmac¸a˜o 4.1, pois y′ = −1
x2
6= 0, ∀x > 0.
5. Concavidades dos gra´ficos
Na Definic¸a˜o 5.1 a seguir so´ me interesso no comportamento da func¸a˜o pro´xima
a cada um dos pontos de seu gra´fico.
Definic¸a˜o 5.1. Diremos que uma func¸a˜o e´ localmente coˆncava para cima num ponto
(x, f(x)) de seu gra´fico se existe um intervalo Ix centrado em x em que
f(x) > ax+ b, ∀x