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Cálculo - Lista Integração por Substituição

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Universidade Federal de Goiás Prof: Maxwell Dis
iplina: Cál
ulo I
Instituto de Matemáti
a e Estatísti
a Gyn, 28/10/15 Turma: Físi
a
LISTA 14�INTEGRAÇ�O POR SUBSTITUIÇ�O∫
f (u)
du
dx
dx =
∫
f (u) du
Exemplo 1: Cal
ule
∫
2x
x2 + 1
dx.
Solução: Fazendo u = x2 + 1, temos que du = 2x dx. Portanto,
∫
2x
x2 + 1
dx =
∫
1
x2 + 1
2x dx =
∫
1
u
du = ln |u|+ c.
Como u = x2 + 1, temos que
∫
2x
x2 + 1
dx = ln |x2 + 1|+ c.
Exemplo 2: Cal
ule
∫
xex
2
3
dx.
Solução: Note que fazendo u = x2, temos que du = 2x dx. Ou seja, x dx = du
2
. Portanto,∫
xex
2
3
dx =
1
3
∫
ex
2
xdx =
1
3
∫
eu
du
2
=
1
6
∫
eu du =
eu
6
+ c =
ex
2
6
+ c.
Exemplo 3: Cal
ule
∫
(x2 + 1)
√
x3 + 3x dx.
Solução: Note que fazendo u = x3 + 3x, temos que du = (3x2 + 3) dx. Ou seja, (x2 + 1) dx = du
3
. Portanto,∫ √
x3 + 3x (x2 + 1)dx =
∫ √
u
du
3
=
1
3
(
u1/2+1
1/2 + 1
)
+ c =
1
3
(
2
3
u3/2
)
+ c =
1
3
(
x3 + 3x
)3/2
+ c.
1) Agora que vo
ê já viu 
omo fun
iona a integração por substituição, Cal
ule as integrais abaixo.
a)
∫
xsen(x2)dx b)
∫
1
1 +
√
x
dx 
)
∫
1
(1 + x)
√
x
dx
d)
∫
1
x(ln x)p
dx e)
∫
4x3
√
x4 + 5
dx f)
∫
x− 1
x2 + 1
dx
g)
∫
−sen(x) · cos(cos(x))dx h)
∫
sen(x)
cos(x)
dx i)
∫
1
(x − 1)2 + 1
dx
j)
∫
5x5(4x6 + 17)80 dx l)
∫
ln(x)
√
x
dx m)
∫
x− 1
(x − 1)2 + 1
dx
2) Um reservatório 
ontendo 1000 litros de uma solução salgada, 
om uma 
on
entração ini
ial de 0.5 g/l de sal, 
omeça a ser
abaste
ido 
om água pura a uma taxa de 10 l/s. Seja Q(t) a quantidade de sal, presente no reservatório, no tempo t. (t em
segundos e Q(t) em gramas)
a) Determine Q(t) sabendo que a solução sai do reservatório a uma taxa de 10 l/s.
(Di
a: Lembre-se que
Q′(t)
Q(t) é a derivada de uma função 
onhe
ida!)
b) Usando Q(t) 
al
ulado a
ima, diga quando teremos um terço da quantidade ini
ial de sal.
) Cal
ule lim
t→∞
Q(t). LIMITE? SIM! [Explique, intuitivamente, o que o limite representa.℄
3) Uma amostra de proteína de massa m (em gramas) se 
onverte em aminoá
ido a uma taxa dada por
dm
dt
=
−2
t+ 1
g/h.
Qual é a diferença entre as massas de proteína após 2 horas e após 5 horas?
4) Cal
ule
∫
x3
√
x2 + 1 dx (di
a: Integre por partes primeiro, fazendo dv = x
√
x2 + 1. Em seguida integre usando a substituição y = x2 + 1)
5) O objetivo desta questão é 
al
ular a integral
∫
sen (
√
x)dx.
a) Use integração por partes para 
al
ular
∫
y sen (y) dy.
b) Use a mudança de variável y =
√
x para 
al
ular a integral
∫
sen (
√
x) dx.
[DICA:Já que y =
√
x, 
al
ule dy. Em seguida use a fórmula da integração por substituição.℄
6) Cal
ule
∫
e
√
xdx. [Di
a: faça o exer
í
io 5) primeiro!℄
1

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