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Universidade Federal de Goiás Prof: Maxwell Dis iplina: Cál ulo I Instituto de Matemáti a e Estatísti a Gyn, 28/10/15 Turma: Físi a LISTA 14�INTEGRAÇ�O POR SUBSTITUIÇ�O∫ f (u) du dx dx = ∫ f (u) du Exemplo 1: Cal ule ∫ 2x x2 + 1 dx. Solução: Fazendo u = x2 + 1, temos que du = 2x dx. Portanto, ∫ 2x x2 + 1 dx = ∫ 1 x2 + 1 2x dx = ∫ 1 u du = ln |u|+ c. Como u = x2 + 1, temos que ∫ 2x x2 + 1 dx = ln |x2 + 1|+ c. Exemplo 2: Cal ule ∫ xex 2 3 dx. Solução: Note que fazendo u = x2, temos que du = 2x dx. Ou seja, x dx = du 2 . Portanto,∫ xex 2 3 dx = 1 3 ∫ ex 2 xdx = 1 3 ∫ eu du 2 = 1 6 ∫ eu du = eu 6 + c = ex 2 6 + c. Exemplo 3: Cal ule ∫ (x2 + 1) √ x3 + 3x dx. Solução: Note que fazendo u = x3 + 3x, temos que du = (3x2 + 3) dx. Ou seja, (x2 + 1) dx = du 3 . Portanto,∫ √ x3 + 3x (x2 + 1)dx = ∫ √ u du 3 = 1 3 ( u1/2+1 1/2 + 1 ) + c = 1 3 ( 2 3 u3/2 ) + c = 1 3 ( x3 + 3x )3/2 + c. 1) Agora que vo ê já viu omo fun iona a integração por substituição, Cal ule as integrais abaixo. a) ∫ xsen(x2)dx b) ∫ 1 1 + √ x dx ) ∫ 1 (1 + x) √ x dx d) ∫ 1 x(ln x)p dx e) ∫ 4x3 √ x4 + 5 dx f) ∫ x− 1 x2 + 1 dx g) ∫ −sen(x) · cos(cos(x))dx h) ∫ sen(x) cos(x) dx i) ∫ 1 (x − 1)2 + 1 dx j) ∫ 5x5(4x6 + 17)80 dx l) ∫ ln(x) √ x dx m) ∫ x− 1 (x − 1)2 + 1 dx 2) Um reservatório ontendo 1000 litros de uma solução salgada, om uma on entração ini ial de 0.5 g/l de sal, omeça a ser abaste ido om água pura a uma taxa de 10 l/s. Seja Q(t) a quantidade de sal, presente no reservatório, no tempo t. (t em segundos e Q(t) em gramas) a) Determine Q(t) sabendo que a solução sai do reservatório a uma taxa de 10 l/s. (Di a: Lembre-se que Q′(t) Q(t) é a derivada de uma função onhe ida!) b) Usando Q(t) al ulado a ima, diga quando teremos um terço da quantidade ini ial de sal. ) Cal ule lim t→∞ Q(t). LIMITE? SIM! [Explique, intuitivamente, o que o limite representa.℄ 3) Uma amostra de proteína de massa m (em gramas) se onverte em aminoá ido a uma taxa dada por dm dt = −2 t+ 1 g/h. Qual é a diferença entre as massas de proteína após 2 horas e após 5 horas? 4) Cal ule ∫ x3 √ x2 + 1 dx (di a: Integre por partes primeiro, fazendo dv = x √ x2 + 1. Em seguida integre usando a substituição y = x2 + 1) 5) O objetivo desta questão é al ular a integral ∫ sen ( √ x)dx. a) Use integração por partes para al ular ∫ y sen (y) dy. b) Use a mudança de variável y = √ x para al ular a integral ∫ sen ( √ x) dx. [DICA:Já que y = √ x, al ule dy. Em seguida use a fórmula da integração por substituição.℄ 6) Cal ule ∫ e √ xdx. [Di a: faça o exer í io 5) primeiro!℄ 1
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