Cálculo - Lista Frações Parciais, Comprimento Arco, Áreas, Aplicações

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Goiás Prof: Maxwell Dis
iplina: Cál
ulo I
Instituto de Matemáti
a e Estatísti
a Gyn, 16/11/15 Turma: Físi
a
LISTA 16�Frações Par
iais-Comprimento de Ar
o-Áreas-Apli
ações.
1) Uma das formas de de
ompor a fração
5x2 + 5
x(x2 − 4x− 5) é es
revê−la na forma
A
x
+
B
x− a +
C
x− b, onde a e b
são as raízes de x2 − 4x− 5 = 0 e A,B,C são 
onstantes a serem determinadas.
a) En
ontre A,B,C tais que
5x2 + 5
x(x2 − 4x− 5) =
A
x
+
B
x− a +
C
x− b [é 
laro que vo
ê pre
isa en
ontrar a, b primeiro!℄
b) Cal
ule
∫
5x2 + 5
x(x2 − 4x− 5)dx.
2) Nos 
asos em que existem raízes reais REPETIDAS, pro
edemos de forma semelhante, porém 
om repetições
também. . Para de
ompor a fração
1
x3(x− 1) vamos es
revê−la na forma
A
x
+
B
x2
+
C
x3
+
D
x− 1 , onde A,B,C,D
são 
onstantes a serem determinadas.
a) En
ontre A,B,C,D tais que
1
x3(x− 1) =
A
x
+
B
x2
+
C
x3
+
D
x− 1 .
i) Multiplique a igualdade por (x− 1) e faça x→ 1.
ii) Multiplique a igualdade por x3 e faça x→ 0.
OBS. Agora que vo
ê já sabe o valor de C e D
iii) Volte ao passo ii), derive a igualdade e faça x→ 0
iv) Derive novamente a igualdade e faça x→ 0
b) Cal
ule
∫
1
x3(x− 1)dx.
3) Nos 
asos em que não existem raízes reais, pro
edemos de forma diferente. Para de
ompor a fração
1
x(x2 + 1)
vamos es
revê−la na forma A
x
+
Bx+ C
x2 + 1
, onde A,B,C são 
onstantes a serem determinadas.
a) En
ontre A,B,C tais que
1
x(x2 + 1)
=
A
x
+
Bx+ C
x2 + 1
[Repita a idéia do exer
í
io a
ima.℄
b) Cal
ule
∫
1
x(x2 + 1)
dx.
4) En
ontre o 
omprimento de ar
o das 
urvas abaixo, no intervalo dado.
a) y = 3x3/2 − 1 para 0 ≤ x ≤ 1. b) x = 1
3
(y2 + 2)3/2 para 0 ≤ y ≤ 1. 
) y = x2/3 − 1 para 1 ≤ x ≤ 8.
d) y = x
6+8
16x2
para 2 ≤ x ≤ 3. e) y = 1
2
(ex + e−x) para 0 ≤ x ≤ 3. f) x = 1
8
y4 + 1
4
y−2 para 1 ≤ y ≤ 4.
g) α(t) = (1
3
t3, 1
2
t2), para 0 ≤ t ≤ 1. h) α(t) = (cos t+ t sin t, sin t− t cos t), para 0 ≤ t ≤ pi.
5) Cal
ule a área entre os grá�
os a) y = x2 e y =
√
x. b)y = x2 e y = x3 para −1 ≤ x ≤ 0.
6) Cal
ule a área entre y = sin x e y = 2
pi
x para 0 ≤ x ≤ pi
2
. (Di
a: esbo
e 
ada grá�
o primeiro!)
7)[Já que vo
ê 
hegou até aqui, segue o Brinde!℄ Suponha que a temperatura T (t) de uma 
erveja, em
um meio 
om temperatura 
onstante e igual a 30, seja tal que T (0) = 0. Segundo a Lei do Resfriamento de
Newton, a taxa de variação T ′(t) é propor
ional à diferença entre as temperaturas T (t) e 30. Após 2 minutos a
temperatura da 
erveja era de 1 grau Celsius.
a) A partir dos dados apresentados, determine a temperatura T (t).
b) Sabendo que a 
erveja só é agradável até 10 graus Celsius, determine quanto tempo se tem para 
onsumi-la,
isto é, determine t0 tal que T (t0) = 10.
) Determine o limite de T (t) 
om t tendendo a in�nito.
1